不等式への招待 第３� ..
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160:１３２人目の素数さん 07/10/28 20:46:19 問題を投下した者です。ちょっとこのスレ的ではない解ですが… ω=exp(2πi/3) を用いて問題の関数は w(x,y,z)=|(yω-z)(zω-x)(xω-y)|^2 と表せる。そこで p=x+yω+zω^2 という変数を考えるとpは複素平面上で 1,ω,ω^2 を頂点とする三角形の内部または周上 (Tとする) を動く。ここで p-1=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)=(1-ω^2)(yω-z) p-ω=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω=(ω-1)(zω-x) p-ω^2=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω^2=(ω^2-ω)(xω-y) であるから w=(1/27)|p^3-1|^2 である。この式の形とTの形状から、pの動く範囲はTのうちの 2π/3≦arg(p)≦4π/3 に制限してもよいことがわかる。このとき p^3の動く範囲(Dとする)を描いてみればわかるように、max(w) を与えるpはTの周上のどこかになる。そこで p = (-1+it√3)/2 (-1≦t≦1)と置いてwを計算してみると p^3-1 = (3√3/8)(t^2-1)(√3+it) |p^3-1|^2 = (27/64)(t^2-1)^2(3+t^2) w = (1/64)(t^2-1)^2(3+t^2) あとは u=t^2 (0≦u≦1) の3次関数の問題で、u=0で最大となる ことがわかり、max(w)=3/64 である。最大を与えるpは p=-1/2 のときと p^3の位置が同じp、すなわち p=-1/2,-ω/2,-ω^2/2 である。
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