1=0.999… その13.999 ..
21:１３２人目の素数さん
06/10/26 23:01:29
＞だからあ、
口癖でつか？
22:１３２人目の素数さん
06/10/26 23:30:41
>>21
＞口癖でつか？
マァ、それだけではなくて、半可通とも呼ばれるんじゃないの？
23:１３２人目の素数さん
06/10/27 00:53:06
全くの素人意見なんだけど気になったので聞いてみたい。
無限小数に対して四則計算って有効なの？
どういうことかと言うと、
無限に循環する少数である「無限小数」は、その存在点が確定されうる値として取り扱う事が出来るのかという事なんだ。
もしこれが証明されていないならその他の数と計算することは出来ないんじゃないかと思う。
例えば数直線上で、
────────
・ ・
A B
AとBの二点間の距離を求めるにはA点とB点の値の差を計算すれば良いんだけど、このAないしBのどちらかが無限小数である場合（あるいは両方）
上で書いたように、「無限小数の確定された点」を観測できなければ、二点間の距離を求める事ができなく、
無限小数に対して四則計算が成り立つとは言えない事が証明されるんじゃないかな？
本当に素人意見なんで「こいつ何言ってるんだ頭おかしいんじゃねぇ？」と思われた方は無視してくださってかまいません。
どなたか、お暇で親切な人がいたらツッコんで貰えると嬉しいです。
24:１３２人目の素数さん
06/10/27 01:02:52
「無限小数」というのは、人間が読み書きするための「数字」上の話であって、
実際の数値や計算とは本質的には無関係。
25:１３２人目の素数さん
06/10/27 01:16:49
>>24
ちょっと分かりづらい。
その説明を意訳すると無限小数は人間が勝手に作った概念であるって事？
計算に使用する場合は、俺の言ってるような事は見当違いだって事？
スレ違いかもしれないんだけど、これも俺の聞いた事に関係した疑問なんで一つ。
１＋１を、「１」と言う地点から「１」という値だけ離れた所を指し示す式だと考えたら、
∞＋１は、「∞」という地点から「１」という値だけ離れた所を指し示す式と言う風に捉えることが出来る。
でも∞という値には留まる所（確定される点）が無いから、そこから「１」離れた点なんて取りようが無いと思う。
つまり俺は∞＋１＝エラーになると思うのだけど、実際には∞＋１＝∞と書くよね？これは本当に真実なの？
それとも、まだ良く分かっていないから近似っぽく表しているだけなの？
26:１３２人目の素数さん
06/10/27 01:27:17
仮定が間違い。
27:１３２人目の素数さん
06/10/27 01:48:25
>>25
拡大実数においては真実。行列どうしの積を考えるときに、必ずしも割り算が出来ないのと
同じようなもの。Oでない2つの行列A，Bに対してAB＝Oが成り立つことがあるのと同じようなもの。
28:１３２人目の素数さん
06/10/27 03:11:16
> 無限に循環する少数である「無限小数」は、その存在点が確定されうる値として取り扱う事が出来るのかという事なんだ。
おおざっぱに言っちゃうと、実数というものの定義で
「無限小数は、その存在点が確定されてる」
ってことになってる。
29:１３２人目の素数さん
06/10/27 03:34:49
>>23
極限の四則演算については、次のような定理がある。
lim[n→∞] a_n = a、lim[n→∞] b_n = b である時、次の等式が成立する。
(1) lim[n→∞] (a_n±b_n) = a±b （複号同順）
(2) lim[n→∞] (a_n*b_n) = a*b
(3) bは0でない場合、lim[n→∞] (a_n/b_n) = a/b
これを無限小数に当てはめると、有限桁まで計算した値を数列にして
それの極限を求めれば、無限小数の四則演算を行った事と同じになる。
テンプレの>>4にある初等的証明も、この定理を前提とした話だね。
30:１３２人目の素数さん
06/10/27 03:39:17
>>25
超準解析では無限大や無限小となる数を扱うけど、
それはモデル論の結果を使って、ある特殊な超準モデルを構成した上での話。
無限大や無限小に見える数も、超準モデルの中では確定した点になっている。
そういう数についても四則演算が定義できるが
それも超準モデルの中での話であって、数字で具体的に表せるわけではない。
超準モデルには無限大超実数は無限に存在するので
「∞」という記号ではそれらの数を表す事は出来ない。
せいぜい「無限大という性質を持つ」という事の省略形につかえるだけ。
「∞＋１＝∞」も「無限大に1加えた値も無限大になる」という意味なら正しいが、
これはきちんと定義された演算ではないし
「∞」という確定した点が存在するわけでもない。
31:１３２人目の素数さん
06/10/27 03:49:56
しかし、たとえば[0,∞)上における関数の積分では、あたかも∞＋1＝∞が
キチンと定義されているかのような式が成立することがある。
∫[0,∞]f(x)dx＝∫[1,∞]f(x－1)dx
32:中卒止まりｵｻｰﾝ
06/10/27 05:25:17
ではでは、
･
0.9(=以下0.9dotと代記)
=1は言える事やどちらでも(ｹﾞｰﾃﾞﾙさん？)な話は置いといて、
壱 0.9dotは1そのものか？(面積は等しいが異なる図形、と言う様に)
弐 壱を否定する場合、0.9dotと1の間はφか？
参 弐を肯定する場合、0.9dotの逆数は1の次の実数(←こんな表現であってるかも疑問…超限実数？)か？
33:１３２人目の素数さん
06/10/27 07:54:02
>>25
そもそも、数って人間が現実をシミュレートしやすいように「勝手に作ったモノ」でしょうに。
34:１３２人目の素数さん
06/10/27 09:00:23
色んな人からの回答有難うございます。
なるほど、数学というのも実に奥の深く、興味深い学問だと分かりました。
35:１３２人目の素数さん
06/10/27 12:55:48
>>34
要するに、無限小数が「確定していない」とするより「確定している」
として各種の計算を決定（定義）する方がより便利だし、かつ問題も
ないってコト。
現実をシミュレートする役割の「数」にとって、より多方面に利用でき
る方が「正義」。もちろん、その定義によって何らかの問題が発生する
なら全く事情はちがったものになるが。
36:１３２人目の素数さん
06/10/28 00:39:05
循環小数は分数の形で表すことが出来る。
