不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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123:１３２人目の素数さん
 07/08/18 20:10:08 
【問題】  
3辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.  
このとき, 不等式  
　(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…,  
が成り立つことを示せ.  
  
等号は正3角形のとき,  
直角3角形のとき 左辺は2.  
  
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/674  
東大入試作問者スレ９

124:１３２人目の素数さん
 07/08/21 00:06:01 
>123  
このスレの解答は↓になるだろうな。ちっともエレガントぢゃねぇが…  
  
a,b,cが3角形の辺をなすとき、次の附帯条件（3角不等式）がある。 
　s-a >0,　s-b >0,　s-c >0, s=(a+b+c)/2   
そこで s-a, s-b, s-c を独立変数と見れば、附帯条件は無くなる。基本対称式を  
　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,  
　(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,  
　(s-a)(s-b)(s-c) = u,  
とおくと abc = st-u,  
　⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),  
　r = ⊿/s = √(u/s),  
　R = abc/(4⊿) = (st-u) / {4√(su)},  
　(左辺) = {2s - (st-u)/√(su)} / √(u/s) = 2(s^1.5)/√u - (st/u) +1,  
示すべき式は  
　{(st/u) +(右辺-1)}^2 - 4(s^3)/u = (1/t^2)H(s,t,u) ≧0,  
　H(s,t,u) = {st + 2(右辺-1)u}sF_(-2) + 27(7-4√3)uF_(-1) + 3(16√3 -27)sG ,  
ここに F_n はSchurの不等式のF_nで,  
　F_(-2) = (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0,  
　F_(-1) = (t^2 -3su)/u ≧0,  
　F_0 = s^2 -3t ≧0, 
　G(s,t,u) = st-9u ≧0,  
これより、 
　H(s,t,u) ≧0,  
  
ぬるぽ

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