【定理？】負×負＝正【定義？】

【定理？】負×負＝正 ..

75:１３２人目の素数さん
06/11/18 14:49:35
>>74
それが何か？

76:１３２人目の素数さん
06/11/18 19:04:05
こんばんは。提唱者です。
まず、私に質問する場合には「自分がどういう立場を取っているのか」
を明らかにしてください。
でないと適切なアドバイスができない場合がありますので。
「自分がどういう立場を取っているのか」
とは具体的には
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい

一体この人はどの立場を取っている人なのかを念頭におきながら出ないと
その人に最適な解説ができませんので。

77:１３２人目の素数さん
06/11/18 19:10:26
お馬鹿がアドバイスとは片腹痛いｗ

78:１３２人目の素数さん
06/11/18 20:05:11
質問は質問だよ。
インチキ祈祷師が使う典型はなしだ。

79:60
06/11/18 23:09:44
>>65
>関数記号-とか*を無定義述語として導入するならまだわかるけど
>(-1)*(-1)全体で一つの無定義述語としてみるのはほとんど無理かと。

無定義述語とは無定義用語と同じ意味でしょうか？
例えば行列の積Ａ*Ｂはもともとは無定義用語だったのではないでしょうか？
無定義用語だったから、その計算方法を定義しなければならなかったのではないのでしょうか？
（縦と横を掛けて足す方法のことです）
Ａ*Ｂ全体で一つの無定義用語だったからこそ人間が定義する必要があったのです。

80:１３２人目の素数さん
06/11/18 23:37:53
おいおい数学勉強してるのに「述語」の意味もわかんないのかよ

81:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:29:55
>>79
いやそもそも無定義用語ってどういう意味でしょうか。
まだ定義されてない用語、これから定義する用語、という意味で
あなたがオリジナルに作った用語ですか？

無定義術語というのは簡潔に言うと理論の構成上原理的に
公理をもってしか定義されえない述語記号、関数記号etc.のことです。
単にまだ定義されてないということではありません。

例えばユークリッド幾何学における「直線」「点」「平面」「交わる」などの用語がそうです。
「直線」「点」といった用語自体が意味を持たないからこそ、
射影幾何学で双対原理が成り立ったりするわけです。お分かりでしょうか。

82:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:34:35
「述語」がわかんないのにそんなのがわかるわけがない。

83:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:39:39
>>76
(c)立場によってどちらもありうる。

さて質問ですが、前スレに
「数学は必要十分条件で論理を進めていきます。」
「何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。」
と言って逆が成り立たないような演繹は全く認めない方がいらっしゃったのですが、
数学ではそういう定理は扱ってはいけないのでしょうか？
「逆は必ずしも真ならず」とよく言われますが、
この格言は論理学に限った話で、数学では成り立たないのでしょうか。

具体例を挙げると、pに関する次の二つの性質に関して

(あ)pは素数である。
(い)pの倍数でないような任意の整数aに対して、a^(p-1)をpで割った余りは1になる。

(あ)から(い)が従う、という有名な定理がありますが、
(い)から(あ)は導けないことが知られています。一番小さい反例は三桁の数です。
これは数学の定理ではないのですか？

84:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:58:16 BE:468864656-2BP(0)
>>83
＞(あ)から(い)が従う、という有名な定理がありますが、
＞(い)から(あ)は導けないことが知られています。一番小さい反例は三桁の数です。
＞これは数学の定理ではないのですか？

の最後の行の「これ」というのがどういう命題なのかはっきりさせて考えてみよう！

85:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:27:20
まず「提唱者様」はコテとトリップをつけろや

>>84なんて回答にもなってないぞ

86:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:35:39
これ＝(あ)⇒(い)だけど。

87:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:42:11
>>86
定理だろ・・・常識的に考えて・・・

88:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:43:18
ちょっと分かりにくいですね。
「これ」ってのは「(あ)ならば(い)」という命題です。

ところで>>84は「提唱」者の方ですか？
考えてみようとか言われても困るのですが……

89:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:45:41
>>87
逆が成り立たないなら
＞数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
＞ゴールから出発点に論理を進めることもできるはずです。
に反します。

従って「提唱」者さんのアドバイスに拠って考えれば
数学の定理じゃなくなるような気がします。

90:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:47:19
>>89
それは単に
＞数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
＞ゴールから出発点に論理を進めることもできるはずです。

が偽なだけ

91:84その1
06/11/19 17:50:04 BE:250061344-2BP(0)
>>88
漏れは「提唱者」ではないよ。
簡素な答えとしては>>90で十分なわけだが、>>83に根本的な誤解があるようだったので、
>>84で、自分が問題にしている命題は何かを意識させることで、>>83の注意を喚起しようと思ったのだった。
つまり、>>83は、「い⇒あ」が成り立たないということを気にしているけど、それは今回考えている問題には関係ないでしょ、ということ。

「数学は必要十分条件で論理を進めていきます。」
「何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。」
と言って逆が成り立たないような演繹は全く認めない方
のことをA氏と呼ぶことにしよう。

A氏の主張は実際には間違っているわけだが、A氏の主張に従う場合に問題になってくるのは、
「公理⇒（あ⇒い）」が成り立ち、「（あ⇒い）⇒公理」が成り立たないが、「あ⇒い」は定理といっていいのかどうか、ということだ。
だから、（い⇒あ）が成り立つとか成り立たないとか、そもそも関係ない。
しかし、>>83は、（い⇒あ）が成り立たないということを気にしていた。
じゃあ何で>>83が（い⇒あ）が成り立たない、ということを気にしていたかといえば、
>>83が「A氏の主張を受け入れたとすると問題になる」と思っていた点は、
『「あ⇒い」が片向きの矢印であって、「あ⇔い」でないこと』だったからだと思う。

