e、自然対数の底 - 暇つぶし2ch

e、自然対数の底 ..

89:54
07/08/18 01:58:14
>>59
頭が沸いていた。スマン

えーと
a^x=(e^(log a))^x=e^(x*log a)

で何だ、合成関数の微分なんて忘れた。

若年性の痴呆か…

90:１３２人目の素数さん
07/08/18 08:16:05
>>89
y=a^xと置いて、対数微分。

91:89
07/08/19 16:09:24
恥承知でやってみるか。

合成関数微分法
{f(g(x))}'=f'(g(x))*g'(x)

f(x)=e^x⇒f'(x)=e^x
g(x)=x*log a⇒g'(x)=log a

f'(g(x))*g'(x)=(e^(x*log a))*log a

…で良いんかな、不安だ

92:89
07/08/19 16:14:00
>>89
(log y)'=y'/yってやり方の対数微分法かぁ

y=a^xとし、>>89より
y=e^(x*log a)
両辺の対数を取ると
log y=x*log a
この両辺を微分してy'/y=log a
で、
y'=(e^(x*log a))*log a

あ、良いんか

93:89
07/08/19 22:25:54
>>92訂正
× >>89　〇 >>90

94:１３２人目の素数さん
07/08/21 20:46:36
e^(x*log a)=a^x

95:89
07/08/23 21:17:53
ヤッパリややこしいから
>>93改定(>>92再改訂)

92:89 :2007/08/19(日) 16:14:00 [sage] >>90
(log y)'=y'/yってやり方の対数微分法かぁ

y=a^xと置き、>>89(対数法則)より
y=e^(x*log a)
両辺の対数を取ると
log y=x*log a
この両辺を微分してy'/y=log a
で、
y'=(e^(x*log a))*log a

あ、良いんか

お付き合い戴き、有難う御座いました。

96:教えて
07/09/09 15:05:53
閑話休題と思ってくれ。

　　　Y=EXP（X)　は、底がeで、これを一行で書く方法。
　　　つまり、Y=e^X のこと。右肩にXと書けなくても、＾を使えばよい。　
　　　だから、底がそのほかの数なら、　一行で書きたければ、Y＝A＾X　と書けばよいよねぇ。

　　　
　　　Y＝Ln（X)　は　底がeで、つまり、Y=log X　のこと（底が、一行で書くことが、PCではできなかったが）
　　　底がそのほかの数なら、どう書けばよいんでしょう。
　　　小さく添字ができない場合、要するに、一行で書く場合です。
　　　
　　　
　　

97:１３２人目の素数さん
07/09/09 15:13:45
もうちょっとまともな日本語使えよ・・・

98:１３２人目の素数さん
07/09/09 22:24:46
｢一行｣という何の変哲もない言葉を、ここまで変哲に用いることが可能だったとは。

99:１３２人目の素数さん
07/09/10 03:24:46
>>96
Xの自然対数をLogにnaturalの頭を添えたLn(X)が書式の系では
Log(X)はXの常用対数、つまり底10の対数の事位しか知らん
なので一般の対数の書式は知らん

100:１３２人目の素数さん
07/09/10 23:47:44
>>96
おれは log[a](x) と書いて「ログ、エー底のエックス」を表現しているが、どう？

101:１３２人目の素数さん
07/09/22 09:15:05
ネイピアさんがこの数字に辿り付いた逸話などがありましたら、教えて下さい。
オイラーの公式は後からわかったんですよね。

こんなに上手く行く無理数の誕生歴史を知りたい。

102:１３２人目の素数さん
07/10/30 13:09:20
249

103:ﾄﾞﾗﾏHEROのﾏｽﾀｰ
07/10/31 03:25:52
>>96-100
数学板初心者の為の質問スレ　3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

104:１３２人目の素数さん
07/11/10 06:06:24
>>101
オレもよくは知らないが、
ジョン・ネイピアがネイピア数を発見したのではない。
彼はこの数字にたどり着くことなく息を引き取ったらしい。

この数字にたどり付いたのは、オイラーの公式とやらを提唱したオイラー自身であり、
指数関数あるいは対数の微分というものを考えたときに生まれたのではないかと思う。
任意の値を底にしたlogXを微分したときに出てくる定数としてe=2.71…=lim[n→0](1+n)^(1/n)が出てくるらしい。

そして、ｘの関数として微分をしても一定の値を保つ底　e＾ｘ
これが登場する。最初にこの定数を発見したときにどういう計算のもとで、
あるいはどういう問題のもとで行き着いたのかは知らない。

オイラーはこのeを自分の頭文字としてではなく、たまたま友人に宛てた手紙の中で
eという文字を使ったと、それだけのことらしい。

そして、このeをネイピア数と名づけたのはオイラーだとか。

ジョン・ネイピアは対数の発見者でありながら、常用対数表すら目にすることはなかった。
彼が作ったのはネイピアの対数と呼ばれる。1よりもほんの少し小さい値で
なるべく整数として扱えるような、そんな複雑な底の対数表であり、それを20年くらいかけて作ったらしい。

オレは彼を数学界のゴッホだと思う。

105:１３２人目の素数さん
07/11/10 06:22:42
オイラーって発見しすぎだろｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

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106:１３２人目の素数さん
07/11/11 10:09:42
e=lim[n→0](1+n)^(1/n)の起源ならおそらく指数関数の微分の時では？

