不等式への招待 第３� ..

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125:124 07/08/21 00:22:21 （補足） 3角形の面積を�凾ﾆおくと、 　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),　　　…… ヘロンの公式 126:１３２人目の素数さん 07/08/21 11:18:25 グッジョブ！ (*ﾟ∀ﾟ) 127:１３２人目の素数さん 07/08/23 05:27:52 【類題】 3辺の長さがa,b,cである鈍角*三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする. このとき, 不等式 　(a + b + c - 4R) /r ≦ 2, が成り立つことを示せ。　(*直角3角形も含める) 等号は直角3角形のとき. 128:１３２人目の素数さん 07/08/25 10:43:13 >127 　r=��/s, R=abc/(4��)　より, 　(4R+r)r = {(�竸2)/s + abc}/s = s^2 + (ab+bc+ca) = (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/4 (=t), 　(4R+2r)^2 - (a+b+c)^2 = 16R^2 +4(4R+r)r - (a+b+c)^2 　　= 16R^2 + (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2) - (a+b+c)^2 　　= 2(8R^2 -a^2 -b^2 -c^2), 　　= -16R^2 cos(A)cos(B)cos(C),　　　　　　　　(← 補題) 〔補題〕 　(a^2 +b^2 +c^2) -8R^2 = (a^2 +b^2 -c^2) - 2(4R^2 -c^2) 　= 2abcos(C) - 2(4R^2 -c^2)　　　　　　　 (← 第2余弦定理) 　= 8R^2 {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C)　　　　(← 正弦定理) 　= 8R^2 {sin(A)sin(B)+cos(A+B)}cos(C)　　　(← A+B+C=π) 　= 8R^2 cos(A)cos(B)cos(C), これは、鋭角・直角・鈍角に従って 正･0･負。(終) (数セミ, 2007/09) ぬるぽ

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