圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3

圏論 / カテゴリー論 ..

246:１３２人目の素数さん
07/03/30 09:14:02
ある概念が一意に拡張されないないなら、それは自然な拡張ではないと考える
あんたの考えが狭すぎる。

別にいいんだよ自然でも自然でなくても。
圏をpreoderの一般化と見ることにより見えてくるものがあればいい。

そんな見方不要というならそれでもいい。
それで、別に食うには困らないし死にはしない。

247:１３２人目の素数さん
07/03/30 09:30:20
他人の主観的な考え方に広いも狭いも無いような
246のように考えるなら「こんな考え方もあるんだよ」と一回言うだけで十分で
別に延々と議論しなくても誰も困らんし死にはしないな

248:１３２人目の素数さん
07/03/30 12:03:52
前順序集合の圏は
圏の圏、合成が定義された有向グラフの圏、2項関係つき集合の圏
に忠実充満に埋め込める。

>>245 例えば結合性を少し緩めたA_∞圏。

合成が定義された有向グラフの一般論は知らない。

考えられる問題は
圏の圏から合成が定義された有向グラフの圏への函手の随伴函手があるかどうか
合成が定義された有向グラフで圏とは違う良い例の構成

対象が一つの場合だと
モノイドの圏からマグマの圏への函手の随伴函手があるかどうか
マグマでモノイドとは違う良い例の構成

249:１３２人目の素数さん
07/03/30 12:25:01
そんなカオスなところには何もあってほしくないｗ

250:１３２人目の素数さん
07/03/30 12:53:29
自然なという言葉にひっかかったんだろうね。
ドキュンは往々にしてどうでもいい細かいことに拘る。

251:１３２人目の素数さん
07/03/30 12:57:24
DQNていうのは圏論なんかやらない人種のことだ

252:１３２人目の素数さん
07/03/30 12:58:10
逆に一見自明だが重要な事実は、それが自明というだけで
軽視するのもドキュン。
要するに、物事のウェイト付けが根本でずれている。

253:１３２人目の素数さん
07/03/30 12:59:40
>>251

なことはない。

254:１３２人目の素数さん
07/03/30 13:10:46
ドキュンの意味が変わってきてるのかな？
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)

大工や水商売で圏論についてあーでもないこーでもない考えてる奴って想像が付かないんだが・・・ｗ
因数分解の遥かまえ、分数の足し算の前後でドロップアウトするのが平均的なドキュンじゃないかな

255:１３２人目の素数さん
07/03/30 13:10:50
それを圏論の言葉でいうとどうなりますか？

とか聞いてくるDQNは学会とかでよく見るな

256:１３２人目の素数さん
07/03/30 14:08:41
DQNはおまえだろお前だろ

257:１３２人目の素数さん
07/03/30 14:41:21
>>255
奇妙な妄想レスはもういいから新学期の準備でもしろ

258:１３２人目の素数さん
07/03/30 15:59:31
言葉遣いの問題はさっさと両方とも一歩引けばいいだけの話なのに…

259:２４５
07/03/30 17:54:47
>>248
レスThxです。A_∞圏ですか。少し調べてみます。

260:１３２人目の素数さん
07/03/30 18:38:09
>>227
> たとえば、12-->36　のイコライザは12でよいのでしょうか？
それで合ってるよ。

整除関係みたいに順序集合を圏とみなした場合は、射の一意性が自明だから
あまりリッチな構造を持ってないともいえる。
具体例を作ってみるのに一番手っ取り早いのはたぶん集合の圏。

261:１３２人目の素数さん
07/03/30 18:38:21
A_∞圏はKontsevich流のミラー対称性で使われているよ。

262:１３２人目の素数さん
07/03/30 22:07:01
>>258

言葉遣いの問題だけじゃない気がする。
認識の差の問題。
まあ掲示板でのコミュニケーションっていうのはこういうのばっかり。
経験や性格、知能がバラバラなのに意思疎通を取ろうっていうのだから。
むしろ、この程度でも疎通が出来てるのが不思議。

263:１３２人目の素数さん
07/04/01 10:25:25
圏論の効果や威力を示す簡単な例としては
どんなのがありますか？

264:１３２人目の素数さん
07/04/01 11:20:29
>>263

学部１、２年で習うような簡単な例はないというか、少なくとも俺は知らない。
代数トポロジーとか代数幾何ならある。

265:１３２人目の素数さん
07/04/01 11:36:08
小学１年から集合論を習う様なもんだよ

266:１３２人目の素数さん
07/04/01 11:53:13
まずはホモロジーとドラームコホモロジーを勉強してからだな

267:１３２人目の素数さん
07/04/01 12:17:21
>>264-266
そんなものなの？
それではコンピュータサイエンスで使われているのはなぜ？
集合論の場合でも、中学高校生にもそれなりにわかる効果が
言えたけどな

268:１３２人目の素数さん
07/04/01 12:37:11
効果ネェ……
圏論は形式化指向なんで、具体性が欲しいなら遠回りせにゃ無理だろ。
集合論は素朴集合論の根拠・理屈付けというかなり具体的なもんだから
それと並べてもいかんよ。

269:１３２人目の素数さん
07/04/01 12:37:36
>>267
>それではコンピュータサイエンスで使われているのはなぜ？

コンピュータサイエンスは数学じゃない。
だからそれに使われたからって、学部１、２年で習うような数学に
効果的に使われる簡単な例があるとは限らない。

>集合論の場合でも、中学高校生にもそれなりにわかる効果が
>言えたけどな

それなりにわかることと、効果的に使えることは別。

270:１３２人目の素数さん
07/04/01 12:55:51
>圏論は形式化指向
集合論だって形式化指向でしょ。
>それなりにわかることと、効果的に使えることは別。
そもそも集合論は｢効果的に使う｣ようなものではないよね。

271:１３２人目の素数さん
07/04/01 13:09:27
>>270
素朴集合論を肯定的に記述する公理的な道具の構成という
至極具体的で限定的なモチベーションに基づく形式化と
圏論みたいにアブストラクトナンセンスと揶揄されるような
ほとんど限定的でない形式化とを同等のものと思い込んで
並べてもなにもうれしくはないという話をしてるわけだが。

272:１３２人目の素数さん
07/04/01 13:10:36
線形代数の基底まわりの一意性の議論は
圏論的に見たほうがわかりやすいかもしれんね。

273:１３２人目の素数さん
07/04/01 13:17:35
>>272

どうやるの？

274:１３２人目の素数さん
07/04/01 14:11:34
>>267
集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。

275:１３２人目の素数さん
07/04/01 14:35:20
集合論の場合はベン図使って個数の処理するみたいな具体的でけっこう初等的な
使い道があったりするわけだけれどもそのくらいのレベルでの圏論の使い道ってのは
やっぱないのかね

276:１３２人目の素数さん
07/04/01 14:40:38
意識が逆じゃね?

