不等式への招待 第３� ..
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152:１３２人目の素数さん 07/10/15 15:43:15 任意の実数 x[1],……,x[n] に対して ∑[k=1,n](x[k])^2･cosπ/n ≧ ∑[k=1,n-1]x[k]x[k+1]-x[n]x[1] が成り立つことを示せ。 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/656 東大作問者スレ１１ 153:１３２人目の素数さん 07/10/18 03:27:58 >152 2次形式なので行列で表す。半正値であることを使う。 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/196-202 線形代数/線型代数４ 154:１３２人目の素数さん 07/10/26 21:18:01 [問題] f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0を満たす滑らかな関数とするとき、次を示せ． ∫^1_0 |f'(x) x|^2 dx < 2 ∫^1_0 |f(x)|^2 dx 155:１３２人目の素数さん 07/10/27 07:39:25 >>154 f(x)=sin(2πx) のとき，f(0)=f(1)=0 で， 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1 ∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (2π^2)/3 + 1/4 = 6.82…… よって不成立。 156:１３２人目の素数さん 07/10/27 09:27:36 >>154 f(x)=sin(nπx)のとき， ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1/2 ∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (n^2π^2)/6 + 1/4 なので，>>154の命題は係数２をいかに大きくしても不成立。
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