故に、既約分数は小数または、循環小数で表せる。
って言うのは、定理（既に証明されている。）だろう。
37:１３２人目の素数さん
06/10/28 01:30:58
>>36
故に、っておかしくね？
38:１３２人目の素数さん
06/10/28 07:18:28
>>37
では、書き直しましょう。
循環小数は分数の形で表すことが出来る。
また、既約分数は小数または、循環小数で表せることも真なり。
って言うのは、定理（既に証明されている。）だろう。
これもなんか変なんだけどね。
39:１３２人目の素数さん
06/10/28 16:08:45
>>4
＞② ｘ＝０．９９９９… とおいて
＞ １０ｘ－ｘ＝９．９９９９… － ０．９９９９…
＞ ９ｘ ＝９
＞ ｘ ＝１
＞ したがって １＝０．９９９９… である。
② ｘ＝０．９９９９… とおいて
１０ｘ－ｘ＝９．９９９９・・ － ０．９９９９・・・
９ｘ ＝８．９９９９・・・
ではなくて良い事を証明せよ。
40:１３２人目の素数さん
06/10/28 17:26:12
証明の必要なし。それは無限小数の演算の定義次第だからだ。
41:１３２人目の素数さん
06/10/28 17:42:10
文の後段が前段を受けてないなんじゃないか？
42:１３２人目の素数さん
06/10/28 19:04:39
>>38
既約分数は小数で表せる、の方は定理ちゅうか、割り算の定義だろ。
43:１３２人目の素数さん
06/10/28 20:31:22
普通はね。ここは無限少数なんて無いといっちやう人のスレ
でもある。
44:１３２人目の素数さん
06/10/28 20:44:11
別に割り算の定義に、小数はいらないだろう。
既約分数を小数で表せるかどうかは、割り算とは無関係。
45:１３２人目の素数さん
06/10/28 20:49:03
一般的に言えば無関係だけど、そう言ったらほとんどなんでもアリの世界だよ
46:１３２人目の素数さん
06/10/28 21:05:37
一般的って言うか、そもそもなんで小数と分数の話に割り算が出てくるのかが
わからないんだけど。割り算ってのは演算なんだから、数の表記法とは本質的に
無関係だろう。
きっと、筆算をして小数展開を求めることを想定してるんだろうけど、
歴史的に見ても、明らかにまず有理数とその演算があって、1000年以上たった後で
小数展開が出てくるわけだから、「割り算の定義のなかに入ってます」
って言うのは無理があると思う。
47:１３２人目の素数さん
06/10/28 21:10:40
じゃあ、そもそも分数っていうのは何なんだ？
48:１３２人目の素数さん
06/10/28 21:16:04
歴史的、直観的に言ったら、まあ分数X/Yってのは、XをYで割った数だね。
もちろん現代数学ではもう少し厳密な定義を与えるけど。
とは言うものの、こう言うことはギリシア人も知ってた。
にも関らずギリシア人は小数展開なんてやらなかったわけで。
だからやっぱり割り算と小数展開の間には本質的な飛躍があると思う。
49:１３２人目の素数さん
06/10/28 21:34:53
>>48
その本質的な飛躍にもう少し厳密な定義を与えてください。
50:１３２人目の素数さん
06/10/28 21:36:57
文系の与太話じゃないんだからさー。
歴史がどーのとか言っていないで、論理で攻めろよｗ
51:１３２人目の素数さん
06/10/28 22:15:16
いやだって「論理的」には、表記法と演算は無関係、で終了だろう。
飛躍に厳密な定義なんて与えられようはずもないし。
52:１３２人目の素数さん
06/10/28 23:21:50
だからそもそも「飛躍」ってのが心理的なモンだけだと早く気づけよｗ
53:１３２人目の素数さん
06/10/29 00:18:02
>>4の
> ② ｘ＝０．９９９９… とおいて
> １０ｘ－ｘ＝９．９９９９… － ０．９９９９…
> ９ｘ ＝９
> ｘ ＝１
> したがって １＝０．９９９９… である。
これ、昔だれかが「x=」と置くのはダメとか言っててワケわからなかったけど、
何となくわかった気がする。例えば
x = 1/0とおいて、
x*(1/2) = (1/0)*(1/2)
x/2 = 1/0 (∵分子×分子、分母×分母
よって
x/2 = x
x = 0
したがって 1/0 = 0。
みたいな議論とあまり変わらんわけか。ちゃんとその値が存在するか、
収束するか、って言わなきゃ「x=」と置けないわけか。
…合ってる？
54:１３２人目の素数さん
06/10/29 00:40:00
>>53
それもあるけど、その値が存在する事を言ったとしてもまだ問題は残る。
その証明は
「10倍すると各桁の数字を一桁左にずらした値になるが、
同じ数字が無限に続いているので、小数点以下の部分は全く変わらない。
よって元の数を引くと整数部分だけが残る。」
という論法だけど、これも厳密に言おうとするとなかなか大変。
55:53
06/10/29 00:55:32
>>54
なるほど。うん、そこも気持ち悪い感じがしてた。
56:中卒止まりｵｻｰﾝ
06/10/29 11:03:19
>>54-55
そこで、次の話題(>>32改)
･
0.9(=以下0.9dotと代記)
=1は言える事やどちらでも(ｹﾞｰﾃﾞﾙさん？)な話は置いといて、
壱 0.9dotは1そのものか？(面積は等しいが異なる図形、と言う様に)
弐 壱を否定する場合、0.9dotと1の間はφか？
参 弐を肯定する場合、0.9dotの逆数は1の次に来る実数、として良いのか？
57:１３２人目の素数さん
06/10/29 12:52:50
>>53
まあ、上に有界な単調増加数列だから収束するって事で一つの値に固定されているって
コトになるよなあ…。でも、これは数ある「実数の連続性」の定義と同値なモノだよね。
だから「実数の連続性」とか使っちゃうと結局「０．９９９９…は収束するから収束するんだー」
って強弁しているのと実質変わらない気もする…ｗ 単に、別の実数の性質に責任転嫁
しているだけでさー。
要するに、０．９９９９…が固定した何らかの値になるとしても、とりあえず問題は発生しない
からそうするってコトっしょ。
>>54
それは、テンプレでは無限小数の演算が既に定義されているって前提だから、
問題ないのでは？
58:１３２人目の素数さん
06/10/29 13:26:35
>>42
では書き直しましょう。
循環小数は分数の形で表すことが出来る。
また、既約分数は小数の形で割り切れるか、または、