277:１３２人目の素数さん
07/04/01 15:02:06
そもそも集合論は中高生には役立たんよ。
良く巧く中高生を騙せたもんだな。

278:１３２人目の素数さん
07/04/01 15:42:18
>集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。
それは集合の効力であって、圏の効力ではないでしょ
>集合論の場合はベン図使って個数の処理するみたいな
圏論を有向グラフとして使うのがちょうどそのレベルの使い道ではないかな？
>そもそも集合論は中高生には役立たんよ。
その調子でいえば大学生にとっても同じでは？
やっぱ標準言語としての役割があるのではないの
だけど圏論の使い道を聞いてもよい答えが返ってこないのはどうしてかな？
単なる言語としての使い道でもよいのだが

279:１３２人目の素数さん
07/04/01 15:53:25
>集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。
それは集合の効力であって圏の効力ではないよね
>集合論の場合はベン図使って個数の処理するみたいな具体的でけっこう初等的な
有向グラフとしての圏がちょうどそのレベルの使い道に当たるのでは？
>そもそも集合論は中高生には役立たんよ。
そんなことを言ったら大学生だって同じ。
標準言語としての使い道は明らかにあるでしょ。
ところが圏の場合はその言語としての使い道もどうだかよくわからん。
使い道を聞いてもいつもよい答は返ってこない。どういうことかな？

280:１３２人目の素数さん
07/04/01 16:22:11
>>278
>だけど圏論の使い道を聞いてもよい答えが返ってこないのはどうしてかな？

だから学部１、２年で習うような簡単な例はないか、あるとしても効果的ではない。
使ってもいいが、学生が混乱するだろう。

圏論が出現したのは２０世紀も半ば。
数学がそこまで成熟して初めて圏論の必要性が認識された。

281:１３２人目の素数さん
07/04/01 16:25:09
中学生や高校生にとって「標準言語」としての意味があると思ってんの？
集合論に。

282:１３２人目の素数さん
07/04/01 16:49:04
>>275
Conceptual Mathematicsていう本はそういうレベルの
有限な圏の例がものすごいたくさん出てくる。
ただ、まだ訳されてない。

283:１３２人目の素数さん
07/04/01 17:04:39
>282

例えばどんな例？

284:１３２人目の素数さん
07/04/01 17:06:53
有限次元線型空間とその二重双対空間との自然な同型は
函手の自然変換として捉えられる。
自然な同型と自然でない同型の違いは
線型代数を学ぶ時少し分かりにくい所で、
圏論的理解が有効な所だと思う。

285:１３２人目の素数さん
07/04/01 17:28:55
>>284

それを理解させるのに圏論を１から教えると、ますますわかりにくくなる恐れがある。
要するに、数学の初歩で圏論を教えるのは無理があるのだよ。

286:１３２人目の素数さん
07/04/01 17:36:01
具体例は一般論を理解したうえで見れば本のつまらない例の一つ
ということになるんだろうけど、一般論を理解するには自明な例や
自明ではないが簡単な例などを十分積み重ねなければ存分な
理解は得られないよ。

と俺は研究室に居たときボスに何回か言われた。
中高生や大学初年度級の学生に圏論をっていうのは
それと同じことだと思うんだよ。

287:１３２人目の素数さん
07/04/01 17:42:35
>>283
有限な圏というか、各要素が有限に構成できる圏って感じだった。（ぜんぜん違うがｗ
まあ、自分で嫁

288:１３２人目の素数さん
07/04/01 18:51:05
>>282
>Conceptual Mathematicsていう本はそういうレベルの
>有限な圏の例がものすごいたくさん出てくる。
そういう本であることを期待していたがだいぶはずれた。
結局、写像、有向グラフ、状態遷移図の例とエクササイズがほとんどで、
圏固有の概念や、なぜ圏か、がわかるようなものではなかった。
>要するに、数学の初歩で圏論を教えるのは無理があるのだよ。
やっぱりこうかとも思うが、よくわかった書き手がいない、あるいは、
裸の王様なのかとも思う。

289:１３２人目の素数さん
07/04/01 19:10:08
>>288

なんで、数学の初期段階で圏論にこだわるんだよ。
他にやることは一杯あるだろ。
何回も言うように初期段階で圏論やっても圏論の有り難味が分からない。
ほんとに必要になったらやればいい。

290:１３２人目の素数さん
07/04/01 20:57:24
>>289
>ほんとに必要になったらやればいい。
まあそうかもしれんが、必要になる前に目星はつけておきたい
という気持ちもわかるよね。
相対論だって必要になることなんてないけど分かろうとするよね。
もちろん圏論は相対論ほどのものではないだろうが。

291:１３２人目の素数さん
07/04/01 21:06:57
むしろ、集合論がニュートン力学で、対して量子論に当たるものが圏論なわけで。

292:１３２人目の素数さん
07/04/01 21:10:02
>>290

そんなの個人の自由に決まってる。
やりたければなんでもやればいい。
ただし、虻蜂取らずのリスクはある。

しかし、高校や大学の初年度のカリキュラムに入れろとかとなると
話は全然別ってことだ。

293:１３２人目の素数さん
07/04/02 00:10:17
数学の初学者がいきなり圏論はきついな。
抽象的すぎて（定理とかは証明できたとしても）その意味までは理解できなくなる。
最も、圏論自体は面白い学問ではあるけどね。
ただ、面白すぎて抜け出せなくなる可能性もあるが・・・

294:１３２人目の素数さん
07/04/02 00:27:12
kingの嫌いな女たち
URLﾘﾝｸ(www.lustgal.com)

