【定理？】負×負＝正【定義？】
at MATH
1:ストライクフリーダム
06/11/04 23:55:04
-×-＝+は定理なのだろうか定義なのだろうか
2:はじめての2ゲッツ
06/11/05 01:58:07
いきなり答えを書いてしまおう：
通常の計算法則が負の数についても成り立つことを認めれば、そうなってなくてはならない
だから定理
0=((+1)+(-1))*((+1)-(-1))=(+1)*(+1)-(-1)*(-1)
3:ストライクフリーダム
06/11/05 05:55:20
それって分配法則を使ってますよね。
分配法則から導かれた定理なのか、
分配法則を成り立たせる為の定義なのか
が問題になっているのです。
>通常の計算法則が負の数についても成り立つことを認めれば、そうなってなくてはならない
>だから定理
の文章を
通常の計算法則が負の数についても成り立つことを認めれば、そうなってなくてはならない
だから「定義」
と変えても文章としては成り立ってますよね。
つまり>>2さんの説明では説明になってないと思うのですが。。。
4:１３２人目の素数さん
06/11/05 06:31:51
つまり定理でも定義でもどっちでもいい、って事なんじゃないかと、、
だいたい整数みたいな直観的に明らかな対象に対して
定義も糞もねえよ、という話なんですが。
日本の中学生用の数学教科書では定義っぽい扱いをしてるかな。
「〜が成り立つことを認めるのなら、そうなってなくてはならない」
という場合は一般にどっちでも良い場合が多いかと。
ただ、この場合はどっちからスタートしても同じですが、
「〜が成り立つことを認めるのなら、そうなってなくてはならない」と
「そうなっているなら、〜が成り立つ」
の二つで証明の難易度が全然違ったり、そもそも片方が言えないこともあるので
そういう場合は必然的に定義か定理かは決まっちゃいますね。
>>1は、定理か定義かどっちか片方しか認めてはいかんと考えてるんですか？
5:１３２人目の素数さん
06/11/05 08:03:00
>>3
あんたが整数とその上の乗算をどう定義しているかによる。
よくある「整数とその上の乗算」の定義は
・整数は自然数に加算に関する逆元を添加したものである。
・整数上に乗算を結合則、分配則を満たすように拡張する。
というものだから、(-1)×(-1)=1 は定理。
一方、例えば他の定義として
・整数は自然数に加算に関する逆元を添加したものである。
・整数上に乗算を結合則、可換則、(-1)×(-1)=1 を満たすように拡張する。
を採用したのであれば (-1)×(-1)=1 は定義。
6:１３２人目の素数さん
06/11/05 08:26:37
誰かe^iπ =-1は定義ですか？それとも公理ですか？
とか言ってスレ立てないだろうかｗ
これとほとんど同じっしょ
7:１３２人目の素数さん
06/11/05 12:53:52
ココまでで、答えが出尽くしている感もあるが…
要するに前スレでは、書き方が不味かったから煽られただけ。
それを自覚して丁寧に論議セヨ。>>1
8:１３２人目の素数さん
06/11/05 15:25:40
あれだよ、解析学の一番最初にやる「実数の公理系」の話と同じじゃん。
歴史的にどっちが先だったかという議論は有用だと思うが。
9:はじめての2ゲッツ
06/11/05 17:41:13
8が言っているのは、４つ（だったっけ？）の同値な命題のどれを
連続性の公理に選んでもいいってことだろうと思う。その透りで、この場合も好みとか歴史の問題。
初心者への解説ならこっちのほうがわかりやすいと思って書いただけ
10:１３２人目の素数さん
06/11/05 21:55:41
これって似たようなスレいくらでも立てられるな
1+1=2は定理ですか？公理ですか？
とか
11:１３２人目の素数さん
06/11/05 22:22:20
>>10
だからこそ、この部分の哲学的論議を数学教育で一切触れていないってことが
如実にわかる事項だよな。
数学者は口頭だけで伝授してたのかいな？だとしたら、数学はある意味独学
不可能？
12:１３２人目の素数さん
06/11/05 22:45:08
>>11
数学教育は数学の教育、哲学の教育じゃないだろ。
乙。
13:１３２人目の素数さん
06/11/05 22:47:40
哲学？
規約ですか？論理的帰結ですか？ってことかいな。
大昔は兎も角、今の数学者はそういうことは考えないと思うよ。
どっちでもいいんじゃない？って人がほとんどかと。
14:１３２人目の素数さん
06/11/05 22:54:36
>>1
> -×-＝+は定理なのだろうか定義なのだろうか
(-1)x(-1) ＝ 1 が 『 可換環の公理系 』 から導かれますので 『 定理 』 です。
15:１３２人目の素数さん
06/11/05 23:16:34
>>14
定理でしたか。
16:１３２人目の素数さん
06/11/05 23:25:06
>>12-13
数学の教育たって、今の日本の教育じゃ延々先に進むんだけど、応用数学は
下に見られる傾向にあるからｗ
立ち戻って数学の意味を考えるが必要なんじゃないの？それをやらないから、この
数学板に多数見られウンザリさせられるようなモノが延々と…。
Wikiにも「数学哲学」って項目…英語もドイツ語もフランス語も中国語もあるんだけど
日本語に項目が無いってのが何かを暗示しているかもなｗ
17:ストライクフリーダム
06/11/05 23:29:42
>本当は「マイナス掛けるマイナス」をどう決めようと構わない。
>問題は、その様な数学が何かの役に立ったり、それ自身が美しかったり、
>他の方面への広がりを見せたりするか否かで、値打ちが決まる。
>それが数学でいう約束、即ち定義の正体なのである。
>この場合には、結果を「プラス」と決めるのが「美しい」のである。
この「虚数の情緒」という本、本屋で立ち読みしてきました。
確かにそう書いてありました。
あるひとは定理といい、ある人は定義という。
ということは前スレで「定理と定義の交換可能性」を言っていた人の意見が
結局は正しかったということになるのでしょうか？
18:ストライクフリーダム
06/11/05 23:30:52
ようするに-×-＝+が定理なのか定義なのかの議論は