循環小数で表せることも真なり。
で、ある形の既約分数が循環小数で表せるって言うのは、
定理（既に証明されている。）だろう。
>>57
＞要するに、０．９９９…が固定した何らかの値になるとしても、
＞とりあえず問題は発生しない からそうするってコトっしょ。
もっと厳密な形に論点は絞れるのではないのかな？
＞それは、テンプレでは無限小数の演算が既に定義されているって前提だから、
＞問題ないのでは
どのように定義されているか書込まれていないから、
定義している事にはならない。
59:１３２人目の素数さん
06/10/29 13:53:46
>>58
より厳密なコト言えって？
１＝０．９９９９…と定義しても問題無し。演算の定義は各桁毎にやってくって定義でできるっしょ。
問題なし。
60:１３２人目の素数さん
06/10/29 14:03:31
各桁毎にやっても…計算が終わらん…
61:１３２人目の素数さん
06/10/29 14:09:46
必ず循環するんだろ？循環するとはっきり分かった時点で終了。
62:１３２人目の素数さん
06/10/29 14:36:04
じゃあ 1-0.999…=0.000…=0 だけでいいか。
63:１３２人目の素数さん
06/10/29 15:56:49
f(x) = (10^x -1 )/10^x
64:１３２人目の素数さん
06/10/29 16:58:39
1/9=(1/10)*(1+1/9)=0.1+1/90=0.11+1/900=0.11...(n)+1/(9*10^n)
結局、極限で
lim[n→∞]1/(9*10^n)=0
を言わないと、1/9=0.111... は言えないんじゃないの？
＞１＝０．９９９９…と定義しても問題無し。
こんな定義ありえんでしょ。
円周率は無限桁の小数で表されるけど、こんなの書いてられないからπと定義する、っていうのは納得いくが
1=0.999...は定義しちゃダメで、証明すべきもの。
勝手に 1＝2 と定義なんてしちゃうと、その他の公理から1≠2が証明できるので系が矛盾してしまう。
65:１３２人目の素数さん
06/10/29 17:53:29
だから、0.999・・・の定義を先に書いとけと言ってるだろ
66:１３２人目の素数さん
06/10/29 17:57:26
>>64
過去ログみたら分かるけど極限使った理論を言っても納得しない人は
沢山いるわけで…。
「１＝２」と違って、「１＝０．９９９９…」と定義しても矛盾はないからいいん
じゃないの？それに、その定義によって、無限小数と整数の関係が皆
決定できるから万々歳。問題なし。
まあ…、「１＝０．９９９９…」となるように各種の定義・公理を選択する…
ってのが、本筋なのかも知れないけどね。
67:１３２人目の素数さん
06/10/29 18:11:27
>>66
＞過去ログみたら分かるけど極限使った理論を言っても納得しない人は
＞沢山いるわけで…。
それは、極限を持ち出す側が、
極限の事を完全に理解してはいないからだろう。
おまけに定義の意味も分かってない。
68:１３２人目の素数さん
06/10/29 18:16:25
x=0.99999…とおく。
10x=9.99999…
10x-x=9
9x=9
∴x=1
69:１３２人目の素数さん
06/10/29 18:24:34
x=９.９９９９９・・・とおく。
１０x=９.９９９９９・・
10x-x=８.９９９９９・・・
９x=８.９９９９９・・・
∴x=０.９９９９９・・・
70:１３２人目の素数さん
06/10/29 18:27:52
>>69
書込む前に見直そうな
71:１３２人目の素数さん
06/10/29 18:30:16
ご免、許して。
x=０.９９９９９・・・とおく。
１０x=９.９９９９９・・
10x-x=８.９９９９９・・・
９x=８.９９９９９・・・
∴x=０.９９９９９・・・
72:１３２人目の素数さん
06/10/29 18:35:26
>>67
極限の意味だってｗ 言ってくれ。
皆がそれでこの問題を納得できるようなモンを頼むぞ。
定義に関してだけど、問題ありならそこをキチンと指摘してくれｗ
73:１３２人目の素数さん
06/10/29 18:45:54
>>65
＞だから、0.999・・・の定義
では、0.999…の定義を。
0.999…は循環小数であり、循環小数は明らかに無限小数である。
また、明らかに0.999…は級数であり、部分級数の値のｎが∞と言う値を、
取れる場合と言える。
よって、0.999…は無限級数の値に等しいと言える。
∴1=0.999…
74:１３２人目の素数さん
06/10/29 18:55:04
>>64
＞lim[n→∞]1/(9*10^n)=0
これはアルキメデスの原理の1バージョンで、「1=0.999…」と同値な命題だから
これを証明する事と「1=0.999…」を証明する事は本質的に同じ事なんだよね。
アルキメデスの原理と別のバージョンとしては
「どんな実数を取ってきても、それより大きい自然数が存在する」ってのがあるけど、
これならほとんどの人が自明だと思うんじゃないかな。
納得できない人も多い「1=0.999…」とこれが同値だというのは、なかなか興味深い。
75:１３２人目の素数さん
06/10/29 19:50:49
>>73
明らかに１＝０．９９９９…であるってのとあまり変わりないような…
76:１３２人目の素数さん
06/10/29 19:53:06
>>72
＞極限の意味だって
そんな事何処に書いてあるんだ。
１＝０．９９９９…が定義としなければ、確定できないならば、
全ての循環小数に対して、対応する値を、
定義しなければならないって言う事じゃないのか。
77:１３２人目の素数さん
06/10/29 20:08:21
>>75
定義を書く事を考えていたから、証明の部分をかなり省略しているからね。
nが無限大を取れると言う部分は、0.9(1-10^(-n))/(1-0.1)がn=∞と出来て、
0.9×1/(1-0.1)と言う値を取れるという事を省略している。
循環小数は無限級数であるのか、って言う事と、
ｎは無限大と言う値を取れるのかって言う事が、
定義するべき部分と考えたんだけどね。
78:１３２人目の素数さん
06/10/29 20:22:40
>>77
> 定義を書く事を考えていたから、証明の部分をかなり省略しているからね。
逆だろ
79:１３２人目の素数さん
06/10/29 20:37:49
>>78
＞逆だろ
そう思えるのか？
最初は0.999…の定義なんて、
