1+1を計算すると2になる事を証明せよ

1+1を計算すると2になる事を証明せよ at MATH

790:１３２人目の素数さん
10/05/24 02:41:28
>>788
それらはすべてそのような定義が可能だという話に見受けられる。
「そのような定義が可能か」と問われれば781も「そう定義することも可能だ」と答えると思う。
「そのような定義にする必然があるか」と問われれば、「そんな必要はない」ということではないだろうか。

791:１３２人目の素数さん
10/05/24 02:56:12
上は>>784ではなく>>783でした。

>>786
>が、そのためには数学的帰納法の原理を、a+bという記号が使えるように書き直す必要が有る。
「数学的帰納法の原理」は写像を表す記号とは無関係である。だから書き直す必要ない。
>>770の「数学的帰納法による定義」の説明において「N からM への写像 φで，」とあるが、
この写像を表す記号はφである必要は無い。岩波数学辞典ではたまたまφという記号を使っただけ。写像gとしても良い。
さらに言えば、「数学的帰納法の原理」を記述するために、必ずしも記号を用いて写像を表す必要はない。
（だらだらとした読みにくい文章になってはしまうが。）

「数学的帰納法の原理」を用いて写像を定義する際に、その写像を表す記号は何でも良い。（さらに言えば記号を用いなくても良い。）
>>770の後半部は前半部に合わせるために、φを用いたに過ぎない。
この前半部の説明が無くて、単に加法と呼ばれる写像を数学的帰納法により定義するだけならば、
>自然数a を与えたとき，
>i） a+1=a'，
>ii） a+b'= (a+b)'
>で定義される写像 : b\inN→a+b\in N を加法という．
とすれば良い。

>そして、そのように書き直した数学的帰納法の原理の上でa+bを定義すれば、
>結局は「a+1=a'」は定義ではないとなる。
これは何を言いたいのか分からない。もう少し説明を。

792:１３２人目の素数さん
10/05/24 03:25:33
読み飛ばしていたが、>>781の
>それでは加法が任意の自然数で成立する正当性が担保されない。
>加法の正当性は数学的帰納法による。
>ならば、「初めからa+bという記号を採用すれば」という選択肢はない。
これも意味が分からないなぁ。
>>791に書いた加法の定義で何か問題あるの？

>>790
>そのような定義が可能だという話
ではなく、おそらく定義に差異を感じないのだと思う。
「φ(0) = a」を定義といっても良いし「a + 0 = a」を定義といっても良い。どちらも同じことではないか？
もし、どちらか一方の定義が辞書にのっていたとしても、そちらが正当で他方は正当な定義ではないと主張する人はいないと思う。

793:754
10/05/24 09:34:56
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↑
見つけた。この本だ。数学の一番基礎的なところからの定義づけ。

794:１３２人目の素数さん
10/05/24 13:07:53
>>792

＞　>そのような定義が可能だという話　
＞　ではなく、おそらく定義に差異を感じないのだと思う。　

「ではなく」　は　否定　だよね？
つまり、「そのような定義が可能」と「定義に差異を感じない」は異なるという主張なのか？

わたしとしては、その２者は同じ事を言っているように見える。

＞　もし、どちらか一方の定義が辞書にのっていたとしても、
＞　そちらが正当で他方は正当な定義ではないと主張する人はいないと思う。　　

つまり、「そのような定義が可能」　なのであって、どちらかではなくてはダメだという
ものではないということでしょう。　

何を公理とし、何をそこから得られる定理とするかは、流儀の問題であって
結果全く差異のないものは用意できるでしょう。
（　差異のないのは結果であって、何が公理なのかはもちろん異なる）

795:１３２人目の素数さん
10/05/24 13:51:34
>>791
>自然数a を与えたとき，
>i） a+1=a'，
>ii） a+b'= (a+b)'
>で定義される写像 : b\inN→a+b\in N を加法という．