295:１３２人目の素数さん
07/04/02 00:30:41
kingの嫌いな女たち
URLﾘﾝｸ(www.lustgal.com)

296:１３２人目の素数さん
07/04/02 10:12:17
このスレ

　～～～オワ～～～

297:１３２人目の素数さん
07/04/02 10:28:29
ＥＲＲＯＲ：連続投稿ですか？？ 8回

名前：１３２人目の素数さん
E-mail：
内容：
URLﾘﾝｸ(science6.2ch.net)

★ アクセス規制中でも書ける板たち ★

298:１３２人目の素数さん
07/04/02 13:25:44
>>278
＞>集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。
＞それは集合の効力であって、圏の効力ではないでしょ

その見方は大いに間違っていると言わざるを得ない。
むしろ、集合に効力があるのはそれ自体が圏だからだよ。
数学において代数系や位相空間が有用なのは知ってるよね？
それは、代数系や位相空間も圏であるからに他ならない。

299:１３２人目の素数さん
07/04/02 13:37:16
むしろ圏が代数系なんだとおもうんだが。

300:３００
07/04/02 14:03:52
一見そう思えるかも知れないが、その見方はやがて行き詰まる。

301:１３２人目の素数さん
07/04/02 17:06:12
やはりオブジェクトからなにか抽象量をとりだすようなこと考えない限り
圏論はいらんのではないか。そういう意味では具体例を考える場合には
コホモロジーみたいなものより具体的な例というのは与えることは無理なんじゃないのか

302:１３２人目の素数さん
07/04/02 17:19:55
お前が圏論を知らないことだけは良く分かった

303:１３２人目の素数さん
07/04/02 19:53:18
もし集合論がなく圏論しか無かったとしたら解析学は展開出来ますか。
>>298みたいなことは圏論によって実解析や関数解析を基礎付けてから
初めて言えることだと思うけど。

304:１３２人目の素数さん
07/04/02 20:52:26
そもそも圏論で集合論を基礎付けることが出来る

305:１３２人目の素数さん
07/04/02 20:56:31
それは集合の圏というものを考えることが出来る、というだけで、
圏論の言語によって集合論の理論を解釈することが出来る、というわけじゃないでしょ。

306:１３２人目の素数さん
07/04/02 21:15:34
Wikipedia項目ﾘﾝｸ
＞トポスと呼ばれる特別な種類の圏は、数学基礎論としての公理的集合論に取って代わることすら可能である。

307:１３２人目の素数さん
07/04/02 21:27:03
だからさ、それは別に解釈可能ということではないんじゃないの？

だとしたら実数などに関する集合論的な興味を持つ人にとっては
代替可能ということにはならないと思うんだけど。

308:１３２人目の素数さん
07/04/02 21:31:21
それにカテゴリー論はBGC内で解釈できるし
巨大基数公理を付け加えればZFC内でも解釈できる。
またZFC集合論での超数学での理論と解釈することも出来る、
とか書いてあったけど。

309:１３２人目の素数さん
07/04/02 22:44:48
>>307 >>308
とりあえず死ね

310:１３２人目の素数さん
07/04/02 23:22:00
何で自分の知らない話題になったら「死ね」（しかも氏ねとか史ねじゃなくて死ね）となるわけ？
お前のほうが死んだほうが良いと思うよ

311:１３２人目の素数さん
07/04/03 00:02:23
>>308
集合論で圏論が解釈できることと
圏論で集合論が解釈できるかどうかということは全く関係ない。

で、実際は、
完全に圏論の言語のみで集合論を構成することが可能であり、
たとえば、その具体的なやり方のヒントが、圏論の基礎（S.マクレーン）の付録に載っている。

それによれば、
トポスであり、
１）ウェルポインティッド
２）選択公理
３）自然数対象をもつ

という条件を満たす圏Eを定義すると、それが集合の圏と同じものになるらしい。
が、自分では確認していないので、まあ参考にでも・・・

その本にはさらに元になったLawvereの論文へのreferenceも載ってるので調べたければ、
好きなだけたどれると思う

312:１３２人目の素数さん
07/04/03 02:16:53
うん、何か気になったのでDoverから出てるトポスの本の
categorical set theoryの章をざっと眺めてみたら
ZFCはトポス理論の言語で解釈できるみたいな事が40頁くらい使って説明してあった。

言語の表現力は（人間に使いやすいかとかどのくらい具体的な感じがするかとかは置いといて）
似たようなものみたいだから、後はどういう公理を要請するかが問題になるんだけどね。

＞関係ない
そりゃ当たり前でしょうに。
単に圏論の言語の表現力の強さ≦集合論の言語の表現力の強さだよと言いたかっただけ。

313:１３２人目の素数さん
07/04/03 12:43:57
わかり易い圏論の本ないですか？

314:１３２人目の素数さん
07/04/03 13:27:24
>>313
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
このブログでは計算機科学の立場から圏論を論じた記事が読める。

315:１３２人目の素数さん
07/04/03 20:45:34
>>305
集合の圏じゃなくて一つの集合そのものが圏なんだよ。
だから集合の圏は、圏の圏という2-圏の例というわけ。

316:１３２人目の素数さん
07/04/04 10:10:07
集合は圏とみなせるし、圏が集合で構成できることも明らか。
圏を使えばより効果的、効率的に数学を表現できると言える。

317:１３２人目の素数さん
07/04/04 10:48:00
素朴集合論に対するnaiveなイメージが集合論を公理的に捉える際に
（細部の細かい議論ではない部分で）十分な助けとなるのは確かで、
同様に、集合論やそれに基づく解析や代数といった各種数学に対する
理解が、その圏論的な捉え方への一助となるのは確かにあること。

圏論はobjectが具体的にelementを持たないような場合でも
確かに扱えるが、そのような抽象性は、解析や代数などの具体的な圏に
実際に肌を触れてみなければ、息吹くことは無いだろうと思う。

少なくとも概念の獲得は演繹と帰納の両面をうまく合わせることで
行われるものであるので、圏論によって集合論やその上に構成される
集合論的な数学を基礎付けられるからと言って、はじめからその
圏論の言葉だけで何もかもを語られておれば全て丸く収まるという
ものだとまではいえない。