循環小数って言うだけで良いだろうと思っていたんだけれど。
定義としては書込みすぎと思ったくらい。
だから、蛇足だというならば解る。
80:１３２人目の素数さん
06/10/29 20:44:21
だったら0.333・・・の定義も循環小数って言うだけなのか？
81:１３２人目の素数さん
06/10/29 21:32:26
さて、１と０．９９９９...は等しくないと思いたがる人を見つけたら、
「じゃあ1と0.9999....の間にある数を言ってみて。」と言おう。
定義 差がある２個の実数の間には実数がある。
でも1と0.9999...の間に実数はないよね。9は無限に続くもんね。
82:１３２人目の素数さん
06/10/29 21:33:47
>>81
実際言ったら「そんな法則しらん！」で終了でしたｗ
83:１３２人目の素数さん
06/10/29 21:41:47
> 定義 差がある２個の実数の間には実数がある。
無限小があるという人は
「無限小は0の次の数だ！」とか言うんだから
当然そんな「定義」受け入れないでしょ
84:１３２人目の素数さん
06/10/29 22:44:38
超準解析には無限小があるのですが…
85:１３２人目の素数さん
06/10/29 22:52:26
昔ﾄｰﾁｬﾝに聞いた説明
1/9=0.111…
両辺に９を掛けると
1=0.999…
86:１３２人目の素数さん
06/10/29 23:04:32
>>4の③だろ
87:１３２人目の素数さん
06/10/29 23:20:53
>>64
＞勝手に 1＝2 と定義なんてしちゃうと、その他の公理から1≠2が証明できるので系が矛盾してしまう。
「その他の公理」として何を採用するかで、矛盾するか どうかは変わる。実際、別の公理を採用すれば
1＝2は成り立つ。
例：F_2(標数2の素体)においては1＝2である。
88:１３２人目の素数さん
06/10/30 03:29:32
0.999…＋0.000…1＝1
89:１３２人目の素数さん
06/10/30 07:10:37
0.999…+0.0001=1.000…0999…
90:１３２人目の素数さん
06/10/30 08:01:22
lim[m→∞]
0.1^m
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)
＝１
91:１３２人目の素数さん
06/10/30 12:28:49
>>90
式が間違ってるぞ。
それじゃ、0.999…にしかならないぞ。
92:１３２人目の素数さん
06/10/30 16:49:58
>>91
あってるじゃん、極限はなくてもいいけど・・・
93:１３２人目の素数さん
06/10/30 17:28:43
余裕で証明できる
あのな
このスレの題名を見れば解る
もしも1=0.999…じゃなければこのスレが意味不明なことになるだろ
13.999…（≠14）個めのスレってどんなんだよ
説明してみろよ
なんかよくわかんねぇよ
94:１３２人目の素数さん
06/10/30 17:34:24
ん～、13.999…個めのスレとは言ってないぞ、といいわけできるな。
95:１３２人目の素数さん
06/10/30 20:47:44
>>92
∑[n=1～m](9*0.1^n) に極限記号がないから、有限小数になる。
ｍ桁目ってなんだ？ッて言うツッコミは入れないから。
96:>>90改訂
06/10/31 10:46:11
lim[m→∞]
{0.1^m
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
＝１
97:１３２人目の素数さん
06/10/31 20:27:09
無知な学生と講師と助手が屯しているスレはここでいいですか？
ぷ
98:１３２人目の素数さん
06/10/31 23:18:15
＞無知な学生と講師と助手
そんなに高尚かな？
『中卒オヤジと（数学は教養だ、という）感違いブラザーズ』って言う処じゃないのかな？
99:１３２人目の素数さん
06/10/31 23:49:56
反論できないから中傷…ｶｺﾜﾙｲ
100:１３２人目の素数さん
06/11/01 02:52:02
>>99
なんに対して反論しなければいけないのか教えてくれ。
101:１３２人目の素数さん
06/11/01 08:26:05
【結局は、ある意味究極の大同小異と言う事になるが】
数直線をデデキントの切断で、
切断箇所は
≧１(=以下右側)
＜１(=以下左側)
となるよう切断する。
このとき、右側の左端は勿論１。
さて一方、左側の右端は
0.999…になるか？
102:１３２人目の素数さん
06/11/01 10:42:41
右端・左端の定義は？
103:１３２人目の素数さん
06/11/01 19:40:11
>>101-102
デデキントの切断といっているのだから、
そんな質疑が出てくること自体が、おかしいのでは？
104:１３２人目の素数さん
06/11/01 20:44:00
ってか最近微分積分の極限値習ったんだが意味不明
限りなく近づくとき云々といっておきながら
例えばh→2でhが2に限りなく近づくとかいっておきながら
２をそのまま代入してるし意味不明
結局
「ある数αが、βに限りなく近づく時、αをβとして扱っても良い」
っていうのが極限？
それとも
「ある数αが、βに限りなく近づく時、α＝βになる」
か？
105:１３２人目の素数さん
06/11/01 21:13:02
>>104
結果として「そのまま代入したもの」になることが多いけど、そのままの代入では
イケナイときもある。
106:１３２人目の素数さん
06/11/01 21:28:54
>>104
lim[x→α]f(x)とf(α)は「意味として」別物。
結果が同じになることはある。そのときf(x)はx=αで連続であるという。
連続でなければ微分も糞もない。
f(x) = ( x^2 - α^2 ) / (x - α) とおく。
lim[x→α]f(x) はいくらだ？
107:１３２人目の素数さん
06/11/01 23:39:29
2α？
で、このスレでｘ→∞ってあるけど
ある実数ｘが無限に限りなく近づく
っていうのがあまり理解できないのですが・・・・・
まぁこれは自分で考えまｓ
108:１３２人目の素数さん
06/11/01 23:58:30
>>104
f(x)=1 (x=1)
0 (x≠1)
f(1)=1
lim[x→1]f(x)=0
109:１３２人目の素数さん
06/11/02 08:06:24
f(0.999…)=?