>たとえば、三辺の長さが等しい三角形を正三角形と定義すれば
>正三角形の角は全て等しい、というのは定理になるし
>角が全て等しい三角形を正三角形と定義すれば
>正三角形の三辺は全て等しい、というのは定理になる。
がすべてを物語っている、ということになるのでしょうか？
19:１３２人目の素数さん
06/11/05 23:52:52
>>16
普通は数理哲学って言うような
20:１３２人目の素数さん
06/11/06 12:14:25
負の数×負の数
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
前スレ
21:１３２人目の素数さん
06/11/06 12:19:23
普通の教育課程では小学校で
自然数＞正の有理数（分数・小数）＞正の実数（ものの長さの表現程度の意味）
と進む。
自然数で既に分配則が成り立っている（もっと言えば分配則は掛け算の定義を式で書いたもの）。
だから自然数での掛け算を負の数にも拡張する、というのであれば、分配則が先にくる。
一方で、正の実数でのグラフを負にまで拡張したと考えた場合は、
負×負＝正が視覚的に分かりやすい。
22:１３２人目の素数さん
06/11/06 22:32:13
>>21
それは後付けだろ。
自然数で成り立っていた分配則が、偶然整数で構成してみた加法と乗法でも成り立っていた
から、それを使っているだけ。
23:ストライクフリーダム
06/11/07 05:51:13
>>4
＞>>1は、定理か定義かどっちか片方しか認めてはいかんと考えてるんですか？
いえ、どちらにもなりうると思ってます。
ところで
「定理である」と言っている人は「絶対に定理であって、絶対に定義ではない」
「定義である」と言っている人は「絶対に定義であって、絶対に定理ではない」
という立場なのでしょうか？
だとするなら
>>18で引用した三角形の例はいったい、なんなのでしょうか。
24:１３２人目の素数さん
06/11/07 06:31:19
>>22
その理屈からすると、分配則が成り立たない演算でも別に構わないって事だよな？
自然数の掛け算の拡張でそんな演算はいくらでも作れるけど、
なんでそっちを使わないの？
25:１３２人目の素数さん
06/11/07 07:53:33
>>24
現実とそぐわないから。
26:１３２人目の素数さん
06/11/07 13:50:21
>>25
どうせ言うなら「自然が分配則を欲していた」とか言えよｗ
27:１３２人目の素数さん
06/11/07 16:11:00
>22
> 自然数で成り立っていた分配則が、偶然整数で構成してみた加法と乗法でも成り立っていた
そうかなあ？ 自然数からGrothendieck Ringを構成して有理整数にした気がするんだが？
28:１３２人目の素数さん
06/11/07 18:09:28
>>26
西洋的表現だな。日本語的には「〜の状態である」って表現でＯＫだろ。
意志があるわけでもないしな。
>>27
根拠は？
29:１３２人目の素数さん
06/11/07 22:45:26
>28
> 根拠は？
自然数を拡張して常に除算が出来るようにしたい、乗算も矛盾がないように。
と考えたら当然の帰結だろう。
30:１３２人目の素数さん
06/11/07 22:57:01
>>17
> ということは前スレで「定理と定義の交換可能性」を言っていた人の意見が
> 結局は正しかったということになるのでしょうか？
あれは意見というよりも妄想に近い数学観の表明。
要するに言っていた事は、
数学の命題はトートロジーの連鎖であり、
どれを定義にしても数学を組み立てることが出来る、
というような話だった。
31:29
06/11/07 23:15:58
あちゃー
除算 ⇒ 減算
32:１３２人目の素数さん
06/11/07 23:33:57
でさー。現実に配列だと乗法では交換法則を捨て去るんだろ？
いろいろやってみると、捨て去るのが現実的だからだろ。
法則の保存云々は後付け。
33:１３２人目の素数さん
06/11/07 23:43:40
で、何故プラスになるんだ？
34:１３２人目の素数さん
06/11/07 23:47:34
>>33
だからー。現実に対応させて考えるとプラスとする方が妥当性があるから。
つーか、負×負の身近な事例を自分で構成できるか？意外に難しいぞ。
35:１３２人目の素数さん
06/11/08 02:21:27
>>34
例えばサイコロを振って奇数の目が出れば＋１点偶数の目が出れば−１点で２人で２回ふって合計点数を競うというゲームをするとする。
Ａさんは２回とも−１が出たとすると、サイコロを振る回数の「−」は過去を意味するので、
２回ふる前の過去は現実に対して＋２点ということになる。よって（−１）×（−２）＝２となる。
36:はぐれこばるといおん ◆cobaltUyP2
06/11/08 03:38:55
複素平面について学んだら納得できるんじゃない？
-1をかけるということは、数直線を180°ひっくりかえすこと。
虚数単位iをかけることは、左回りに90°回転させること。
その他の細々したことは、ご自分で複素平面を学んでください。
高校の教科書にもある程度載っているはずです。
37:１３２人目の素数さん
06/11/08 04:39:19
>>34
その妥当性の一例として、比例グラフの拡張を出したつもりなんだが。
38:１３２人目の素数さん
06/11/08 05:56:13
>>34
その程度自分で思いつけろよ。
39:１３２人目の素数さん
06/11/08 15:47:15
>>32
なにを捨ててよいか、なにを捨ててはいけないか、
ということをよく考えれば分かるとおもうよ。
40:１３２人目の素数さん
06/11/08 16:26:42
＞負×負の身近な事例を自分で構成できるか？意外に難しいぞ。
虚数乗なんてもっと難しい。いまだにいい事例を知らない。
だから虚数乗が「理解」できずに身悶え続ける今井弘一を
心の底から笑うことができない。
多分、心の底から笑う奴こそ真の馬鹿だろう。
結論：トンデモにも一分の理
41:１３２人目の素数さん
06/11/08 16:30:11
負×負＝正の"大義名分"が分配法則だとしたら
