バナッハ・タルスキーの定理を信じられますか？

バナッハ・タルスキーの定理を信じられますか？ at MATH

1:１３２人目の素数さん
05/07/09 23:44:39
バナッハ・タルスキーの定理

大きさの異なる２つの球体KとLを考える。Kを適当に
有限個K1、K2、．．．、Knに分割し、K1、K2、．．．、Knの
それぞれの形を変えずに適当に隙間なく組み合わせなおすと、
Lを作ることができる。

実際に証明されている定理なわけですが、明らかに有りえない定理です。

2:１３２人目の素数さん
05/07/09 23:56:56
n

3:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:08:15
明らかにありえないことを証明してほしいものだ。

4:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:15:42
体積が変わってしまうけどいいの？でもそれは変だよね？

5:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:18:58
体積じゃなくて面積だけど、別に変ではないだろう。
「分割しても面積は変わらない」というのが思い込みだった。というだけで。

6:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:25:58
半径１の球面をバナッハタルスキー分解して、
半径２の球面するやり方を教えれ。

7:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:26:58
>5 わからん、思い込みなのか、、ﾘｰﾏﾝ積分って細かく分割してから集めてそれを面積ってしてなかったっけ？

8:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:29:01
>>7
それは極限の問題だろ。今は有限の話だ。
>>6に答えろ。

9:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:31:52
>>7
分割のしかたによらず、ある一定の値が定まるときに、その値を面積と呼ぶ。
バナッハタルスキの場合、上の意味で面積がない（正確にはルベーグ可測でない）
図形に分割するので、そういう議論はなりたたん。

10:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:33:49
>8 って事は無限個に分解すれば、面積はかわらんが、有限個に分解すればいくらでも面積違うものがつくれるって事か、、不思議だな

11:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:34:47
>9 なるほど

12:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:34:54
>>8
ぐぐれ。"banach tarski"とかで。

13:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:41:58
三次元だから体積でいいんだな。面積じゃないや。ｽﾏｿ。

14:１３２人目の素数さん
05/07/10 10:05:29
しかし、コレは事実しっかりと証明されてるんだよなぁ。
知ったときは衝撃をおぼえたよ。

15:１３２人目の素数さん
05/07/10 11:06:23
つーか、二次元だとバナッハ・タルスキー成り立たないだろ

16:１３２人目の素数さん
05/07/10 11:11:13
ノンメジャーラブルだからなんとでもいえる。

17:１３２人目の素数さん
05/07/10 12:31:14
でもこれって選択公理を前提として証明されているんだよね？？

もしこの定理が現実に成り立つとしたら全ての物質は点の離散的集合って事になるんじゃないの？

18:１３２人目の素数さん
05/07/10 15:56:30
U=Q+(R-Q)
S=CosetU
P=S+Q
R=[0,1)=UP
m(S)<∞->m(R)=1=Um(P)=Σm(S)->∞
m(S)=0->m(R)=1=Σ0=0

19:１３２人目の素数さん
05/07/10 20:49:09
バナッハタルスキのスレって無かったのか。意外

20:１３２人目の素数さん
05/07/10 23:36:58
パラドックススレで十分じゃね？

21:１３２人目の素数さん
05/07/11 06:21:05
（　゜Д゜）　バナッハ！！！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タルスキー？　（゜д゜　）

22:１３２人目の素数さん
05/07/11 13:29:09
選択公理を使わないで、バナッハ・タルスキの定理は
導けるの？

23:１３２人目の素数さん
05/07/11 18:34:44
導けないけど、選択公理を認めなかったら無理数は存在しなくなる和名

24:１３２人目の素数さん
05/07/11 19:03:36
つーとだ、

「現実世界では考えられない（かと言って不可能は証明できない）」
といっても、バナッハタルスキの定理は数学上正しいんだろ？

相対論が日食で初めて正しさが認められ始めたように、
何か現実的な問題に結びつけないかな？

25:１３２人目の素数さん
05/07/11 19:20:33
>>22-23
選択公理より弱いハーン・バナッハの定理から
バナッハ・タルスキの定理が導かれることがわかっている。

26:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/11 19:55:04
talk:>>23 実数の集合が存在する以上、無理数も存在する。

27:１３２人目の素数さん
05/07/11 20:19:16
論理的に矛盾しなければ数学では"非常識"も定理になるということで..

28:23
05/07/11 20:19:45
>>25
選択公理より弱いハーン・バナッハの定理て、どないなもんでっしゃろ？

>>26
んな、むちゃくちゃな。実数はどだい無理数を含んでまんがな

29:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/11 20:51:40
talk:>>28 1,2,5/2,8/3,65/24,…という数列(∑_{k=0}^{n}(1/k!)によって数列を作る。)は有理コーシー列であり、極限は有理数でない。

30:１３２人目の素数さん
05/07/11 20:55:27
別に信じなくてもいいんだよ。そのロジックで行くとそうなるなって納得すれば
いいだけです。意味不明なんだよな、なんか。ピタゴラスの定理を信じますか？

31:１３２人目の素数さん
05/07/11 21:56:03
>>29
誰だお前

32:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:34:00
√2は選択公理がないと構成できないことの証明きぼんぬ。

33:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:34:42
＞GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

こいつは数学をちょっと齧った程度のようだ。
知識の断片だけを吐き出したり飲み込んだりして、
思考が伴っていない（笑）。

34:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/11 22:46:55
talk:>>32
x^2+2x-1の根がx=-1±√(2)なのは理解できるだろう。
適当な初期値を与えてx→(1-x^2)/2という変換を繰り返せばxが-1+√(2)に近づくことも分かるだろう。
すると、適当な初期値を与えてx→(1-(x-1)^2)/2+1という変換を繰り返せばxが√(2)に近づくわけだ。
こうして√(2)に収束する有理数列ができる。
一体何を考えている？
talk:>>33 そんなことを書き込んでいる暇があったら何か数学の話題でも出したらどうだ？

35:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:49:06
＞talk:>>33 そんなことを書き込んでいる暇があったら何か数学の話題でも出したらどうだ？

お前が出せよ、馬鹿（笑）

36:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/11 22:53:39
talk:>>35 君は有理数列の話題が既に出ていることにも気が付かないのか？

37:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:56:01
>知識の断片だけを吐き出したり飲み込んだりして、
>思考が伴っていない（笑）。

山口人生とか松本真吾みたいな
トンデモよりはマシだろう

38:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:56:51
有理数列有理数列って五月蝿ぇなぁ（笑）。

>>29で何が言いたかったの？（笑）。

39:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:57:28
>>34

お前は本当に空気読めない奴だなあ。>>32は>>23,>>28に対する質問に決まってるだろうが。

40:１３２人目の素数さん
05/07/12 08:07:38
ビー玉みたいな球を想像するんではなくて、点の集まった「群」みたいなもので考えろ、と
何かの本で読んだ気もするが、それさえよく分からん。眠いし。

41:１３２人目の素数さん
05/07/12 11:29:53
>>32
実数の集合から(-∞,√2)を引いた集合は、選択公理を認めないと整列できない
から最小元が存在しない。つまり√2は存在しない。

って、どうよ？

42:１３２人目の素数さん
05/07/12 11:48:22
というか「√2が構成できない」という
ステートメントの意味が分からないわけだが．
数学では「～出来ない」ことを示すには
まず「～出来る」ということの意味を
厳密に定義してしまわないといけない．

43:GiantLeaves ◆1HQBbUfrvs
05/07/12 13:58:02
talk:>>34 お前誰だよ。

44:１３２人目の素数さん
05/07/12 14:41:19
選択公理を認めればこの手の直観をくつがえす定理は
いくらでもつくれる

別にたいしたことではない

45:１３２人目の素数さん
05/07/12 14:44:41
そもそも直観に反してなどいないが。

46:１３２人目の素数さん
05/07/12 14:47:16
>>23
うそつくなよ馬鹿

47:１３２人目の素数さん
05/07/12 18:19:32
>>37
それをいうなら
「山口人生とか白石誠人みたいな
　トンデモよりはマシだろう」
だろ（ｗ

48:１３２人目の素数さん
05/07/12 18:56:33
有理数集合の完備化として無理数集合を定義するには選択公理は必要としない。

49:１３２人目の素数さん
05/07/12 22:24:04
>>42

ZFで、√2を含む有理数体の拡大体を構成できるかどうか。
或いはもっと一般に実数体を構成できるかどうか。

50:正解
05/07/12 23:23:42
>>47
山口人生とか松本真吾とか白石誠人みたいな
トンデモよりはマシだろう

51:１３２人目の素数さん
05/07/12 23:24:49
pdfファイルでお願いしたいけど、
バナッハ・タルスキーの定理の証明を書いた論文
あるいは何かしらのものって無いですかね？

興味が沸きすぎている～～～～！

52:１３２人目の素数さん
05/07/13 01:57:15
>>51
URLﾘﾝｸ(suuri.sci.ibaraki.ac.jp)

53:１３２人目の素数さん
05/07/13 09:33:49
なんつーか証明のキモはなんなの？
ひとことでいってしまうと？

54:１３２人目の素数さん
05/07/13 09:39:52
>>53
洗濯高利

55:１３２人目の素数さん
05/07/13 12:17:35
まさか選択公理を知らずにいきなりバナッハ・タルスキーの定理に臨んでいるわけではあるまいな？

56:１３２人目の素数さん
05/07/13 12:33:25
球を有限個に切るのに
どこに選択公理が入る余地があるん？
説明してみ

57:１３２人目の素数さん
05/07/13 13:28:59
有限個に切るところではなく
そのとんでもない切り方が選択公理から保証される

58:１３２人目の素数さん
05/07/13 13:42:29
>>57
だからどういうふうに切るんだよ？

どうせおまえもわかんねんだろwwwぷ

59:１３２人目の素数さん
05/07/13 15:27:42
これは体積だけの理論なの？二次元とか一次元もしくはより高次元に拡張されないの?

60:１３２人目の素数さん
05/07/13 15:45:25
>選択公理より弱いハーン・バナッハの定理て、どないなもんでっしゃろ？

>Hahn-Banach Theorem
>A linear functional defined on a subspace of a vector space V and
>which is dominated by a sublinear function defined on V has a
>linear extension which is also dominated by the sublinear function.
>URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

61:１３２人目の素数さん
05/07/13 15:46:38
よくわからんが、y=2xって長さ1のものを2に伸ばしたようにも見えるんだが、、でもこれは有限個分割では無理そうだな、、有限個分割ってのが１番不思議かも逆に無限分割なら何次元でもどんな形でも濃度同じなら可能って事か？

62:１３２人目の素数さん
05/07/13 15:52:12
証明で実際の分割の構成方法はあたえているんだろうか？

63:１３２人目の素数さん
05/07/13 16:42:06
5個に分ければ良いというRobinsonの定理とかがあったような

ただ，分け方で，例えば無理点とそれ以外の二つ、みたいな類の
むちゃくちゃなことするから，普通に切るだけじゃ無理ですね

>>62
選択公理のところで構成できなくなるに決まってる

64:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:03:00
リンゴを包丁で切るような考え方でいると無理。
集合を適当に分割して、それを合わせて別な集合を作ると考える必要がある。

65:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:15:22
>>64
は？
そんなに反則じゃん

たとえば2倍の球にするには
部品をそれぞれ2倍にすればいいという話でしょ？

あたりまえじゃん

66:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:41:24
2倍するという動作は合同変換に入らない。
あくまで分割するのと合同変換だけで同じ球をもう1つ作る。

67:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:44:04
>>59
1 次元と 2 次元ではパラドキシカルな分割ができないことが選択公理を使って
証明されている。一方で、球面や非ユークリッド平面では可能。

68:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:51:20
どうもわからない

普通の言葉でいうと
どんな分割のしかたをするわけ？

69:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:56:31
選択公理って事は点毎に分割すんじゃね？
そんでまた組み合わせるんじゃね？
で体積変わっちゃうんじゃね？

70:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:03:40
>>69
それじゃ有限個じゃないじゃん

71:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:07:55
点を無限に選べばいいんじゃね？
その点毎にある集合とんじゃね？

72:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:09:53
>>71
馬鹿かおまえは
有限個の分割だっていってんだろ
ころすぞテメエ

73:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:16:23
無限がどっかでなんらかの形で出てこないとそうはならんだろう？

74:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:57:34
>>68
だからさ、普通の言葉で表せるようなまともな形状での分割じゃないんだってば。

75:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:20:03
ここまでのをまとめると、有限個分割というのが、この定理のﾎﾟｲﾝﾄであり、一般の1次元や2次元では不可能なようだ、、て事で今後はこの有限個分割をどのようにイメージしたら、この定理がしっくりくるかに焦点を当てﾚｽしましょう

76:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:23:09
一般の1次元や2次元って言うが、その二つだけが例外なんだぞ。
あと、イメージできたら構成可能じゃね？

77:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:31:33
構成するイメージは無理でも、、この定理の証明の核は選択公理らしいけど、それをどこで使うのかとか

78:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:35:13
可算個に分割すると、パラドキシカルに思わないんだろうか
（これなら簡単に書けるんだけど）

非加測集合の存在
R を可算個の合同な集合に分割して、
区間 (0,1) に重なり合わないように並べ替えることができる

79:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:36:42
どっちにしろ選択公理がないと無理なのでは。

80:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:46:50
選択公理がない足し算

φ+φ=φ

81:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:48:18
これが信じられないってのは、
文系とか工学部の数学音痴に多いな

82:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:49:01
選択公理が間違っていることを示すために生まれたのがこのパラドクス。
現実には
「間違っている」と捕らえるより「選択公理は非直感的な性質をもつ」と納得した数学者が多いようだ。

83:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:54:33
ということは、証明したバナッハやタルスキはこれを信じてなかったって事だな。
バナッハやタルスキは数学音痴だったんだな。

84:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:55:27
選択公理を使っている数学の本は、
どれも間違ってるのかぁ・・・
数学者って何やってるの？

85:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:58:12
選択公理を認める公理系と認めない公理系がどのようなかかわりを持つか研究してる数学者も結構いるよ

86:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:01:29
楽しい世界では決してないよな・・・

87:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:02:03
選択公理からは直感に反する結果が出るけど、
別に選択公理が間違ってるわけじゃない
つーか、ZFC(= ZF+選択公理) は無矛盾です

88:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:03:16
ZFの無矛盾性を仮定すればな。

89:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:11:56
バナッハ・タルスキに不安を覚えて、選択公理を排除する、
ってのは、拠り所が直観なのか論理なのかよくわからんなぁ。
物語としては面白いんだが。

90:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:14:32
選択公理は通常の有限では構成できない事の存在を保証している。
これを使うって事はだから、有限構成はできないけど存在を保証するって事を
どっかで使っているはずだ。だってそうでないなら、普通に有限で構成すれば
いいじゃんって話だ。
だから、構成するイメージができるなら、選択公理を使う必要はないし、
使っているしこれが肝ならば、有限構成するイメージは得られない。

要素が有限でもいくらでも無限は使える。分割の仕方とか、etcで、、、。

91:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:14:49
まあどう考えたって選択公理はいんちきだよな。便利だから使うけど。

92:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:15:58
たしか￢ACとなる公理を何か取ったら
R^2が可算個の"直線"の和集合になる，という
定理も出てこなかったっけ？
これはこれできついような

93:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:18:20
URLﾘﾝｸ(sun.dhis.portside.net)

何このサイトのバナッハタルスキーの定理

94:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:18:59
使わないと極めて不便って事が、
正当性を保証してるんじゃね～の？

95:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:20:32
ツォルンの補題についても語ろうぜ

96:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:20:42
>>94
まあそういう考え方もある。

97:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:21:34
>>93
現実の物質はルベーグ非可測には分割できないんじゃないの？

98:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:22:43
公理を排除する時間があれば、
有益な公理を追加する、
数学はこうじゃなくちゃイカン！

99:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:26:36
誰か証明の概略載せてくれ、そうすれば何らかの手掛りが得られるかも、、これが当たり前と思える奴は数学的ｾﾝｽがあるようなｷｶﾞｽ

100:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:26:58
バナタルを信じられないアナタは、とってもピュアな人。
選択公理を信じられないアナタは、とっても疑り深い人。
その二面性が僕は好きだ。

101:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:28:05
>>99

>>52のサイト嫁。

102:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:29:33
>>93
絶対管理人分かってないな、、

>>99
あまりないかと．
ただ，そういうことも起きるさ，別に変なことじゃない，
というセンスはあるかと．

103:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:38:44
>>99
>これが当たり前と思える奴は数学的ｾﾝｽがあるようなｷｶﾞｽ

それは分からんが、これがおかしいという方は
数学的ｾﾝｽが無いパターンが殆どだな。

104:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:52:09
>>93
ﾜﾛﾀ

105:１３２人目の素数さん
05/07/13 23:24:04
球体内の点の濃度が同じだから、って感じもしないわけではない。

でも一次元、二次元も濃度は同じだから関係ないか。

106:１３２人目の素数さん
05/07/13 23:24:36
このスレで「どういう形に分割するんだ？」とかいってる香具師は、
測度についてまず勉強したほうがいいような気がする。

107:１３２人目の素数さん
05/07/13 23:39:40
そもそも、有限個に分割、と言っているが
自然数全体のなす集合は無限集合だけども、奇数と偶数で分ければ
２つの集合に分けることが出来る。