これによって定義される加法が帰納的に定義されているという証明はどうする？
写像の帰納的定義として、>>770の前半を使うならば>>776を避けては通れない。

>>776を避けるならば、数学的に妥当な別の表現で写像の帰納的定義を規定しなければならない。
まずそれを見せてくれ。

それを与えてくれてかつ、その上での加法の定義を見せてくれたなら、

>>そして、そのように書き直した数学的帰納法の原理の上でa+bを定義すれば、
>>結局は「a+1=a'」は定義ではないとなる。
>これは何を言いたいのか分からない。もう少し説明を。

こちらを見せてあげよう。

>>770の前半を使いながら、>>776を避けても正しく証明できるというなら、そちらでも良い。

796:１３２人目の素数さん
10/05/24 20:45:57
>>795
>これによって定義される加法が帰納的に定義されているという証明はどうする？
この質問は
>これによって定義される写像が帰納的に定義されているという証明はどうする？
という質問と同じと思ってよい？

「これによって定義される写像が帰納的に定義されている」ということに同意したうえで証明を質問しているの？
それとも同意していない？

797:１３２人目の素数さん
10/05/25 00:18:03
>>795
それともう一つ。君の考えでは
「「a+0=a」は加法の定義ではない」
だよね。
この考えは今までに何かで読んだり聞いたりしたものなの？それとも自分で考え出したことなの？

798:１３２人目の素数さん
10/05/25 20:44:45
>>796
>>これによって定義される加法が帰納的に定義されているという証明はどうする？
>この質問は
>>これによって定義される写像が帰納的に定義されているという証明はどうする？
>という質問と同じと思ってよい？

ある写像に加法という名前をつける・・・ということであれば、同じ質問と言っていいだろう。

>「これによって定義される写像が帰納的に定義されている」ということに同意したうえで証明を質問しているの？
>それとも同意していない？

同意するもしないも、見せてほしいだけなんだが。
私がどう思おうと、今の議論に関係はないと思うけど。

a+1=a'が定義であるような加法の定義ができる・・・と主張しているのは君なのだから、
それを具体的に見せてほしい・・・ってだけなんだけど。

>>797
>この考えは今までに何かで読んだり聞いたりしたものなの？それとも自分で考え出したことなの？

それにどういった意味が？
まぁ、質問返しは反則だから回答すると、
ソースを探すことができないから、読んだり聞いたりしたとしても、メジャーなものじゃないと思う。

独自に考えついたのか？と言われるとそうだと断言できる自信はないな。

799:１３２人目の素数さん
10/05/25 21:31:25
>私がどう思おうと、今の議論に関係はないと思うけど。
意見の相違がどこにあるのか分かれば、そこを詳しく説明できるし、説明の省略も出来るから聞いた。
君が私にした質問は以下の質問Ａである。

質問Ａ
>自然数a を与えたとき，
>i） a+1=a'，
>ii） a+b'= (a+b)'
>で定義される写像 : b\inN→a+b\in N
この写像a+bが帰納的に定義されているという証明はどうする？

質問Ｂ
>自然数a を与えたとき，
>i） φ(1)=a'，
>ii） φ(x')= φ(x)'
>で定義される写像 : b\in N→φ(b) \in N
この写像φ(b)が帰納的に定義されているという証明はどうする？

「質問Ａと質問Ｂの違いは写像を表す記号のみであり本質的な違いは無い。」
この意見に同意しますか？そして、あなたなら質問Ｂに対して何と答えますか？

800:１３２人目の素数さん
10/05/25 22:13:13
>>798
>それにどういった意味が？

立場Ａ「(0を含む)自然数の加法においてa+0=aは加法の定義（の一部）である。」
立場Ｂ「(0を含む)自然数の加法においてa+0=aは加法の定義（の一部）でない。」

立場Ａを認めれば、
(0を含まない)自然数の加法においa+1=a'は定義である。
よって1+1=1'は定義である。
（つまり「なぜ1+1=1'なの？」という質問は「なぜみかんをみかんと言うの？」と同様言葉の問題。）
また、1'=2は自然数の定義である。（つまりこれも言葉の問題。）
よって、>>751からの流れにおける>>753のレス。
>「次の数」と「＋1」が同一視出きることは証明が必要。
や>>761はおかしい。