虚数乗の大義名分は何だろうか？
exp(x)のベキ級数展開か？
42:１３２人目の素数さん
06/11/08 16:51:30
＞-1をかけるということは、数直線を180°ひっくりかえすこと。
＞虚数単位iをかけることは、左回りに90°回転させること。
このようにいう人たちも、実際に
lim(dx→0) (i^dx-1)/dx=(π/2)i
になると聞くと「おおっ」とたまげる。
回転なんて所詮方便だと思ってたのが
実はそうではなかったと気づかされるから。
教訓：人の自由意志も所詮は神の決定したもの
43:１３２人目の素数さん
06/11/08 20:20:17
前の指導要領を受けた学生には「ド・モアブルの公式の連続拡張」って言ってたけど、
その手は使えなくなったな。というか、複素平面があの時単発だったのか。
44:１３２人目の素数さん
06/11/09 19:14:55
負の乗法の結果を知りたいのに、複素数を利用するってか。
複素数平面は６０年代後半−７０年代初頭にもやっていたようだね。いわゆる
スプートニックショック世代。
45:１３２人目の素数さん
06/11/09 19:21:50
あー、小学校で集合論を教え、
高校物理でキルヒホッフの法則やトランジスタを教えてた頃か。
７５３どころじゃなかっただろうなｗ
46:１３２人目の素数さん
06/11/10 00:54:32
>>45
そう。当時の数学レベルの異様な高さは語りぐさ。
↓は当時ＮＨＫの「みんなのうた」で放映された「算数ちゃちゃちゃ」だ。
URLﾘﾝｸ(omotopi.blog65.fc2.com)
これで、中学レベル。解放が何か標準的じゃなくて異様にテクニカルなのが
気になるが。
47:１３２人目の素数さん
06/11/10 11:56:53
ペギー葉山とヤング101ってｗｗｗ
ちょっと調べてみたが、三角関数を中学校で扱ってるのは昭和３３年告示分だな。
複利計算なんてのもある。
昭和４４年告示分は集合のような基礎概念をねじ込んだお蔭で、
逆に実務的具体的な題材が外されてるわ。さすが「現代化カリキュラム」ｗｗｗ
で、キルヒホッフは高校じゃなくて中学校だったorz
48:１３２人目の素数さん
06/11/10 12:56:17
＞当時の数学レベルの異様な高さは語りぐさ。
もっとも生徒のレベルはそう高くない。
要するに生徒のオツムの容量以上は入らない（ｗ
49:１３２人目の素数さん
06/11/10 13:00:25
＞集合のような基礎概念をねじ込んだお蔭で
でも肝心の無限集合は教えない。
到達不可能基数もコンパクト基数も可測基数も教えないなんて（をひ
50:１３２人目の素数さん
06/11/10 22:43:38
>>10
2が自然数の集合の要素として定義されるのなら
2=1+1は2の定義だろ。
自然数は帰納的に定義されてるんだから。
51:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:00:55
a^0=1が定理でなく定義なのは
a^0が群環体じゃないということなんでしょうか？
52:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:02:42
意味不明。
「a^0が群環体である」とは？
53:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:05:07
>>50
帰納的な定義の仕方もある、という程度の言い方のほうが穏便かもな。
54:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:09:52
仮に帰納的に自然数を定義しても、やり方によっては「2=1+1」が定義にならないこともある。
「次の数」を与える演算と「・+1」は結果的には一致するが、
定義の段階では別物としてスタートするかもしれないので。
55:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:19:13
>>26の文才に乾杯ｗ
56:１３２人目の素数さん
06/11/11 12:28:45
>>51
自然数乗は自然に定義出来るとして、
整数や有理数、実数への拡張は(a^x)×(a^y)=a^(x+y)を保存する拡張で、
そうなるように定義したってとこだろ。
>>27
引き算が閉じるように整数を構成した、というのであれば、
今ででいう「Grothendieck Ringからの構成」と結果的に同じ事をやった事になるな。
57:１３２人目の素数さん
06/11/15 03:40:45
任意の実数で分配法則が成り立つ為には(-1)(-1)=+1であることが必要。
例えば
-1(5+(-1))=-4
左辺を分配法則で展開すると
-5+(-1)(-1)=-4
右辺と左辺が同じになるためには(-1)(-1)=+1であることが必要だ。
だから
任意の実数で分配法則を成り立たせる為に(-1)(-1)=+1と定義した
という説明でとくに間違いは無い。
一方、任意の実数で分配法則がすでに成り立っているものとしてしまう。
つまり分配法則は公理として無条件に認めてしまおうと言うものだ。
その立場に立つと
(-1)(-1)=+1は定理として導かれる。
つまり
「分配法則は任意の実数で成り立つ」と、公理の段階ではまだ断定しない
と言う立場に立つのであれば(-1)(-1)=+1は定義ということになる。
「分配法則は任意の実数で成り立つ」と、公理の段階で断定してしまう
という立場に立つのであれば(-1)(-1)=+1は定理ということになる。
任意の実数で分配法則が成り立つと断定するか、断定しないか
によって(-1)(-1)=+1が定理になるか定義になるかが決まる。
58:１３２人目の素数さん
06/11/15 22:25:09
(-1)(-1)を未定義用語と見るならば
(-1)(-1)=+1は定義式です。
定義式とは
左辺が未定義用語、右辺が既定義用語、それをイコールで結んだものです。
(-1)(-1)を既定義用語と見るならば
(-1)(-1)=+1は定理式です。
定理式とは
左辺も右辺も既定義用語です。
59:１３２人目の素数さん
06/11/15 22:54:30
so what?