そう考えると、非加算個の点をバラバラにしておいて、
そのバラバラな点を或る性質に基づいて有限種類に分類しておいて
適当に繋ぎ直せば、元の集合体より大きくなる（実空間で）、っていうなら
なんとなく「成り立つかも」と思ってしまう。

108:１３２人目の素数さん
05/07/13 23:42:29
>>107
部品は連結じゃなくていいのか？

109:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:35:23
連結はいくらなんでも無理じゃないのか？

110:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:54:14
選択公理を認めれば…が成り立つ、ってのが定理だろ？多分
正しいんじゃねーのか？

選択公理が正しいか、どうかは知らんよ。ｗ

111:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:55:34
>>110
ぱぷー、いくらちゃんです

112:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:55:46
連結してるから「分割数5で必要十分」って言えるんだよ

113:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:57:28
あ，そうなんだ．

114:１３２人目の素数さん
05/07/14 01:48:28
そうなの？
合同変換で独立に動かす必要があるのが５個、という意味ではなくて？
知らないから確認したいんだけど。

115:１３２人目の素数さん
05/07/14 02:13:11
>>112
必要十分の意味が分からないのだが、、

116:１３２人目の素数さん
05/07/14 02:13:55
ご免、わかりました

117:１３２人目の素数さん
05/07/17 15:49:32
数学的センスって何？
どんなに優秀な科学者でもこれが直感的に成り立ちそうだと確信してしまう頭脳を持っている人間なんてほとんどいないでしょう
いたら是非あってみたい　なぜにこれが自明と感じられるのか
証明をおってるうちにこの定理の核心・イメージが出来上がっていってああたしかに成り立つなという納得・感覚的理解はありえても証明という論理が与えられない限り彼らの頭脳にこの定理のイメージはまったく浮かばないはず
それでこの定理が直感的に理解できないというやつは数学的センスがないっていうのはまったくもって意味不明
そもそも証明した人自体が直感的には明らかと感じていないのになぜその他大勢が直感的に明らかとなるのか
僕の問題にしてる直感的に明らかというのは証明をよまなくても感覚的に理解していてしかもそれが他人に説明できるレベルの話です
数学的センスを持っていたとしても証明を読まなかったとすれば
数学の世界にこういうことは起こっても仕方ないという認識程度で終わると思います
それにこの問題がおかしいと思うのは数学の世界を体験したことがなければ自分の体験・現実世界と比較するのでおかしいと感じるのは当然だし
それで数学的センスがないという結論を下すこと自体頭がおかしい人間の証明かと思われ

ただ一つ疑問なのは
予想としてこれが成り立つ可能性があって示したのかそれとも偶然見つけたのかで意味合いが全然違ってくるということです
前者ならそもそもある程度直感的にこの定理を理解していた人間が存在することを意味します
実際の分割がわからないのにこんな自明でない定理の予想が立っているわけですから
多分前者でしょう

あと選択公理ということがまったく理解できていない知恵遅れレベルの高校生が書き込んでいるみたいだけど（たとえば>>56、>>58　晒しあげとく）
そーいう人間は馬鹿にしか見えないです
選択公理はすげーわかりやすく説明するとそーいう風にえらぶことができるよっていう権利です　それが公理という前提として与えられた時点で疑問の余地はないです
そんなことすらもわかっていないなら書き込まないこと

118:１３２人目の素数さん
05/07/17 16:07:49
分かりやすい改行もせずに書き込むのは止めて貰えませんか

それに公理だから疑問の余地がないというのはおかしいと思いますが
公理にも自然な公理とそうでない公理
（たとえば￢ACなどは不自然ですね
その十分条件のADなら自然かもしれませんが）
があるのは一般的なコンセンサスだと思いますが

119:１３２人目の素数さん
05/07/18 01:45:11
>>117
お前さんには、命題が明らかか
そうでないかの二通りしかないのかい？
例えば、証明は分からないが、否定を証明する事は絶望的だな、
とか感じた経験は無いのかい？

120:１３２人目の素数さん
05/07/18 01:49:49
こんな集合論的な命題を見て、
現実世界の直観と対比するのがズレてるわけで。

121:121
05/07/18 14:56:05
√(121) = 11

122:１３２人目の素数さん
05/07/18 20:22:53
たぶん>>117はstream of consciousnessの技法を使っているんだろう。

んなわけないか。

123:１３２人目の素数さん
05/07/18 23:53:22
ｿﾚだ

124:１３２人目の素数さん
05/07/19 01:25:16
この定理の可能性を考える為に、
高橋留美子はらんま１／２を執筆したのである。

125:１３２人目の素数さん
05/07/19 16:42:01
非加測集合の存在
R を可算個の合同な集合に分割して、
区間 (0,1) に重なり合わないように並べ替えることができる

↑
これ教えて

126:１３２人目の素数さん
05/07/19 17:11:23
×非加測集合
○非可測集合

減点 -1

127:１３２人目の素数さん
05/07/19 17:26:39
>>125
R上の同値関係～を、x～y ⇔ (x-y)∈Q で定義する
(Q は有理数全体の集合)。
～による各同値類から、(0,1/2) に属するように、
選択公理で代表元を取り出して集めた集合を V とする(V⊆(0,1/2))。
V を q(∈Q) 平行移動した集合を V[q] とする (V[q] = {v+q|v∈V})。
q≠r なら V[q]∩V[r] = φ は明らか。

∪[q∈Q]V[q] = R
なので V と合同な集合を可算個集めて R にできる。

一方、
V[1/2]∪V[1/3]∪V[1/4]∪… ⊆ (0,1)
なので V と合同な集合を可算個、(0,1) に重なり合わないように
配置できる。

128:１３２人目の素数さん
05/07/19 18:27:51
100点。合格

129:１３２人目の素数さん
05/07/19 18:33:33
現実に存在する集合は加速なので、人間の感覚では矛盾に見えるのだろう。
すなわち”大きさ”という概念は加速集合にしかあてはまらないので。

