整数論の問題を出し合うスレ

整数論の問題を出し合 ..

159:１３２人目の素数さん
05/07/12 03:25:34
>>158
liminf_{n→∞} f(n) < ∞であると仮定して矛盾を導く。

仮定より，ある正整数Uと自然数の部分無限列{n_i}が存在して、
任意のn_iについてf(n_i)≦Uである。

任意の2^(n_i)の10進数表示において、0でない数が現れる位は高々U個。
また，最高位と1の位の数はどちらも0でない。
よって、2^(n_j)＞10^(mU) (m:任意の正整数)とするとき
（{n_i}は無限列なのでそのようなn_jは無限個存在する）、
2^(n_j)の10進数表示において、0が連続してm個現れる部分が存在する。
（そうでないとすると、2^(n_j)の桁数をdとするとき、
　mU+1 ≦ d ≦ (m-1)*(U-1)+U = mU-(m-1) であるが、これはm≧1に矛盾。）

2^(n_i)の10進数表示における第k位の数をa_kとおく。また
正整数rをa_r≠0, a_(r+1)=a_(r+2)=・・・=a_(r+m)=0を満たすもののうち
最小のものとする。このとき r≦U-1である。
また，10^(r+m)≦10^(U+m-1)≦10^(mU)＜2^(n_j)＜10^(n_j)だから、
r+m＜n_j。

いま，正整数bを2^(n_j)の10進数表示における第r位以下の部分とすると、
b＜10^r≦10^(U-1)であり、かつ{2^(n_j)}-bは10^(r+m)で割り切れる。
2^(n_j)、10^(r+m)はともに2^(r+m)で割り切れるから、bも2^(k+m)で割り切れ、
したがって2^m≦2^(r+m)≦b＜10^(U-1)。
しかしmは任意であるから、不等式2^m＜10^(U-1)はmが十分大きいとき成立しない。
これは矛盾である。
（証明終）

2^nの代わりに t^n (tは正整数で、10との最大公約数が2または5)
としたときも、同様の方法で示すことができる。
しかし、3^nの場合この方法は通用しない。

160:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:49:57
age

161:１３２人目の素数さん
05/07/14 20:48:34
ここの問題解いてくれ
URLﾘﾝｸ(diary.cururu.jp)

162:１３２人目の素数さん
05/07/14 21:12:22
a^2+b^2+c^2=2*11d^2,primes a,b,c,d
a=2
2^2+b^2+c^2=2*11*d^2
11d^2-2=(b^2+c^2)/2=2m^2+(m+n)+2n^2+1
11d^2=2m^2+2n^2+(m+n)+3
m=n=11k+8
11d^2=((2(11k+8)+1)^2+(2(11h+8)+1)^2)/2+2
...

163:１３２人目の素数さん
05/07/14 22:10:28
>>161
これは誰のサイト？

164:164
05/07/14 22:36:54
√(16)=4

165:ビッケ ◆Jyl0Z1ahKc
05/07/15 08:05:03
>>161
> a^2+b^2+c^2=22d^2 を満たすような素数a, b, c, dを全て求めよ
まず素数p,qがp^2≡0 (mod q)を満たすならばp=qである。
a≦b≦cとしても一般性を失わない。
a^2+b^2+c^2≡22d^2≡0(mod 2)より<a,b,c>≡<0,1,1>又は<0,0,0>(mod 2)
(2は最小の素数より、a,b,cのうち一つだけが2だとすればそれはaである)
前者の場合12=22*d^2なる素数dがないので駄目。後者の場合を考える、a=2
a^2+b^2+c^2≡1+b^2+c^2(mod 3)、22d^2≡d^2(mod 3) より
<b,c,d>≡<0,0,1>又は<1,1,0>(mod 3)
前者はb=c=3よりd=(2^2+3^2+3^2)/22=1これは素数でないので駄目
後者はd=3よりb^2+c^2=194、これを満たすb≦cなる素数の組<b,c>は<5,13>のみ

よって<a,b,c,d>=<2,5,13,3> (とa,b,cを入れ替えたもの)

166:ビッケ ◆Jyl0Z1ahKc
05/07/15 08:10:41
>>165 訂正：
> <b,c,d>≡<0,0,1>又は<1,1,0>(mod 3)
<b^2,c^2,d^2>≡<0,0,1>又は<1,1,0>(mod 3)

167:１３２人目の素数さん
05/07/15 10:57:53
URLﾘﾝｸ(diary.cururu.jp)
の一番下の数字をクリックすると沢山出てきて、全部難問だ。
よろ