110:１３２人目の素数さん
06/11/02 09:37:40
>>101-102
>>103の言う通り。
0.999…也。
>>101での左右は、｢左方極限｣｢右方極限｣の左右と同じと思われ。
ならば、>>101での左端は｢左側｣の最大数となり、右端は｢右側｣の最小数となると思われ。両者は別々になる事は確か。
>>109
上記と>>108より、0。
更に1+(1ｰ0.999…)＝0とも。
つまり、0.999…は1の左方極限の究極、1+(1ｰ0.999…)は1の右方極限の究極と思われ。
極論暴言すれば、1ｰ0.999…は0の右方極限の究極と言えると思われ。
世界的には未決着題(本スレ内の上レス参照)なので、断言には至らず…。
111:１３２人目の素数さん
06/11/02 11:04:02
未決着じゃなくて定義次第だろ。
112:１３２人目の素数さん
06/11/02 12:57:54
>>111
どのように定義できるのかを書込まんと、単なる馬鹿と思われるだけだぞ。
例えば、１／ｎ＝０（ｎは自然数｜ｎ＝∞）と出来るのかは大きな問題だぞ。
113:１３２人目の素数さん
06/11/02 13:41:30
＞ｎは自然数｜ｎ＝∞
∞は自然数ではないので、この時点で間違い。
114:１３２人目の素数さん
06/11/02 15:33:49
定義？過去ログに余るほど書いているだろ。
115:１３２人目の素数さん
06/11/02 17:26:50
まだ、未決なんて言っている人がいるとは…。
定義によって決まるだろ…。
連続する数としての実数で考えて、0.999…を無限級数の極限値とすれば、無理なく
１と同じ数と言えるだろうに。
また、表記が違えば「違う数」と扱うなら、完全に違う数だろ。ただ、この場合副作用が
沢山あって困る状況にも陥るんだけどね。
116:１３２人目の素数さん
06/11/02 18:16:58
>>114
過去ログに定義が書いて有ると思っているなら、
定義って言うものが分かってないんじゃないか？
>>115
正確には、『級数が収束するとき、部分級数の極限値を、無限級数の値とする。』
しかし、無限級数そのものが、厳密に定義されているとは言えないだろう。
ｎ＝１～∞、
が定義出来なければ、無限級数の存在は実証できないのでは？
117:１３２人目の素数さん
06/11/02 19:00:46
>>116
おいおい。まだこだわっていたのか？ｗ
１＝０．９９９９…と「定義」し、無限小数の四則演算を定義しても（加法なら各桁毎に足す。整数での
除法は繰り下がりも考慮し、商が繰り返すようだったらそこで終了。符号も考慮する）何の問題もな
いだろ。しかも、有理数を必ず無限小数に変換できるしな。
問題あるというなら、その問題点を き ち ん と 具 体 的 に 指 摘 し て く れ 。
それから「厳密、厳密」という人がなんで ｎ＝∞ なんて表現を許すんだ？
また、君が考える「実在」の定義ってなんだｗ
118:１３２人目の素数さん
06/11/02 19:01:49
>>116
あのー。ペアノ公理系って知っている？
119:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:12:11
>>117
＞それから「厳密、厳密」という人がなんで ｎ＝∞ なんて表現を許すんだ？
日本語が理解できないのか。
120:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:16:02
>>117
①0.999...[9]≡1-(10^-n)[n→∞]
②0.999...[8]≡1-2*(10^-n)[n→∞]
③0.999...[7]≡1-3*(10^-n)[n→∞]
さて上の３つは全て同じ表現と言えるのか、つまり、0.999...＝0.999...[9]＝0.999...[8]＝0.999...[7] なのか？
君はこれら全部に'＝１'と定義していくのか？
121:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:19:47
>>116
＞しかし、無限級数そのものが、厳密に定義されているとは言えないだろう。
「Aという記号列を[～～文章～～]で定義する」と言っているのに、
「いや、それではAそのものが厳密に定義されているとは言えない」
とはこれいかに？>>116のアタマの中では"Aという記号列"と"Aそのもの"が
違う対象になっているらしい。
122:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:23:00
>>120
(10^-n)[n→∞] という記号列の定義によって、'＝1'か否かは変わる。
それで、(10^-n)[n→∞] って何？
123:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:35:10
ある数Ｘがαに限りなく近づく時、Ｘはαに収束する
ってのを辞書で見た
収束
有限確定の値を取ること
ってかいてあった
ということは
0.999…は1に限りなく近づいているといえるので
0.999…は1に収束する
有限確定ってのがよくわからないが確定した有限の数と言う意味か
ということで0.999…=1？
124:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:35:41
>>120
提示したコトの問題点を指摘しないで、いきなり別のコトを提示か。
凄いなｗ
125:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:46:12
>>120
そもそも0.999...[7]とかってどういう意味だ？
一般的に無限十進小数は整数から0～9への写像に自然に対応づけられる。
で、そのように解釈する場合、7に対応する整数は何だ？
言い換えるとその7は何桁目だ？
126:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:48:01
∞＋１桁目だ
とか言いそう
127:１３２人目の素数さん
06/11/02 21:00:55
結論は、またこのスレは馬鹿の集団ということになりそうな予感。
128:１３２人目の素数さん
06/11/02 21:57:09
>>121
日本語でＯＫ。