92:84その1
06/11/19 17:51:05 BE:437607247-2BP(0)
では、>>83は何を誤解しているか。

普通に受け取るならば、A氏の主張は、

公理⇔（A⇒B）

という命題「A⇒B」は正当と認めるけど、

公理⇒（A⇒B）
かつ
「((A⇒B)⇒公理)が成り立たない」

という命題「A⇒B」は正当と認めない、ということだ。

>>83は、その主張を勘違いして、

そもそも「A⇒B」という形の命題は正当と認めない

と思ってしまっているから、
『「あ⇒い」が片向きの矢印であって、「あ⇔い」でないこと』なんかを気にしていたのだと思う。

93:60
06/11/19 20:22:54
>>81
>(-1)*(-1)全体で一つの無定義述語としてみるのはほとんど無理かと。

ということはA*B全体で一つの無定義述語としてみるのも無理なのでしょうか？
（A*Bは行列の積です）

94:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:30:58
行列自体は別の方法で定義されていて、演算はその後定義するもんだろ。
負×負は、負の数を定義する前に自然数の積が既にあるから紛らわしいが。

95:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:39:43
仮にA氏の言う数学を「同値数学」とでも呼びましょうかｗ

ふと思ったんだが、ある分野の数学者は確かに、「数学の基本的な定理はほとんど全て
ある少数の公理群のうちのどれかの命題と同値である」とかいう主張をしてるんだよね。

A氏はそういう主張を文字面だけ受け取って妙な誤解しちゃったのかな。
本来ここで言う「基本的な定理」というのは「中心的定理」というくらいの意味だろうけど。

>>91-92
前スレでA氏は
＞x, y, z≧0, x + 2y + 3z≧12
＞ならば
＞x + y + z≧4
＞である
を、仮定と結論は同値なはずだから同値な変形をすると結論が出てくるはずだ。さて、…
のような推論をちらっとしていたので
その時点では「逆は必ず真なり」な認識がされていたし
>>92の両者の区別はされていなかったと思います。

私が「提唱」者の言いたいことを誤解している、というよりは
善意で以って解釈すれば「提唱」者の主張は>>91-92になる、と言ったほうが近いかと。

96:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:56:32
>>93
「A*B」ってのは一つの行列ではありますが、
意味的には「行列」Aと「行列」Bを「掛け合わせた」「行列」、という意味で
そもそも一つの言葉じゃないので…

因みにこういう複数（一つ以上）の言葉を組み合わせて作った、
数学的対象を表す文字列のことは項 term というのが普通かと思います。
日常用語でも「このヒルベルトと言う偉大な数学者」とか
そういう二語以上の文字列を「用語」とは言いませんよね。
たしか言語学でもこういうのは「項」と言ったかと思います。

「A」と「B」は行列を値に取る変数記号というのが正しいかと思います。
無定義術語ではありません。

因みに行列の理論を形式化したい場合には行列は行列は「nm個の数の組」として
定義するのが普通で、そもそも無定義術語という扱いをしないと思います。
>>94さんが既に仰ってますが。

それともう一つ、言うの忘れてたんですが
>>65の無定義「述語」というのは無定義「術語」のtypoです（^_^;)
別に無定義用語でも構わないんですが>>79の用語法と混同するので別の言葉遣いをしました。

それで下の>>65は「未定義用語」がよく言われる「無定義術語」を意味してるのか、
と思ってつけたレスで、単に「定義してない項」「まだ定義してない（あとから定義する）項」
という意味ならば>>65にほぼ同意です。

97:１３２人目の素数さん
06/11/19 21:20:29
失礼
typoじゃなくて変換ミスですね。どうでもいいですが。
それから>>65に同意じゃなくて>>60に同意です。

そもそも公理というのは間接的に術語を「定義」しているわけで、
そういう（>>81の後ろ二段のような）認識がなければ、
定理φは公理Aと同値である、というときのφの意味内容がはっきりしません。
（つまり、「負×負は正」から公理が導ける、というとき、
整数がまだ定義されない状況で、ある数が「負」であるとはどういう意味なのだろうか、ということ。）
そういう意味でもA氏が>>91-92のような認識をしているとは私には考えがたいです。

---
ここからさらにどうでもいいこと

「同値数学」だと「負掛ける負は必ず正」のような命題は扱えなくなるとおもいますが
よく考えたらこういう命題はある定理の証明の一部として扱えば良い訳で
かえって中心的、本質的な命題しか扱えなくなる、というメリットはあるのかもしれないｗ
ただ、ψ1とそれより弱いψ2という二つの命題があったときに、ψたちがある性質を満たせば、
どの二つも強さの異なる無限個の命題φ1,φ2,.........,φn,.........があって
ψ1⇒φ1⇒φ2⇒φ3⇒........⇒φn⇒ψ2（∀n）が成り立つ、とかそういう定理があるので
超数学的議論をするときは扱えなくなる命題が出てくるのは確か。

98:提唱者
06/11/21 23:27:30
「数学の樹形図」という言葉を導入します。
根っこには公理、定義があります。
幹、枝、葉、これらは定理です。
ふつうの数学では根っこにab=baやa(b+c)=ab+acなどがあります。
この普通の数学の樹形図を、数学の樹形図Ａとします。

そして数学の樹形図Ａの葉を何枚かを取ってきて
それを根っこにして数学を再構築するとします。
すると新たな樹形図が出来るわけです。
これを数学の樹形図Ｂと呼びます。

つまりこういうことなんですよ。
ある人は-*-＝+を定理だと言う。
ある人は-*-＝+を定義だと言う。
食い違うのは当たり前なんですよ。
何故ならその人が採用している数学の樹形図が違うんですから。

