圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3

圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3 at MATH

1:１３２人目の素数さん
06/08/31 07:21:12
■前スレ
　圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
　ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
　なんで圏論なんてもんがあんのよ？
　URLﾘﾝｸ(makimo.to)

■関連スレ
　大好き★代数幾何 Part 3
　ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
　非古典論理について語るスレ
　ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

■関連過去スレ
　層
　URLﾘﾝｸ(makimo.to)
　シットサイトトポスシャンモチーフ
　URLﾘﾝｸ(makimo.to)

2:１３２人目の素数さん
06/08/31 07:21:43
ぬっぺふほふ

3:１３２人目の素数さん
06/08/31 07:23:13
ぬっぺふほふ

4:１３２人目の素数さん
06/08/31 07:36:29
ぬっぺふほふ

5:１３２人目の素数さん
06/08/31 11:24:47
ぬっぺふほふ

6:１３２人目の素数さん
06/08/31 11:43:21
ぬっぺふほふ

7:１３２人目の素数さん
06/08/31 19:04:15
圏スレもう落ちたのかよ　早すぎる
あとテンプレ直ってるね>>1乙

8:１３２人目の素数さん
06/08/31 19:19:29
性器論 / メコスジー論 / Mekosuji Theory 69

9:１３２人目の素数さん
06/08/31 19:51:02
テンプレ直すために前スレはぶっ殺した

10:１３２人目の素数さん
06/08/31 20:38:28
探しものは何ですか？　　　見つけにくいものですか？　　　鞄の中も　　　机の中も　　　探したけれど見つからないの　　　

11:１３２人目の素数さん
06/09/01 23:07:22
ヒルベルト多項式の理論を圏論的に展開できたら、面白いかなあと思ったんですけど、
既にヒルベルト多項式に関係ある圏ってありますか？

12:１３２人目の素数さん
06/09/09 01:03:52
導来圏ってラーメン屋みたいですね

13:１３２人目の素数さん
06/09/09 09:30:41
　　　　　　 , 　＿ﾉ）
　　　　　γ∞γ~　＼　　とて
　とて　　 |　 /　从从) ）
　　　　ヽ　| |　l　 l |〃　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　｀从ﾊ~ ワノ）　　　＜　圏論についてなんでもどうぞ♪
　　　　 {| ￣［`［>ﾛ<］'］￣|!　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　`,─Y ,└┘_ﾄ─'
　　　　　└／/ ｌ T ヽ＼　　とて
⌒ヽ　　,く._ '　　　　　_ >
　　人　　｀ヽ｀二二二´'´
Y⌒ヽ）⌒ヽ　し' ｌ⌒)
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

14:１３２人目の素数さん
06/09/09 18:57:25
導来圏のオヤジって誰？

15:１３２人目の素数さん
06/09/10 12:39:14
Mac Lane 辺りどう？

16:１３２人目の素数さん
06/09/10 14:06:52
柏原先生のことじゃないの？

17:１３２人目の素数さん
06/09/14 19:03:53
２－圏

18:１３２人目の素数さん
06/09/23 17:41:25
圏論って代数幾何でどういう風に使われるんですか？

19:１３２人目の素数さん
06/09/30 19:48:06
曹達

20:１３２人目の素数さん
06/10/01 02:42:33
圏論のやさしい入門書や啓蒙書ありませんか？
ブルーバックスレベルのものがあったら紹介してください。
よろしくです。

21:１３２人目の素数さん
06/10/01 06:05:55
>>20
アイレンベルク読めこのクソ野郎

22:!omikuji
06/10/01 07:14:40
？

23:１３２人目の素数さん
06/10/01 07:47:27
>>20
マックレイン読めっつってんだ
このうじ虫

24:１３２人目の素数さん
06/10/03 06:11:33
447

25:１３２人目の素数さん
06/10/03 17:51:25
Yoneda's lemma の猿でもわかる説明をお願いします。

26:１３２人目の素数さん
06/10/03 23:57:22
age

27:１３２人目の素数さん
06/10/04 21:07:50
>>25
Yiyada

28:１３２人目の素数さん
06/10/05 00:33:40
>>20
Lawvare & Schanuel, _Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories_, Cambridge U.P., 1997.

29:１３２人目の素数さん
06/10/05 00:34:39
>>28 訂正
× Lawvare
○ Lawvere

30:１３２人目の素数さん
06/10/05 01:21:36
P と A を射影的加群とし，短完全列

0 → M → P → A → 0

が存在するとします．このとき P と A は同型になりますか？

31:１３２人目の素数さん
06/10/05 04:08:15
>>25
米田に変なロマンもってじゃねーよ馬鹿

32:１３２人目の素数さん
06/10/05 08:08:07
>>30
なるわけない

33:中川作蔵
06/10/05 14:38:08
>30
どんな思考回路してんねん(笑)！！

34:１３２人目の素数さん
06/10/05 14:53:57
読んでる本にそう取れる記述があったんですが
まさかそんなこと無いよなあと思って書き込みました

35:１３２人目の素数さん
06/10/12 21:43:53
圏論ってほんと考え方がようわからん。
たとえば、直和と直積とが双対であることは直感的にわかるが、
それを圏論的に表現するととっても奇妙な感じになる。
圏論ってほんとにまともですか？
それから、「なになにとは、なんとかの射に対してこれこれの射が
唯一存在すること」というような表現がよく出てきますが、
なぜ「唯一存在する」というのがよく出てくるのでしょうか？
どなたか教えてください。

36:１３２人目の素数さん
06/10/12 21:46:01
>>35
いくらなんでも具体性がなさすぎる…

37:１３２人目の素数さん
06/10/12 21:51:40
>>35
スキーム勉強してみろ

38:１３２人目の素数さん
06/10/13 06:15:49
好き好き大好き向き向き大好き

39:１３２人目の素数さん
06/10/13 08:36:50
>>35
たぶん普遍写像性質のことを言ってるんだろうけど、
例えばL,M,NをR加群として
L+(M+N)=(L+M)+Nの証明をどうやってやる？
ここで+は直和、=は同型ね。