60:１３２人目の素数さん
06/11/16 21:50:08
>>51
>a^0=1
これは左辺は未定義用語なんですよ。だから定義式なんです。
しかしある式が定義式か定理式かを見分ける方法を正直言って私は知りません。
(-1)(-1)=+1
の左辺が未定義用語なのか既定義用語なのか、よくわかりません。
まず最初に正の数というものから数学を構築していき、そして負の数というものに
その範囲を広げていった場合、
(-1)(-1)というものは未定義用語でしょう。
だとするなら(-1)(-1)=+1は定義式でしょう。
しかし、正から負へ拡張する方法で数学を構築するのではなく
正も負ももともとあるという前提のもとで数学を構築するのであれば
(-1)(-1)は既定義用語でしょう。
その場合、(-1)(-1)=+1は定理式ということになるでしょう。
61:１３２人目の素数さん
06/11/17 22:49:28
みなさんこんばんは。
前スレの定義と定理の交換可能性の提唱者です。
>>60さんの数学観と私のそれは近いと感じました。
何が定理で何が定義かは人によって違うものなのだと思います。
別に、フェルマーの最終定理を公理にしてもいいと思ってます。
ある命題が定理と言われている。
それを定義にして数学を組み立てても良いし
それを公理にして数学を組み立てても良い
と私の数学的直感力が僕にそう感じさせております。
62:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:00:45
>>61
フェルマーの最終定理を公理にした場合、その公理が矛盾していないことの 証明が必要。
63:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:02:24
>>61
あなたの直感が狂っていると殆どの人の直感が告げていたと思います。
64:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:14:26
>>61
とりあえず一人称をそろえろ。
65:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:44:28
関数記号-とか*を無定義述語として導入するならまだわかるけど
(-1)*(-1)全体で一つの無定義述語としてみるのはほとんど無理かと。
(-1)*(-1)以外の掛け算（ 2*(-5） とか 3*4 とか）は扱わない、という方針ならまた別だけど
そんなん掛け算じゃないし。
定義式だとか定理式だとかが>>58が勝手に独自に定義した
専門用語なら話は別なのかもしれないけどね。
66:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:50:50
>>61って数学は全て必要十分な同値変形のみで出来ている。
同値変形で無いような導出はありえない、とか言ってた人でしょ。
これは端的に間違いですよ。
負の数×負の数
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)より
231 名前：１３２人目の素数さん[age] 投稿日：2006/08/15(火) 23:52:52
公理と定義が出発点だとするなら、定理はゴールなわけです。
では
定理と公理を出発点にするなら、定義がゴールになりませんか？
数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
ですので、出発点からゴールまで論理を進めることが出来たのであれば
ゴールから出発点に論理を進めることもできるはずです。
何故なら必要十分条件なのですから。
この考えのどこがおかしいのでしょうか？
243 名前：１３２人目の素数さん[age] 投稿日：2006/08/16(水) 13:35:24
>>242
そうですか。
では
「ある定理と交換可能な定義が必ず存在する」
にします。
でもこれって当たり前のことのような気がします。
何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
どうでしょうか？
67:１３２人目の素数さん
06/11/18 00:00:54
>>61の数学直感力は前スレにて全くアテにならないということが明らかにされているのにｗ
68:１３２人目の素数さん
06/11/18 00:22:53
提唱者なんてまた大仰に構えたモンだな。
論理学を少しでも囓れば如何に自分が無知か、恥ずかしくて書き込みも出来なくなるだろうに。
69:１３２人目の素数さん
06/11/18 00:28:09
というか
＞数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
ここらへんから察するに高校数学よりも高度な数学には触れた事無いんじゃないかと。
70:１３２人目の素数さん
06/11/18 00:43:13
>>61って>>57を読んですぐ”負＊負＝正”と”分配法則”を交換可能とか誤解してそうだな
71:１３２人目の素数さん
06/11/18 12:11:14
ここは「提唱者」様に一つ質問への御回答をいただきましょう。
前スレでは明快な答えは得られないようでしたのでよろしく。
可換群Aがあります。記法を＋とし、任意の元aに対しその逆元を-aで表すことにします。
集合Aにもう一つの演算＊を定義しようと思っていますが、
任意の元a,bに対し(-a)*(-b)=abとなっていて欲しいのです。
もし、それがみたされているなら、演算＋と＊の間にはどんな関係があるといえるか
明らかにしていただけないでしょうか。
提唱者様に相応しく、できるだけ一般に答えてください。
或いは研究の道筋だけでも結構でございますよ。
72:１３２人目の素数さん
06/11/18 12:21:07
>>71
まず「提唱者様」には可換群がわからないと思われ。>>69
それと細かい部分でのツッコミ
>任意の元a,bに対し(-a)*(-b)=abとなっていて欲しいのです
これは(-a)*(-b)=a*bと書かなければいけませんな
73:71
06/11/18 12:44:44
>>72
> >任意の元a,bに対し(-a)*(-b)=abとなっていて欲しいのです
> これは(-a)*(-b)=a*bと書かなければいけませんな
仰る通り m_o_m
74:１３２人目の素数さん
06/11/18 13:11:48
整数の集合は順序環である。
順序環の2つの負数の積は正数である。
75:１３２人目の素数さん
06/11/18 14:49:35
>>74
それが何か？
76:１３２人目の素数さん
06/11/18 19:04:05
こんばんは。提唱者です。
まず、私に質問する場合には「自分がどういう立場を取っているのか」
を明らかにしてください。
でないと適切なアドバイスができない場合がありますので。
「自分がどういう立場を取っているのか」
とは具体的には
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
一体この人はどの立場を取っている人なのかを念頭におきながら出ないと
その人に最適な解説ができませんので。
