不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

16:１３２人目の素数さん
07/05/30 22:56:41
>8
　√{x/(y+z)} + √{y/(z+x)} + √{z/(x+y)} ≧ (√x + √y + √z)^2 / [√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √{z(x+y)}] > 2.

(略証)
左側:
　コーシーで簡単。
右側:
　x, y ≦ z としてもよい。
　f(z') = √z' のグラフは上に凸だから、接線の下側にある。
　√(z+y) < √{z+y+(y^2)/(4z)} = √z + y/(2√z) < √z + (√y)/2,
　√(z+x) < √{z+x+(x^2)/(4z)} = √z + x/(2√z) < √z + (√x)/2,
　√{z(x+y)} < {(x+y)+z}/2,　　(← 相加･相乗平均)
これらに √x, √y, 1 を掛けてたすと、
　√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √z(x+y)} < √(zx) + √(zy) + √(xy) + (x+y+z)/2 = (1/2)(√x + √y + √z)^2,
よって上式を得る。　(終)

ハｧハｧ　ゼｪゼｪ…

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