40:１３２人目の素数さん
06/10/14 13:00:37
とっかかりとしては『コホモロジーの心』も悪くないよね
やや代数に特化してるけども。

41:１３２人目の素数さん
06/10/28 17:07:25
阿呆か

42:１３２人目の素数さん
06/10/28 19:41:31
>>35
コホモロジーを統一的に扱いたいってのが動機なんだから
「唯一」ってことを重要視するってのは自然なことだろ

43:１３２人目の素数さん
06/10/28 19:54:42
コホモロジーのこころ　それは青空　私たちを包む　広い青空
コホモロジーのこころ　それは樫の木　私たちを守る　強い樫の木
コホモロジーのこころ　それはうぐいす　私たちと歌う　森のうぐいす
コホモロジーのこころ　それは山百合　私たちも欲しい　白い山百合
コホモロジーのこころ　それはサファイア　私たちを飾る　光るサファイア

44:１３２人目の素数さん
06/10/30 12:45:12
圏論て無いと話にならないですね。
そして、それを教えずに使いまくる大学教育は相変わらず終わってるなと・・・

45:１３２人目の素数さん
06/11/06 19:37:16
教わらなくても自分で勉強しろよ

46:１３２人目の素数さん
06/11/10 22:52:37
まあ、実際問題として自分で勉強するけどね、・・・

しかし、私設の数学者集団でもなんでもなく、
国立大学における教育として、あんな杜撰な教え方
をしていること自体は許容できる要素はまったく無い。

47:１３２人目の素数さん
06/11/12 05:23:53
Carnapがどういう文脈でfunctorという言葉を使っていたのかがむしろ分からない。

48:１３２人目の素数さん
06/11/12 17:55:27
関数記号って意味だと思うよ。

49:１３２人目の素数さん
06/11/13 15:16:18
age

50:１３２人目の素数さん
06/11/13 18:29:25
大学じゃどういう教育が理想なのかは諸説ある…

51:１３２人目の素数さん
06/11/13 19:24:56
カテゴリー論にロマンを持つなよｗ

52:１３２人目の素数さん
06/11/13 19:47:31
ちょっと自分でも調べてみたら
URLﾘﾝｸ(groups.google.co.jp)
というのがありました。
似てる：Carnap's functor、C++のfunctor、普通の英語のfunctor
似てない：圏論のfunctor

ということで、圏論のfunctorはかなり大雑把な借り方？らしいという結論に達しました。
こういう思想性のない造語されるとかなり萎える。

53:１３２人目の素数さん
06/11/13 19:47:58
Haskellって、勉強する価値ありますか。

54:１３２人目の素数さん
06/11/13 20:49:17
目的次第

55:１３２人目の素数さん
06/12/03 18:29:49
カテゴリー論で面白い定理ってあるの？
抽象論としては、ある種の有限カテゴリーの分類が出来たとか？
具体論としては非可環上のの代数幾何が出来たとか？
これは文献も多くあるが誰もがそれで良いと云う議論はまだ出来ていないと思う。

56:１３２人目の素数さん
06/12/08 04:50:51
カテゴリー論は不変量を抽象的体系として扱うものではないかと思う
分類するとか言うのはちょっと方向が違うんでないか

57:１３２人目の素数さん
06/12/16 00:22:59
圏論やってる人って世界に何人くらいいるの？

58:１３２人目の素数さん
06/12/16 01:12:12
圏論を使う人って意味なら、たくさんいるでしょ

59:１３２人目の素数さん
06/12/16 01:16:37
>>57
ボイド、コンラッド、ユーピック、スラン、フェムトの5人だ。

60:１３２人目の素数さん
06/12/16 02:41:48
>>59
しかしその５人のもとには、無数の罪深き黒き羊たちが集っており、
盲目の白き羊たちを餌食にして、世界に暗黒の時代を招いている。

61:１３２人目の素数さん
06/12/16 05:03:30
しゃれたことを言う。

62:１３２人目の素数さん
06/12/16 05:24:43
圏論、僕はユーザーの立場だなぁ・・・

63:１３２人目の素数さん
06/12/16 06:15:59
じゃあ君は盲目の白き羊達の一匹だね。

64:１３２人目の素数さん
06/12/16 18:25:48
ケェーーーーーーーーーン

65:１３２人目の素数さん
06/12/24 03:04:15
圏論というとすぐ基礎論オタが出てくるよね。
はっきりいってウザイ。

smallもlargeも区別しなくていいんだよ、ほとんどの場合。

66:１３２人目の素数さん
06/12/24 03:50:06
出てくるか？
集合かクラスかにこだわる人のこと？
それだけで基礎論ってのは言いすぎだろ

67:１３２人目の素数さん
06/12/24 04:31:34
>それだけで基礎論ってのは言いすぎだろ

まあ、そうだけど、同じような仲間だろう。

そもそも基礎論というのは、素朴集合論の矛盾から出てきたわけで。

68:１３２人目の素数さん
06/12/24 04:36:11
>集合かクラスかにこだわる人のこと？

圏論のsmallかlargeにこだわる人のこと。

69:１３２人目の素数さん
06/12/24 04:39:52
>出てくるか？

過去レスを見れば分かる。

URLﾘﾝｸ(makimo.to)

70:１３２人目の素数さん
06/12/24 04:40:19
ぶっちゃけ必ずしもcategoryが
集合だと思う必要もあまり無いんじゃないかと思うけどね。

71:１３２人目の素数さん
06/12/24 04:47:51
>>70

意味不明

72:１３２人目の素数さん
06/12/24 13:12:30
はっきりいってウザイ。

73:１３２人目の素数さん
07/01/22 03:13:23
圏論を学ぶために、最低限必要な知識はなんですか

74:１３２人目の素数さん
07/01/22 06:08:21
働く数学者は例と演習問題を除けば前提知識ゼロで読める．
基本的な代数と位相を知っていれば例と演習問題も読める．

75:１３２人目の素数さん
07/01/30 15:29:05
前提知識ゼロで読めるかも知れんが別な意味でのセンスが必要な気がする。
少なくとも普通に前から読んでいってどんどん分かっていくような本ではない。