318:１３２人目の素数さん
07/04/04 11:13:41
圏論的手法はプログラミング言語の世界で言うところの
オブジェクト指向に似たところがあるように思う。どんな
プログラムも手続き型言語で記述することは可能にしても、
オブジェクト指向言語を用いれば規模の大きいプログラム
も比較的容易に効率よく作ることができる。これは例えば
代数幾何においてグロタンディークが圏論的手法を用いた
が故に、膨大な結果の得られたことに比較し得るであろう。

319:１３２人目の素数さん
07/04/04 22:54:27
はぁ？

320:１３２人目の素数さん
07/04/04 23:31:41
オブジェクト指向というよりはもう少し広くデータのカプセル化かなと思う
圏論に限ったことではないんだけど

321:１３２人目の素数さん
07/04/04 23:40:02
こじつけいわれても仕方のないレベルの比較だな

322:１３２人目の素数さん
07/04/04 23:47:53
テンプレやメタプロでも苦しいな

323:320
07/04/04 23:56:00
すまん、あんまり考えずになんとなく書いてみたんだが確かにカプセル化は違うな

324:１３２人目の素数さん
07/04/05 00:34:26
ここはレベルの低い奴ばかりだからな

325:１３２人目の素数さん
07/04/05 00:35:18
オブジェクトという言葉からの類推だな。
単純すぎ。

326:１３２人目の素数さん
07/04/05 00:40:57
オブジェクトというより効率を問題にしてるんだろ？

327:１３２人目の素数さん
07/04/05 00:49:55
数学のレベルが低いばかりか日本語の読解力のない奴には困ったもんだな

328:１３２人目の素数さん
07/04/05 01:18:35
# スーパークラス ← サブクラスを順序関係とし、
# ルートクラスを最小元とする半順序集合上にλモデルが作れる。

329:１３２人目の素数さん
07/04/08 04:56:04
米田ってマジで誰だよ？ｗ

330:１３２人目の素数さん
07/04/08 10:25:51
>>329

誰って彼の何を知りたい？

331:１３２人目の素数さん
07/04/08 11:43:39
とりあえず下の名前

332:１３２人目の素数さん
07/04/08 12:39:39
米田信夫

333:１３２人目の素数さん
07/04/08 18:48:47
ぐぐりゃわかるだろうに、Googleさえ知らんのかね。

URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)

岩波数学辞典にも載ってると思うけどな。

334:１３２人目の素数さん
07/04/09 01:17:39
というよりボケるためのネタふりなんだろ
マジレスが続いてがっかりしてるんじゃないか

335:１３２人目の素数さん
07/04/09 02:33:38
>>333
検索結果の範囲では米田信夫のなまえが出てこない。

336:１３２人目の素数さん
07/04/09 07:13:14
>>335
「米田の補題」でぐぐったら３番目に名前と写真が出てきましたが？

337:１３２人目の素数さん
07/04/09 15:17:25
それはそのページに名前と写真があると知ってるからそう分かるだけ。
検索しただけの段階では、ほかに何百ページとある、米田の補題”のみ”を
扱ったサイトと見分けが付かないので、そのページを探そうとはしない。
そもそも、流行りものではない情報なので、普通まずwikipediaを調べにいく。
で、そこには項目が無い、次にen.wikipediaを探しにいく。そこでは項目は
あるが、yoneda lemmaからのリンクが無い。したがって下の名前を知ることが出来ない。
en.wikipediaで名前つきの定理や補題でその元になった人物にリンクして無い
のはかなり異例。この時点で「米田ってマジ誰だよ？」となる。
キマイラ飼育記にしても、あるべき場所にある情報と言う感じではなく、
たまたま、著者が気まぐれによってある本からの情報を抜書きしてるものであり、
写真などは著作権が危ないと知りつつ挙げているものであって、そこにその情報が
あるのは偶然と言える。

338:１３２人目の素数さん
07/04/09 18:16:11
固い頭なんだな

339:１３２人目の素数さん
07/04/09 19:11:10
うぃきだけ調べて終了ではぐーぐるの意味ないじゃん。馬鹿か。

340:１３２人目の素数さん
07/04/09 20:53:19
>>337は宣伝か何かのつもりか？
wikipediaなんてあんなツマンナイジョークばっかり書いてあるサイトなんて
宣伝したってどうしようもないだろ。

341:１３２人目の素数さん
07/04/09 21:02:42
妄想が激しいようで

342:１３２人目の素数さん
07/04/09 21:45:36
uncyclopediaと間違えてるんじゃ？

343:１３２人目の素数さん
07/04/09 23:17:35
いやそのページの内容を知ってようが知ってるまいが、
普通真剣に調べ物をしようと思ったら、Googleの検索結果を
上から20件か30件はクリックしてみるものなんだよ。

上から300番目に名前が出てきたのなら
分からなくても文句は言えないけどね。

だいたい
＞流行りものではない情報なので、普通まずwikipediaを調べにいく。
そんなん普通でもなんでもないよ。日本語のwikipediaを過信しすぎなんじゃないの。

344:１３２人目の素数さん
07/04/10 02:44:49
>>342
uncyclopediaはガキの落書き帖
wikipediaはジョークサイト

345:１３２人目の素数さん
07/04/10 20:19:01
気に入らない記述があるんだったら修正してみれば？
ちゃんとした知識に基づいてるんだったら歓迎されると思うけど

346:１３２人目の素数さん
07/04/10 22:02:19
それが何かniftyユーザはブロックされてて編集できないのだ

347:１３２人目の素数さん
07/04/10 22:24:11
>>345
修正すると、なんか嵐といわれてすぐに記述を元に戻される。
大抵、そういうやつの投稿履歴を調べると全然数学とか触ってないやつ。

348:１３２人目の素数さん
07/04/10 23:17:11
talkページとかも用意されてるんだから、ちゃんと話し合って自分の
記述に根拠がある事を説明すればいいじゃん。
つーか、すぐに戻されるってのはよほど空気読めてない編集と言う気がする。

349:１３２人目の素数さん
07/04/10 23:31:05
>>348
そうか? たとえば「行列式は数」とか書いてあったらさすがに消すだろ?
でも、消したら残す努力をしなかったってことで、
なんかしらんけど、ちょっとでもbytes数が減ると荒らしなんだとさ。

350:１３２人目の素数さん
07/04/10 23:52:15
行列式は～である、って感じの記述に直すなら消されないと思うけど。

351:１３２人目の素数さん
07/04/11 00:26:30
そういや、行列式の件はつい最近もめてたんだっけな。
これに限らず、変なのが粘着しててヘンテコな記述を
バカみたいに庇護し続けて、編集制限だとか日常茶飯事だな
あそこは。

>>350
「行列式は多項式の一種～」とか書いてある直後の段落に
「行列式は数だから～」とか書いてあっても、君は消さないのか？

352:１３２人目の素数さん
07/04/11 00:29:10
★なんとなく良くみるフレーズ
… is easy by Yoneda.
… is easy by Nakayama.