77:１３２人目の素数さん
06/11/18 19:10:26
お馬鹿がアドバイスとは片腹痛いｗ
78:１３２人目の素数さん
06/11/18 20:05:11
質問は質問だよ。
インチキ祈祷師が使う典型はなしだ。
79:60
06/11/18 23:09:44
>>65
>関数記号-とか*を無定義述語として導入するならまだわかるけど
>(-1)*(-1)全体で一つの無定義述語としてみるのはほとんど無理かと。
無定義述語とは無定義用語と同じ意味でしょうか？
例えば行列の積Ａ*Ｂはもともとは無定義用語だったのではないでしょうか？
無定義用語だったから、その計算方法を定義しなければならなかったのではないのでしょうか？
（縦と横を掛けて足す方法のことです）
Ａ*Ｂ全体で一つの無定義用語だったからこそ人間が定義する必要があったのです。
80:１３２人目の素数さん
06/11/18 23:37:53
おいおい数学勉強してるのに「述語」の意味もわかんないのかよ
81:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:29:55
>>79
いやそもそも無定義用語ってどういう意味でしょうか。
まだ定義されてない用語、これから定義する用語、という意味で
あなたがオリジナルに作った用語ですか？
無定義術語というのは簡潔に言うと理論の構成上原理的に
公理をもってしか定義されえない述語記号、関数記号etc.のことです。
単にまだ定義されてないということではありません。
例えばユークリッド幾何学における「直線」「点」「平面」「交わる」などの用語がそうです。
「直線」「点」といった用語自体が意味を持たないからこそ、
射影幾何学で双対原理が成り立ったりするわけです。お分かりでしょうか。
82:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:34:35
「述語」がわかんないのにそんなのがわかるわけがない。
83:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:39:39
>>76
(c)立場によってどちらもありうる。
さて質問ですが、前スレに
「数学は必要十分条件で論理を進めていきます。」
「何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。」
と言って逆が成り立たないような演繹は全く認めない方がいらっしゃったのですが、
数学ではそういう定理は扱ってはいけないのでしょうか？
「逆は必ずしも真ならず」とよく言われますが、
この格言は論理学に限った話で、数学では成り立たないのでしょうか。
具体例を挙げると、pに関する次の二つの性質に関して
(あ)pは素数である。
(い)pの倍数でないような任意の整数aに対して、a^(p-1)をpで割った余りは1になる。
(あ)から(い)が従う、という有名な定理がありますが、
(い)から(あ)は導けないことが知られています。一番小さい反例は三桁の数です。
これは数学の定理ではないのですか？
84:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:58:16 BE:468864656-2BP(0)
>>83
＞(あ)から(い)が従う、という有名な定理がありますが、
＞(い)から(あ)は導けないことが知られています。一番小さい反例は三桁の数です。
＞これは数学の定理ではないのですか？
の最後の行の「これ」というのがどういう命題なのかはっきりさせて考えてみよう！
85:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:27:20
まず「提唱者様」はコテとトリップをつけろや
>>84なんて回答にもなってないぞ
86:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:35:39
これ＝(あ)⇒(い)だけど。
87:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:42:11
>>86
定理だろ・・・常識的に考えて・・・
88:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:43:18
ちょっと分かりにくいですね。
「これ」ってのは「(あ)ならば(い)」という命題です。
ところで>>84は「提唱」者の方ですか？
考えてみようとか言われても困るのですが……
89:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:45:41
>>87
逆が成り立たないなら
＞数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
＞ゴールから出発点に論理を進めることもできるはずです。
に反します。
従って「提唱」者さんのアドバイスに拠って考えれば
数学の定理じゃなくなるような気がします。
90:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:47:19
>>89
それは単に
＞数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
＞ゴールから出発点に論理を進めることもできるはずです。
が偽なだけ
91:84その1
06/11/19 17:50:04 BE:250061344-2BP(0)
>>88
漏れは「提唱者」ではないよ。
簡素な答えとしては>>90で十分なわけだが、>>83に根本的な誤解があるようだったので、
>>84で、自分が問題にしている命題は何かを意識させることで、>>83の注意を喚起しようと思ったのだった。
つまり、>>83は、「い⇒あ」が成り立たないということを気にしているけど、それは今回考えている問題には関係ないでしょ、ということ。
「数学は必要十分条件で論理を進めていきます。」
「何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。」
と言って逆が成り立たないような演繹は全く認めない方
のことをA氏と呼ぶことにしよう。
A氏の主張は実際には間違っているわけだが、A氏の主張に従う場合に問題になってくるのは、
「公理⇒（あ⇒い）」が成り立ち、「（あ⇒い）⇒公理」が成り立たないが、「あ⇒い」は定理といっていいのかどうか、ということだ。
だから、（い⇒あ）が成り立つとか成り立たないとか、そもそも関係ない。
しかし、>>83は、（い⇒あ）が成り立たないということを気にしていた。
じゃあ何で>>83が（い⇒あ）が成り立たない、ということを気にしていたかといえば、
>>83が「A氏の主張を受け入れたとすると問題になる」と思っていた点は、
『「あ⇒い」が片向きの矢印であって、「あ⇔い」でないこと』だったからだと思う。
92:84その1
06/11/19 17:51:05 BE:437607247-2BP(0)
では、>>83は何を誤解しているか。
普通に受け取るならば、A氏の主張は、
公理⇔（A⇒B）