168:風あざみ
05/07/17 04:05:20
S()

169:風あざみ
05/07/17 04:12:58
久々に出題
nを自然数、pを素数、1からnまでの素数の積をP(n)、1からnまでの整数の最小公倍数をS(n)とする。
(1)
Π[m+2≦p≦2m+1]はC(2m+1,m+1)を割り切ることを示せ(ただし、C(2m+1,m+1)は二項係数とする)。
(2)
P(n)＜4^nを示せ。
(3)
S(n)/S([n/2])≦P(n)となることを示せ。
(4)
S(n)＜16^nとなることを示せ。

P.S.解答は誰も望まなくても、一週間後には出します。

170:１３２人目の素数さん
05/07/17 05:52:59
俺には単なる文字化けにしか見えない

171:１３２人目の素数さん
05/07/17 06:43:48
P(2m+1)/P(m+1)はm+1より大きい素数だからm!(m+1)!のなかにない。
P(2m+1)/P(m+1)|(2m+1)!/m!(m+1)!

P(n)/P((n+1)/2)<=nC((n+1)/2)
P(n)<=P(.5n+.5)*nC(.5n+.5)
Pn+1<=P.5n+1*n+1C.5n+1<4^.5n+1*n+1C.5n+1=2^n+2*2^n=2^2n+2=4^(n+1)

172:１３２人目の素数さん
05/07/17 06:57:13
S(n)/S([n/2])≦P(n)
Sn=GCM(Sn-1,n)->n=prime->Sn=nSn-1,n=non prime->Sn=pSn-1
Sn<n! or Pn
Sn/S.5n<n!/,5n!=2^.5n or Pn/P.5n<=Pn

n=2m
Sm<16^m->S2m<Sm*P2m=Sm*4^2m=Sm*16^m<16^2m

173:１３２人目の素数さん
05/07/17 07:35:12
重心とエネルギー分散ぐらいの統計的カイしかないんじゃない
量子力学使えよな

174:１３２人目の素数さん
05/07/17 07:36:06
n-ボデイ　ブラウン運動

175:１３２人目の素数さん
05/07/18 01:33:57
>>171-172
解答ありがとうございます。
でも(1)以外ちょっと違うようですので、(2)と自分の解答を書いておきます
(2)
n=1,2のとき明らか
ｎ＜kのとき正しいと仮定する
ｋが偶数のとき
P(ｋ)=P(k-1)<4^(k-1)<4^k
kが奇数のとき
P(k)=P([(k+1)/2]){Π[([(k+1)/2])＜p≦k]p}＜2^(k+1)*2^(k-1)=4^k
だからn=kのときも成立
(3)
p^h≦[n/2]＜p^(h+1)ならn＜2([n/2]+1)≦p^(h+2)
(S([n/2])のpの指数)≦(S([n/2])のpの指数)+1
よってS(n)/S([n/2])≦P(n)
(4)
S(n)={S(n)/S([n/2])}*{S([n/2])/S([([n/2]/2)])}*・・・*S(1)＜4^(n+n/2+n/4+…)=4^(2n)=16^n

176:風あざみ
05/07/18 01:35:29
>>175は私です。念のため。

177:１３２人目の素数さん
05/07/18 05:30:34
Π[p≦n]p/(p-1)＜n だから明らかな気がするが・・

178:１３２人目の素数さん
05/07/18 11:57:46
風あざみ氏久しぶりだな

179:１３２人目の素数さん
05/08/05 13:11:41
2

180:１３２人目の素数さん
05/08/05 16:12:18
age

181:風あざみ
05/08/30 22:14:27
また出題
(1)
nを6以上の自然数とするとき、(n+1)*C(n,[n/2])＞2^(n+1)となることを示してください。
ただしC(n,k)を二項係数、[x]をガウスの記号とします。
(2)
1からnまでの整数の最小公倍数をS(n)とします。
7以上の任意の自然数nに対してS(n)＞2^nとなることを示してください。

182:１３２人目の素数さん
05/08/30 23:40:39
ヒンチンの本かなんかからだしてんのかな？これぐらいの評価なら初等的にできるっていう
不等式がいっぱいのってたな。

183:Arith ◆Arithtz1sk
05/09/02 02:42:52
σ(n)をnの約数の和とする。k>1を実数とするとき、σ(n)/n<kを満たす整数nの集合は
正の密度を持つことを示せ。

>>182
ほかにHardy&Wright, An Introduction to the Theory of Numbersとか、
D. P. Parent, 数論問題ゼミとかが手ごろな本かな？
もう少し込み入ったところだと、Huxleyだな。