353:１３２人目の素数さん
07/04/11 00:30:25
>>351
「の値」を挿入するとか

354:１３２人目の素数さん
07/04/11 00:49:08
>>353
行列式は数で簡単に表現できるから
行列式は誤訳で
決定式とべきであるという説もある

って実際には書いてあったんだな。

355:１３２人目の素数さん
07/04/11 01:05:19
スレ違い大好きな俺様が来ましたよ。

ウィキペディアって開くページ開くページ軒並み
変なこと書いてあるからおもしろいよねｗ

356:１３２人目の素数さん
07/04/11 10:52:06
>>355
日本語版の事？

357:１３２人目の素数さん
07/04/11 16:11:47
専門外のことは、おかしなことが書いてあるとは分からんけどな。
化学とか工学とか。

358:１３２人目の素数さん
07/04/11 18:03:40
ジャンボー！

359:１３２人目の素数さん
07/04/12 16:14:10
米田の捕題についてどなたか解説お願いします。

360:１３２人目の素数さん
07/04/12 18:49:49
>>359
wikipediaでも読んどけｗ

361:１３２人目の素数さん
07/04/12 20:03:10
簡単な演習問題を出そう。

問題
行列式は自然変換と見なせる。
これを厳密に定義せよ。

362:１３２人目の素数さん
07/04/12 21:04:51
意味不明

363:１３２人目の素数さん
07/04/12 21:18:52
>>362

世話のやけるやつだな。
ヒントをやろう。

有理整数 n ≧ 1 を固定する。
A を可換環としたとき GL_n(A) を可逆な n 次正方行列の作る群とする。

GL_n(A) の元 x にその行列式 det(x) を対応させることにより
群の準同型 det : GL_n(A) → U(A) が得られる。
ここで U(A) は A の可逆元のなす群である。

これでわからなかったら圏論は１０年早い。

364:１３２人目の素数さん
07/04/12 21:59:01
>>361,363
それ何て「圏論の基礎」？

365:１３２人目の素数さん
07/04/12 21:59:59
>>363
やべえ、俺１０年早いやｗｗｗｗｗ

366:１３２人目の素数さん
07/04/12 22:18:41
「圏論の基礎」等というアホな事しか書いてない本を読む奴の気が知れぬ。

367:１３２人目の素数さん
07/04/12 22:29:11
founderアホ扱いしちゃダメじゃねｗ

・・・しかし、アホじゃない本を教えて欲しい・・

368:１３２人目の素数さん
07/04/12 22:31:50
Anm->R(Anm)
R(xy)=R(x)R(y)

369:１３２人目の素数さん
07/04/12 22:40:51
別に GL_n (A) じゃなくても M_n (A) でもええじゃねえか？
GL にする意味が分からん

370:１３２人目の素数さん
07/04/12 22:42:14
つか、GL_n じゃダメでね？

371:１３２人目の素数さん
07/04/12 22:49:39
つうか「圏論の基礎」って、あれいくらなんでも
訳語にカタカナ使いすぎだと思うんだけど。
あんな訳し方するくらいなら、「数学者のためのカテゴリー理論」とか
題名も直訳すればいいのに。

372:１３２人目の素数さん
07/04/12 22:56:10
そういうレベルのいちゃもんかよ

373:１３２人目の素数さん
07/04/12 23:03:14
>>361 の解答まだ？

374:１３２人目の素数さん
07/04/12 23:13:01
GL_n()、U() がそもそもｆあｄないｓ（ｒｙ
模範解答きぼん！

375:１３２人目の素数さん
07/04/12 23:17:17
GL_n(A) が分からなかったら話になりません。

376:１３２人目の素数さん
07/04/12 23:33:01
略しすぎた？
GL_n()、U() がそもそもふぁんｋｔｄんあい（ｒｙ

377:１３２人目の素数さん
07/04/13 08:47:41
誰か、このアホの言ってること翻訳してくれ。

378:１３２人目の素数さん
07/04/13 10:00:57
それがわからないようじゃ圏論は１０年早い。

379:１３２人目の素数さん
07/04/13 12:17:01
>>374

ほれ

kのkをrｔkく。
ｇのkをgrptk。

A に g() をtてfkd gが得られる。

A に u() をtさせてfkdt u が得られる。

よって gのs が得られる。

これはふぁん g からふぁん u へのしである。

380:１３２人目の素数さん
07/04/13 12:40:36
つうか >>361 はMac Laneの本にもろ出てるが。
英語版の 16 ページ。

381:１３２人目の素数さん
07/04/13 13:31:09
>>380
>>364で指摘済。

382:１３２人目の素数さん
07/04/13 16:57:44
そんなことでプライオリティを主張するなよｗ

383:１３２人目の素数さん
07/04/14 09:33:50
環 R 上の左加群のなす圏を (R-Mod) と書く。
(R-Mod) はアーベル圏である。

(R-Mod) の射 X → Y の全体 (R-Arrows) を考える。

X → Y から Z → W への射を、次の可換図式として定義する。

X → Y
|　　　 |
v　　 v
Z → W

(R-Arrows) は容易にわかるがアーベル圏である。

ここで問題：
(R-Arrows) における射影対象（または単射的対象）は何か？

384:１３２人目の素数さん
07/04/14 16:10:25
なんだおい、行列式だとすぐレスが付いたが、
アーベル圏だとだんまりか。

385:１３２人目の素数さん
07/04/14 17:44:42
射影的対象　M, Nを射影加群としたとき、M　→　M+N
単射的対象　I, Jを入射加群としたとき、I+J →　J