129:１３２人目の素数さん
06/11/02 22:05:30
>>123
>0.999…は1に限りなく近づいているといえるので
「近づいている」というのがちょっと違う。
イメージで言えば0.999…は動いていなくてとまっている。
1に近づいているのは数列 an = { 0.9, 9,99, 0.999, 0.9999, ・・・} であって
その近づく先を0.999…と表記する。
130:１３２人目の素数さん
06/11/03 02:17:56
>>117
文章ではなくて、数式で説明してくれないか。
多分、あなたは無限の問題点がわかっていない。
131:１３２人目の素数さん
06/11/03 05:24:12
(by >>110)
>>111&>>115
謝る。
前スレでの中卒止まりのオッサンとやらの話題振り(８０６ageだった)への回答が、要するに
｢定義次第｣
今更思い出した。
＞副作用
これは、>>101の言う通りに大同小異とし、>>108提示に配慮して扱えば良いと思う。
(1ｰ0.999…)は究極のｱﾝﾀﾞｰﾌﾛｰ。
132:１３２人目の素数さん
06/11/03 11:30:06
ところで1.000…無限個…01についてはどう思う？
(1)そんな数の存在は認めない
(2)1に等しい
(3)1に等しくない
133:１３２人目の素数さん
06/11/03 13:16:22
定義をしない限り(1)。そんな数は実数としてはないんだし。
134:１３２人目の素数さん
06/11/03 15:06:57
数列 { 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, ・・・}の極限
すなわち lim[n→∞] ( 1 + 1/10^n )
の意味でなら認めるにやぶさかでないが
「無限個」が気に入らんな。
135:１３２人目の素数さん
06/11/03 15:25:36
>>132
a＝0.000…999 (有限桁目は全部0で、無限桁目は全部9)
b＝0.000…001 (有限桁目は全部0で、無限桁目は最後だけ1で他は0)
とおくと、aとbを足せば繰り上がりがおき、無限桁目は全部0となるが、
かといって有限桁目も0のままだから、結局全ての桁が0になってしまい、
a＋b＝0.000…000＝0
136:１３２人目の素数さん
06/11/03 17:18:21
>>121
定義
0.999…は1に等しい。
定義終わり
で定義したことになると思っているのか。
究極の数学音痴だな。
137:１３２人目の素数さん
06/11/03 17:31:45
印象批判じゃなくてキチンと何処がどうダメか
明記しろよw
138:１３２人目の素数さん
06/11/03 17:41:49
>>137
まともに学校行ってりゃ、普通に解ることだよ。
139:１３２人目の素数さん
06/11/03 17:45:05
まず集合論で自然数を構成し、
それから実数を構成しましょう。
140:１３２人目の素数さん
06/11/03 18:17:31
>>136
なるよ。
>>138
君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の意味は解らないだろうな。
君がリーマン積分の定義を見たら、「それは値を決めただけであり、積分そのものの定義には
なっていない」とバカげた主張をするだろう。
141:１３２人目の素数さん
06/11/03 18:34:05
>>140
思考力の無い奴は、数学を志すなという典型だな。
ある系で定義されたことと、普遍的な定義との違いも解らんとは。
142:１３２人目の素数さん
06/11/03 18:40:27
>>141
「普遍的な定義」は幻想にすぎない。「普遍的な定義」など存在しない。
何を以って、普遍的だと判断するのか？普遍的とは何か？君の言う【普遍的】の
定 義 はどこ？君にはこの【普遍的】という言葉を 定 義 できるのか？
それも、”ある系で定義された”【普遍的】ではなく、”普遍的な定義の”
【普遍的】をね。
143:132
06/11/03 18:44:55
>>133-135
俺自身は(1)
でも1≠0.999…派だと(3)と答えそうな気がする。
そういう人が乗ってこなかったのは残念だけど機会があったら聞いてみたいな
>>135の計算を参考にして思いついた>>132の表現が適切でない説明
0.00…01＋0.00…09=0.00…10=0.00…010=0.00…01
0でない数を足したのに同じ数になってしまう。
だから、そもそもこんな数は存在しない。
あるいはこういう数も0に等しい。
これは説得に使えるだろうか？
144:１３２人目の素数さん
06/11/03 19:05:16
あー。やっぱり「普遍的定義」なるものの存在を信じていたんだなｗ
そうじゃないかと思っていたが…。
「算数」だったら文科省が「これだ！！！」って決めたヤツが普遍的定義になるんかいな。
少なくとも日本内なら。
145:１３２人目の素数さん
06/11/03 19:07:50
>>143
オレがそっち方面の話に乗らなかったのは、そういうのって結局論議している人毎に
イメージ（定義）が違うからいつまでたっても結論がまとまらないからだ。
そういったことで「説得」なんてそもそも無理なんじゃないのか？キチンとした定義も
そもそもないしさー。
146:１３２人目の素数さん
06/11/03 20:53:04
単に10進法の表記の場合、分母が10のベキになる
有理数の10進法表記は一意に決まらない、で済ましちゃうのも一つの手では？
147:１３２人目の素数さん
06/11/03 21:05:50
積分はある関数から別の関数を作る操作、その逆操作が微分。
それが極限操作だったり、網タイツだったりの差だけ
148:１３２人目の素数さん
06/11/03 21:14:35
ちょっと変なネタを思いついた。
自然数に関する命題P(n)について
「P(n)が真ならばn桁目は1、偽ならば0」
と小数を対応づけることができる。
またゲーデルの不完全制定理によると任意の自然数nについて偽であるが、
そのことが証明できない命題が存在する。
そのような命題に対応する小数は0に等しいと言えるだろうか？
言い換えると計算不可能だが0に等しい数。
試しにどこまで計算しても0しか出てこないみたいだが、
本当に1が現れないのか保証できない数。
149:１３２人目の素数さん