76:１３２人目の素数さん
07/01/30 15:31:57
一番いいのはConceptual Mathematicsの邦訳が出ることだろうけど・・・

77:１３２人目の素数さん
07/01/30 15:35:49
>>65
基礎論ていうと、「圏論の基礎」の付録に圏論で基礎論をやる
にはどうしたらいいかのヒントみたいなことが書いてある。
（何を未定義術語にすればいいかなど）

78:１３２人目の素数さん
07/02/04 02:34:05
Wikipediaだかどこだかに
圏論は数学の初学者には教えないほうがいい
と書いてあったのですが何故ですか

79:１３２人目の素数さん
07/02/05 01:17:47
age

80:１３２人目の素数さん
07/02/05 05:42:36
>>78
abstract nonsense
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
だから

81:１３２人目の素数さん
07/02/05 09:16:23
ゲルファント・マニンの導来圏の本の161ページ下から
4行目なんだが、
fがqisなら、cone C(f)がacyclic
になる事がどうしてもわからん。誰かわかりますか？

82:１３２人目の素数さん
07/02/05 09:23:50
>>81
H^iのlong exact使え

83:１３２人目の素数さん
07/02/05 11:10:21
ｼﾞｴﾝ？

84:１３２人目の素数さん
07/02/05 18:14:28
>>82
どのexact triple に使えば
良いのでしょう(*_*)

85:１３２人目の素数さん
07/02/05 18:48:25
>>80
最近アブストラクトナンセンスの方がナンセンスであることに気づいたよ

86:１３２人目の素数さん
07/02/06 11:25:32
>>80のリンク先でも、
アブストラクトナンセンスという言葉はけなし言葉ではなく
ほめ言葉として使われる
と書いてあるもんね

87:１３２人目の素数さん
07/02/06 11:34:50
位相幾何でも可換環でもいいけど、具体的なホモロジーを知ってると、
カテゴリーをやる動機付けにはなると思うけどね
ホモロジーってのは結局どういう対象なのか？　を突き詰めるとカテゴリー論になるわけで
それを知らずにカテゴリー論を勉強しても、
理屈は分かったとしても意味が分からず全然面白くないんじゃなかろうか

88:81
07/02/06 14:06:00
>>82
スマソ
解決しますた

89:88
07/02/06 14:11:27
いや、やぱーりわからん
(;_;)

90:１３２人目の素数さん
07/02/09 22:26:59
アブハチトラズノナンセンス

91:１３２人目の素数さん
07/02/10 17:20:25
逆恨み

92:１３２人目の素数さん
07/02/11 18:23:31
このスレの住人さんのLawvere
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
への評価はどんなもんでしょうか。
当方理系ではありましたが、数学を専攻してはいないので、
皆さんの議論がよく分かってはいないのですが（汗
Conceptual Mathematicsでのものの考え方がおもしろい
というのをどこかで聞いたので、やってまいりました。
プロフィールを読むと哲学にも関係しているようですね。

93:１３２人目の素数さん
07/02/11 23:47:01
評価の前に知名度がまだ、0に限りなく近い正の値って言う感じのような・・・
個人的にはlawvereの宣伝活動しだいで今後の圏論の広まり方が決まる
ぐらいの重要人物だと（勝手に）思ってますが・・・

94:１３２人目の素数さん
07/02/12 06:53:04
「位相のこころ」pp.143-144によると
何か根っからのマルクス主義者らしいね。

それなりに有名人物なんじゃないの？
そうでもないんですか。

95:92
07/02/12 08:10:20
コメントありがとうございます。上のwikipediaの経歴を見ると
紆余曲折というか波瀾万丈な感じですが、見た目は
URLﾘﾝｸ(andrej.com)
温和そうな小太りおじいちゃんですｗ。
>>94さんにご紹介いただいた本は手に入れて読みたい
と思います。森毅は好きですしね。
暴論で結構なのですが、数学のご専門のかた、
Conceptual Mathematicsの主要な議論を
短くまとめると、どんなもんなんでしょうか。

96:１３２人目の素数さん
07/02/12 12:59:17
（全部読んでないで書くのもあれなんだけど・・・）
議論つーかConceptual Mathematicsていうのは
圏論の基礎概念をずぶの素人にも分かるように
ものすごく噛み砕いて説明してるだけの本なので、
新しい哲学的なアイデアの提出みたいなものは全く無い。（と認識してますが・・・

ちなみにこういう人たちがいて、現在進行形で読んでるみたい・・・
URLﾘﾝｸ(www.sampou.org)

97:１３２人目の素数さん
07/02/14 08:09:14
>>96
レスありがとうございます。なるほどなるほど。
本がすでにあるのに、本を説明してくれなんていう
のは、本当にひどい話ですが、おつきあいくださって
どうもありがとうございました。

というわけで、専門的な議論のあいまに、
ほんの時々で結構ですので、圏論の魅力なんかを
語っていただけると、とても嬉しいです。
また覗かせてもらいます。

98:１３２人目の素数さん
07/02/14 16:10:29
マクレーンさん　圏論の基礎　いつかは読みたいと思った

99:１３２人目の素数さん
07/02/20 20:01:21
教えてください。
圏論の基本的な考え方が関数一元論だとしたら
・λ抽象となにが違うのでしょうか？
・ヒルベルトの公理的方法（点や線でなく机や椅子でも同じ）と
関係があるでしょうか？

100:１３２人目の素数さん
07/02/20 22:21:08
Category theorist = Mazochist　なんて言っちゃいかんかね？
基礎論と同じでどうも好きになれん…

101:１３２人目の素数さん
07/02/20 23:01:04
>87
> ホモロジーってのは結局どういう対象なのか？　を突き詰めるとカテゴリー論になる
homology = derived categoryと限定するならともかく、それには頷けんなあ。

102:１３２人目の素数さん
07/02/20 23:04:48
関数一元論って集合全体のクラスからそれへの関数を考える話ですか
functor

103:１３２人目の素数さん
07/02/20 23:36:15
>>102
そもそも集合ナシで考えるということ

104:１３２人目の素数さん
07/02/21 01:25:02
∈ や ⊂ いらね、・→・最強という宗教

105:１３２人目の素数さん
07/02/21 23:41:10
スタック最高

106:１３２人目の素数さん
07/02/22 19:20:31
教えてください。
圏論において可換性はなぜ基本的なのでしょうか
Conceptual　Mathematicsは、このような初心者の
愚問にも答えてくれているのでしょうか

107:１３２人目の素数さん
07/02/22 20:06:13
equalizerはpullbackの特殊形と思ってよいのですよね？

108:１３２人目の素数さん
07/02/22 20:52:10
pullbackってなんなのですか？
どういう意味をもっているのですか

109:１３２人目の素数さん
07/02/22 21:20:11
だいたい直積。

110:108
07/02/22 21:56:09
>>だいたい直積。
だいたい∩だいたい∧とも言うのかもしれませんが、
でも直積の場合は、菱形の下三角形の方が無いでしょう？

111:１３２人目の素数さん
07/02/22 22:05:08
>>110
で?

