不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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165:１３２人目の素数さん
 07/10/29 14:40:59 
>>164  
ご丁寧な解答ありがとうございます。  
逆向きの不等号ならば、本に書いてある方法でできますね。  
ちなみに、積分区間は [0,1] となっていますが、これは任意の区間 [a,b]  
（ただし，0<a, b< ∞）でも大丈夫ですね。  
 
私も少し調べたのですが、大体関数 f の積分を f やそれらの微分を  
使って上から押さえるタイプのが多いようです。  
しかし、逆タイプ、つまり、f の微分を f で押さえるというタイプの  
式が見つからなかったので、案の定、間違っていたのですね。  
 
そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？

166:156
 07/10/29 15:55:37 
>>165 
おっと， 
http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage  
をよく読むと， 
　∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx  
については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。 
存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。 
 
つまり，この論文は間違っておらず，この論文を「不等式への招待」に転載したときに 
著者が「存在」を「任意」だと取り違えてしまった，というのが実情でしょう。 
 
＞そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？  
 
難しいと思いますね。 
直観的に言うと，|f(x)|がいかに小さく抑えられていたとしても， 
その小さな幅の中で激しく振動しまくれば，|f'(x)|はいくらでも大きくすることができてしまいます。 
逆に，|f'(x)|がある程度小さく抑えられていれば，f(x)の変動が小さいわけですから， 
|f(x)|もある程度の幅しか動けなくなります。 
 
また，[0,1]上の関数f(x)を周期１の周期関数と見てexp(2πinx)によって 
フーリエ級数展開したときのフーリエ係数をc_nとすると，パーセバルの等式から 
　∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ＝ Σ_[n=-∞,∞] |c_n|^2 
　∫_[0,1] |f'(x)|^2 dx ＝ (2π)^2Σ_[n=-∞,∞] n^2|c_n|^2 
です。Σ|c_n|^2 と Σn^2|c_n|^2 の収束性の善し悪しを比較しても， 
|f'(x)|を|f(x)|で評価することの困難さが分かると思います。

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