184:１３２人目の素数さん
05/09/02 04:36:20
面白い問題おしえて～なより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:253番)

185:１３２人目の素数さん
05/09/07 22:30:49
>>183
密度μの定義ってμ(S)=lim[x→∞]#{n∈S| n≦x}/#{n∈N| n≦x}で桶？

186:１３２人目の素数さん
05/09/07 22:39:26
密度は
μ(S)=inf#(S∩[1，n])/n
だと思う。

187:１３２人目の素数さん
05/09/08 16:41:22
>>183
ヒントおながいします。

188:１３２人目の素数さん
05/09/10 08:31:55
自然数 n, p に対して、n^p-n は何の倍数になるのでしょうか？
定理か何かあるのですか？

189:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
05/09/11 16:12:57
>>183
ヒントおながい、2nd period。

190:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
05/09/11 16:18:58
>>188
n の倍数になる

191:１３２人目の素数さん
05/09/13 22:51:12
>>183
ヒントくれ～。liminf[n→∞]#S∩[1,n]/n>0はいえるんだけど。収束性が･･･

192:１３２人目の素数さん
05/09/14 02:25:21
>>191
収束っていうか、密度の定義はμ(S)=inf#(S∩[1，n])/n だから
liminf[n→∞]#S∩[1,n]/n>0 が言えたらもう証明終わってるじゃん。

193:１３２人目の素数さん
05/09/14 17:32:51
>>190
やれやれ、その程度ですか？

194:１３２人目の素数さん
05/09/15 14:40:52
>>183
降参。答えおしえてくだされ。

195:１３２人目の素数さん
05/09/15 16:51:28
>>193
n-1の倍数にもなるぞ

196:194
05/09/15 18:22:17
いや、まてまて。今神が降りてきたかも。降参撤回。もう１日まってちょ。

197:１３２人目の素数さん
05/09/15 23:30:45
>>183
できたかも。以下正の整数の集合Eに対してS_E={n| e|n ∀e∈E}とする。
　
補題　Eが正の整数の集合で∑[e∈E](1/e)が収束するものとする。
かつlimsup[x→∞]#[1,x]∩E/x=0であるとする。
このときμ(S_E)≧Π[e∈E](1-1/e)
　
証明　Eが有限集合なら容易なのでそれはみとめる。S=S_E、Π[e∈E](1-1/e)=mとおく。
r>0に対してE_r=[1,r]∩E、S_r=S_{E_r}とおく。
ε>0を固定する。r>0を次をみたすようにとる。
Π[e∈E_r](1-1/e)<m+ε、∑[e∈E＼E_r](1/e)<ε、x≧r⇒#[1,x]∩E/x＜ε。
X1>0をx>X1⇒#[1,x]∩S_r/x≧Π[e∈E_r](1-1/e)-εを満たすようにとる。
[1,x]∩(S_r＼S)の元数を上から評価する。この集合は{n| e|n、e>r∃e}
に含まれその元数は高々∑[e∈E＼E_r](x+1)/eであるからそれは2εx以下である。
よって#[1,x]∩(S_r＼S)/x≦2εであるから#[1,x]∩(S)/x≧m-ε-2ε。
εは任意の正数であったのでμ(S_E)≧m。□
　
以下π(x)はx以下の素数の数をあたえる関数、Λ(n)はnが素数べきp^eのとき
logp、そうでないとき0をあたえる関数、ψ(x)=∑[n≦x]Λ(n)とする。

198:197
05/09/15 23:31:37
補題　S={n| n=pq ∃p,q素数}とおく。(つまり２つの素数の積でかける集合)
このときlim#[1,x]∩E/x=0。
　
証明　正数c>0を∀x>2 π(x)≦cx/logxを満足するようにとる。
ここでpq≦x、p≦qとすると
p≦√x、q≦x/pであるからこのようなp,qの集合の元数aとおくと以下が成立する。
a≦∑[p≦√x]π(x/p)
　≦c∑[p≦√x](x/p)/log(x/p)
　≦(2cx/logx)∑[p≦√x](1/p)
ここでψ(p)≦c’pなる正数c’をとると
∑[p≦√x](1/p)
=∫[2-0,√x+0](1/(plogp))dψ(p)
=ψ(√x)/(√xlog√x)+∫[2,√x]ψ(p)(1+logp)/(plogp)^2dp
≦2c’/logx+c’∫[2,√x](1+logp)/(logp)^2dp/p
≦2c’/logx+c’(loglog√x-1/log√x-loglog2+1/log2)
以上よりlim[x→∞]a/x=0。□