112:１３２人目の素数さん
07/02/22 22:07:14
菱形をひっくり返すと解るよｗ

113:108
07/02/22 22:40:14
>>112
直和が現れるからそれと直積とを対で理解しろと
いうこと？

114:１３２人目の素数さん
07/02/22 23:15:49
妄想する前に、ベクターバンドルとか簡単な例は浮かばないの？

115:１３２人目の素数さん
07/02/23 04:10:59
> でも直積の場合は、菱形の下三角形の方が無いでしょう？

無いんじゃなくて、終対象があると考えるんだ

116:108
07/02/23 06:52:23
>>114
ベクターバンドルよりもっと簡単な例はないでしょうか？

117:１３２人目の素数さん
07/02/23 08:29:14
直積

118:１３２人目の素数さん
07/02/23 18:42:08
そんなに簡単な例が欲しけりゃ集合の圏でpullbackをとったら
何になるのかとか考えてみればいいじゃないか
ちょっとくらい自分で考えてみないと身にはつかんよ

119:１３２人目の素数さん
07/02/23 23:43:49
>>116
んじゃ、自明なベクターバンドル

120:１３２人目の素数さん
07/02/23 23:49:36
よく圏同型は重要でなく圏同値が重要と聞きますがその理由が分かりません。
是非教えてください。

121:１３２人目の素数さん
07/02/23 23:56:44
剣道系は堅ッ苦しいから剣道地を拝礼します

122:１３２人目の素数さん
07/02/24 00:31:09
>>120
クラスの定義がはっきりしないので圏の定義もはっきりしない。
従って圏同型自体はっきりしない概念だから。

123:１３２人目の素数さん
07/02/24 00:32:26
>>122
剣道地だとなんではっきりするのれすか？

124:１３２人目の素数さん
07/02/24 00:33:40
>>120
クラスの定義がはっきりしないので圏の定義もはっきりしない。
従って圏同型自体はっきりしない概念だから。

125:１３２人目の素数さん
07/02/24 00:35:46
なんか変なのが沸いてきそうな悪寒。

126:１３２人目の素数さん
07/02/25 20:58:07
おまいら馬鹿か？

127:１３２人目の素数さん
07/02/25 21:31:37
>>120
とりあえず、剣道地と剣道系の定義とその違いを教えれ

128:124
07/02/26 19:42:57
>>120
続き
しかし圏同値は、定義がはっきりしなくとも、誰にでも通じる概念だから

129:１３２人目の素数さん
07/02/26 20:03:00
>>122

集合の定義もはっきりしないのか？

130:１３２人目の素数さん
07/02/26 22:41:39
別に基礎論みたいな方向に話を進めなくても圏論は使えるけどな

131:１３２人目の素数さん
07/03/01 03:20:25
…すなわちカテゴリー的なピューリタン(純粋主義者)は
射だけで飯を食っていかなければなりません。…「コホモロジーのこころ」

具体的対象ぬきで数学をやる。すごい世界だ…。

132:１３２人目の素数さん
07/03/02 20:48:40
＞具体的対象ぬきで数学をやる。すごい世界だ…。
俺を俺と呼ぶ俺がいて…。

133:１３２人目の素数さん
07/03/03 02:10:07
>具体的対象ぬきで数学をやる。すごい世界だ…。

やっていくうちに射も具体的対象に思えてくる。
っていうか、数学の対象っていうのはいかに具体的でも抽象的だろ。
数の１、２、３、．．．だって抽象的だ。
だから圏がいかに抽象的といってもたいして変わらない。
整数全体の集合だって圏だしな。
関係 1 ＜ 2 は射だ。

134:１３２人目の素数さん
07/03/04 22:25:53
>>133
いわば、慣れだよね。
具体的な対象といった場合、その対象にどれだけ慣れ親しんでいるかによっても、
「具体性」の度合いは、違ってくると思う。

135:１３２人目の素数さん
07/03/04 22:48:01
単射の圏、全射の圏

136:１３２人目の素数さん
07/03/05 15:59:16
終対象、始対象のある圏、ない圏、ってそれぞれ何か特別な名前ありませんか？

137:１３２人目の素数さん
07/03/05 16:24:38
あるわけない圏

138:１３２人目の素数さん
07/03/05 16:32:46
それぞれ終対象あるわけない圏、始対象あるわけない圏でしょうか？

139:１３２人目の素数さん
07/03/05 17:28:14
なんか「よくがんばったで賞」みたいだな。
ところで、Categoryってなんで圏って訳すの？
Yahoo Categoryはヤフー圏？野球拳？

140:１３２人目の素数さん
07/03/05 23:52:59
本来の訳語「範疇」よりましな選択肢としての圏

141:１３２人目の素数さん
07/03/06 00:00:27
「圏」なんて訳語誰が作ったんだろうね。
まあ範疇ってのもイマイチだけど。

そもそも漢字で書けない人が多そうだｗ

142:１３２人目の素数さん
07/03/06 00:17:46
そんなに悪い選択肢だと思わないけどなぁ、・・・
なんとなくものの集まりで、ただ集まってるだけじゃなくて、
なんとなく関係しあってる感じで、・・・
むしろ英語のCategoryの方が関係しあってる感じがしないので
原語よりましとすら思う・・