386:１３２人目の素数さん
07/04/14 18:24:07
岩波数学辞典では injective module は入射加群で、
injective homomorphism は単射準同型なんだよね。

injective module は単射的加群でいいと思うけどね。

387:１３２人目の素数さん
07/04/14 21:42:38
もう少し面白い問題ないのか？

388:１３２人目の素数さん
07/04/14 22:10:59
>>387

あれじゃ簡単すぎて面白くないのか？

389:１３２人目の素数さん
07/04/14 22:16:11
簡単すぎない問題が出た事があったっけ？

390:１３２人目の素数さん
07/04/14 22:21:28
>>389
前スレ・前々スレにはいっぱいあったよ

391:１３２人目の素数さん
07/04/14 22:25:13
>>389

その割に解答が遅かったが

392:１３２人目の素数さん
07/04/14 22:57:20
その割に、ではなく、だからこそ
解答が付かないのだろうね。

393:１３２人目の素数さん
07/04/14 22:57:27
>>391
問題が難しすぎる人もすぐには解答をだせないが、問題が簡単すぎる人はめんどくさくて回答しないもんだよ。
ちょうど適度な人が解答の作成に燃える。

394:１３２人目の素数さん
07/04/14 23:13:47
>>387
>>389
>>392
>>393

お前等、ひょっとしてわかってないんじゃないのｗ
分かってるなら、>>385 を証明してみな。

395:１３２人目の素数さん
07/04/14 23:29:55
>>387

群の圏では全ての epimorphism は全射であることを証明せよ。

396:１３２人目の素数さん
07/04/14 23:38:45
証明まだ？

397:１３２人目の素数さん
07/04/14 23:44:09
>>383
Rの可換性を捨ててもおｋ？

398:１３２人目の素数さん
07/04/14 23:57:21
>>397

問題ない。
っていうか任意のアーベル圏でいい。

399:１３２人目の素数さん
07/04/15 01:07:04
圏の定義に出てくる「結合性」ってどうしても必要なんですか？

400:１３２人目の素数さん
07/04/15 01:26:41
とりあえず、「結合性」を潰した上で有意な例を示して。

401:１３２人目の素数さん
07/04/15 07:43:41
自分にはさっぱり分からないんですが、
Ｄブレーンの研究で言及されたりするようです。
例えば、URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
の１０ページ欄外に"nonassociative category"
という言葉が出ていました。

402:１３２人目の素数さん
07/04/15 09:00:05
問題　結合性をめぐって

群のアーベル化はアーベル群の圏から群の圏の函手の左随伴函手として捉えられます。
さて、2項演算が定義された集合(マグマ）の半群化(結合法則を満たす普遍的なもの)は存在するでしょうか。

248でも触れてますが、合成が定義された有向グラフの圏化の存在の有無も論じて欲しい。

403:１３２人目の素数さん
07/04/15 09:10:57
>>402

M をマグマとする。

M の元の重複を許した有限列 a_1a_2,...,a_n の全体か？

404:１３２人目の素数さん
07/04/15 09:39:07
>>403
構成した物はMの下部集合構造のみに依るように見えるが。
集合から構成する自由半群ならそれでいいと思う。

405:１３２人目の素数さん
07/04/15 10:05:55
C を圏とする。
C において C-group というのが定義される。

URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

例えば C として位相空間の圏をとれば、そこでの C-group は
位相群のことである。

C-group と同様にして、C において C-category というのも
定義されるはずである。

もっと詳しく言うと、C において対象 O, A と、射 s, t, c
s: A → O
t: A → O
c: (A × A)/O → A

があり、これ等と、(A × A × A)/O の間に適当な可換図式が成立つ
ものとして定義される。

ここで (A × A)/O はファイバー積を表す。

この概念の有用な例ってあるのか？

406:１３２人目の素数さん
07/04/15 10:20:25
>>405
enriched category　に似てるね。

407:１３２人目の素数さん
07/04/15 10:58:54
>>405
C-categoryの特別な場合として、C-同値関係,C-groupoidも定義できると思います。
代数幾何学における、スキームの一般化である、代数空間やスタックは
(スキーム)-同値関係,　(スキーム)-groupoid の特別な対象と思えます。　

408:１３２人目の素数さん
07/04/15 13:11:10
>>387
>>389
>>392
>>393

証明まだ？

409:１３２人目の素数さん
07/04/15 18:52:36
>>404

俺も書いた後でそう思ったｗ

M の元の重複を許した有限列 a_1a_2,...,a_n と b_1b_2,...,b_m
は a_1a_2,...,a_n = b_1b_2,...,b_m のとき同値として、
この同値関係で割った商集合を取ればいいだろう。

410:１３２人目の素数さん
07/04/15 19:05:42
>>409
a_1a_2,...,a_n = b_1b_2,...,b_mはMの中でですか。
a_1a_2,...,a_nをどうやってMの元と見るのですか。
結合法則は仮定していないので
括弧の付け方に依存すると思いますよ。

411:１３２人目の素数さん
07/04/15 19:09:05
いけね、そうだなｗ
誰か考えてくれ。

412:１３２人目の素数さん
07/04/15 20:51:21
先に無理やり

(ab)c ≡ a(bc)

で割っちまうとか？

413:１３２人目の素数さん
07/04/15 20:55:47
自分で考えろこの馬鹿

414:１３２人目の素数さん
07/04/15 20:57:36
す、すいません、提案しちゃいけませんでしたか

415:１３２人目の素数さん
07/04/15 21:23:39
よくチェックしてないが、大体次のような感じでいいんじゃないかな。
(1) マグマMの台集合で生成される自由半群をLとする。
(2) L 上の次で定義される関係を～とする。
abc...z ～ ABC...Z ⇔
abc...z と ABC...Z のそれぞれを、あらゆる方法で括弧を付けて M 内の元
と見なしたときに、それらのうちに M の元として等しいものが存在する。
たとえば M で a(bc) = ((AB)C)D なら L で abc ～ ABCD
(3) ～を含む、L の算法と両立する最小の同値関係を R とする（関係のグラフ
を考えてインターセクションをとればよい）。
(4) L を R で割ったものが M の半群化。