樹形図Ａでは葉（定理）かもしれないけど
樹形図Ｂではそれは根（定義、公理）なんですよ。

これならみなさんでもわかるでしょう。

そしてどの樹形図を採用するかはその人の自由なんです。

つまり「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」なんです。

このカッコでくくった部分が、
前スレ8月中旬から約3ヵ月かかってやっとたどり着いた結論です。

99:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:37:01 BE:140659733-2BP(0)
>>98
3ヶ月どころか>>5までで既に語りつくされてると思うのだが。
それに、あなた樹形図とか言ってイメージだけで語ってません？

100:提唱者
06/11/21 23:44:09
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
このようなことを言った人はいますか？
このようなことが書いてある本はありますか？

多分私が最初ではないでしょうか？
もちろん、数学者はうすうすは感ずいていたことかもしれませんが、
言葉としては言ってないし書いてないでしょう。
言葉にしたのは僕が最初でしょう。

101:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:45:35
…

102:提唱者
06/11/21 23:57:27 BE:187546043-2BP(0)
このことを論文にしようと思うのですが、
どこに出せばいいのでしょうか？

103:１３２人目の素数さん
06/11/22 00:14:35
ネタでやっているとしか思えんｗ

馬鹿だ無知だと思っていたが、まさかここまでだったとはｗ

104:１３２人目の素数さん
06/11/22 00:20:15
あれ？おかしいぞ
ウンコ持ちの>>99と>>102（提唱者）は同一人物か？

　…自作自演かよｗ

ネタ乙

105:１３２人目の素数さん
06/11/22 01:05:39
公理主義という言葉も知らんのか。

106:１３２人目の素数さん
06/11/22 02:12:13
>>91
＞漏れは「提唱者」ではないよ。
>>102
＞名前：提唱者

＞beポイント:0
＞登録日:2006-08-14

前スレからの壮大なネタだったってことか？
それともこのスレだけで、前スレの「提唱者」は別に居るってこと？？
自演は>>102だけってことは無いと思うが。

諦めて白状しな。

107:１３２人目の素数さん
06/11/22 02:57:07
こうなっている筈だ、いつか誰かが証明してくれるだろう、どうしてこうなっている筈のことを理解できないのだ。
毎年のように数学教室に送りつけられる数十の「論文」ですね。

108:提唱者@teishosha
06/11/22 21:18:05
>>102は僕じゃないですね

109:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/22 21:19:40
a

110:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/22 21:20:48
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」

この文章の
「どこが」
「どのように」
間違っているのかを明らかにしてください。

111:１３２人目の素数さん
06/11/22 21:24:00
-1*(-1)=-1*(-1)+0
　　　　=-1*(-1)-1+1
　　　　=(-1)(-1+1)+1
　　　　=-1*0+1
　　　　=1

じゃだめ？

112:１３２人目の素数さん
06/11/22 21:46:45
>「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」

ユークリッドの平行線公理が絶対的に正しいというわけではなく、
幾何学体系を構築する上での仮定に過ぎない、
即ち平行線公理を平行線も交わるという公理に変えても無矛盾な幾何学体系が構築できる
ということを発見したのはガウスで、2世紀近くも前の人間。

現在の数学は「公理とは論理構築の仮定」であるという公理主義の立場をとり、
そのことが常識であり前提である。

つまり提唱者が
>「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
なんて主張したところで、
「だから？百年以上前から数学はそのことを前提にしているんですよ？」
と言われるだけ。
>言葉にしたのは僕が最初でしょう。
はとんだうぬぼれ。

113: ◆HZWpRMWGdI
06/11/22 21:54:45
トリップテスト

114:１３２人目の素数さん
06/11/22 21:55:54
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
と一字一句違わない発言となれば、こいつが初めてかもしれんがな。

それにしても、「そんなのとっくの昔に語られてる」という指摘なのに、
「どこが間違っていますか」と問うているのは、どういうことか。

115:１３２人目の素数さん
06/11/22 22:06:07
とりあえず記号論理学の本でも読みなさい。
哲学の人も読むんだから、文系でも無問題。

116:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/22 22:35:49
じゃあどうして
-*-＝+は定理だと言い張る人、
-*-＝+は定義だと言い張る人がいるんですか？
前スレのあの人達はいったいなんだったんですか？

「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
このことがわかって無かった人達だからこそ
定理だ、いや定義だ、と言い争っていたんでしょう。

代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。

117:１３２人目の素数さん
06/11/22 22:37:37
お前はつくづく阿呆だな
前スレにその理由は書いてあるぞ

118:１３２人目の素数さん
06/11/23 01:04:33
>>116
>>115

119:１３２人目の素数さん
06/11/23 02:16:21
>>116
> 代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
> その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。
群環のごく普通の定義から出発すれば、それがみちびかれるから定理だと言っていただけ。
それを定義だとする人（たち）は、
「じゃ、そこから極普通の群・環の定義とされている性質を導け」という要求にこたえることができていなかった。

120:１３２人目の素数さん
06/11/23 03:26:37
>>110 >>116
あなたがその「提唱」をするときの数学の理解が
非常に貧しいものだから本当に理解して書いているか？と突っ込まれているだけです。

あなたは>>5みたいなことじゃなくて
まるで「負×負は正」だけから整数論の公理が
逆に全て導出できるかのような主張をしていたわけですが。

前スレでの
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
が間違いだということはわかりましたか？
これを正しいと思って「定理と定義の交換可能性」とか言われても
何かとんでもないことを考えてるとしか思えないのですが。