143:１３２人目の素数さん
07/03/06 00:47:43
英語のCategoryはカント用語からの拝借のつもりで
つけたらしいからね

144:１３２人目の素数さん
07/03/06 01:23:28
そもそもCategoryって哲学用語だからねえ、
日本の数学者はそういうの嫌いなんだろうねえ、

145:１３２人目の素数さん
07/03/06 02:16:42
Baireの範疇定理

146:１３２人目の素数さん
07/03/06 04:23:56
Wikipedia項目ﾘﾝｸ
「～星の降る夜は」
「～俺の肩をを抱きしめてくれぇ」

147:１３２人目の素数さん
07/03/08 16:57:44
独学してるんだけど函手が全然わからない
誰かたすけてください

圏B、Cを次のように定義
Arrow(B)はBの射の集合とする(恒等射は省略)
B={1,2,3}、C={2,4}
Arrow(B)={1→2,2→3,3→1}
Arrow(C)={2→4,4→2}

函手Tの対象関数の集合{1,2,3}→{2,4}
この時、個々の対象関数の対応は適当にきめてよい？
例えば適当に1→2、2→4、3→4
函手Tの射関数の集合{1→2,2→3,3→1}→{2→4,4→2}
既に対象関数で対応を決めてるのに
射関数って何を決めてる？
もしかしてBって、Cと函手Tで全部かってに決まる？

148:１３２人目の素数さん
07/03/08 17:14:56
圏Bで1→2と2→3との合成は何?

149:１３２人目の素数さん
07/03/08 17:21:28
Bでの1→2と2→3の合成は1→3だと思います

150:１３２人目の素数さん
07/03/08 17:26:40
Arrow(B)に恒等射を付け加えた集合が合成で閉じてないと思うよ。

151:１３２人目の素数さん
07/03/08 17:43:16
新しくBとTからCが作れるかやってみました
B={1,2,3}
Arrow(B)={1→2、2→3、3→1}の時
Tの対象集合
1→2、2→4、3→4
Tの射の集合
上のように対象集合を決めると
Arrow(B)を上のルールで置き換えて
T(1→2)=2→4
T(2→3)=4→4
T(3→1)=4→2
こうすると合成は成り立つか実験
T(1→2、2→3)=T(1→2)T(2→3)は
T(1→2、2→3)=T(1→3)=？？
T(1→2)=2→4
T(2→3)=4→4
合成で閉じてないってのは
？？みたいなのが出来たらダメってことでしょうか
B={1→2、2→3、1→3}なら出来るのかな
もういっかいそれでやりなおしてみます

152:１３２人目の素数さん
07/03/08 17:50:16
B={1,2,3}
Arrow(B)={1→2、2→3、1→3}の時
Tの対象集合(勝手に決めた)
1→2、2→4、3→4
Tの射の集合は、上のように対象集合を決めると
Arrow(B)を上のルールで置き換えて
T(1→2)=2→4
T(2→3)=4→4
T(1→3)=2→4
こうすると合成は成り立つか実験
T(1→2、2→3)=T(1→2)T(2→3)は
左辺：T(1→2、2→3)=T(1→3)=2→4
T(1→2)=2→4、T(2→3)=4→4なので
右辺：T(1→2)T(2→3)=(2→4)(4→4)=2→4
よって合成も成り立つ
とりあえず、出来た・・のか？
恒等射のチェックもやってみます

153:１３２人目の素数さん
07/03/08 18:01:17
ありがとうございました
とりあえず出来たっぽいです
圏って好き勝手に射があっても良いのかと思ってました

Arrow(B)={1→1、2→2、3→3、1→2、2→3、1→3}の時
Tの射の集合に次を追加
T(1→1)=2→2
T(2→2)=4→4
T(3→3)=4→4
この時、T(1c)=1(Tc)について
c=1の時
左辺:T(1→1)=2→2
右辺:1(T(1))=1(2)=2→2
よって成り立つ

154:１３２人目の素数さん
07/03/08 19:44:34
>独学してるんだけど函手が全然わからない

函手の自然な具体例を挙げてみな。

155:１３２人目の素数さん
07/03/08 20:31:21
>>154
高等関手

156:１３２人目の素数さん
07/03/08 20:43:05
すみません、「自然」かはわからないのですが
今、函手で出来そうだと思っているイメージ(Cを圏とします)
Cの各対象を定数倍や階乗、べきなどの組み合わせで置き換える函手
Cの各対象cが集合だったらcをその要素で置き換える函手(和集合)
Cの各対象cを対<c,c>で置き換える函手

テキストは｢圏論の基礎」なんですが
これには単純な例としてべき集合函手がのってました

157:１３２人目の素数さん
07/03/08 20:55:26
>すみません、「自然」かはわからないのですが

深い意味はない。
人工的でないっていうこと(>>152は人工的だわな)。

要するに具体例をあげてみな。
教科書に頼らず。

158:１３２人目の素数さん
07/03/08 21:08:29
それじゃ、こんなのでどうでしょうか

Obj(C)をCの対象、A(C)をAの射として
Cを次のように定義
Obj(C)={月、火、水、木、金、土、日}
A(C)={月→火、火→水、...、土→日}
函手Tを次のように定義
Tの対象 A(C)→{平日、土日}
具体的には
月→平日、火→平日、...、金→平日
土→土日、日→土日
Tの射
T(月→火)=平日→平日
T(火→水)=平日→平日
..
T(金→土)=平日→土日
T(土→日)=土日→土日

159:１３２人目の素数さん
07/03/08 21:11:29
合成
T(月→火、火→水)=T(月→水)=あ、定義できないorz
T(月→火)T(火→水)=平日→平日、平日→平日=平日→平日

160:１３２人目の素数さん
07/03/08 21:14:42
合成が定義できなかったけど、残りも一応チェック

恒等射
A(C)に{月→月、火→火、...、日→日}も追加して
T(1月)=1(T月)について
左辺:T(月→月)=平日→平日
右辺:1(T月)=1(平日)=平日→平日
こっちは成り立ってる