416:１３２人目の素数さん
07/04/15 22:36:47
自己レス。別に自由半群を使わなくても次のようにしてもいいか。
(1) マグマ M 上の次の関係を～とする
x ～ y ⇔ある M の元の有限列 a, b, ..., z が存在して、x と y のそれぞれが
何らかの方法で括弧を付けた a, b, ..., z の積になっている
（もちろん括弧の付け方は x と y とで違っていてもよいとする）。
(2) ～を含む、M の算法と両立する最小の同値関係を R とする。
(3) M を R で割ったものが M の半群化。

417:１３２人目の素数さん
07/04/16 02:00:44
自分としては、圏の定義から結合性をはずしてもいいと思います。
結合則を満たすような圏をあらためて「結合的な圏」と表現するのも
悪くはないです。ただ、いまさら定義を変えるわけにもいかない
習慣上の事情もありますから、そこがなかなか難しいとこですね。

418:１３２人目の素数さん
07/04/16 02:03:07
外すことによってなんかメリットあるの？

419:１３２人目の素数さん
07/04/16 02:56:12
いまのところ不明です。

420:１３２人目の素数さん
07/04/16 08:09:24
Mの半群化　>>416をちょっと変えてみました。

(1)マグマ M 上の次の関係を～とする
x～y ⇔ Mの元、a,b,cが存在してx=(ab)c, y=a(bc)
(2)～を含む、最小の両側イデアル同値関係をRとする。
(3) M を R で割ったものが M の半群化。

RがM上の両側イデアル関係とはxRyなら勝手なmに対してxmRym, mxRmyとなる関係のこと。

421:１３２人目の素数さん
07/04/16 11:07:56
>>420
ほとんど変わらんが、それでも結局同じだね。

422:４１７
07/04/16 19:49:02
従来の定義は習慣上仕方ないのでそのままにしておいて、
圏の定義から結合則をはずしたものを”非結合的な圏”
（”nonassociative category”）と呼ぶことにすると、
群が圏とみなせるようにマグマも”非結合的な圏”と
みなせます。もし数学において、マグマの概念が有用な
ものならば、”非結合的な圏”の考えも有効と思います。

423:１３２人目の素数さん
07/04/16 20:18:29
>>422
とりあえず有用な理論や有効な手法、なんかの効果的な道具でもいいから
何か朧気にでも用意できてから夢を語れ

424:１３２人目の素数さん
07/04/16 21:19:46
数学においてマグマの概念は、すくなくともモノイドと比較しても、そんなに有用じゃない。

皆が何回も書いてるが、「非結合な圏」で何がしたいのかとりあえず語ってもらわないと
話にならん。

425:１３２人目の素数さん
07/04/17 01:10:33
>数学においてマグマの概念は、すくなくともモノイドと比較しても、そんなに有用じゃない。

そんなにどころがまったく全然有用じゃない。
モノイドとは比較にならない。
モノイドを月とすればマグマはスッポン。

426:１３２人目の素数さん
07/04/17 06:26:58
スッポンは有用だ。

427:１３２人目の素数さん
07/04/17 10:53:21
筋が悪そうに見えることから立派な数学を作り出す
グロモフの様な例もあるよ。

428:１３２人目の素数さん
07/04/17 14:16:26
そんなもん何の励ましにもならない。
大体、必用にせまられないで概念をいじくり回すのは非生産的。
例えば、ｎ個の集合に何個の位相が定義できるかなんていうスレが
あったが、それが典型的。

429:１３２人目の素数さん
07/04/17 14:58:24
>>417 が非結合的圏の理論で数学に革命を起こし、それに伴い
マグマがモノイドよりはるかに重要な概念になるかも。

430:１３２人目の素数さん
07/04/17 15:01:23
まあ、非結合的な環（代数）ってのもあるわけだから、
「非結合的な圏」もまったく無用というわけではないだろう。

431:４１７
07/04/17 15:21:07
>>429
そういう大袈裟なものではないですが、何か名前があっても
いいような気がしたんです。代数系の方ですと、群やモノイド
に対して制限をゆるめた半群とか擬群、マグマなどいろいろ
あるわけです。そういえば、層に対しては前層という概念が
ありますよね。前層の層化というのにならって、非結合的圏
（前圏）の圏化というのが考えられれば面白いと思います。

432:１３２人目の素数さん
07/04/17 15:28:49
そんな不便そうなものに名前を付ける必要はないと思うが。
「マグ圏」とかｗ？

433:１３２人目の素数さん
07/04/17 19:11:22
>>425,426
月は有用？

434:４１７
07/04/17 21:00:39
>>432
いいですね。マグ圏でもマグマ圏でも自分の好きな名前で呼んでやれば
いいと思います。大切なのは、名前をつけて概念化することと考えます。

何の役に立つのか分かりませんが、圏論を一般化したいというのがその
動機です。代数幾何のスキーム理論で、可換環を可換とは限らない一般
の環に置き換えたらどうなるか、という発想と似ているかも知れませんね。
よく見てませんでしたが、>>402さんのところにヒントがのっているようです。
なるほど、群のアーベル化とは随伴函手の一種と考えられるわけですか。
それにならって、圏の圏から前圏（非結合的な圏）の圏への関手を考えて
その左随伴関手をとってやれば、前圏の圏化を定義してやることができる
のではないかと思います。前圏においても米田の補題の類似が成立する
のかとか、カン拡張がすべてというのはここでも有効かなどいろいろ考え
てみると、数学の世界がより広がってますます楽しくなってくる気がします。

435:１３２人目の素数さん
07/04/17 21:59:50
ぐちゃぐちゃ書いてないで、そこに書いてあること自分でやってみな。
とりあえず「前圏の圏化」から。

436:１３２人目の素数さん
07/04/18 00:22:14
>>434
その口を閉じて、もくもくと論文を書け。
成果が出たらスレに還元してくれればいい。

437:１３２人目の素数さん
07/04/21 09:40:15
前圏の圏化については上に書いた通りです。少し修正すべき箇所がある
かも知れませんが、だいたいあんな感じです。どこか重大な誤りがあれば
お願いします。詳しく書けませんけど、あれからものすごい発見をすること
もできたような気がしています。まだ詳細なチェックが必要ですけども・・・。