121:１３２人目の素数さん
06/11/23 03:37:40
＞代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
＞その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。
順序体とか群とか環について勉強すりゃわかりますよ。

一般の環における「(-a)(-b)=ab」だとか
順序環における「a<0、b<0ならばab>0」は定理だからです。

＞「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
＞このことがわかって無かった人達だから
そうではなくて、あなたとは考えている問題がそもそも少し違います。お分かりでしょうか。

整数を定義する前に、一般的にある元が「負」であるとはどういうことかとか
考えようとしたら、こういう問題意識になるのはごく自然です。

前スレでは「負掛ける負は正」という命題の具体的内容として、
それぞれ少しずつ違ういくつかの命題が考えられていたんだけど
その違いは理解されてますか。

122:１３２人目の素数さん
06/11/23 09:43:38
>>111
だめ。
マイナス元を表す記号と「マイナス」演算子の違いを理解できず
機械的に記号を並べているだけ。

123:１３２人目の素数さん
06/11/23 11:45:22
以上、前スレのグダグダをダイジェストでお送りしました

124:１３２人目の素数さん
06/11/23 11:56:06
>>123
そうなんだ。そこが2chの悪いところ。
次々と新参者が参入して、前の書き込みを確認することなく同じように話を蒸し返す。
書いている本人はその話題に関して書き込むのは自分が初めてだと思い込んでいるから始末に負えない。

125:１３２人目の素数さん
06/11/23 18:53:15
だいたい５０レス位で繰り替えすよねｗ

126:１３２人目の素数さん
06/11/23 21:09:54
ここの場合新参者が話を蒸し返してるんじゃなくて、プライドだけがいっちょまえに高い不勉強者が
「自分の高邁な意見、見識にみな賛同するべき」
なんて喚いてるだけなんだがな。

生憎知識が無さ過ぎて窘めるレスの意味も理解できないからタチが悪いな

127:１３２人目の素数さん
06/11/24 09:33:44
>>1
＞-×-＝+は定理なのだろうか定義なのだろうか

一方で、分配法則は定義なのか定理なのか、という問いは目にしないな（ｗ
例えばロビンソン算術では、分配法則は定理になる。

128:１３２人目の素数さん
06/11/24 09:43:54
>>127
＞例えばロビンソン算術では、分配法則は定理になる。

うおっ、いきなり大嘘書いちまった。
実は定理にならねえ（汗

帰納法を導入したペアノ算術では、定理になる。

129:１３２人目の素数さん
06/11/24 12:47:05
>>127-128
その話題も前にあったでしょ。

130:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 15:06:49
>群環のごく普通の定義から出発すれば、それがみちびかれるから定理だと言っていただけ。

ということは
「<<<群環の分野では>>>-*-＝+は定理である」
というべきであり
「-*-=+は定理である」
というべきではないと考えますがどうでしょうか？

>>119
>>121
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい

これについてはどうお考えでしょうか？

131:１３２人目の素数さん
06/11/24 15:46:09
>>130
前提となるものを明示すべきだという意見は前スレから言われてるわけで。
にもかかわらず、そこにある(a)~(c)は何を前提として判断するのか不明な上に、
「-*-=+」は具体的にどんな命題かという>>121の問いにも触れていない。

132:１３２人目の素数さん
06/11/24 16:29:51
<<<群環の分野では>>>

おいおい分野ってｗ
いい加減基礎的な知識くらいは身につけて来いよ池沼ｗ

133:１３２人目の素数さん
06/11/24 16:33:21

<<<提唱者 ◆3j.9eex9S6の理解の及ばない分野では>>>

134:１３２人目の素数さん
06/11/24 17:16:35
群環なのか群と環なのか

135:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:19:17
>>131
>(a)~(c)は何を前提として判断するのか不明

なるほど。前提となるものが明らかでないと問いに答えられない、
つまり前提となるものによっては答えは変わる、こういうわけですか？

これはまさに私の言っていることではないですか？
「樹形図（前提）が定まらなければ
ある命題が定理なのか定義なのか公理なのかを決めることは出来ない」

136:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:22:34
ということはあなたは

(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい

のＣを選んだと言うことになりますけどよろしいでしょうか？

137:１３２人目の素数さん
06/11/24 21:25:00
>>136
定理でも定義でもよい、の「よい」の意味が不明。
そして、前提のあやふやさに加えて、「-*-=+」がどんな命題を指しているのかも
いまだに明らかにしていないな。

138:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:30:05
(c)-*-=+は、定理としたとしても定義としたとしても、数学を構築できる

これなら答えれますか？

139:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:32:28
＞「-*-=+」がどんな命題を指しているのかも
＞いまだに明らかにしていないな。

これは小学生でも知っている、負掛ける負は正という命題ですよ。

140:１３２人目の素数さん
06/11/24 21:42:45
>前スレでは「負掛ける負は正」という命題の具体的内容として、
>それぞれ少しずつ違ういくつかの命題が考えられていたんだけど
>その違いは理解されてますか。

141:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 23:53:25
>その違いは理解されてますか。

どうして結論を言わないんですかね。
どうしてそうやって引き伸ばそうとするんですかね。
私が理解しているかしていないかが
結論を言う言わないに関係あるんですかね。
まあ、言いたくないだけなんでしょうけど。

(a)-*-=+は定理である
だと思っていたのが
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
に変説せざるをえなくなったんでしょ？
だから答えられないんでしょ？
それならそれで別にいいですけど。
もう書き込みをすることも無いでしょう。
それではさようなら。