結局、「合成が閉じている」がわかってないのか

161:１３２人目の素数さん
07/03/08 21:24:53
>>158

あんたは圏論をやるには早過ぎる。
圏論をやるには数学の基礎（大学の２、３年次程度）が必要っていうか、
基礎が身についてないのにやってもあまり意味ない。

162:１３２人目の素数さん
07/03/08 21:38:45
ショックだ・・退散します

163:１３２人目の素数さん
07/03/08 21:42:47
>>162

良薬は口に苦し。
悪く思うな。

164:１３２人目の素数さん
07/03/09 02:12:50
>>158の例は単に7圏から2圏への関手
7圏をちゃんと圏にするためには、対象を{0,1,2,3,4,5,6}とみて
n=<mのときn→mが唯一あるとすればよい。この例は圏論の基礎1章2節のまんなかあたり
に載っている。

165:１３２人目の素数さん
07/03/09 16:31:22
今は数学者じゃなくても、情報科学でも計算機科学でも
言語学でも圏論を使うようになっちゃったから、
数学の学生でない限り無理に>>161の助言に従うことはないよ

166:１３２人目の素数さん
07/03/09 17:14:23
数学の学生でも>>161に従う必要はないだろｗ

167:１３２人目の素数さん
07/03/09 17:21:22
なんにせよ、>>158は圏の定義とくに射について見直す必要アリだと思う。

168:１３２人目の素数さん
07/03/09 19:49:48
>>166

無責任なこと言うなよｗ

169:１３２人目の素数さん
07/03/09 19:52:14
>>166
いやまあ数学の基礎がないと圏論学ぶ意味がどうこう、ってより、
圏論に出会う時点でまだ数学の基礎を勉強したことがないってのは
数学の学生としてはどうよ、と思っただけですわ

まあしかし>>158はそれ以前のもっと基礎的なところくらいは
先にやっててほしい気もする
>>150のようなことを言ってもらう必要があるってレベルでは
さすがに圏論の勉強自体がきついかもしれん

170:１３２人目の素数さん
07/03/09 19:57:56
>>165

計算機科学で圏論を使うのは大いに結構。
しかし、ここは数学板だ。
計算機科学の板じゃないんで。

それにしても圏と関手の具体的例を知らないで圏論をやろうというのは、
なんていうか、女を生れてこのかた見たことがない男（野生で育ったとか）がセックスの
やり方を学ぶようなもんだろｗ

171:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:00:38
>>170
先生、生まれてこの方彼女と言うものができたことの無い
三十路の俺はどうやってセックスのやり方を学べばよいのですか？

172:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:07:10
>>171

別に学ぶ必要はない。
セックスは義務ではない。

173:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:08:15
>>171
king、なんでコテはずしてるの？

174:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:13:42
圏論知ってるほうが数学の学習が早くなるから、
集合や群程度の非常に基礎的な例だけ知った時点で
圏論始めちゃうのもいいかもしれんね

175:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:19:26
>>174

ダメだね。よっぽどの秀才、天才以外は。
その天才でも古典に学ぶことは多い。

固体発生は系統発生を繰り返すというのは生物だけではなく数学にも当てはまる。

176:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:36:19
集合や群を知ったばかりの人が、
集合の圏や群の圏のような全体的な機構を
どれだけ調べられるかと言うと
疑問は残りそうだよね。

177:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:36:22
＞固体発生は系統発生を繰り返すというのは生物だけではなく数学にも当てはまる。
はあ？

178:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:38:30
ぶっちゃけた話が集合論もそうなんだよな
他の代数や位相を勉強する前にZornの補題とか勉強しても
その意義なんて良くわからんだろうし。

179:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:38:42
>>177

googleれよ

180:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:42:05
しかし基礎の集合論を知らないとそもそも位相の勉強ができないでしょ？
だから数学を学ぶための基礎的なツールとしての基礎の集合論と
公理的集合論とは違うってことかもね

だったら数学を学ぶための基礎的なツールとしての基礎の圏論が
あってもいい気がするよってことなんだけど

181:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:44:52
>しかし基礎の集合論を知らないとそもそも位相の勉強ができないでしょ？

位相の前にやることがあるだろ。
微積とか線形代数とか。

182:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:50:08
ものには順序ってものがある。
学ぶにも当然順序がある。

確かに論理的には集合論から始めてもおかしくはない。
Bourbakiのように。
そのBourbakiも大学２、３年次レベルの数学的知識を持っているものを
読者として想定している。

数学は論理じゃないんだよ。
これを誤解してるやつは多い。

183:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:53:07
>>179
ついでにいっとくと固体じゃなくて個体ね

184:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:55:33
>>183

言う必要なし。
２ｃｈで明らかなtypoを指摘するほどヤボはない。
よく悔しまぎれにこれをやるやつがいるが。

185:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:56:21
いやぐぐる人がいるかもしれんからさ

186:１３２人目の素数さん
07/03/09 20:57:39
>>185

そこまで親切にする必要はない

187:１３２人目の素数さん
07/03/09 21:01:28
古典にも学ぶことが多い、とか圏論は具体例を知ってから勉強したほうが良い、
ということを
「個体発生は～」と譬えるとか、比喩が下手なのにもほどがあるだろ

188:１３２人目の素数さん
07/03/09 21:02:32
>>187

単にあんたが鈍いだけ

189:１３２人目の素数さん
07/03/09 21:02:51
>>181-182
そっか。「大学２、３年次レベル」という要求で
もうちょっとレベルの高いものを要求してるんだと思ってた。

そりゃまあ四則演算やる前に群環体やる奴もおらんだろうし
やれと薦めもしませんよ。

190:１３２人目の素数さん
07/03/09 21:03:59
>>180
「基礎の圏論」は抽象代数系の取り扱いとほぼ同義だと
思っていいのではないかな。
そう考える場合、代数学の基礎をやるには何が必要か
とか考えていくと、それなりに殺るべき事が待ってると思うぞ。

191:１３２人目の素数さん
07/03/09 21:11:45
>そのBourbakiも大学２、３年次レベルの数学的知識を持っているものを

１、２年次だったかな。
まあ大して変わらないが。

192:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
07/03/09 21:13:52
talk:>>173 [>>171]を私だと思ったということか？