130:１３２人目の素数さん
05/07/19 19:16:54
一応突っ込んでおくけど、加速じゃなくて可測だよな？

131:１３２人目の素数さん
05/07/19 22:36:34
>>109-114
F.ル・リヨネの「何だこの数は？」p.94によると、
「さらに1956年、T.J.デッカーとJ.ド・グローはこの分割のどの部分も連結であるようにできることを示した。」
らしいぞ。

132:１３２人目の素数さん
05/07/20 03:13:50
>「何だこの数は？」
ずいぶんと面白い書名だな。

133:１３２人目の素数さん
05/07/22 02:57:37
同一な物が出来るのは理解できるのだが、大きさの違う物が出来る事がワカラン。
中心を起点にして倍率移動？密度が満たされるのだろうか？

134:１３２人目の素数さん
05/07/22 03:43:07
>>133
馬鹿かおまえは
倍率移動が許されるなら
分割せずにそのまま拡大縮小すればいいじゃないか
ばか

135:１３２人目の素数さん
05/07/22 19:14:14
体積が定義できる、他の空間だとどうなんだ？
って、「体積が定義できる空間」の非自明な例知らんわ

136:１３２人目の素数さん
05/07/22 19:32:42
はいはいイミフ

137:１３２人目の素数さん
05/07/23 14:29:30
では結論、質量を持つ物質が、
非可算個の原子から成り立っているわけがないと言う事ね。

138:１３２人目の素数さん
05/07/23 20:49:45
それを結論として持ち出す感性はあまりに貧しいと言わざるをえないなあ。

139:１３２人目の素数さん
05/07/23 20:53:03
同感
でも物理学者なら>>137でFAとしちゃう人多そうだけど

140:１３２人目の素数さん
05/07/24 00:51:38
集合を分割するのになんで質量とか物質とか考える必要が出るんだ？

141:１３２人目の素数さん
05/07/24 07:46:56
>>140
「われわれの住む時空の話以外は受け付けない」って人だからじゃない？

142:１３２人目の素数さん
05/07/29 11:33:34
これを応用すれば１万円を１０万円にできるような気がするが
そんなわけ無いよな。どういうことだ？
凡人にも分かるように説明してくる。

143:１３２人目の素数さん
05/07/29 19:38:46
>>142
がんばれ

144:１４２
05/07/29 20:18:41
書き間違えた。
凡人にも分かるように説明してくれ。

145:１３２人目の素数さん
05/07/29 20:48:20
つまりだな、1万円札を各々の面積が元の３分の２以上になるように１０
等分に切り分けることができるってことだ。３分の２以上あれば、万札
に換金してくれるんだろ？

146:１３２人目の素数さん
05/07/29 20:49:18
>>145
2次元図形では無理だ

147:１３２人目の素数さん
05/07/29 21:05:39
>>146
べつに一万円札１０枚とは言っとらんだろう

148:１３２人目の素数さん
05/07/29 21:24:39
１０年位前俺は大学の数学科に所属していたけど、
バナッハ・タルスキーの定理なんて一度も聞いたことが無かった。

こんなに面白い定理なのに・・・・・・・

149:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/29 21:50:33
数学の世界での立体は点集合でできているのだよ。

150:１３２人目の素数さん
05/07/29 22:17:19
R->R^2

151:１３２人目の素数さん
05/07/30 02:13:29
>>146
1万円札には厚さがある

152:１３２人目の素数さん
05/07/30 04:04:04
おいおい、これを信じられない以前に、まんこに精子を注入したら子供が出てくるほうが信じられんぜ？
人体も分割してるじゃん。

153:１３２人目の素数さん
05/07/30 05:01:05
>>152
目の当たりにすれば信じられる。試してみれ。

154:１３２人目の素数さん
05/08/24 23:26:11
>>1
信じられます

155:１３２人目の素数さん
05/08/25 00:57:58
この定理、生命の起源をイメージすると
あり得ないこともなさそうな感じがするが。。。

156:１３２人目の素数さん
05/08/25 03:37:29
>>155
詳しく。

157:１３２人目の素数さん
05/08/25 11:18:06
　バナッハ・タルスキーの定理の証明で最初に驚いたのは、補題で
「1個の球を有限個に分割して、組み合わせなおすと、分割する前の球と同じ
半径の球を2個つくることができる。」
を示しているところでしょうか。ここで体積が変化しています。
　そして、そのキモは意外と簡単で、次のような群がキモだと私は思っています。
まず、a、a'、b、b'の4つの文字の有限文字列全体の集合に空な文字列を加えて、
さらにaa'、a'a、bb'、b'bなる並びはすべて取り去るというルールを決めます。
するとこのルールの下での有限文字列たちは群をなします。そのときの演算は、
2組の文字列に対して、それを単に1列に並べるという操作です。
その演算の計算例は、演算記号を＊として書くと
　　aba'＊ab'a=aba'ab'a=abb'a=aa
です。この群をWとして、この群を次のように分割します。
　　W=W(a)+W(a')+W(b)+W(b')+e
ここでW(x)は、文字xで始まる文字列（つまり左端が文字xとなる文字列）全体
の集合で、eは空な文字列のみからなる集合です。また記号+は単に
集合の和集合の意味です。記号∪を使わなかったのは、お互いに共通部分の
ない集合同士の和集合であることを強調したかったからです。
　さてW(a')の要素に左からaを作用させたもの全体の集合をaW(a')とかくと
　　aW(a')=W(a')+W(b)+W(b')+e
となるので、なんと
　　W=W(a)+aW(a')
同様に
　　W=W(b)+bW(b')
となるのです。つまり1つのWから2つのWが作られてしまうのです。
　あとは、この群Wを球に作用させ、その軌道(orbit)を考えることで
「1つのWから2つのWを作る」話を「1つの球から2つの球を作る」話に
翻訳します。選択公理は、このあたりで使用します。

なんとなく、自然数を奇数と偶数に分割するイメージのような気も．．．
ちなみに上記のWに同型な群はSO(1)、SO(2)からは取り出せないそうです。
n≧3のSO(n)からは取り出せるそうです。