06/11/03 22:13:13
>>144-145
たとえば、１０＾（-ｎ）において、
n=∞としたときが定義できればいいのではないのか？
150:１３２人目の素数さん
06/11/03 22:18:29
>>148
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
ここで聞いてみたら？
151:１３２人目の素数さん
06/11/03 22:20:18
自然数論でという制限するのも不自然だから言えるでいいでしょ？
152:１３２人目の素数さん
06/11/04 04:59:15
>>132-135＆>>143
1+(1-0.999)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
153:１３２人目の素数さん
06/11/04 14:38:28
0.999…は1と等しいと何故定義してはいけないのか
まぁ当たり前だね
説明しにくいけど
はぁ？なんでしちゃいけねぇんだよ
って言うんだったら
１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
まぁそれは駄目だろって言うと思うけどね
154:１３２人目の素数さん
06/11/04 14:41:02
"定義する"
と
"仮定する"
ってどう違うんですか？
155:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/11/04 14:46:10
talk:>>154 定義を、言葉の意味の仮定だと思っているのか？
156:１３２人目の素数さん
06/11/04 14:56:48
>>153
別に定義していいよ。１＋１＝３と。
単に２と３の役割を入れ替えればそれでＯＫ。
157:１３２人目の素数さん
06/11/04 15:16:32
数学の問題の答えとかであるじゃん
αを実数と仮定すると、…
とか
定義と仮定の数学の問題的な意味は一緒なのかなと
まぁ辞書引いてくる
158:１３２人目の素数さん
06/11/04 15:34:33
>>153
＞１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
>>156の言うように、「2」と「3」という記号に与えられた定義を適当に変更した上で、1＋1＝3が
成り立つようにすることは可能。また、「2」「3」の定義はそのままで、「＋」と「＝」の定義を
適当に変更した上では、やはり1＋1＝3とすることが可能である。実際、標数1の素体F1上では
1＋1＝3が成り立つ。
バカは消えろ。君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の何たるかは理解できない。
159:１３２人目の素数さん
06/11/04 15:52:34
【定義】
概念の内容を限定すること。
すなわち、ある概念の内包を構成する本質的属性を明らかにし、他の概念から区別すること。
その概念の属する最も近い類を挙げ、さらに種差を挙げて同類のほかの概念から区別すること。
例えば「人間は理性的（種差）動物（類概念）である」。
「広辞苑第五版」岩波書店 より抜粋
意味が解りません
160:１３２人目の素数さん
06/11/04 16:27:02
[>>153脱字補正]
>>132-135＆>>143
1+(1-0.999…)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
161:１３２人目の素数さん
06/11/04 18:43:37
>標数1の素体F1
162:１３２人目の素数さん
06/11/04 22:05:58
なんて言うか、数学の定義ってそんなに自分勝手にできるものじゃないと思うんだ。
大学の数学の授業とかは天下り式に公理や定義から始まるけれど、
本当はwel-definedな定義を作ることこそが数学の重要なポイントだと思う。
163:１３２人目の素数さん
06/11/04 23:52:56
今まで0.999…=1だと言われ、初等的な証明も厨房の頃に先生から
教えられて、それで疑問もなかったが、意外と奥が深いのな。
0.111…×9を例に挙げて、小学生から
筆算で掛け算は掛ける数と掛けられる数を右に寄せる。
でも無限に続くなら掛ける数を置きようがないじゃないか。
と疑問が来た。
再び考え出すときりがないんだが、「無限に続く小数に整数を掛ける」
ことを「有限小数に整数を掛ける」と同様に実行できるか、と言われると
どう説明していいのだろうか…
164:１３２人目の素数さん
06/11/05 01:53:09
>>162
wel-definedだと原理的に証明できんから仕方ない。
>>163
自然科学分野の筆算では、小数点を合わせる乗法の筆算もあるぞ。
165:１３２人目の素数さん
06/11/05 02:10:56
マンフリート・フォン・リヒト普遍
166:１３２人目の素数さん
06/11/05 06:24:07
【>>90改訂(括弧足らず)の>>96、のそのまた補完】
0.1+0.9=(1ｰ0.9)
0.01+0.99=(1ｰ0.99)
0.001+0.999=(1ｰ0.999)
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1 (∵m→∞)
167:166､ｱﾙｺｰﾙ入り
06/11/05 06:36:10
【>>166は脱字した、夜勤明け飲酒中陳謝】
脳内補完、よろ。
各右辺ｰ0.9～を付け足し、で。
168:１３２人目の素数さん
06/11/05 09:06:53
>>166
10^(-n) ＋∑[k=1～n](9*10^(-k))=1において、
ｎを充分大きい値としたときに、10^(-n)は充分小さい値として無視し得る。
よって、(n→∞）∑[k=1～n](9*10^(-k))=1
微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
あと必要なのは、循環小数と（級数？）0.999…が同値である証明？
169:166
06/11/05 10:17:26
>>168
＞微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
→勿論。しかし当ｽﾚでは一筋縄ではいかない。
170:167の補正も、ｰでなく+だ!!