193:189
07/03/09 21:14:00
なんか入り乱れてきてるけど、俺は≠187ね。

「個体発生は・・・」の比喩で言わんとしてる内容は
わからんでもないな。
ただ、その内容が100％正しいとも思えんのだけど。

>>190
それはそうだよ。何もやらなくていいわけない。
ただ、今の一般的なカリキュラムよりは少し早めに
基礎の圏論を導入して、他の数学を学んでいく過程と
圏論のより複雑な概念の学習とをある程度並行させたほうが
教育効果が上がるんじゃないかな、って。

まあ単にLawvere主義者のタワゴトかもしれんね。

194:１３２人目の素数さん
07/03/09 21:14:05
個人的には圏論やる前に位相幾何をやっておくべきと思う。
位相幾何こそ圏論の母体だから。

195:１３２人目の素数さん
07/03/09 21:31:45
んー、うちのガッコだと、代数幾何やる人じゃないと
まともに圏論やらないとかいうカリキュラムだからな。
なんせ有限群の表現論でさえ、俺が卒業した後に
ようやく講座できたぐらいだし。
# まあ、対称群の表現は組合せ論的な部分が大きいし、
# その辺のヤングタブローとかなんとかの話は
# 不変式論的なアプローチで関数方程式論の講義の
# 一部としてやっちゃったけどね。

ドラームコホモロジーもさらっとやる程度だし、
ホモロジー代数にいたっては選択と集中講義の中に
押し込められてた記憶がある。
圏論的なものの見方なんかほとんど学部ではやらないし
勝手に自分で学べ、という実に自由な学風であったことよ。

196:１３２人目の素数さん
07/03/09 21:52:35
勝手に自主セミナーでやっとけや、
何すべきかわからん奴は知らん、
というのも見識か

197:１３２人目の素数さん
07/03/09 21:59:56
1+1等の具体的な足し算は練習せず
いきなりペアノ公理をはじめる

精子の先端に完成された人間のミニチュア番が入っている

198:１３２人目の素数さん
07/03/09 22:01:16
「固体」の話はもういいってｗ

199:１３２人目の素数さん
07/03/09 22:05:21
>>195
代数トポロジーの人は？

200:１３２人目の素数さん
07/03/09 23:34:16
代数トポロジーってどんなのだっけ……
うちではやってる先生いなかった気がする……

201:１３２人目の素数さん
07/03/10 00:58:10
>>197
>When the calculus volume of the Formulario was published Peano, as he had indicated,
>began to use it for his teaching. This was the disaster that one would expect.
既にペアノ自身がそれに近いことをやって大失敗してる

202:１３２人目の素数さん
07/03/11 21:51:13
688

203:１３２人目の素数さん
07/03/24 13:28:22
What's the solution of the following exercize:
<Exc> In a poset(P,<) considered as a category, all diagrams commute.
To what do the limit and colimit of a diagram correspond ?

204:１３２人目の素数さん
07/03/24 14:19:54
>>203
colim　は下限、 lim は上限に対応

205:１３２人目の素数さん
07/03/24 17:12:50
>>204
Thank you. Very easy. Poset is a simple category!

206:１３２人目の素数さん
07/03/25 00:43:28
次の文章を英訳せよ

日本の2ちゃんねるは世界で唯一、圏論について話すことができる掲示板である。

207:１３２人目の素数さん
07/03/25 01:52:50
Japanese Website "2channel" is the world's only Internet forum
where you can talk about category theory, suck my balls.

208:１３２人目の素数さん
07/03/25 10:22:04
suck my balls

209:１３２人目の素数さん
07/03/25 11:21:27
（問）すべてのobjectがinitialであり、かつterminalでもある
categoryの例をあげよ

210:１３２人目の素数さん
07/03/25 11:22:58
>>14
了解です。

211:１３２人目の素数さん
07/03/25 12:20:24
>>209
Janken and Week and ...

212:１３２人目の素数さん
07/03/25 18:04:59
>>209
そんな簡単な問題なんで出すの？

213:１３２人目の素数さん
07/03/25 18:22:59
空圏

214:１３２人目の素数さん
07/03/25 18:28:49
>>209
つまり圏同値を除けば唯二つあるという事

215:１３２人目の素数さん
07/03/27 19:31:28
来月から大学へ入る高校生です。
わからないことだらけなので教えてください。
（Q1）プルバックとプッシュアウトはなんだか最大公約数と最小公倍数に
似ていますが、関係ありますか？
（Q2）Limitは、高校で習う極限と関係がありますか？
名前は同じなのですが、あまり同じようには思えないのですが。
よろしくお願いします。

216:１３２人目の素数さん
07/03/27 22:47:59
便乗カキコ
言語学でカテゴリ論使われているそうだけどそれに関する情報が見つからん。
なんか参考文献でもあったら教えてくれ。

217:１３２人目の素数さん
07/03/28 00:06:39
>>215
> （Q1）プルバックとプッシュアウトはなんだか最大公約数と最小公倍数に
> 似ていますが、関係ありますか？
整除関係は順序だからね。>>203-205 参照

> （Q2）Limitは、高校で習う極限と関係がありますか？
実数には普通の順序で圏の構造が入るでしょ。
下降列の極限はその圏での極限になる。

218:217
07/03/28 00:08:07
あれ。 >>204 って逆じゃない？

219:１３２人目の素数さん
07/03/28 00:10:32
>>216
詳しいことは知らないけど、Joachim Lambek がやっているらしい
URLﾘﾝｸ(www.math.mcgill.ca)

220:１３２人目の素数さん
07/03/28 02:15:39
そんなのが言語学の基礎になったら悲惨だなｗｗ

221:１３２人目の素数さん
07/03/29 01:42:55
>>219
サンクス。
でもやっぱり怪しい雰囲気がちょっとするね。

222:１３２人目の素数さん
07/03/29 20:10:04
>>203

posetより基本的なのが preordered set（前順序集合）。
これは任意の Hom(X, Y) が高々一個の元からなる小さい圏として
特徴付けられる。
poset は preordered set でしかも同型射が恒等射しかない圏である。