立場Ｂを認めれば、
1+1=1'は定義でない。よって説明が必要であり、>>753のレスは正しい。

私が立場Ａで君が立場Ｂであることが、われわれの意見の相違の原因である。
同意する？
もしこれが正しければ、実は、私はこれ以上議論することに価値を感じていない。
なぜなら「a+0=aが定義であるか否か？」という議論に興味が無いから。

もし私が君の立場なら、
「なぜ、>>788にあげられているリンク先やその他多くの文章で、
「a+0=aが定義である」と述べられているのか？」と自問自答する。
なぜ君はそんなに自信があるのかな？
ソースでもあるのかな？と思ったので>>797の質問をした。

801:１３２人目の素数さん
10/05/27 08:42:08
なるほど　立場Aと　立場Bの　どちらか一方が正しく
もう一方は正しくないと考えているのか
話が通じないわけだ。

802:１３２人目の素数さん
10/05/27 23:27:21
私=800は、そんな風に考えていないよ。
>>751から読んでみな。

803:１３２人目の素数さん
10/05/28 19:06:11
立場ABのどちらも正しいということがありえるなら
>>800の主張は頓珍漢だと思うがどうか

804:１３２人目の素数さん
10/05/28 22:10:58
定義の仕方なんていくらでもありうる。
立場AB両方有りうる。
しかし、立場Aに対して、Bの立場の人間が反論するのがおかしい。

一般論として、
「定義より、、、」と話している人Aに対して、
別の流儀の定義の人Bが、
「それは定義ではない。その議論は正しくない。」
と反論するのはおかしい。Bは
「君の定義上ではその議論は正しいが、私の流儀の定義ではそれはその議論は間違いだ」
と指摘するべきだろ。
もし、Aの定義が一般的に用いられているものと異なるなら、
「君の定義上ではその議論は正しいが、その定義は一般的に用いられているもの
では無い。」
と指摘するのも良かろう。
しかし、Aが一般的な定義で、Bの定義が特殊な場合に、Bが自分の定義に基づいて
Aに対して反論するのは非常に滑稽だ。

805:１３２人目の素数さん
10/05/29 00:30:56
なるほどあなたにはそのように見えたんですね。
ならば滑稽ということでいいじゃないですか。

806:１３２人目の素数さん
10/05/29 00:31:41
＞　しかし、立場Aに対して、Bの立場の人間が反論するのがおかしい。　

つまり、相手は立場Bじゃないんじゃないのか？
あなたがそう思っているだけで。

807:１３２人目の素数さん
10/05/29 00:38:02
俺がわからんのは、　

＞　立場AB両方有りうる。
といいながら
＞　　私が立場Ａで君が立場Ｂ
というあたり。

両方がありうるなら、どちらか一方のみで考えるのはおかしいと思う。

808:１３２人目の素数さん
10/05/29 03:14:55
>>806
>>798が>>800における立場Ｂであることは明らかだろ。
そして私は、立場Ａだ。

>>807
だから、>>800で両方の立場の場合を考えているじゃん。

さらに詳しく説明すれば、今回の議論は>>804の一般論で述べたような、
定義の流儀の違いによる立場の違いでもない。

>自然数a を与えたとき，
>i） a+1=a'，
>ii） a+b'= (a+b)'
>で定義される写像 : b\inN→a+b\in N を加法という．
と
>>767による定義
>自然数a を与えたとき，
>i） φ(1)=a'，
>ii） φ(x')= φ(x)'
>で定義される写像 : N→N を φ(b) =a+b と書き，加法という
というように、記号や言葉使いが違うだけの定義を>>767は別の定義と考え、
a+1=a'は定義ではないと主張している。
つまり流儀の違いではなく、>>767の言葉使いが特殊なだけ。

809:１３２人目の素数さん
10/05/29 10:18:25
ん？
>>751-753の話じゃないのか。　それは失礼した。

810:１３２人目の素数さん
10/06/11 04:01:47
age