199:197
05/09/15 23:32:26
>>197-199
定理　k>1を任意に固定する。T={n| σ(n)/n<k}は０でない密度をもつ。
　
証明　a>1をe^(1/(a-1))<kとなるようにとる。集合Ei、Eを
Ei={pq| a^i≦p,q≦a^(i+1)}、E0={p| pはa以下の素数}、E=(∪Ei)
とおく。c>0をπ(x)≦cx/logxとなるようにとればi>0では#Ei≦(ca^(i+1)/((i+1)loga))^2で
あるから∑[e∈Ei]1/e≦(ca/loga)^2/(i+1)^2。よって∑[e∈E]1/eは有限の値に収束する。
よってS=S_Eとおけば上記２つの補題によりSは正の密度をもつ。
S⊂Tを示そう。n∈Sをとる。nはE0に素因子をもたず、Eiのなかには高々ひとつしか
素因子をもたない。よってn=p1･p2･p3･･･puをpi∈Ei∪{1}ととることができる。
このとき
σ(n)
=(1+1/p1)(1+1/p2)･･･
=e^(log(1+1/p1)+log(1+1/p2)+log(1+1/p3)+･･･log(1+1/pu))
≦e^(1/p1+1/p2+1/p3･･･1/pu)
≦e^(1/a+1/a^2+1/a^3+･･･1/a^u)
＜e^(1/(a-1)
＜k。
よってn∈T。したがってS⊂TでありTも又正の密度を持つ。□

200:197
05/09/16 01:30:29
>>197-200
一個目の補題証明まちがってるや。訂正。２個目の補題いらなくなってもたw。
　
補題　Eが正の整数の集合で∑[e∈E](1/e)が収束するものとする。
このときμ(S_E)≧Π[e∈E](1-1/e)
　
証明　正の数r>0に対しE_r=E∩[1,r]、S_r=S_{E_r}、m=Π[e∈E](1-1/e)、m_r=Π[e∈E_r](1-1/e)とおく。
補題の主張はEが有限であるなら容易ゆえそれはみとめる。ε>0を任意にとる。
r>0を以下を∑[e∈E＼E_r]1/e<ε、m>m_r-εとなるようにとる。さらにX>0を
x>X⇒∂#[1,x]∩S_r>m_r-εを満足するようにとる。x>X,rをとる。
n∈[1,x]∩(S_r＼S)をとれば∃e∈E＼E_r e|nゆえn∈[1,x]∩eZ。
よって#[1,x]∩(S_r＼S)≦∑[e∈E＼E_r]#[1,x]∩eZ≦∑[e∈E＼E_r]x/e≦εx。
よって#[1,x]∩S/x≧#[1,x]∩S_r/x-ε≧m-3ε。□

201:１３２人目の素数さん
05/09/16 08:00:20
>>197
> できたかも。以下正の整数の集合Eに対してS_E={n| e|n ∀e∈E}とする。
これだとEが無限集合のときS_Eは空集合になるわけだが。
正しくは「Eのどの元でも割り切れないような正整数の集合」か？

202:197
05/09/16 17:40:38
>>201
ああ、そうそう。それそれ。ところでこれどっからもってきた問題なんだろ？
まさか自作問題？ソースキボン。

203:１３２人目の素数さん
05/09/16 22:47:40
Arithってハンドルに自信の程がうかがえるね。

204:１３２人目の素数さん
05/09/18 03:53:18
適当な自然数nを取れば、2^nの10進法展開における、ある連続した6桁の数字が
564219となることを示せ。

205:１３２人目の素数さん
05/09/18 14:35:27
n∈Nに対してS(n)＝Σ[k＝1～n]1/k とおく。n≧2のとき、S(n)が自然数に
ならないことを数学的帰納法で示せ。

206:１３２人目の素数さん
05/09/18 17:59:56
>>204
以下<x>=x-[x]とする。
2^kの先頭６桁が562419
⇔log[10^6]562519≦<log[10^6]2^k>＜log[10^6]562520
log[10^6]2は無理数なのでこれをみたすkの密度はlog[10^6]562520/562519＞0。

207:１３２人目の素数さん
05/09/23 18:22:53
age

208:１３２人目の素数さん
05/09/23 18:30:31
X-JAPAN の公式
X JAPAN = とてもかっこいい＾ｎ

209:Arith ◆Arithtz1sk
05/09/28 22:48:19
>>197-202
正解です。エレガントな構成ですね。私の考えていた証明は非構成的なので…。
ちなみにこの問題はKoninck & Katai, On the frequency of k-deficient numbers,
Publ. Math. Debrecen 61(2002), 595--603にヒントを得ました。