142:１３２人目の素数さん
06/11/24 23:54:59
逃走宣言

143:１３２人目の素数さん
06/11/25 01:59:40
負×負＝正にならないときだってある。
どんな負の数だ？

144:１３２人目の素数さん
06/11/25 04:59:08
>>135
> なるほど。前提となるものが明らかでないと問いに答えられない、
> つまり前提となるものによっては答えは変わる、こういうわけですか？
「つまり」とはなんですかね？
問に答えられるのは、前提が明らかな場合である、
ということをいっているだけであり、
前提となるものによって答えが変る、などとはひとことも言っていないようですが。

粗雑な議論だ。

145:１３２人目の素数さん
06/11/25 06:40:28
とりあえず半群の公理（結合法則だわな）だけで

Ｉ．a((bc)(de))=(ab)((cd)e)

が証明できるわけだが、ひとつこの　I．から

結合法則　

II．(ab)c=a(bc)

を証明してみてはくれないか？

146:前スレの者
06/11/25 07:19:02
まだやってたかwww
ちょっとしか見てないが>>1が何を主張したいのか全然わかんねwww
まぁ何の迷いもなく定理っていう奴よりかマシだがww
この前も、とある奴が(-1)*(-1)=1の証明を自慢毛にしてたなー。
『定義と勘違いしてる人多いけど定理だよ』
↑この部分はマジ腹たったwww

147:１３２人目の素数さん
06/11/25 07:32:17
>>130
＞「-*-=+は定理である」

-は演算子を表すただの記号であって、掛けたり足したりする対象じゃないので…
「-*-=+は命題ではない」というのが一番正確かと……
こういうわけのわからない表現をしているあなたが言えた台詞じゃないです

「(-a)(-b)=ab」なのか、「a<0、b<0ならばab>0」なのか、どっちともとれる表現なので
どっちかに限定してその表現を使ってください。
両方とも同じじゃないか、と思うかもしれませんが、有限体なんかでは
前者の命題は意味を持ちますが後者の表現は意味を持ちません。

aやbの動く範囲が有利整数環Zなのか一般の環なのか順序環なのかといったことは
その後で考える事になります。

因みに「群環」というのは群ともただの環とも違う一つの対象なので
抽象代数学の分野において、とか言うべき。

>>135
違います。

具体的に言うと実数の話なのか整数の話なのかもっと広い話なのかわからん、ということです。

148:１３２人目の素数さん
06/11/25 12:58:15
これは有理数の範囲？複素数の範囲？

149:１３２人目の素数さん
06/11/25 13:11:12
おれは自然数（または正の有理数、正の実数）の掛け算を整数へ
どう拡張するのか、という話だと思っていたのだが、どうも違うらしい:-)

150:１３２人目の素数さん
06/11/25 13:18:39
「負掛ける負は正」から逆に公理が出てくる、
とか言われりゃ単純に>>149みたいな話だとも考えにくいからな

151:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/25 13:40:36
定理と定義の交換可能性については忘れてください。
また、数学は必要十分条件のみでの変形であるということも忘れてください。
前スレでその間違いは認めたはずです。

新たに導入した数学の樹形図という概念でものごとを考えてみてください。
「-*-＝+は定理である」
とは、ある樹形図でのみの話であって
別の樹形図では定義にもなるし、さらに別の樹形図では公理にもなる
こういう話なんですよ。

そういえば前スレでは
「定理である」とか「定義である」とか
断定していたレスが多かったのですが、
このスレになってからは、だんだんとそういうレスは減ってきましたね。
確実にパラダイムシフトしてると感じます。

152:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/25 13:44:53
現に

(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい

から選ばせようとしてもなかなか選ぼうともしませんよね。
このスレになってから(a)か(b)を選んだ人はまだ一人もいませんね。

153:１３２人目の素数さん
06/11/25 14:01:48
＞前スレでその間違いは認めたはずです。
そうだったんですか。そういうレス無かったような…

154:１３２人目の素数さん
06/11/25 14:33:55
お前もう書き込みしないんじゃなかったの？

155:１３２人目の素数さん
06/11/25 17:10:48
＞＞<<<群環の分野では>>>

多分鄭瀟洒ｸﾝは群の定義も環の定義も知らない
例えば環では２つの演算が定義され、
そのうち一方は群になっていることも
知らないから、群環、軍艦とウルサイ。

ちなみに数学では「群環」という言葉は
群および環とは別にあるが、この意味も
当然知るまい

156:１３２人目の素数さん
06/11/25 17:23:52
つうかさ、定理とも定義とも言える、というレスは前スレから既に結構あったぞ。
なんで>>151が「樹形図」だとかわけわかんない言葉使って
自分の手柄だとか言ってるのか知らんが。

157:１３２人目の素数さん
06/11/25 19:10:40
いや定理だと言い張る奴はいたけど定義だと言い張る奴はいなかったぞ
定義だと言い張る奴は定理の証明も理解した上で不自然だから定義にした方が良いと主張していた
つまり、どちらかというとどちらでも良いの立場に近い

158:１３２人目の素数さん
06/11/25 19:13:33
>152
俺はbだぞww
理由はそっちのがシックリくるからだ

159:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/25 20:58:02
前スレの221
2006/08/15(火) 04:12:10
＞公理Ａと定義Ｂから定理Ｃが導かれるとする。
＞このとき
＞定理のＣを定義にしてしまうとする。
＞つまり
＞公理Ａと定義Ｃとする。
＞そうするとそこから定理Ｂが導かれるのではないのだろうか？
＞つまり-×-＝+というのは定義としてもいいし、定理として導いても良いのではないだろうか？

この日が来るまでこの板の人は誰一人として、定理でも定義でもいいとは言っていなかった。
この日を堺にパラダイムがシフトしたのを感じます。
もちろんこの時には私は数学とは必要十分条件での論理の変形であると
勘違いをしておりました。
が、その勘違いから3ヶ月の月日を経、生まれた理論が樹形図理論です。

160:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/25 20:59:04
私は8月の頃には、一つの樹形図内で定理と定義を交換したりできないものか
と考えていたのですが、
11月に入り、考え方を変えて、樹形図はなにも１つである必要はない、
自分の好きな樹形図を新たに作ればいいだけの話ではないか、
と気付いたのです。
-*-＝+が葉（定理）の樹形図、
-*-＝+が根（定義、公理）の樹形図、
いろんな樹形図、
好きなものを作ったらいいじゃないか、
わざわざ同一樹形図内で定理と定義を交換する必要は無く
新しく作ればいいではないか。
これが3ヶ月かけてたどりついた結論です。
そしてそれの意味するところは
「ある命題が定理であるか定義であるか公理であるかは樹形図次第」
つまり、
「●●は定理である」
という文章は数学上存在し得ず、
「私の採用する樹形図では、●●は定理である」
などのような文章が正確な文章となります。
ですから、
「代数の分野では、-*-＝+は定理である」
という文章なら存在しうるが、
「-*-＝+は定理である」
という文章は存在し得ない。
何故なら樹形図が指定されていないから。
おわかりでしょうか。

161:１３２人目の素数さん
06/11/25 21:12:20
>>160
> 「-*-＝+は定理である」
> という文章は存在し得ない。
といいながら、その直前では

> (a)-*-=+は定理である
> (b)-*-=+は定義である
> (c)-*-=+は定理でも定義でもよい

> から選ばせようとしてもなかなか選ぼうともしませんよね。
などというような罠をしかけている。卑怯なやつだ。

公理論の研究の過程で論理構造を樹形図で示すなどというのも既になされたこと。

で、結局のところ何をいいたいのか？

162:１３２人目の素数さん
06/11/26 07:08:51
前スレから続く壮大なネタなのかな？
>>102とかみてもそうとしか思えないのだが…

>>160
＞「私の採用する樹形図では、●●は定理である」
単に「私の採用する公理系では」
「この論文での公理の定め方の下においては」

でいいんじゃないですか。こう表現すれば
実用性のない無駄な用語を新しく定義する必要がなくなりますよ。

163:１３２人目の素数さん
06/11/26 13:24:01
数学と物理と工学で、内容的には同じなのに、
歴史的経緯から用語や議論の仕方が違うというのは良くある。
数学の分野間でもそういう事が起こる事がたまにある。
でもやっぱり、それは混乱の元だわな。

誰の小説だったか、社会学者と教育学者の不毛な議論を皮肉って
「新しい用語を勝手に作って話をまぜっかえす」
という台詞があったが。

164:１３２人目の素数さん
06/11/26 13:57:37
>>163
> 数学の分野間でもそういう事が起こる事がたまにある。
数学の場合は、20世紀初頭の数学の危機の時の有限の立場や、直感主義といった
若干の解釈の余地によるブレがあったけど、基本的には定義が厳格であることで
殆ど混乱は生じてきていないよね。

> 誰の小説だったか、社会学者と教育学者の不毛な議論を皮肉って
> 「新しい用語を勝手に作って話をまぜっかえす」
> という台詞があったが。
学術的論議が定義のぶつけあいでしかないようなところがあるからね。
数学でいう定義とそこのところが全然違う。
「提唱者」が今騒いでいる「「定義」の定義」や「「定理」の定義」もそれに類しているから、
結局それによって何を言いたいのか何も伝わってこない。

165:１３２人目の素数さん
06/11/26 14:11:38
メタとそうでないものをごっちゃにして選択肢にあげるからタチが悪い
しかも基礎的な知識がないからその馬鹿馬鹿しさに気付きもしない

ただ同意と賞賛のみが欲しいメンヘラ臭がプンプンするだけ

166:１３２人目の素数さん
06/11/26 15:11:10
＞メタとそうでないものをごっちゃにして選択肢にあげるからタチが悪い
こういう書き込みが「屁理屈だ。こいつは逃げている」としか

167:１３２人目の素数さん
06/11/26 15:12:22
途中で送っちゃった。

しかも奴には、
＞メタとそうでないものをごっちゃにして選択肢にあげるからタチが悪い
こういう書き込みを見ても「屁理屈だ。こいつは逃げている」としか映らない。

168:１３２人目の素数さん
06/11/26 16:19:21
>>164
×直感主義
○直観主義

Intuitionismはヤマ勘主義とはちゃいまっせ

169:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 18:13:28
前スレで私が
「矢野健太郎という数学者が-*-＝+は定義だと書いていた覚えがある」
と書いたらものすごい反発がありました。
「そんなはずはない、ありえない」などのような。
つまりこの人達は
「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
と思っていたと言うことでしょう。

「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
についてはどう思われますか？
私の樹形図理論と真っ向からぶつかる見解ですが。

170:１３２人目の素数さん
06/11/26 18:17:47
>>169
全称肯定の否定は全称否定ではないのだが、
あなたのそういう勝手なまとめが話を混乱させている。

171:１３２人目の素数さん
06/11/26 18:28:32
阿呆の権威主義にダシにされるんでは矢野先生があまりに可哀想だ

172:１３２人目の素数さん
06/11/26 19:02:43
＞どう思われますか？
それは「公理系に関係なく」定理であると主張していた人に聞いて下さい。
そういう人は多くないと思いますが。

前スレ676に対して反発があったのは、数学のことを良く分かってなさそうな人だから
多分矢野健太郎の主張を何か誤解してるんじゃないのか？
その文章の前後の文脈はどうなっているのだろうか？と思った人が多かったからです。
そう思われるだけのとんでもないレスがありましたから。

