不等式への招待 第３� ..

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149:１３２人目の素数さん 07/10/13 22:17:13 〔問題〕 n を自然数として定積分 I(n) を 　　I(n) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx で定める。このとき、すべての自然数n に対して　I(n+1) > I(n) が成り立つことを示せ。 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/174 東大入試作問者スレ１１ 150:１３２人目の素数さん 07/10/13 22:21:20 >149 (略解) ・n = 1 のとき 　I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1, 　I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･, ゆえ n=1 のとき成立。 ・n> 1 のとき u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。 xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から 　I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du, ここで ヘルダーの不等式 により 　{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du, 　I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)), 　I(n) > I(2)^(n-1) > 1, から 　I(n+1) > I(n), n> 1 のときも成立。 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/637 東大入試作問者スレ１１

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