という命題「A⇒B」は正当と認めるけど、
公理⇒（A⇒B）
かつ
「((A⇒B)⇒公理)が成り立たない」
という命題「A⇒B」は正当と認めない、ということだ。
>>83は、その主張を勘違いして、
そもそも「A⇒B」という形の命題は正当と認めない
と思ってしまっているから、
『「あ⇒い」が片向きの矢印であって、「あ⇔い」でないこと』なんかを気にしていたのだと思う。
93:60
06/11/19 20:22:54
>>81
>(-1)*(-1)全体で一つの無定義述語としてみるのはほとんど無理かと。
ということはA*B全体で一つの無定義述語としてみるのも無理なのでしょうか？
（A*Bは行列の積です）
94:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:30:58
行列自体は別の方法で定義されていて、演算はその後定義するもんだろ。
負×負は、負の数を定義する前に自然数の積が既にあるから紛らわしいが。
95:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:39:43
仮にA氏の言う数学を「同値数学」とでも呼びましょうかｗ
ふと思ったんだが、ある分野の数学者は確かに、「数学の基本的な定理はほとんど全て
ある少数の公理群のうちのどれかの命題と同値である」とかいう主張をしてるんだよね。
A氏はそういう主張を文字面だけ受け取って妙な誤解しちゃったのかな。
本来ここで言う「基本的な定理」というのは「中心的定理」というくらいの意味だろうけど。
>>91-92
前スレでA氏は
＞x, y, z≧0, x + 2y + 3z≧12
＞ならば
＞x + y + z≧4
＞である
を、仮定と結論は同値なはずだから同値な変形をすると結論が出てくるはずだ。さて、…
のような推論をちらっとしていたので
その時点では「逆は必ず真なり」な認識がされていたし
>>92の両者の区別はされていなかったと思います。
私が「提唱」者の言いたいことを誤解している、というよりは
善意で以って解釈すれば「提唱」者の主張は>>91-92になる、と言ったほうが近いかと。
96:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:56:32
>>93
「A*B」ってのは一つの行列ではありますが、
意味的には「行列」Aと「行列」Bを「掛け合わせた」「行列」、という意味で
そもそも一つの言葉じゃないので…
因みにこういう複数（一つ以上）の言葉を組み合わせて作った、
数学的対象を表す文字列のことは 項 term というのが普通かと思います。
日常用語でも「このヒルベルトと言う偉大な数学者」とか
そういう二語以上の文字列を「用語」とは言いませんよね。
たしか言語学でもこういうのは「項」と言ったかと思います。
「A」と「B」は行列を値に取る変数記号というのが正しいかと思います。
無定義術語ではありません。
因みに行列の理論を形式化したい場合には行列は行列は「nm個の数の組」として
定義するのが普通で、そもそも無定義術語という扱いをしないと思います。
>>94さんが既に仰ってますが。
それともう一つ、言うの忘れてたんですが
>>65の無定義「述語」というのは無定義「術語」のtypoです（^_^;)
別に無定義用語でも構わないんですが>>79の用語法と混同するので別の言葉遣いをしました。
それで下の>>65は「未定義用語」がよく言われる「無定義術語」を意味してるのか、
と思ってつけたレスで、単に「定義してない項」「まだ定義してない（あとから定義する）項」
という意味ならば>>65にほぼ同意です。
97:１３２人目の素数さん
06/11/19 21:20:29
失礼
typoじゃなくて変換ミスですね。どうでもいいですが。
それから>>65に同意じゃなくて>>60に同意です。
そもそも公理というのは間接的に術語を「定義」しているわけで、
そういう（>>81の後ろ二段のような）認識がなければ、
定理φは公理Aと同値である、というときのφの意味内容がはっきりしません。
（つまり、「負×負は正」から公理が導ける、というとき、
整数がまだ定義されない状況で、ある数が「負」であるとはどういう意味なのだろうか、ということ。）
そういう意味でもA氏が>>91-92のような認識をしているとは私には考えがたいです。
---
ここからさらにどうでもいいこと
「同値数学」だと「負掛ける負は必ず正」のような命題は扱えなくなるとおもいますが
よく考えたらこういう命題はある定理の証明の一部として扱えば良い訳で
かえって中心的、本質的な命題しか扱えなくなる、というメリットはあるのかもしれないｗ
ただ、ψ1とそれより弱いψ2という二つの命題があったときに、ψたちがある性質を満たせば、
どの二つも強さの異なる無限個の命題φ1,φ2,.........,φn,.........があって
ψ1⇒φ1⇒φ2⇒φ3⇒........⇒φn⇒ψ2（∀n）が成り立つ、とかそういう定理があるので
超数学的議論をするときは扱えなくなる命題が出てくるのは確か。
98:提唱者
06/11/21 23:27:30
「数学の樹形図」という言葉を導入します。
根っこには公理、定義があります。
幹、枝、葉、これらは定理です。
ふつうの数学では根っこにab=baやa(b+c)=ab+acなどがあります。
この普通の数学の樹形図を、数学の樹形図Ａとします。
そして数学の樹形図Ａの葉を何枚かを取ってきて
それを根っこにして数学を再構築するとします。
すると新たな樹形図が出来るわけです。
これを数学の樹形図Ｂと呼びます。
つまりこういうことなんですよ。
ある人は-*-＝+を定理だと言う。
ある人は-*-＝+を定義だと言う。
食い違うのは当たり前なんですよ。
何故ならその人が採用している数学の樹形図が違うんですから。
樹形図Ａでは葉（定理）かもしれないけど
樹形図Ｂではそれは根（定義、公理）なんですよ。
これならみなさんでもわかるでしょう。
そしてどの樹形図を採用するかはその人の自由なんです。
つまり「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」なんです。
このカッコでくくった部分が、
前スレ8月中旬から約3ヵ月かかってやっとたどり着いた結論です。
99:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:37:01 BE:140659733-2BP(0)
>>98
3ヶ月どころか>>5までで既に語りつくされてると思うのだが。
それに、あなた樹形図とか言ってイメージだけで語ってません？
100:提唱者
06/11/21 23:44:09
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
このようなことを言った人はいますか？
このようなことが書いてある本はありますか？
多分私が最初ではないでしょうか？
もちろん、数学者はうすうすは感ずいていたことかもしれませんが、
言葉としては言ってないし書いてないでしょう。
言葉にしたのは僕が最初でしょう。
101:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:45:35
…
102:提唱者
06/11/21 23:57:27 BE:187546043-2BP(0)
このことを論文にしようと思うのですが、
どこに出せばいいのでしょうか？
103:１３２人目の素数さん
06/11/22 00:14:35
ネタでやっているとしか思えんｗ
馬鹿だ無知だと思っていたが、まさかここまでだったとはｗ
104:１３２人目の素数さん
06/11/22 00:20:15
あれ？おかしいぞ
ウンコ持ちの>>99と>>102（提唱者）は同一人物か？
…自作自演かよｗ
ネタ乙
105:１３２人目の素数さん
06/11/22 01:05:39
公理主義という言葉も知らんのか。
106:１３２人目の素数さん
06/11/22 02:12:13
>>91
＞漏れは「提唱者」ではないよ。
>>102
＞名前：提唱者
＞beポイント:0
＞登録日:2006-08-14
前スレからの壮大なネタだったってことか？
それともこのスレだけで、前スレの「提唱者」は別に居るってこと？？
自演は>>102だけってことは無いと思うが。
諦めて白状しな。
107:１３２人目の素数さん
06/11/22 02:57:07
こうなっている筈だ、いつか誰かが証明してくれるだろう、どうしてこうなっている筈のことを理解できないのだ。
毎年のように数学教室に送りつけられる数十の「論文」ですね。
108:提唱者@teishosha
06/11/22 21:18:05
>>102は僕じゃないですね
109:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/22 21:19:40
a
110:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/22 21:20:48
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
この文章の
「どこが」
「どのように」
間違っているのかを明らかにしてください。
111:１３２人目の素数さん
06/11/22 21:24:00
-1*(-1)=-1*(-1)+0
=-1*(-1)-1+1
=(-1)(-1+1)+1
=-1*0+1
=1
じゃだめ？
112:１３２人目の素数さん
06/11/22 21:46:45
>「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
ユークリッドの平行線公理が絶対的に正しいというわけではなく、
幾何学体系を構築する上での仮定に過ぎない、
即ち平行線公理を平行線も交わるという公理に変えても無矛盾な幾何学体系が構築できる
ということを発見したのはガウスで、2世紀近くも前の人間。
現在の数学は「公理とは論理構築の仮定」であるという公理主義の立場をとり、
そのことが常識であり前提である。
つまり提唱者が
>「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
なんて主張したところで、
「だから？百年以上前から数学はそのことを前提にしているんですよ？」
と言われるだけ。
>言葉にしたのは僕が最初でしょう。
はとんだうぬぼれ。
113: ◆HZWpRMWGdI
06/11/22 21:54:45
トリップテスト
114:１３２人目の素数さん
06/11/22 21:55:54
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
と一字一句違わない発言となれば、こいつが初めてかもしれんがな。
それにしても、「そんなのとっくの昔に語られてる」という指摘なのに、
「どこが間違っていますか」と問うているのは、どういうことか。
115:１３２人目の素数さん
06/11/22 22:06:07
とりあえず記号論理学の本でも読みなさい。
哲学の人も読むんだから、文系でも無問題。
116:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/22 22:35:49
じゃあどうして
-*-＝+は定理だと言い張る人、
-*-＝+は定義だと言い張る人がいるんですか？
前スレのあの人達はいったいなんだったんですか？
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
このことがわかって無かった人達だからこそ
定理だ、いや定義だ、と言い争っていたんでしょう。
代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。
117:１３２人目の素数さん
06/11/22 22:37:37
お前はつくづく阿呆だな
前スレにその理由は書いてあるぞ
118:１３２人目の素数さん
06/11/23 01:04:33
>>116
>>115
119:１３２人目の素数さん
06/11/23 02:16:21
>>116
> 代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
> その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。
群環のごく普通の定義から出発すれば、それがみちびかれるから定理だと言っていただけ。
それを定義だとする人（たち）は、
「じゃ、そこから極普通の群・環の定義とされている性質を導け」という要求にこたえることができていなかった。
120:１３２人目の素数さん
06/11/23 03:26:37
>>110>>116
あなたがその「提唱」をするときの数学の理解が
非常に貧しいものだから本当に理解して書いているか？と突っ込まれているだけです。
あなたは>>5みたいなことじゃなくて
まるで「負×負は正」だけから整数論の公理が
逆に全て導出できるかのような主張をしていたわけですが。
前スレでの
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
が間違いだということはわかりましたか？
これを正しいと思って「定理と定義の交換可能性」とか言われても
何かとんでもないことを考えてるとしか思えないのですが。
121:１３２人目の素数さん
06/11/23 03:37:40
＞代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
＞その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。
順序体とか群とか環について勉強すりゃわかりますよ。
一般の環における「(-a)(-b)=ab」だとか
順序環における「a<0、b<0ならばab>0」は定理だからです。
＞「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
＞このことがわかって無かった人達だから
そうではなくて、あなたとは考えている問題がそもそも少し違います。お分かりでしょうか。
整数を定義する前に、一般的にある元が「負」であるとはどういうことかとか