大体矢野健太郎の本に
「公理系の取り方によっては」定義になるなんて書いてましたか？
公理系によって定理にもなり得るなんていう事は書いてなかったでしょ。
>>169のような受け取り方なら矢野健太郎は
「いかなる公理系の取り方の下でも」定理になる、と言っていたことになりかねません。

でも実際は多分、単に
「定義なのだから、どうやって証明するのかなどと考えるのは無意味である」
とかそういうことが書いてたんじゃないですか？

「負掛ける負は正」のような命題は公理とほぼ同レベルの基本的な命題だから、
「公理系を指定せずに、ただ「負かける負は正」を証明しようと考えても
あまり意味は無い」（前スレ675）という意味で書いたんじゃないか、と思いますけどね。私は。

173:１３２人目の素数さん
06/11/26 19:13:31
>>169
>「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
>と思っていたと言うことでしょう。

さすがに数学を勉強してる奴でそんな風な主張する奴はいないし、前スレで明確にそう主張した奴もおらん。
お前のお馬鹿な思いこみ。

174:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 20:52:51
ということはみなさんは
定理であるか、定義であるか、
「どっちであるか」
ではなく
「どっちが好きか」
の話をしていたというわけですね。
どっちの公理系が好きかの話をしていたんですね？

これは前スレにも出てきた話ですが
だったら代数が得意な人達は
「定理である」なんて言わず
「定理である公理系のほうが私は好きだ」
と言うべきですよね。

どうやらとんだ茶番に付き合わされてしまったようです。

175:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:07:24
>>174
そう。その茶番があなたの提唱。
付き合わしてしまったようです、が正しい言い方。

176:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:14:09
どこが
”ということは”
なのかがサッパリ理解不能
お前の考察には論理というものが存在しないのか？

177:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 21:15:31
それにしても、「どっちが好きか」の議論でどうしてあんなに反発があったのだろうか？
好き嫌いの話というのは普通「へぇ、そうなんだ」で終わるはずである。
はずなのであるが、

「矢野健太郎という数学者は-*-＝+が定義である公理系が好きらしいよ」
「ええ？そんなことは信じられない、君の記憶違いではないのか？出典をあきらかにせよ」

こんな会話ありえます？
誰が何を好きかなんてその人の自由でしょ。

やはり、
「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
と思っていた人が何人かは確実にいたはずです。
でなければあんな驚かれ方をされるはずがありません。

178:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:19:26
誰が「どっちが好きか」の議論だったなんていっている？
お前が勝手にまとめているだけじゃん。

179:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:25:36
>「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
>と思っていた人が何人かは確実にいたはずです。

そんな奴いねぇってのｗ

180:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 21:27:09
>>178
>誰が「どっちが好きか」の議論だったなんていっている？

ということは、あなたは
「公理系に関係なく-*-＝+という命題は定理か定義か必ずどちらかに定まる」
という見解ですか？
とするなら、あなたは定理と定義、どちら「である」とお考えですか？

181:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 21:30:34
>>179
>そんな奴いねぇってのｗ

じゃあ何故あんなに驚いたんですか？
他人が何を好きかでそんなに驚くものなんですか？

182:179
06/11/26 21:30:41
>「公理系に関係なく-*-＝+という命題は定理か定義か必ずどちらかに定まる」
これにYESなんて答える馬鹿がいるかよｗ

>とするなら、あなたは定理と定義、どちら「である」とお考えですか？
お前質問が循環してるのわかってる？

183:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:56:08
>>180
あなたには数学について話をする素養も能力も今のところないようです。
いや、普通の論理的な話を進める力もないのかもしれない。
周りの人から「どうして、そう決め付けるの」と言われ続けているでしょう。

184:１３２人目の素数さん
06/11/27 08:57:53
>>174
「みなさん」と「公理系に関係なく」定理であると主張していた人」では
指すものが違います。きちんと区別して話して下さい。
「自分」と「自分以外」という纏め方をされても困ります。

どのレスが「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」といっているのか。
具体的に前スレのレスを指定してくれないと。

＞どうしてあんなに反発があったのだろうか？
多分、匿名掲示板だからといってウソばかり書いてた人が居たからです。

＞「どっちが好きか」の議論
通常どっちの公理系がとられるか、の議論だったかもしれないでしょ。

位相空間で閉包作用素の満たす性質(A∪B)^(-)=A^(-1)∪B^(-)
これは公理か定理か？といわれたら公理にもとれるが、
オーソドックスなのは定理として扱う方法なので、雑な答え方では「定理である」
と言い切ってしまうかもしれないし、定義だと言い切っても間違いじゃない。

185:１３２人目の素数さん
06/11/27 20:35:10
>>181
世の中の殆ど全ての人が嫌うようなものについて「好き」と発言したら、驚くと思うがな。
(-*-＝+がそのようなものか、は別として。)
大体、矢野氏の話が初めて出てきたレスの内容は
「矢野氏は-*-＝+が定義である公理系が好き」ではなく
「矢野氏の本によると-*-＝+は定義だ」だからな。
他の人間の議論がどうであれ、少なくともこいつは、好みについての議論だとは思わずに発言してるだろ。

186:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/27 22:38:14
>>184
＞どのレスが「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」といっているのか。

170 ：１３２人目の素数さん：2006/05/21(日) 14:52:41
>>156
それは、書いた人が一般の人向けに書いたんじゃないの？
数学的には、(－1)(－1)＝1　は、紛れもなく「定理」。
しかも、実数だけでなく、一般の体に対して成立するよ。

