【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】

【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】 at MATH

71:１３２人目の素数さん
08/08/11 19:38:08
052

72:１３２人目の素数さん
08/08/12 08:08:31
何も語らん数age

73:１３２人目の素数さん
08/10/05 10:32:16
238

74:１３２人目の素数さん
08/10/31 08:20:53
112

75:１３２人目の素数さん
08/11/18 20:27:30
三年。

76:１３２人目の素数さん
08/11/27 00:58:34
うるさい。

77:１３２人目の素数さん
09/01/09 08:32:54
456

78:１３２人目の素数さん
09/01/29 07:47:09
711

79:１３２人目の素数さん
09/02/16 01:01:54
King氏ね

80:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/02/16 09:51:41
Reply:>>79 お前に何がわかるというか。

81:１３２人目の素数さん
09/02/16 20:00:00
カタラン布局

82:１３２人目の素数さん
09/04/25 11:29:04
807

83:１３２人目の素数さん
09/05/17 18:48:02
〔問題〕
　Ｃ[2n,n]/(n+1)　= (2n)!/{(n+1)!n!}　が自然数であることを示せ。

84:34
09/05/17 18:57:39
>>83

任意の素数pについて
　(2n)! 中のpの巾指数 ≧ n!(n+1)! 中のpの巾指数.
を示す。

さて、1,2,…,m のうち p^e の倍数は [m/(p^e)] 個(p^e自身も含む)だから
　m!中のpの巾指数 = ∑(e=1,m) [m/(p^e)].
これと補題↓を使うと, 成り立つことが分かる。(終)

※ p進表示 m=∑(e=0,m) d_e･p^e を使えば pの巾指数 = ∑(e=1,m) d_e･(p^e -1)/(p-1).

(補題)
　0≦y≦1/2 のとき
　[2x] - [x] - [x + y] ≧ 0,
(略証)
　x = [x] + {x} とおく。0≦ {x}, y <1.
　(左辺) = [2{x}] - [{x}+y],
　・0 ≦ {x} < 1/2 のとき [2{x}] =0, [{x}+y] =0 で成り立つ。
　・1/2 ≦ {x} < 1 のとき [2{x}] =1, [{x}+y] ≦1 で成り立つ。

〔系〕　P≧2 のとき
　[2n/P] - [n/P] - [(n+1)/P] ≧ 0,

85:１３２人目の素数さん
09/07/10 04:49:53
937

86:１３２人目の素数さん
09/08/18 10:07:36
749

87:１３２人目の素数さん
09/09/23 09:06:37

　∑[n=1,∞) 1/Ｃ[2n,n] = (2(√3)/27)π + 1/3 = 0.73639985871871507790979516836492

　∑[n=1,∞) 1/{n･Ｃ[2n,n}] = ((√3)/9)π = 0.60459978807807261686469275254739

　∑[n=1,∞) 1/{n^2･Ｃ[2n,n}] = (1/3)ζ(2) = (1/18)π^2 = 0.54831135561607547882413838888201

　∑[n=1,∞) 1/{n^3･Ｃ[2n,n}] = 0.522946192133335

　∑[n=1,∞) 1/{n^4･Ｃ[2n,n}] = (17/36)ζ(4) = (17/3240)π^4 = 0.51109708258581525710477952336666

88:１３２人目の素数さん
09/09/23 12:28:18

　∑[n=1,∞) 1/{n^5･Ｃ[2n,n]} = 0.505429474683519
　∑[n=1,∞) 1/{n^6･Ｃ[2n,n]} = 0.502676521478269
　∑[n=1,∞) 1/{n^7･Ｃ[2n,n]} = 0.501325872688179
　∑[n=1,∞) 1/{n^8･Ｃ[2n,n]} = 0.500658891297671
　∑[n=1,∞) 1/{n^9･Ｃ[2n,n]} = 0.500328117739175
　∑[n=1,∞) 1/{n^10･Ｃ[2n,n]}= 0.500163621220334

　Σ[n=0,∞) {1/(n+1)}Ｃ[2n,n] x^n = {1-√(1-4x)}/2x,
x=1/4 とおいて
　Σ[n=0,∞) {1/(n+1)}Ｃ[2n,n] (1/4)^n = 2,
　Σ[n=1,∞) {1/(n+1)}Ｃ[2n,n] (1/4)^n = 1,

　Σ[n=0,∞) {1/[(n+1)!]}Ｃ[2n,n] x^(2n) = exp(2x){I0(2x)-I1(2x)},
　Σ[n=0,∞) {1/[(n+1)(2n)!]}Ｃ[2n,n] x^(2n) = I1(2x)/x,

89:１３２人目の素数さん
09/09/23 12:30:43
>>83
Segner の漸化式↓を使えば簡単なのに･･･
　c_0 = 1,
　c_(n+1) = Σ[k=0,n] c_k･c_(n-k),　　　　(n≧0)

90:１３２人目の素数さん
09/09/24 12:07:40
age

91:１３２人目の素数さん
09/09/27 03:06:19
>>89
【漸化式】(Segner)
　c_n = (1/(n+1))Ｃ[2n,n], c_0 =1 とおくとき、
　c_(n+1) = ∑[k=0,n] c_k･c_(n-k),　　　(n≧0)

(略証)
マクローリン展開により
　1/√(1-4x) = ∑[n=0,∞) Ｃ[2n,n] x^n,
xで積分すると
　√(1-4x) = 1 - 2∑[n=0,∞) Ｃ[2n,n](1/(n+1)) x^(n+1)
　　　　　　= 1 - 2∑[n=0,∞) c_n･x^(n+1),
両辺を2乗して
　1 -4x = 1 -4x + 4∑[n=0,∞) {- c_(n+1) + ∑[k=0,n] c_k･c_(n-k)} x^(n+2),
よって　{……} = 0, 　　(終)