158:１３２人目の素数さん
05/08/30 12:47:00
('Ａ`)

159:１３２人目の素数さん
05/08/30 23:39:16
age

160:１３２人目の素数さん
05/09/15 15:15:31
>>157のおかげで何かが見えた気がする。まあ気のせいだが。

161:１３２人目の素数さん
05/10/08 12:28:55
572

162:１３２人目の素数さん
05/10/22 21:47:23
age

163:１３２人目の素数さん
05/10/22 22:01:05
１５７さんの書き込みがちゃんと理解できないのが悲しい。
しかしこのパラドックスはそもそも「体積」のあるものが
「不可測」な断片に分解されるという部分の解釈がおかしい
のだとおもわれる。体積なら幾ら細分化しても可測だろうし、
不加測な断片に分解できるようなものなら体積とは言わない。
つまり誤った比喩が矛盾の感覚を生む。

164:１３２人目の素数さん
05/10/23 00:18:40
バナッハ・タルスキーの定理は「定理」です。パラドックスと呼ばれるのは日常の感覚
からパラドックスのように感じられるからに過ぎません。
>>163
＞「体積」のあるものが
＞「不可測」な断片に分解されるという部分の解釈がおかしい
＞のだとおもわれる。
と思うのはあなたの勝手ですが、これは定理なのです。証明されているのです。
可測という言葉を使いながら
＞体積なら幾ら細分化しても可測だろうし
とおっしゃるあなたのセンスのなさには驚きです。自分のもっていらっしゃる日常の
感覚というものがいかにあてにならないのかの経験がないのでしょうか。
あなたがまだ高校生くらいなら、今後の研鑽によって修正は可能なのでしょうが
ある程度お年を召された方なら理解することは不可能なのでしょうね。

165:１３２人目の素数さん
05/10/23 04:42:48
実は幾らでも伸び縮み出来る風船について考えてるだけなんだけどな、、空気を送り込めば幾らでも大きく出来るだろ？その操作と同じ役割を果たすのが有限分割ってだけの話

166:１３２人目の素数さん
05/10/23 10:58:40
>>165
伸び縮みは無くても平行移動と回転だけで体積を変えられるって話なんだが。

167:１３２人目の素数さん
05/10/23 16:10:48
面積などの計量が存在するとは限らない対象に対して
移動を合同変換に限ることにどれほどの意味があるんだろう。

168:１３２人目の素数さん
05/10/23 16:46:34
何その後出しジャンケン

169:１３２人目の素数さん
05/10/23 17:42:45
なんとか感覚的に理解できました。
球の性質だけで見ると可能だということでしょう？
現実世界にある球は球の性質以外の要素があるので不可能というだけでは？

170:１３２人目の素数さん
05/10/23 18:15:50
>>169
＞球の性質
＞球の性質以外の要素
具体的には何？

171:169
05/10/23 18:29:18
知らんがなｗ
感覚的な理解に具体的な説明もとめんなｗ

172:１３２人目の素数さん
05/10/23 19:57:38
まあ現実のボールはあくまで原子が有限個集まって出来たものだから
限りなく分割も出来ないし、合同変換で二倍にするのも不可能だよね

173:１３２人目の素数さん
05/10/23 20:18:44
そういうことだな。
そういう現実の常識にとらわれない者が数学を発展させていくのかもな。

174:１３２人目の素数さん
05/10/23 20:22:17
限りなく分割？

175:１３２人目の素数さん
05/10/23 21:01:47
定期的に立つね、バナッハ・タルスキ。

176:１３２人目の素数さん
05/11/18 10:41:34
648

177:１３２人目の素数さん
05/12/18 06:31:59
149

178:１３２人目の素数さん
06/01/02 03:27:58
979

179:１３２人目の素数さん
06/01/16 09:06:42
不思議なこっちゃ

180:ogachan
06/01/16 20:43:05
バナッハ・タルスキーの定理が、ＺＦＣだったけか何だかの公理系に
１００％依存しているものだとすると、その定理は誤りです。なぜなら、
ＺＦＣは誤った体系だから。ゲーデルの不完全定理を再考した結果、その
ような結論に至りました。感想よろ。

URLﾘﾝｸ(members2.tsukaeru.net)

181:１３２人目の素数さん
06/01/16 23:50:42
>>180
スレ違いです。
こちらへどうぞ。
あなたの筆跡晒してみてよ in数学板
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

182:１３２人目の素数さん
06/01/31 10:44:38
k

i

n

g

183:１３２人目の素数さん
06/01/31 11:30:00
age

184:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
06/01/31 12:20:46
talk:>>182 私を呼んだか？

185:１３２人目の素数さん
06/02/05 08:25:38
745

186:ゆんゆん ◆ix/VLkaG4I
06/02/05 15:52:34
二人の関係は？

187:１３２人目の素数さん
06/02/05 16:10:06
>>186
お前誰だよ？

188:１３２人目の素数さん
06/02/06 06:19:03
age

189:１３２人目の素数さん
06/02/08 04:19:21
球体の点集合Ｖ、Ｗについて
Ｖ＝Ｖ1＋...＋Ｖn
かつ
Ｗ＝t1(Ｖ1)＋...＋tn(Ｖn)(＋はdisjoint union)
であるような点集合Ｖ1,...,Ｖnと回転移動変換t1,...,tnがある

ってこと？

190:１３２人目の素数さん
06/02/08 21:09:14
これって要は石井のお弁当君ミートボール
ってこと。

191:１３２人目の素数さん
06/02/09 03:27:50
拡大縮小だって点の間の写像としてみれば一対一だから
べつに体積が変わるのはよい

が回転と移動だけでどれをどれに写せるのかわからん
写像は有限個なのに選択公理はどう使われるの？

192:１３２人目の素数さん
06/02/09 04:36:37
> べつに体積が変わるのはよい

とくにここが駄目駄目

193:１３２人目の素数さん
06/02/09 04:37:23
最初からこのスレを嫁

194:１３２人目の素数さん
06/02/26 23:47:12
測度ってのがいまいちよく分からない…
一般化した量みたいなものなんだよね？
例えば[0,1]の部分集合Aで、任意の実数a,b(0＜a＜b＜1)に対し、
[a,b]∩Aの測度が(b-a)/2になるようなものって存在するの？