とりあえず一個見つけてきました。
探せばもっとあると思いますが疲れてますんで。
この人は
「数学的には紛れもなく定理」
と言っていますよ。
「代数学では紛れもなく定理」
というべきなのに。
この方は、数学にはいろいろな公理系（樹形図）があっていいことを
ご存じないようです。

187:１３２人目の素数さん
06/11/27 23:22:15
というかよく考えたら公理は定理に含まれるような…

188:１３２人目の素数さん
06/11/27 23:29:15
そりゃそうだ。演繹操作０の定理だ。

189:１３２人目の素数さん
06/11/27 23:29:42
>>186
> この人は
> 「数学的には紛れもなく定理」
> と言っていますよ。
> 「代数学では紛れもなく定理」
> というべきなのに。
あなたが「いうべき」と言っている後者から前者がでてくるので
特に変なことを言っているわけではないですね。
どうも十分条件、必要条件の感覚が普通の人と違うようだ。

ちょっと細部の助詞の使い方を微妙に変えているのは、無意識なのかな？

> この方は、数学にはいろいろな公理系（樹形図）があっていいことを
> ご存じないようです。
当面の話題ではそこまで言及する必要性を感じなかったのかもしれないし。

190:１３２人目の素数さん
06/11/27 23:55:13
>>186
>「代数学では紛れもなく定理」
>というべきなのに。

本当に、そう言うべきか？
お前は「いろいろな公理系（樹形図）があっていい」という立場なのに、
別の公理系から環や体など代数学の対象を構築できる可能性は考えていないのか？

>>187
それは前スレでも指摘されていたが、公理を直接引用するだけの定理は除外して考えているのだろう。
提唱者がそのあたりを意識して「定理」という言葉を使っているかは不明だが。

191:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/28 00:01:27
>あなたが「いうべき」と言っている後者から前者がでてくるので
>特に変なことを言っているわけではないですね。
>どうも十分条件、必要条件の感覚が普通の人と違うようだ。

何を言っているのかさっぱりわかりません。
数学⊃代数ですよね。
代数でしか成り立たないことを数学全体で成り立つかのように
言うことがおかしいと言っているんですけど。

もう少しわかりやすく何がいいたいか言ってもらえませんか？

192:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:04:17
>>191
> 何を言っているのかさっぱりわかりません。
でしょうね。

> 数学⊃代数ですよね。
だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。

193:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:08:29
「代数でなりたつ」とか「代数の分野でなりたつ」という表現に対する解釈が違うのかな？
提唱者はどんな意味で使っているのか明示したほうがいいかも。
といっても、詳しい説明を求めてもまともなレスが返りそうにないが。

194:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:10:18
そもそも代数学ってどういうものかわかってなさそうだしね

195:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:11:03
>>191
> 代数でしか成り立たないことを数学全体で成り立つかのように
> 言うこと
前スレの170の人は、そんなことはいっていないですね。ちゃんと読みましょう。

196:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:20:26
>>192
> >>191
> > 何を言っているのかさっぱりわかりません。
> でしょうね。
> > 数学⊃代数ですよね。
> だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。
もうすこし敷衍すれば、普通は、つぎのように会話が進むんですよ。
「数学的には成立するんですよ」
「え、どの分野でです？」
「代数ですよ」
「なるほど」

あなたの会話はこうです
「数学的には成立するんですよ」
「うそです」
「でもすくなくとも代数ではそうなっているんですよ」
「だったら、どうして最初から代数っていわないんですか。
　あなたは数学のどの分野ででも成立するっていったのですよ」

197:１３２人目の素数さん
06/11/28 02:04:46
そもそも、前スレ170だって、
抽象代数の分野で「公理系に関係なく」「必ず」定理であるとは言ってない。
「」内は誰かが勝手に付け加えた文言だろ。

任意の次元のベクトル空間の基底の存在だとか
或いは中間値の定理であるとかは、
原理的には公理としてとれるような命題だが
「数学的には定理である」と言って全然問題ないわけで。

198:１３２人目の素数さん
06/11/28 02:28:54
>>197
基底の存在定理は原理的には公理でもいいけど、中間値の定理もそうなの？

199:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/28 07:39:31
>>192
> 数学⊃代数ですよね。
>だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。

「代数の分野で-*-＝+が定理であるならば数学の分野で-*-＝+は定理である」
あなたが言ってるのはこのことですか？

しかし数学の中には-*-＝+が定義である数学もあるのですよ。
ですから、
「代数の分野で-*-＝+が定理であるならば数学の分野で-*-＝+は定理である」
これは文章としては間違ってはいないけど、
私の言いたいことを網羅していない文章ですね。

樹形図Ａでは-*-＝+は定理である
樹形図Ｂでは-*-＝+は定義である
この２つの樹形図ひっくるめて数学なんですよ。
数学の集合の中では「-*-＝+は定理である」と「-*-＝+は定義である」
２つ同時に共存できてしまうんですよ。
あとは自分で考えてみてください。

200:１３２人目の素数さん
06/11/28 11:01:11
>>199
お前は「数学の分野で～」を「全ての数学で～」のように解釈する立場なんだな。
>>190の発言は、お前のその立場に合わせた発言なので、
その解釈を取るなら、お前は>>190の質問に答えなければならない。
「数学的には紛れもなく定理」が許容できないのに
「代数学では紛れもなく定理」が許容できるのはなぜか。
複数の樹形図の存在を意識すべきだと言っておきながら、
一方でそれに反する発言をしていることについて、説明せよ。

201:１３２人目の素数さん
06/11/28 18:47:05
>樹形図Ａでは-*-＝+は定理である
>樹形図Ｂでは-*-＝+は定義である
>この２つの樹形図ひっくるめて数学なんですよ。

違う、ひっくるめたらメタになる。

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