私の考えていた証明もうｐします。

f(n)=∑{p|n}(1/p)とおき、A={n| f(n)<ε}と定義する。

σ(n)≦Π{p|n}p/(p-1)≦exp∑{p|n}1/(p-1)≦exp 2∑{p|n}(1/p)=exp 2f(n)より
Aが正の下極限密度を持つことを示せばよい。

まず、zを十分大きな素数とし、P=Π{p≦z}pとおく。Eをz以下の素数の集合とすると、S_EはPを法

とするΠ{p≦z}(p-1)個の剰余類からなる。よって、S_E(x)=xΠ{p≦z}(1-1/p)+O(P).
Mertenseの公式より、S_E(x) >> x/log zである。

∑{n≦x, n∈S_E}f(n)=∑{n≦x, n∈S_E}∑{p|n}1/p=∑{p}(1/p)*|{n≦x, n∈S_E, p|n}|,

ここでn∈S_Eならば、nはp≦zとなる素数で割れないので、p≦zに対してはこの項は0である。

　(1/S_E(x))∑{n≦x, n∈S_E}f(n)=(1/S_E(x))∑{p>z}(1/p)*|{n≦x, n∈S_E, p|n}|
≦(1/S_E(x))∑{p>z}(1/p)*|{n≦x, p|n}|≦(x/S_E(x))∑{p/z}(1/p^2)≦1/(zΠ{p≦z}(1-1/p))
=O(logz/z)

zを大きくとり、続いてxを大きくとれば、(1/S_E(x))∑{n≦x, n∈S_E}f(n)<ε/2とすることができる。
f(n)≧0だから、S_E∩[1, x]の少なくとも半数の元nに対しf(n)<εでなければならない。

したがって、A(x)≧S_E(x)/2 >> x/log zなので、Aは正の下極限密度をもつ。□

210:１３２人目の素数さん
05/09/28 22:51:39
URLﾘﾝｸ(www.nova.ne.jp)

211:１３２人目の素数さん
05/09/30 12:09:41
(2^n－1)｜(3^n－1)　を満たす自然数nを全て求めよ。
俺には分からん。

212:１３２人目の素数さん
05/10/04 23:45:23
>>211
これだれかでけん？本人も答えしらんらしいし。どうしたもんやら。
答えあんのはまちがいないの？＞出題者

213:１３２人目の素数さん
05/10/12 18:13:13
>>211
ヒントおながいｱｹﾞ

214: ◆TerraHMVjE
05/10/16 18:08:34
>>211
解けた。答はn=1のみ。

>>213
nが偶数のときはほとんど自明。
nが1でない奇数のときは2^n-1の素因数pで3 mod pの位数が偶数となるものがあることを示せばよい。

215:１３２人目の素数さん
05/10/16 20:15:44
＞2^n-1の素因数pで3 mod pの位数が偶数となるものがある
分からん。どうやって示したの？

216:Arith ◆Arithtz1sk
05/10/17 19:25:03
俺も>>211が解けたぞ。

>>215
ヒント: 平方剰余

217:１３２人目の素数さん
05/10/18 10:39:40
>>214-216
もうヒントいりません。答えうｐしてくらはい。

218:１３２人目の素数さん
05/10/18 11:18:27
そうか。わかった。以下[m/p]を平方剰余記号とすると相互法則より奇素数p≧5に対し
[3,p]=1 (if p≡1,11 (mod 12))
　　　=-1 (if p≡5,7 (mod 12))
ところで奇数nにたいして2^n-1≡7 (mod 12)だから2^n-1のいづれかの素数因子で
[3,p]=-1である素数がある。すると3 mod pの位数は偶数か。なるほど。すばらすぃ。

219:１３２人目の素数さん
05/10/18 22:43:47
n(logn+loglogn-1)<Pn<n(logn+loglogn)
ならPn+1-Pnの上限は？

220:１３２人目の素数さん
05/10/18 23:08:24
>>219
その評価式からえられるPn+1-Pnの上からの評価は
(n+1)(log(n+1)+loglog(n+1))-n(log+loglogn-1)
=nlog(1+1/n)+log(n+1)+nlog(log(n+1)/logn)+loglog(n+1)+n
だから上限なんかないのでわ？

221:１３２人目の素数さん
05/11/15 05:20:13
正の整数ｎ、ｋが条件(1)(2)を共に満たすとき(ｎ、k)を求めよ。
(1)ｎの正の約数の個数はｋである。
(2)√(n^k)は整数である。