195:１３２人目の素数さん
06/02/27 16:51:01
>>194
A=[0,1], m(E)=λ(E)/2, E⊂[0,1]はルベーグ可測集合でλはルベーグ測度

とした測度mがお望みのもの。

196:１３２人目の素数さん
06/02/28 19:40:47
>>195
分かりにくくてごめんなさい。
「[0,1]の部分集合Aで、任意の実数a,b(0＜a＜b＜1)に対し、
[a,b]∩Aのルベーグ測度が(b-a)/2になるような集合Aって存在するの？」って意味でした。

197:１３２人目の素数さん
06/02/28 23:39:04
amenable

198:198
06/03/01 19:11:33
198 円均一

199:１３２人目の素数さん
06/03/01 23:17:45
＾＾

200:200
06/03/02 07:29:16
caltech

201:１３２人目の素数さん
06/03/04 12:30:04
バナッハして一時間以内にタルスキーされなければ逆説的群

202:１３２人目の素数さん
06/03/04 15:15:15
>>194
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:301番)

203:１３２人目の素数さん
06/03/04 15:56:59
>>202
ありがとうございました。
似たような質問が出ていたんですね。
>>317の超準解析を使った手法って超実数の範囲では存在するってことですか？

204:１３２人目の素数さん
06/03/04 21:46:37
banach

205:１３２人目の素数さん
06/03/04 22:31:53
>>204
　　Λ＿Λ　　藤ｬ藤ｬ
　（　・∀・）　　　|　|　ﾀﾙｽｷｰ
　と　　　　）　　 |　|
　　Ｙ　/ノ　　　人
　　　 /　）　　 < 　>_Λ∩
　＿/し'　／／. Ｖ｀Д�）/
　（＿フ彡　　　　　　　/　←>>204

206:205
06/03/04 22:32:29
自分カコ悪いww

207:１３２人目の素数さん
06/03/05 06:41:16
よくわからん。
整数を奇数と偶数に分けて、Z=O+Eとし、OとZは一対一対応があるし
EとZも一対一対応があるからZ=Z+Zとみなすことが出来るので
１＝２だというような感じの議論にしか見えない。

208:１３２人目の素数さん
06/03/05 08:07:49
OとZが一体一対応があるどころか合同ですらある所がポイント

209:１３２人目の素数さん
06/03/05 08:26:06
選択公理ね。靴下を色で分けてね。でもでもでも～～～～～。
さいころでね、くじ引きでね、とゆーのは工学的にはあるのではないの？

210:１３２人目の素数さん
06/03/05 08:30:04
ツェルメロンパンが来たよ～～～～～。

211:１３２人目の素数さん
06/03/05 09:07:32
バナッハは信じられるがタルスキーのおやじは信用ならぬ・：・

212:１３２人目の素数さん
06/03/05 16:53:39
こんにちは。

213:BW of Tama Kinng
06/03/05 17:06:48
こんにちわ。

214:１３２人目の素数さん
06/03/05 17:10:12
>>211
あなたに１０００票

215:１３２人目の素数さん
06/03/07 04:05:24
もしも、そういうことが成り立つのなら（つまりある集合の測度が
それと二倍の測度を持つものと合同？）、積分などにおける測度の
意味とかが怪しくなって来ないか？　単位球の体積が4/3πだと
思ってたのに、8/3πになったり、さらにその倍になったりとか
じゃあ、何を信じて良いのかわからない。

216:BW of Tama King
06/03/07 04:20:50
>>215 この世に信じられるものなどほとんどないことを忘れたか！！

217:１３２人目の素数さん
06/03/07 16:23:13
馬は暑さに弱いので、樽に入った冷たい麦酒を
好むことを古来日本では「馬夏は樽好き」と呼んで
いた。これがこの定理の語源となったことはあまり
知られていない。
　　　　　　　民明書房「日本酒の語源は韓国ニダ」

218:１３２人目の素数さん
06/03/07 16:24:06
最後は起源だったorz

219:１３２人目の素数さん
06/03/08 10:37:09
>>215
測度の定義できない集合もあるってだけじゃねーの？

220:１３２人目の素数さん
06/03/08 19:15:19
R^3で考えるからおかしなことになるんじゃないか？
例えばQ^3上で半径1の球と半径2の球は分割合同なのか？

221:１３２人目の素数さん
06/03/08 21:35:14
>>215
証明を読めばわかるが分割された集合の形がルベーグ測度で測れるような
代物ではないことに起因してるからそういう問題は生じない

222:１３２人目の素数さん
06/03/09 21:59:37
>>196って結局存在するの？
>>202を見てもよく分かんないんだけど。
あと>>220もぜひ知りたい。

223:１３２人目の素数さん
06/03/09 22:50:13
>>222
>>196は、もしそんなAが存在したとすると、
Aの定義関数をTとして、向こうのスレの>>333
＞∫＿［０，ｘ］（Ｔ（ｘ）－１／２）ｄｘ＝０。
＞（２）Ｍが任意の区間のとき∫＿Ｍｆ（ｘ）ｄｘ＝０なら
＞ｍ（｛ｘ｜ｆ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｒ｝）＝０となることを使う。
から、殆ど全てのxについてT(x)=1/2となって、
Aの定義関数Tが0でも1でもない値を取る事となり、矛盾。

「全角」の文章は埋め得る行間が空いてる。
ただ、背理法を使ってるという事とか
省略する必要性が感じられない事まで省略するのってどうなの？

>>220は他の人に任せた。

224:１３２人目の素数さん
06/03/11 07:48:37
>>223
＞Ｍが任意の区間のとき∫＿Ｍｆ（ｘ）ｄｘ＝０なら、ｍ（｛ｘ｜ｆ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｒ｝）＝０となる

これはどうやって導くの？

225:１３２人目の素数さん
06/03/11 09:41:25
>>224
μ(E):=∫_[E]f(x)dxとすると、μは区間に対して0を取る測度なので、
測度の拡張の一意性よりμ=0 (あるいは単調族定理を使っても良い).
特にそれぞれ∫_[f^±>0]f(x)dx=0よりf^±=0 a.e. よってf=0 a.e.