06/11/05 10:25:14
0.1+0.9=(1ｰ0.9)+0.9
0.01+0.99=(1ｰ0.99)+0.99
0.001+0.999=(1ｰ0.999)+0.999
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)+0.9999
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)+0.999…9
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1
171:ﾔｹ酒、酔い醒め切らぬ
06/11/05 10:53:24
【つか、酔ってなくても自分はｹｱﾚｽﾐｽ多い性格】
>>168
あと必要なのは、循環小数と(級数？)0.999…が同値である証明？
→(少なくとも>>168では、極限移行ではなく同一扱いだが、表現力が及ばず…)
仰る通り。
極限移行すると、例えば2-(1ｰ0.999…)×2、砕けた表示で0.999…→998も極限表示すれば1となってしまう。
【注意、…→として｢限り無く先｣としたが、これもまた表現不尽である為、脳内補完で宜しく】
つか、何より極限値を取って終わり、ではこの話題の結論には不足とも考える。単純回答として>>108氏参考。
172:１３２人目の素数さん
06/11/05 12:51:53
>>168
ここは物理板ではなく、数学板です。
173:１３２人目の素数さん
06/11/05 13:39:55
>>172
だと、どうなるんだい？
174:１３２人目の素数さん
06/11/05 14:20:48
十分小さい値だから無視できるなんて使っちゃイカンってコト。
175:１３２人目の素数さん
06/11/05 15:20:02
>>174
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]
f(x)=x^2のとき、
lim(h→0)[(x^2+2hx+h^2)-x^2}/{(x+h)-x}]
=lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
数学じゃ、どう説明してんの？
176:１３２人目の素数さん
06/11/05 15:44:55
不等式を使う
177:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:09:07
不等式を使えば、数式の意味が変わる？
178:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:18:59
>ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
>∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
記号limを使ってる以上、無視とかそういう問題ではない。
f(x) = x^2のとき、
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}] = lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h} = 2x
以上。
179:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:34:56
>>177
端的に言うとε-δ論法。
180:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:39:16
>>178
lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
181:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:41:16
>>179
ε-δ論法は、必要なだけ小さい値とすることが出来る、
という意味ではないのか？
182:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:43:01
>>180
真面目に書いてます？
183:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:55:25
>>182
どこが不真面目に思える？
184:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:00:39
>>180
>lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
h→0の極限では当然h≠0
>lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
意味不明。
185:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:30:18
>>184
では何故、
lim(h→0){2x+h} = 2x
といえるのか説明してくれ。
186:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:41:39
中学生の考えですけど正しいですかね？
誰か指摘よろ。
Ｓ = 0.99 …とおく
0.1Ｓ = 0.099…
Ｓ－0.1Ｓ
= 0.9Ｓ
= 0.9-0.000…9
0.00…9の１が存在する桁目はスレタイのより無限。
∴ 0.00…9 = 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
0.9Ｓ = 0.9 - 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
Ｓ = 1 - 0.1^n ( n → ∞ )
0.1^n = 1 / 10^n → 0 ( n → ∞ )
∴ Ｓ = 1 = 0.99…
有限桁、つまり桁の終端が存在する時(つまり、n → ∞でない時。)に0.1^n≠0となりＳ≠１となる。
終わり。
187:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:51:28
>>185
lim(h→0){2x+h} = lim(h→0){2x} + lim(h→0){h} = 2x + 0 = 2x
前提として
①極限が加法に関して展開可能であること（ lim(f+g) = lim(f) + lim(g) ただしいずれも有限確定のとき）
②lim(h→0){h} = 0
を使用しているが、必要ならばいずれもε-δで証明できる。
省略しているだけで「無視できるから」では断じてない。
188:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:55:23
lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
え？不能なの・・・
普通に＝2xじゃないんですか
189:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:58:33
>>188
「ゼロで割れない」っていいたんじゃないの？ｗ
190:１３２人目の素数さん
06/11/05 18:00:46
>>188
｢#DIV/0!｣
191:１３２人目の素数さん
06/11/05 18:15:38
いや、でもちゃんと約分してるから大丈夫なのでは？
っていうか
lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
だけのことを言ってたのか
数学の先生曰く
「lim(h→0){(2hx+h^2)/h}とlim(h→0){2x+h}は『関数的に』違う」
だそうです
192:１３２人目の素数さん
06/11/05 18:19:04
「約分してるから」ってのはそれはそれで間違い。
ゼロになる可能性があるなら約分もしちゃだめ。
ただしh→0の極限を考えているときには問題ない。
193:１３２人目の素数さん
06/11/05 19:07:36
>>186
0.000…9 って表記はおいといて、
> Ｓ－0.1Ｓ
> = 0.9Ｓ
> = 0.9-0.000…9
２行目から３行目はどうして出てくるの？
194:１３２人目の素数さん
06/11/05 19:31:19
>>187
何度も言うようだが、ε-δは必要ならいくらでも小さい値が取れるという意味で、
ゼロとしていいという意味ではないだろう。
省略というが、証明できるならしてみてくれ。
195:非187
06/11/05 19:38:04
>>194
日本語として、｢必要なだけ｣は語弊がある希ｶﾞｽ。
限り無く…
つ無限小
{0|無限小,φ}(無限小≠φ)
196:１３２人目の素数さん
06/11/05 19:43:00
必要ならいくらでも小さい値が取れる = 極限がゼロである
と定義されている。
ってそんな前提もなしに話してるのかよ。
197:１３２人目の素数さん
06/11/05 19:51:45
(limの定義)
x＝aの近傍Vで定義された関数f(x)の、x→aにおける極限値がαであるとは、
∀ε＞0, ∃δ＞0 s,t x∈(a－δ, a＋δ)∩(V－{a}) → ｜f(x)－α｜＜ε
が成り立つときを言う。このときα＝lim[x→a]f(x)と表記する。この
定義から明らかなように、lim[x→a]f(x)が存在すれば、fの定義域Vを
新たなaの近傍V'に拡張しても制限しても、lim[x→a]f(x)の値は変わらない。
なお、集合Vがaの近傍であるとは、(a－t, a＋t)⊂Vを満たすt＞0が
存在するときを言う。
(lim[h→0]h＝0の証明)
VとしてRがとれる。任意のε＞0に対して、δ＝ε/2＞0とすれば、h∈(0－δ, 0＋δ)∩(R－{0})
ならば｜h－0｜＜ε が成り立つので、定義からlim[h→0]h＝0となる。
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