フーリエ変換とラプラス変換

フーリエ変換とラプラス変換 at MATH

521:１３２人目の素数さん
10/04/21 17:53:52
　　　-at
f(t)=e sin(ωt+φ)u(t)のラプラス変換F(s)を求める場合オイラーの公式
を使って求めるやり方でいいんですか？

どなたか教えてください

522:１３２人目の素数さん
10/04/21 20:59:00
いいよ

523:１３２人目の素数さん
10/04/21 21:55:36
>>521
オイラーの公式なんて多すぎてどれを指してるのやら．．．

exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)

のこと？

524:１３２人目の素数さん
10/04/23 06:28:19
>>495
FTしても情報は失われないだろ…

525:１３２人目の素数さん
10/04/24 02:54:53
>>524
そこはＰＳ取ると情報が失われる、とエスパーしてやれよ

526:１３２人目の素数さん
10/05/07 16:30:22
Fourier解析を、洋書-Fourier Analysis
(Javier Duoandikoetxea;American Mathematical Society)
を読んで勉強しているのですが、
理解に苦しいので、Lebesgue積分を使ったFourier解析の本
（洋書・和書問わず；証明が比較的丁寧なもの）
皆様ご存じないでしょうか？
お勧めあったら教えてください、よろしくお願いします。

527:１３２人目の素数さん
10/05/07 18:20:42
URLﾘﾝｸ(www.amigo2.ne.jp)
URLﾘﾝｸ(to.totomo.net)
URLﾘﾝｸ(to.totomo.net)
URLﾘﾝｸ(www.amigo2.ne.jp)
URLﾘﾝｸ(www19.atpages.jp)

528:１３２人目の素数さん
10/05/15 18:40:32
(つд⊂)ｺﾞｼｺﾞｼ→（；ﾟ Дﾟ） …！？

529:１３２人目の素数さん
10/05/21 00:00:50
ラプラス変換ってどういう発想で導かれのでしょうか。
微分方程式を解く以外に使い道ってありますか。

530:１３２人目の素数さん
10/05/21 00:20:36
工学ではシステムの安定性判別に使う

531:１３２人目の素数さん
10/05/21 05:25:41
>>529
名前の通り、ラプラスがそんな積分変換を使っていたことはあるらしい。しかし、ラプラスは
今日見られるような使い方はしてなかったそうだ。

ラプラス変換は、当初ブロムウィッチ変換と呼ばれていて、1910年代だかにブロムウィッチが
ラプラス変換によるヘヴィサイド（工学者。電離層の存在を提唱したことなどでも有名）が
作った定数係数常微分方程式の「演算子法」による解法（数学的に根拠が不明確だった）
の合理化に成功してから注目されるようになった。なんで今はブロムウィッチ変換と呼ばれていない
かというと、フランスの基地外が騒ぎ出してカビの生えたラプラスの、誰も読んじゃいないような
本から歴史的証拠とやらを発見してこの種の積分変換の生みの親はラプラスだとか主張しまくったから。

その代わり、ラプラス変換の逆、これはラプラスは明らかにやってないのだが、にはブロムウィッチ積分
という名前が付いてる。良かったね、ブロムウィッチさん。

フーリエ変換なんかでもそうだけど、当初は便宜的な手段として変換ということだったのが、
変換先の関数から元の関数の性質が見やすくなることがある。で、実際当初は
演算子法の合理化のためだけだったラプラス変換が、ラプラス変換表の充実なんかを通して
「それ自体として有用」って見られるようになった。

余談ながら、その後1930年代だかにミクシンスキが別の方法で演算子法を合理化することを
思いついた。連続関数の全体を、普通の合成積の変種みたいなのを積とする環とみなそうと
すると、実は単位元が存在しないことがわかる。単位元に相当するのは、デルタ関数になってしまう。

しかし、連続関数の全体がこの積に関して整域であるという性質があるので、分数環の理論が適用
でき、連続関数の全体がこの分数環に埋め込まれることになる。そして、この積に関して定数関数が
「積分作用素」になっている事から、定数関数の逆数として微分作用素が分数環の元として定まり、
定数係数の常微分方程式はこの分数環における代数方程式になる。これを利用して微分方程式を
解くというのがミクシンスキのアイデア。

532:１３２人目の素数さん
10/05/23 10:57:46
数学は厳密に出来てはいるけれど
実際の世の中の問題には役に立たない
なんていう人がいるけれど
（例えば大学受験で合格するのにのみに役に立つとかｗ）

ラプラス変換とかはその真逆だよね
何をしているのかよく分からない
インチキな手法に見えるが
電気工学の説明には役に立っているわけだ

533:１３２人目の素数さん
10/05/23 16:07:33
で、どうやって発見したんだろうという謎。

534:１３２人目の素数さん
10/05/23 16:48:01
>>531
1900以前の微分方程式の本にすでに　
y(x)=∫e^{xt} u(t)dt
とおいて解くのを Laplace's method と紹介してるので
君の認識は間違い。

535:１３２人目の素数さん
10/05/23 21:26:13
>>534
Ince?

536:１３２人目の素数さん
10/05/24 00:37:39
>>535
それは1926だからちがう

537:１３２人目の素数さん
10/05/24 01:04:19
>>531
フランスに何か恨みでもあるの？

538:１３２人目の素数さん
10/05/24 03:14:13
数学辞典（４）　482冒頭　に書いてあるね

539:１３２人目の素数さん
10/05/24 14:15:50
>>538
昼休みに図書室行って、数学辞典に引用されてるラプラスの文献
見たけど、ちゃんと差分方程式解くときにラプラス変換の式を書いてるね。

イギリス人Whittaker-Watsonの211ページにも「微分方程式の解と関係づけて
積分方程式（ラプラス変換）を解析に持ち込んだのはラプラス」って書いてある。

「ラプラス変換」という言葉を誰が使い始めたか知らないが、
Inceにはすでに「Laplace transformation」って書いてあるね。Inceに引用されてる
1851年のドイツ語の本にも、「ラプラス変換」とは呼んでないが微分方程式の
解法としてラプラス変換について解説してある。

>>531はフランスに恨みを持つ馬鹿か、フランスに恨みを持つ馬鹿の
妄言に釣られたアホってことでFAだな。

540:１３２人目の素数さん
10/05/24 19:02:09
結局>>531 は一から十まで嘘だらけじゃねーかｗ

541:１３２人目の素数さん
10/05/25 00:24:30
ここは本当に玉石混交だなぁ