226:226
06/03/11 20:55:41
226 事件

227:１３２人目の素数さん
06/03/12 04:32:32
測度論が分からないと
この定理のもっともらしさはイメージできないのでしょうか

228:１３２人目の素数さん
06/03/12 04:37:09
>>227
取り合えず自分で証明を読んでみて判断してくれ。
難しい概念は出てこないから。

229:１３２人目の素数さん
06/03/12 05:10:44
測度論をよく分かっていない
自分でも証明を読む価値はありますか？

230:１３２人目の素数さん
06/03/12 14:08:03
いや、証明自体には測度とか出てこないから大丈夫だよ。

231:１３２人目の素数さん
06/03/12 14:44:22
選択公理胡散臭いって感覚にはなるかもな

232:１３２人目の素数さん
06/03/12 17:20:19
なんで平面図形では成り立たないの？
θ度回転させて得られる点の集合云々は平面図形でも成り立つよね？

233:１３２人目の素数さん
06/03/12 21:48:58
>>232
>>157

234:１３２人目の素数さん
06/03/12 22:24:00
3次元では全ての立体に体積が定義できないけど、1次元や2次元では定義できるんだよね？
定義の仕方は一意に決まるの？

235:１３２人目の素数さん
06/03/12 22:27:46
>>233
補題(一点を取り除いた図形の分割も同型)までは平面でも成り立つ
という理解で良いのかな？

236:１３２人目の素数さん
06/03/12 22:27:48
>>234
>>125

237:１３２人目の素数さん
06/03/12 22:32:05
>>236
いや、有限分割の話。

238:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:01:10
>>235
自分で読んだ方がはやいと思うよ

239:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:02:32
>>238
補題まで読んで飽きたｗ

240:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:35:17
>>237
(R^n とかの)全ての部分集合に測度が存在するかどうかを単に測度問題と言うことにすると

全ての集合に体積が定義できるかどうか(完全加法的測度問題)
と
有限分割してパラドキシカルな結果が生じるかどうか(有限加法的測度問題)
は別だよ

・R の完全加法的測度問題
反例 >>125 (Vitali 1905)
・R^3 の有限加法的測度問題
反例 >>1 (Banach, Tarski 1924)
・R, R^2 の有限加法的測度問題
肯定的 (Banach 1923)

最後の結果は誰か解説してくれ…

241:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:43:30
>>240
ありがとうございます。
3番目は一意に決まりますか？

242:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:54:23
Cの代わりにADを使うと全部ルベーグ可測になるんだよね
ADってどんな公理？

243:１３２人目の素数さん
06/03/13 00:16:00
>>240
R^3よりR, R^2が先に証明されたのが意外…
普通に考えると反例を探すことより証明することの方が難しそうに思えるのに…

244:１３２人目の素数さん
06/03/13 00:48:09
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)

集合論の授業とかでも、こういうことをやると面白いのにね
素朴集合論の範囲を微妙にオーバーするような気がするけど

245:１３２人目の素数さん
06/03/13 02:02:43
いまいちよく分からない
もうちょっと噛み砕いて説明してくれると嬉しい　＞AD

246:１３２人目の素数さん
06/03/13 05:31:38
集合とはなにか、にある説明を書いてみましょうか

決定の公理（以下AD）

二人のプレーヤー I と II が、ゲームをする
最初に I がK := { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }の中から一つの数を選ぶことにする
これをk_1とし、
k_1を見て II がやはり0,.........,9までの数を一つ選んでk_2とし、
これを見て I が0,.........,9の数を一つ選んでk_3とする
こうやってk_1, k_2,.......,k_5までの数を得る

さて今ゲームの規則を
(k_1,..........,k_5)∈A⊆K^5のときに I が勝ち、そうでないとき II の勝ちとする
このとき必ず I または II いずれかの必勝法が存在する.........(*)

（∵ I の必勝法が存在しない
⇔not [∃k_1∀k_2∃k_3∀k_4∃k_5 　　　(k_1,........,k_5)∈A]
⇔　　　∀k_1∃k_2∀k_3∃k_4∀k_5 not [(k_1,........,k_5)∈A]
⇔ II の必勝法が存在する）

247:１３２人目の素数さん
06/03/13 05:32:11
この証明を良く見てみると5回でなく任意の有限回でもよく、
Kは一般の無限集合でよいことがわかる
ではnを可算有限回と拡張したとき、命題(*)の対応物はどうなるだろうか？
これが正しいというのがADである
正しいような錯覚がするが、これは実は間違っている！！！
Kがうんと大きな集合のときは反例が容易に得られるので
Kを高々可算の集合とすると、この命題の反例は今までのところ、
選択公理を用いて、対角線論法によらなければ作ることが出来ていない
したがってキチンと定義された集合に限定すればADは成り立つのではないか？
という考えがあり、実際この弱い形のADとZFとは今のところ何も矛盾も出ていない

ではどうしてADに興味を持つのか？
1. 弱い形のADでさえ、可測基数の存在よりはるかに（無矛盾性の意味で）
強い公理であり、この公理を仮定して得られた数学の定理が沢山在る
2. ADは実数についての公理とみることが出来、
実際この公理はある実数の存在とはっきり表すことが出来る
したがって実数についての新しい考えを見出す手がかりになるのではないか？と考えられる

以上のような理由でADの研究は一時非常に流行ったが、現在ではやや下火である

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