不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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157:１３２人目の素数さん
 07/10/28 11:31:45 
>>154 
成り立たないのですか！ 
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）  
の本の最後のページにこの手の不等式があって、幾つか自分でやったんですけど、 
これだけはどうしても出来なかったが、間違っていたとは思わなかった orz 
 
お騒がせしました。 
しかし、直ぐに成り立たないと反例を挙げるその才能に驚きました。

158:１３２人目の素数さん
 07/10/28 18:57:34 
〔問題〕 
こんな問題が流れてきた。カッコ良く解いて呉れってよ。  
  
x+y+z =s, x≧0, y≧0, z≧0 のとき、  
　w(x,y,z) = (y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2) の最大値は?  
  
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1193029141/59  
分かスレ２８０

159:１３２人目の素数さん
 07/10/28 19:03:47 
>158  
いつものように 基本対称式を x+y+z =s, yz+zx+xy =t, xyz =u とおく。 
　y^2 +yz +z^2 = s^2 -t -sx,  
　z^2 +zx +x^2 = s^2 -t -sy,  
　x^2 +xy +y^2 = s^2 -t -sz,  
よって  
　w(x,y,z) = (s^2 -t -sx)(s^2 -t -sy)(s^2 -t -sz)  
　= (s^2 -t)^3 -(s^2 -t)^2･s^2 +(s^2 -t)ts^2 -us^3  
　= (s^2 -t)t^2 -us^3  
　≦ (s^2 -t)t^2 + min{0, -(s^3)(4st-s^3)/9},　(← s^3 -4st ≧ -9u) 
ここで t/s^2 =τ, w/s^6 =ω とおくと 0≦τ≦1/3,  
　ω ≦ τ^2 - τ^3 + min{0, -(4τ-1)/9},  
ω(τ) の増減表から、ωは 0≦τ<1/4 で増加し、1/4<τ≦1/3 では減少する。 
ゆえに τ=1/4 で最大値 3/64 をとる。 
等号成立は τ =t/s^2 =1/4, u=0 のとき、すなわち  
　(x,y,z) = (a,a,0), (0,b,b), (c,0,c).  
ぬるぽ

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