222:１３２人目の素数さん
05/11/15 09:47:46
>>221
(1)＆(2)⇔(1)な気がする。

223:１３２人目の素数さん
05/12/04 07:22:18
585

224:１３２人目の素数さん
06/01/02 00:13:43
428

225:１３２人目の素数さん
06/01/03 10:05:26
２で割って割り切れる整数を「２ｎ」とおくとする。
では、
（１）２で割って１余る数
（２）３で割って１余る数
（３）３で割って２余る数

はどう表せるか？

※ただし、
（１）２ｎ＋１以外のもの
（２）３ｎ＋１以外のもの
（３）３ｎ＋２以外のもの
について答えよ。

答えとその導き方について教えてください。

226:１３２人目の素数さん
06/01/03 11:28:46

今年の建部崩れの主要な受賞業績の一つは
既に2003年に刊行されているから、成果に
無関係に退場命令が出た例だ。まあ、彼の
場合は風営法違反で排除勧告が出たのかも
しれん。ヘルスの行き杉には気を付けよう

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:451-460番)

227:１３２人目の素数さん
06/01/08 17:28:56
もう見飽きた

228:１３２人目の素数さん
06/01/10 10:16:04
age

229:１３２人目の素数さん
06/01/14 19:46:20
〔問題〕
　(2^n +1)/(n^2) が整数となるような自然数 n>1 を全て求めよ。

芋1990 (中国)

〔類題〕
　(2^n +1)/(3n) が整数となるような自然数 n>1 を全て求めよ。
俺にはわからん。

230:１３２人目の素数さん
06/01/16 00:38:51
>>181 (1)
　n≧6　⇒　√{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) > 2^(n+1)
をnに関する帰納法で示しまつ。
n=6 のとき 7Ｃ[6,3] = 7･20 = 140 > 128 = 2^(6+1) で成り立つ。
n=7 のとき √(56)･Ｃ[7,3] > 7.4･35 = 259 > 256 = 2^(7+1) で成り立つ。
n=2m-1 のとき成り立てば、
　Ｃ(2m,m) = (2m)!/(m!)^2 = 2*(2m-1)!/{(m-1)!m!} = 2Ｃ(2m-1,m-1)
　Ｃ(2m+1,m) = (2m+1)!/{m!(m+1)!} = 4{(2m+1)/(2m+2)}･Ｃ(2m-1,m-1) > 4√{2m/(2m+2)}･Ｃ(2m-1,m-1)　←(*)
より n=2m,2m+1 のときも成り立つ。(終)

(*) (2m+1)^2 = 2m(2m+2) +1 > 2m(2m+2) ゆえ {(2m+1)/(2m+2)}^2 > 2m/(2m+2).

なお、左辺は右辺 2^(n+1) の 140/128倍を超えない。

231:風あざみ
06/01/17 03:28:00
>>230
忘れ去られたと思っていました。
解答ありがとうございます。
もちろん正解です。

232:１３２人目の素数さん
06/01/17 13:33:58
>>231
風あざみの出題した不等式に対する風あざみの用意した解答を晒せよ！

233:１３２人目の素数さん
06/01/17 13:36:24
>>230
> なお、左辺は右辺 2^(n+1) の 140/128倍を超えない。

こちらの証明はどうするのですか？

234: ◆TerraHMVjE
06/01/18 08:43:19
>>229
問題の解はn=3、類題の解はn=3^k (k:正整数)。
解答の方針は、整数 n>1 が n|(2^n +1) を満たすとき
1) n の任意の素因数 p について、2 mod p の位数は偶数(2aとおく)、かつ a|n
2) n の最小素因数は3
3) n は3以外の素数を約数にもたない
を順に示したら、あとは 2^n +1 を割り切る最大の3の冪を求めればいい。

235:１３２人目の素数さん
06/01/19 19:40:17
既出かも知れませぬが、a_1, a_2, ..... , a_n を相異なる自然数とする。
i) 薩摩芋より
(x^2 + a_1^2)(x^2 + a_2^2)*.....*(x^2 + a_n^2) + 1 は Q 上既約
ii)自作類題 n ≧ 3 の時
(x^3 + a_1^3)(x^3 + a_2^3)*.....*(x^3 + a_n^3) + 1 は Q 上既約

236:230
06/01/21 00:12:54
>233
r(n) = (左辺) / (右辺) = √{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) / 2^(n+1) ≦ 140/128 を示しまつ。
r(n) = r(n-2)･n√(n^2 -1) /{4[n/2](n-[n/2])},
r(2m) = r(2m-2)･√{(2m)^2 -1} /(2m) < r(2m-2),　単調減少.
r(2m+1) = r(2m-1)･(2m+1) /√{(2m+1)^2 -1} > r(2m-1),　単調増加.
また、r(2m) = r(2m+1)･√{(2m+2)/(2m+1)} > r(2m+1)　より有界なので収束する。　(*)
∴ 140/128 = r(6) > r(8) > … > r(2m) > … > √(7/2π) > … > r(2m+1) > … > r(7) > r(5) > 1.

