不等式への招待 第３� ..
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139:１３２人目の素数さん 07/09/12 16:23:24 >>138 あっさりでしたか。 問題仕入れてきました。1988年/大学への数学「宿題」らしいです。 実数x[1],,x[2],・・・,x[n]が x[1]+x[2]+・・・+x[n]=0 (x[1])^2+(x[2])^2+・・+(x[n])^2=1 を満たしながら動くとき次の不等式を示せ。ただしnは3以上の整数とする。 (x[1])^3+(x[2])^3+・・・+(x[n])^3≦(n-2)/√(n^2-n) 140:１３２人目の素数さん 07/09/12 20:02:15 xk=-xn-k+1=t nt^2=1 t^3=n^-3/2 nt^3=n^-1/2 141:１３２人目の素数さん 07/09/14 12:07:31 >>139 [略解] ラグランジュ乗数法で停留点条件を調べると， x[1],x[2],……,x[n] たちは2種類の値のみをとることが必要と分かる。 そこで x[1] から x[n] のうちで p 個が a という値をとり，(n-p)個が b という値をとるとする。 ただし x[1]=……=x[n] とはなりえないので a<b，1≦p≦n-1 としてよい。 2本の束縛条件の式に代入して解くと， a, b を p の式で表せる。 すると (x[1])^3 + …… + (x[n])^3 が p の関数として表せる。 この関数は p について単調増加なので，p=n-1 のときが最大値。 その最大値は (n-2)/√(n^2-n) となる。
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