ところでマグマについて少し考えていたのですが、マグマにもイデアルとか
素イデアルを定義できます。そして、局所化の概念も形式的に得られます。
そうすると、マグマの素イデアル全体に自明なザリスキ位相を入れたもの
としてマグマ上のスペクトラムが定義されます。可換環の場合と同じように
して構造層を考え、局所的にマグマのスペクトラムと同相になるように貼り
合わせてやると、マグマ上のスキームが出来上がります。前圏の圏化の
時と同様に、環からマグマへの忘却関手に対してその左随伴関手をとれば
マグマ上のスキームから環上のスキームへの関手も自然に定義されます。
マグマ上のスキームＸが有限被覆をもち、それぞれのアフィンスキームが
有限生成である場合、Ｘは有限タイプと呼ばれることになります。つまりは、
マグマの元もある”空間”上の”関数”とみなし得るということです。ただし、
”関数”どうしの積が可換でなかったり結合律を満たさなかったりするわけ
です。いずれにしてもこのマグマ上のスキーム理論の世界には、非可換環
上の非可換代数幾何をほんの小さな一部分として含むような、広大な領域
が広がっていると思われます。数学にはまだまだ前人未到の誰も見たこと
のないような世界があるのでしょう。マグマに対する親近感が沸いてきます。

438:１３２人目の素数さん
07/04/24 00:14:12
>>437
>いずれにしてもこのマグマ上のスキーム理論の世界には、非可換環
>上の非可換代数幾何をほんの小さな一部分として含むような、広大な領域
>が広がっていると思われます。

何を言ってんだか。
夢を語るのは誰でもできる。
成果を出しなさいよ。
どんな成果があるの？

439:１３２人目の素数さん
07/04/24 00:18:44
あんたは概念先行なわけ。
こういうのは一般的に言って非生産的なのよ。
数学の発展というのは特殊から一般に行くわけ、その逆じゃない。
まあ、例外もなきしもあらずだろうけど。

440:１３２人目の素数さん
07/04/24 00:33:18
哲厨風味なスレはここですか？

441:１３２人目の素数さん
07/04/25 20:57:52
>>387
>>389
>>392
>>393

証明まだかよ、おい。
いい加減、待ちくたびれたぞ。
大きな口をたたいたんだから、証明出来ないとは言わせない。
簡単すぎるんだろ？

442:１３２人目の素数さん
07/04/25 23:25:22
ﾌﾟ

443:１３２人目の素数さん
07/04/27 20:29:46
もっと夢を語ってくらさい。

444:１３２人目の素数さん
07/04/29 07:22:28
>>443
例えば？

445:１３２人目の素数さん
07/04/29 10:46:50
ここは夢さえ語れない奴が多いからなぁ。オレも含めてｗ

446:１３２人目の素数さん
07/04/29 14:41:41
site上で代数幾何考えて何か新しい発見があるのですかグロタンさん

447:１３２人目の素数さん
07/04/29 18:15:28
>>438
それなら今度はお前が夢を語ってみろよ。
誰でもできるんだろ？
偉そうに結果を出せなんて誰でも言える。

448:１３２人目の素数さん
07/04/29 20:07:02
>>447

夢なんて簡単だよ。
例えば圏論でリーマン予想を解決とかなｗ

449:１３２人目の素数さん
07/04/29 20:39:46
矢印ぐるぐる書いてて楽しい？

450:１３２人目の素数さん
07/04/29 20:50:08
>>448
なんだそれ。その程度なのかよ？
語るってレベルじゃねぇーぞｗｗ

451:１３２人目の素数さん
07/04/29 21:53:31
じゃあ僕は圏論でアメリカ大統領になる！

452:１３２人目の素数さん
07/04/29 21:55:06
圏論＝数学

453:１３２人目の素数さん
07/04/29 23:46:02
圏論でフィールズ賞を取るぞとかなｗ
夢なんていくらでも言えるって。
質を問わなければ

454:１３２人目の素数さん
07/04/30 00:14:32
437の夢はまだマシ、
と言ってるようにもとれる言葉だな

455:１３２人目の素数さん
07/04/30 00:21:59
夢にマシも何も無い

456:１３２人目の素数さん
07/04/30 00:33:37
>>437のは幼稚すぎて話しにならない。
発想が幼稚なわけ。
条件を一般にするというのは最もお手軽な発想。
非可換環のスキームを考えるとかな。
ただし、一般化を考えるのが常に幼稚だって言ってるわけじゃない。
そこに切実な問題意識があれば別。

457:１３２人目の素数さん
07/04/30 00:42:47
Kroneckerの青春の夢なんていう格調の高いのもあるけどな。
ただしこれは夢というより予想、しかも正しい予想だが。

458:１３２人目の素数さん
07/04/30 00:43:56
>>455
「質」は問えるんだそうだぜｗ

459:１３２人目の素数さん
07/04/30 02:17:12
もう予想

460:445
07/04/30 09:23:01
それはどうだろうな。
何をもって切実というかは人によって違うから。
お手軽とか幼稚とか人の批判ばかりしてるが、
一般化ってそういうもんじゃないのか？
オレ自身は>>437の話もなかなか面白いと思う。
あんたもあれこれ他人の批判ばかりしてないで
何かもっと高尚なこと書いてみろよ。
オレにはあんたがいちばん幼稚に見えるんだが。

461:１３２人目の素数さん
07/04/30 09:41:08
>>480
>何をもって切実というかは人によって違うから。

そういうところを突っ込むっていうことは俺の話が分かってないということ。
または分かってないふりをしてるかもしれないが。

要するに問題意識をもって一般化するってことだ。
または、ある問題にぶつかったときそれを解決するために一般化するってこと。

462:１３２人目の素数さん
07/04/30 09:42:34
>あんたもあれこれ他人の批判ばかりしてないで
>何かもっと高尚なこと書いてみろよ。

上でアーベル圏の問題を出しただろ。
証明してみろよ。

463:１３２人目の素数さん
07/04/30 09:43:23
煽りは無視

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