*) 高木: ｢解析概論｣改訂第三版, 岩波, p.8 (1961.5), 第Ⅰ章, §4, 定理6

不等式への招待２
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:560-564番)

237:１３２人目の素数さん
06/02/05 06:35:42
770

238:１３２人目の素数さん
06/03/02 16:41:30
951

239:１３２人目の素数さん
06/03/14 11:43:50
{問題}Ｋ⊂Ｌ　α∈ＬでＫが有限体、Ｌが有限体のとき、Ｋ(α)－{0}＝〈α〉
となることを証明しましょう。
Ｋ(α)はＫにαを添加した体、〈α〉はαを生成元とした巡回群です

240:１３２人目の素数さん
06/03/14 15:00:00
無理。

241:１３２人目の素数さん
06/03/14 17:57:42
>>240なぜ無理なのか証明しましょう！

242:１３２人目の素数さん
06/03/15 05:39:37
age

243:１３２人目の素数さん
06/03/26 14:33:47

244:１３２人目の素数さん
06/04/15 22:40:58
897

245:１３２人目の素数さん
06/04/23 21:43:57
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|(´･ω･`)ﾉ知らんがな
　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　＼　　　　　 | (´･ω･`) |
　　　　　　　　　　　　 |￣￣￣￣　（￣￣￣）　　　 |￣￣￣￣
　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　（[[[[[[|]]]]]）　　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　　　　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼　　　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
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　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　＼ .＼ |　.／　　／　　＿,,,-~　　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ　i　kingｷｬｯｽﾙ　/　／　ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　　　＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

246:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
06/04/23 22:35:05
talk:>>245 私を城を用意してくれるのか？

247:１３２人目の素数さん
06/05/13 20:57:19
769

248:１３２人目の素数さん
06/05/15 09:22:55
最近進んでないから問題を用意しておこう

249:１３２人目の素数さん
06/05/15 13:25:12
頼んだぞ。

250:１３２人目の素数さん
06/05/16 01:41:41
整数問題は捨てろ！

251:１３２人目の素数さん
06/05/16 02:52:52
和田秀樹の言うことを鵜呑みにする香具師は数学科に来ないほうがよい

252:１３２人目の素数さん
06/05/16 03:30:22
和田秀男かとｵﾓﾀ

253:１３２人目の素数さん
06/05/16 05:51:41
和田秀樹は数学ができない。
数学が出来ないやつが哩Ⅲに入るのが東大流。

254:１３２人目の素数さん
06/05/16 07:41:31
p を素数、n を自然数とする。この時、整係数 n 変数 n 次同次多項式 f(x_1,x_2, .... ,x_n) で、

1) 適当な整数を代入すれば、その値は p の倍数とならない。
2) 整数を代入した時その値が p の倍数になるならば、代入した整数は全て p の倍数

なる二条件を満たす物が存在する。

255:１３２人目の素数さん
06/05/17 01:36:58
>254はあほ

256:１３２人目の素数さん
06/05/17 06:30:27
素数の一般項は多項式では表現できない。

257:１３２人目の素数さん
06/05/17 06:33:06
素数の逆数の２乗の級数はある超越数になる

258:１３２人目の素数さん
06/05/17 07:59:44
>>256
自然数を代入して正値なら素数になる多変数多項式ならあるけど、まあ一般項とは言わない罠。
一変数でダメなのは高校演習レベルだけど、二変数でダメな理由知ってる人いたら教えてくれない？

259:１３２人目の素数さん
06/05/17 16:57:21
n×nの魔法陣は何通り作れるか。

260:１３２人目の素数さん
06/05/17 17:09:01
二変数多項式で自然数を代入すれば素数になる（x,yのいずれに関しても0次でない）多項式があれば、
そこから、一変数の自然数を代入すれば素数になる多項式が得られるんjamaica?

