不等式への招待 第３� ..
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112:１３２人目の素数さん 07/07/21 08:13:14 ( ﾟ∀ﾟ)つ>>87の改良版 a,b,c>0 のとき， (2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ ((a^3+b^3+c^3)/3)^(1/3) が成立することを示せ。 113:１３２人目の素数さん 07/08/02 11:33:35 Polyaの不等式のH.Alzerによる拡張 f,g,h は [a,b] 上の実数値関数で，f は単調増加，g,h はC^1級で， g(a)=h(a)，g(b)=h(b) を満たすものとするとき， (∫_[a,b] f(x)g'(x)dx) (∫_[a,b] f(x)h'(x)dx)≦(∫_[a,b] f(x)√[(g(x)h(x))']dx)^2 114:１３２人目の素数さん 07/08/16 02:18:39 〔問題〕 x+y+z=1, x,y,z ≧0 のとき f(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x) ≦ 1/(6√3) を示せ。 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1186908806/56 分かスレ２７９ 115:１３２人目の素数さん 07/08/16 02:32:44 >114 f(x,y,z)>0 となるのは 0≦x<y<z またはその cyclic の場合。 そこで、x<y<z の場合を考える。（他の場合も同様） f(x,y,z) = (y-x)(z-y)(z-x) は zについて単調増加、xについて単調減少。 f(x,y,z) ≦ f(0,y,z+x) = f(0,y,1-y) = y(1-y)(1-2y) = 1/(6√3) - 2{y -(1/2) +(1/2√3)}^2･{y +(1/2) +(1/√3)} ≦ 1/(6√3), 等号成立は x=0, y=(1/2)-1/(2√3), z=(1/2)+1/(2√3) のとき。
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