考えようとしたら、こういう問題意識になるのはごく自然です。
前スレでは「負掛ける負は正」という命題の具体的内容として、
それぞれ少しずつ違ういくつかの命題が考えられていたんだけど
その違いは理解されてますか。
122:１３２人目の素数さん
06/11/23 09:43:38
>>111
だめ。
マイナス元を表す記号と「マイナス」演算子の違いを理解できず
機械的に記号を並べているだけ。
123:１３２人目の素数さん
06/11/23 11:45:22
以上、前スレのグダグダをダイジェストでお送りしました
124:１３２人目の素数さん
06/11/23 11:56:06
>>123
そうなんだ。そこが2chの悪いところ。
次々と新参者が参入して、前の書き込みを確認することなく同じように話を蒸し返す。
書いている本人はその話題に関して書き込むのは自分が初めてだと思い込んでいるから始末に負えない。
125:１３２人目の素数さん
06/11/23 18:53:15
だいたい５０レス位で繰り替えすよねｗ
126:１３２人目の素数さん
06/11/23 21:09:54
ここの場合新参者が話を蒸し返してるんじゃなくて、プライドだけがいっちょまえに高い不勉強者が
「自分の高邁な意見、見識にみな賛同するべき」
なんて喚いてるだけなんだがな。
生憎知識が無さ過ぎて窘めるレスの意味も理解できないからタチが悪いな
127:１３２人目の素数さん
06/11/24 09:33:44
>>1
＞-×-＝+は定理なのだろうか定義なのだろうか
一方で、分配法則は定義なのか定理なのか、という問いは目にしないな（ｗ
例えばロビンソン算術では、分配法則は定理になる。
128:１３２人目の素数さん
06/11/24 09:43:54
>>127
＞例えばロビンソン算術では、分配法則は定理になる。
うおっ、いきなり大嘘書いちまった。
実は定理にならねえ（汗
帰納法を導入したペアノ算術では、定理になる。
129:１３２人目の素数さん
06/11/24 12:47:05
>>127-128
その話題も前にあったでしょ。
130:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 15:06:49
>群環のごく普通の定義から出発すれば、それがみちびかれるから定理だと言っていただけ。
ということは
「<<<群環の分野では>>>-*-＝+は定理である」
というべきであり
「-*-=+は定理である」
というべきではないと考えますがどうでしょうか？
>>119
>>121
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
これについてはどうお考えでしょうか？
131:１３２人目の素数さん
06/11/24 15:46:09
>>130
前提となるものを明示すべきだという意見は前スレから言われてるわけで。
にもかかわらず、そこにある(a)~(c)は何を前提として判断するのか不明な上に、
「-*-=+」は具体的にどんな命題かという>>121の問いにも触れていない。
132:１３２人目の素数さん
06/11/24 16:29:51
<<<群環の分野では>>>
おいおい分野ってｗ
いい加減基礎的な知識くらいは身につけて来いよ池沼ｗ
133:１３２人目の素数さん
06/11/24 16:33:21
<<<提唱者 ◆3j.9eex9S6の理解の及ばない分野では>>>
134:１３２人目の素数さん
06/11/24 17:16:35
群環なのか群と環なのか
135:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:19:17
>>131
>(a)~(c)は何を前提として判断するのか不明
なるほど。前提となるものが明らかでないと問いに答えられない、
つまり前提となるものによっては答えは変わる、こういうわけですか？
これはまさに私の言っていることではないですか？
「樹形図（前提）が定まらなければ
ある命題が定理なのか定義なのか公理なのかを決めることは出来ない」
136:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:22:34
ということはあなたは
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
のＣを選んだと言うことになりますけどよろしいでしょうか？
137:１３２人目の素数さん
06/11/24 21:25:00
>>136
定理でも定義でもよい、の「よい」の意味が不明。
そして、前提のあやふやさに加えて、「-*-=+」がどんな命題を指しているのかも
いまだに明らかにしていないな。
138:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:30:05
(c)-*-=+は、定理としたとしても定義としたとしても、数学を構築できる
これなら答えれますか？
139:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:32:28
＞「-*-=+」がどんな命題を指しているのかも
＞いまだに明らかにしていないな。
これは小学生でも知っている、負掛ける負は正という命題ですよ。
140:１３２人目の素数さん
06/11/24 21:42:45
>前スレでは「負掛ける負は正」という命題の具体的内容として、
>それぞれ少しずつ違ういくつかの命題が考えられていたんだけど
>その違いは理解されてますか。
141:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 23:53:25
>その違いは理解されてますか。
どうして結論を言わないんですかね。
どうしてそうやって引き伸ばそうとするんですかね。
私が理解しているかしていないかが
結論を言う言わないに関係あるんですかね。
まあ、言いたくないだけなんでしょうけど。
(a)-*-=+は定理である
だと思っていたのが
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
に変説せざるをえなくなったんでしょ？
だから答えられないんでしょ？
それならそれで別にいいですけど。
もう書き込みをすることも無いでしょう。
それではさようなら。
142:１３２人目の素数さん
06/11/24 23:54:59
逃走宣言
143:１３２人目の素数さん
06/11/25 01:59:40
負×負＝正にならないときだってある。
どんな負の数だ？
144:１３２人目の素数さん
06/11/25 04:59:08
>>135
> なるほど。前提となるものが明らかでないと問いに答えられない、
> つまり前提となるものによっては答えは変わる、こういうわけですか？
「つまり」とはなんですかね？
問に答えられるのは、前提が明らかな場合である、
ということをいっているだけであり、
前提となるものによって答えが変る、などとはひとことも言っていないようですが。
粗雑な議論だ。
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