一般の圏は preordered set の自然な拡張になっている。

223:215
07/03/29 20:58:56
>>217
ありがとうございます。
>整除関係は順序だからね。
ということはまず、やはりGCDやLCMと通じると思ってよいのですね？
次に、順序というのはよくわからないのですが、整除関係は分かります。
この整除関係をわかりやすい例として考えれば、その中に圏論の概念は
全部入っているものなのでしょうか？
たとえば対象として自然数全体をとって、射として割り切れるをとった圏の場合は、
始対象は１で、終対象はなし。しかしイコライザは？と考えると、そもそも
２つの自然数の間に割り切れる関係は１つしかないはずなので、イコライザ
の概念は出てくる余地はなさそうだし・・・
そもそもこんな考え方であっているのでしょうか？
圏論を勉強するのはまだ早いのかもしれませんが、もし教えてくれると
うれしいです。

224:１３２人目の素数さん
07/03/29 23:05:27
>>223
> ２つの自然数の間に割り切れる関係は１つしかないはずなので、イコライザ
> の概念は出てくる余地はなさそうだし・・・
異なる二つの射じゃなきゃならないなんてことはないから、
同じものをとってきてイコライザを考えることはできるよ。
まあ結果は自明なんで、意味ないだろうけど。

> そもそもこんな考え方であっているのでしょうか？
考え方はだいたい合ってる。
でも先に集合論の基礎ぐらいは身に付けておいたほうがいいと思うよ。
でないと例がほとんど作れないでしょ。
例なんかなくても理解できるから問題ないというなら別だけど……

225:１３２人目の素数さん
07/03/29 23:48:35
>>222
203では無いんだけど、

＞一般の圏は preordered set の自然な拡張になっている。
これってどういう意味で自然だと言えるの？

226:１３２人目の素数さん
07/03/29 23:52:38
圏論の文脈では「自然な」は慎重に使いましょう。

227:215
07/03/29 23:56:20
>>224
すぐに答えてくださってありがとうございます。
>異なる二つの射じゃなきゃならないなんてことはないから、
そうですが、自分が知っている整除関係を例にして圏論の概念を
理解できないかと思っていたものですから。イコライザにぴったりの
ものは整除関係では現れてこないということなのですね？
>まあ結果は自明なんで、
たとえば、12-->36　のイコライザは12でよいのでしょうか？
でも射が割り切れる関係のとき、射の合成やイコールになるというのは
どういうことかがわからなくなりました。
>でも先に集合論の基礎ぐらいは身に付けておいたほうがいいと思うよ。
わかりました。基本的な考え方はよく分かっているつもりですが、
順序という言葉など急いで勉強しておきます。
例があると助かるので整除関係がそれに使えればよかったのですが。

228:１３２人目の素数さん
07/03/29 23:56:42
>>226

圏論で「自然な」を自然変換の他に使う場所あるの？

229:１３２人目の素数さん
07/03/29 23:59:41
>>225

Hom(X, Y) の個数を増やせば一般の（小さい）圏になる。

230:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:05:15
単に増やすだけではグラフにしかならないのでは？

231:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:07:24
数学の命題の証明じゃないんだから説明に感覚的な言葉、例えば「自然な」を
使ってもいいんじゃないの？
厳密じゃなきゃイヤだという人は、そいういう説明を無視すればいいわけで。
しかし、それにより失うものもあることは覚悟した上で。

232:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:09:02
へー

233:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:12:56
それにしても、一般の圏はpreordered setの「自然な（厳密でない方の意味で）」拡張ではないだろう。
hom集合の濃度を増やせば一般の圏になるなんていうのは、合成関係を無視した不自然な（というか不可能な）見方だと思う

234:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:13:30
しかし圏論や基礎論の場合は言葉遣いには気を使ったほうがいいだろ

235:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:28:45
>1
＞シットサイトトポスシャンモチーフ
＞URLﾘﾝｸ(makimo.to)
のシットって何？

236:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:41:58
>>230

なぜ？
順序集合では射の結合律が成り立っているから、それを拡張するということは
射の結合律は当然仮定すると考えると思うけど。

237:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:43:20
>>233

順序集合が圏になるっていうことを理解してないな。

238:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:45:42
>>234

時と場合によるだろ。

239:１３２人目の素数さん
07/03/30 00:52:42
しかし驚いたな、preorderを拡張したものが圏だという見方は自然だと思ってる俺は
少数派らしいな。少なくとも、今ここにカキコしてる中では。

240:１３２人目の素数さん
07/03/30 01:00:54
単に当たり前すぎて言うまでもないことでは…

241:１３２人目の素数さん
07/03/30 01:06:08
>>240

圏論では当たり前という言葉は禁句に近い。
言われてみれば当たり前の概念（即ち圏と関手）の発見がつい５、６０年ほど前のこと
なんだから。

242:１３２人目の素数さん
07/03/30 02:55:57
>>236
結合律の成り立つ射の追加の仕方といっても一通りではない
たとえば1だけの圏にaという射を追加するときにa*a=aという追加の仕方とa*a=1という追加の仕方がある。
で、この場合どっちが自然な拡張だとか言っても意味が無い。

243:１３２人目の素数さん
07/03/30 02:59:59
>>239
preorderになるグラフって言うのはそもそも射の合成の仕方がひとつしか
入らないわけで、それを自然に拡張したら任意の圏になるって言われても意味不明。

244:１３２人目の素数さん
07/03/30 03:01:40
ある圏に含まれているpreorderのうち濃度最大のものをその基底順序集合とする、とかしたとしても
多分一意的にならない。

245:１３２人目の素数さん
07/03/30 04:01:26
圏論ではいつも射の結合性が仮定されるわけですが、
圏からこの条件を外すと圏よりもっと一般的な概念が
得られるわけです。そういう方面の研究ありますか？

246:１３２人目の素数さん
07/03/30 09:14:02
ある概念が一意に拡張されないないなら、それは自然な拡張ではないと考える
あんたの考えが狭すぎる。

別にいいんだよ自然でも自然でなくても。
圏をpreoderの一般化と見ることにより見えてくるものがあればいい。

そんな見方不要というならそれでもいい。
それで、別に食うには困らないし死にはしない。

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