不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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145:１３２人目の素数さん
 07/10/03 21:52:36 
>144  
 
最大値は M = {2/(n+2)}{n/(n+2)}^(n/2) の辺りなので、差をとってみよう。 
x･√{(n+2)/n} ≡ y とおくと、 
　M - (1+x)(1-x)x^n = M - {1-(n/(n+2))y^2}･{n/(n+2)}^(n/2)･y^n  
　= M{1 -(1/2)(n+2)y^n +(n/2)y^(n+2)}  
　= M(1-y){1 +y +y^2 +･･･+y^(n-1) -(n/2)(1+y)y^n}  
　= M(1-y)^2･{1 +2y +3y^2 +･･･+ny^(n-1) +(n/2)y^n} ≧ 0,  
等号成立は y=1 のとき。 
 
もっとも、x≧1 のときは (左辺)≦0 から明らかだが･･･

146:１３２人目の素数さん
 07/10/03 22:23:52 
さすがに後付けにもほどがあるな

147:１３２人目の素数さん
 07/10/03 22:51:55 
これは、「最大値を求めた」のではなく、最大値を取る付近で適当な変数を取って関数を展開しただけのこと。 
微分方程式等、動きが判らない関数の性質を調べるときなど、よく使われる手法。お疲れ様

148:１３２人目の素数さん
 07/10/06 01:13:14 
任意の三角形の三辺a,b,cに対して常に 
a^(2n)+b^(2n)+c^(2n)＜2(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n) 
が成り立つような正の整数nを全て求めよ。 
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/352 
 
まず必要条件を求めるため，xを0<x<1なる実数として， 
a=2，b=1，c=1+x という三角形を考える。 
このとき，題意を満たす n が存在するとすると， 
　　2^(n+1) + 2(1+x)^n + 2^(n+1)(1+x)^n ＞ 2^(2n) + 1 + (1+x)^(2n) 
が成り立つ。 
これが0<x<1なる任意のxに対して成立するので，両辺 x→+0 として， 
　　2^(n+2) ≧ 2^(2n) 
　　∴ 4≧2^n 
　　∴ n≦2 
よって n≦2 が必要。 
 
n=1のとき， 
　2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)＝(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a) ＞ 0 
より成立。 
 
n=2のとき， 
　2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4) 
　＝(a+b-c)^2(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)^2(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)^2 ＞ 0 
より成立。 
 
以上より n=1,2

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