(a^x)'
=lim[h→0]{a^(x+h)-a^x}/h
=lim[h→0]a^x{(a^h)-1}/h
=a^x lim[h→0]{(a^h)-1}/h
なんでlim[h→0]{(a^h)-1}/h=1となる定数aを見つけようとした。
その定数をeとすると
lim[h→0]{(e^h)-1}/h=1
lim[h→0]{(e^h)-1}=lim[h→0]h
lim[h→0](e^h)=lim[h→0](1+h)
e=lim[h→0](1+h)^(1/h)

多分こんな感じかと。

107:１３２人目の素数さん
07/12/29 12:09:33
ﾄﾗﾝﾌﾟ等の一人遊びで何回もやった時の成功時の喜びの合計を最大にするには,
成功率を1/e(≒0.3679)にするのが最良だそうだ

108:１３２人目の素数さん
07/12/29 16:45:49
>>107
喜びの合計の定義は？

109:１３２人目の素数さん
07/12/29 17:16:26
>>104
＞彼が作ったのはネイピアの対数と呼ばれる。1よりもほんの少し小さい値で
＞なるべく整数として扱えるような、そんな複雑な底の対数表であり、

分かってないだろｗ

ネイピアの対数は(1/e)と考えてよい。
ネイピアの時代には小数がなかったので独自の表現をしているが
これは簡単に小数に置き換えられる。

ネイピアのやり方は基本的には微分方程式の数値解法とみなせる。
だから底が1/eでも別にそう驚くことではない。
微分方程式として表現する場合、自然対数のほうが簡単だから。

110:１３２人目の素数さん
07/12/30 00:04:51
>>108
よくわからんがかつてx^xという関数の性質を調べたときに1/eってのが出てきたからそういう定式化したんじゃないかな

111:１３２人目の素数さん
07/12/30 23:09:37
関係あるのか？

112:112
08/03/08 13:41:00
1+1=2

113:(*^ー^)ﾉ ◆42.195kmAM
08/03/28 23:54:17
御徒町のダイヤモンド
ｽﾚﾘﾝｸ(sousai板)l50

114:１３２人目の素数さん
08/03/29 02:25:58
age

115:１３２人目の素数さん
08/04/25 20:31:54
ag＝e

116:１３２人目の素数さん
08/05/01 22:45:44
d　　x　　　x
―　e＝　e
dx

117:１３２人目の素数さん
08/05/01 23:14:36

∫(ag)dx = ∫(e) dx

118:１３２人目の素数さん
08/05/01 23:31:03
β微分法とeβ論法の発祥スレ…もとい発症スレ

119:１３２人目の素数さん
08/05/02 20:00:21
>>118
おまいさん∫exに夢中だろww
∫exdx=ex^2/2+C
∫e^xdx=e^x+C

120:１３２人目の素数さん
08/05/02 23:59:16
なんでこのスレ盛り上がらないの？
もっと盛り上がってもeと思うんだけどね

121:１３２人目の素数さん
08/05/16 16:59:00
βあげ

122:１３２人目の素数さん
08/05/16 19:27:05
e

123:１３２人目の素数さん
08/05/16 20:04:43
lim[h→0](1+h)^(1/h)=eだけど
lim[h→∞](1+h)^(1/h)って何になるの?
それとも発散する？

124:１３２人目の素数さん
08/05/16 20:16:30
等角共役点ってなに？
詳しく教えてくれ。

125:１３２人目の素数さん
08/05/16 21:39:05
>>123
logとりな。

126:１３２人目の素数さん
08/05/16 22:31:25
lim[h→∞]log(1+h)^(1/h)
=lim[h→∞](log(1+h))/h=0
よってlim[h→∞](1+h)^(1/h)=1

あってますか？

127:１３２人目の素数さん
08/05/16 22:46:15
>>126
あってるよ

128:１３２人目の素数さん
08/05/17 06:10:32
>>127
どーもです

129:１３２人目の素数さん
08/06/07 10:47:32
鮒一発二発一発二発

130:１３２人目の素数さん
08/07/23 05:47:20
691

131:１３２人目の素数さん
08/08/08 21:46:58
age

132:１３２人目の素数さん
08/09/20 02:25:54
6.644e-05　これはいくつ？

133:１３２人目の素数さん
08/09/20 12:36:50
0.00006644

134:１３２人目の素数さん
08/09/22 01:22:53
俺らの頃は
｢鮒一鉢二鉢～｣だったが

135:１３２人目の素数さん
08/09/22 01:31:14
e=(1+1/n)^nというのが信じられなくて、
プログラムを組んで確かめてみたら、
本当に数値が出てきたので驚いた。
いまだに納得がいかないが。

136:１３２人目の素数さん
08/09/24 18:35:44
age

137:１３２人目の素数さん
08/09/24 19:51:42
オイラーの式になぞがありそうだよね。勘だが。

138:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/09/24 20:55:05
>>134 有無｡
鮒一鉢二鉢、一鉢二鉢、…

>>135 木村拓哉曰わくの『閉じた自分もすっげー大事』
閉じた自分による、思考活動｡

>>137 γ

139:１３２人目の素数さん
08/09/25 05:34:32
よくあるミス
「一鉢二鉢」を2度繰り返さない
「至極惜しい」の「い」を1と勘違いする(これは五つの「い」)