261:１３２人目の素数さん
06/05/17 17:09:57
魔方陣の定義は？

262:１３２人目の素数さん
06/05/20 13:52:49
>>261
岩波数学辞典では広義のものを採用している。

263:１３２人目の素数さん
06/05/20 15:45:26
>>260
その理屈が正しければ、何変数でもダメになりそうな気が。

264:１３２人目の素数さん
06/05/20 17:21:50
-2+6=4

265:１３２人目の素数さん
06/05/26 14:42:05
990

266:１３２人目の素数さん
06/06/07 19:29:18
質問をさせて下さい。

55a+63b+80c+97d+346e=2252
a,b,c,d,eはいずれも非負の整数
(eは自然対数ではなく未知数です、一応)

これは解けますでしょうか。
8,10,17,55,80などで合同式をとってみたのですが、うまくいかないのです。
運任せではなく、方法論化された解き方はあるのでしょうか。
よろしくお願いします。

267:１３２人目の素数さん
06/06/08 08:21:15
解けることはすぐわかる。
55Z + 63Z + 80Z + 97Z + 346Z = Zだから。

268:１３２人目の素数さん
06/06/08 12:41:04
>>266
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.sakura.ne.jp)

269:１３２人目の素数さん
06/06/08 22:05:52
>268様
大変ありがとうございます。自分なりに取り組んでみまして、

55a+63b+80c+97d+346e
=55(a+b+c+d+6e)+8b+25c+42d+16e …①
=8{6(a+b+c+d+6e)+(b+3c+5d+2e)}+(c+2d)+7(a+b+c+d+6e)
=8l+m+7n=346

あるいは、①でfをおいて、もう少し粘ってみて、

=55f+8b+25c+42d+16e
=8(6f+b+3c+5d+2e)+7f+c+2d
=8g+7f+c+2d
=2(4g+3f+d)+c+f
=2h+c+f

まで、何とかやってみたのですが、行き詰まってしまいました。
また、行列を使ってみて（↓行列だと思って下さい。）

(055) (1 0 0 0 0)(6 1 0 0)(4 0)(2 1)(1)
(063) (1 1 0 0 0)(1 0 0 0)(3 1)(1 0)(0)
(080) (1 0 1 0 0)(3 0 1 0)(0 1)
(097) (1 0 0 1 0)(5 0 0 1)(1 0)
(346) (6 0 0 0 1)(2 0 0 0)

みたいな事もやってみましたが、よく分かりません。
僕は根本的な勘違いをしているのでしょうか。
解答かヒントを頂けるととてもありがたいのですが。

270:１３２人目の素数さん
06/06/16 02:01:22
870

271:１３２人目の素数さん
06/06/16 21:10:37
870なのでしょうか。

272:１３２人目の素数さん
06/06/16 21:21:11
２以上の自然数p,q,nを考える。ただし、p≠q。
このとき、gcd(n,lcm(p,q))≠1が成り立つならば、
gcd(n,p)≠1 または gcd(n,q)≠1は成り立つか？

273:１３２人目の素数さん
06/06/16 23:38:42
>>266
c,d,eが0でも成り立ちそうだよね
55a+63b=2252
63b-2252≡0 mod 55
8b+3≡0 mod 55 → 8b+3=55nとおく
3-55n≡0 mod 8
3+n≡0 mod 8 → n=5とおく
8b+3=55*5よりb=34
55a+63*34=2252よりa=2
(a,b,c,d,e)=(2,34,0,0,0)が解になった

274:じゃん
06/06/17 00:25:50
X^2+Y^2=Z^2が成り立つ時、X、Y、Zのいずれかは5の倍数であることはどうやったら証明できますか？

275:１３２人目の素数さん
06/06/17 01:10:32
>>274
合同式と背理法でいけるんじゃないかな。

276:１３２人目の素数さん
06/06/17 01:18:08
x,y,z全て５で割り切れないとする。
mod.5では
1^2=1,2^2=-1,3^2=9=-1,4^2=1だから
X,Y,Z=1,-1
しかるに、1+1=2,1-1=0,-1-1=-2であり、これらの組み合わせはあり得ない。

だから、x,y,zどれかが、５で割り切れる。

277:１３２人目の素数さん
06/06/17 01:23:16
>>272
分配律
gcd(n,lcm(p,q))=lcm(gcd(n,p),gcd(n,q))

278:１３２人目の素数さん
06/06/17 12:30:14
>273様
大変ありがとうございます。
a=2,b=34,c=d=e=0で成立しますね。
ただ、他の解がありえなくもないかと思うんです。
他の解を何とか排除したいのですが。

279:１３２人目の素数さん
06/06/27 13:46:53
n以下の素数の個数をf(n)とするとき、lim[n→0]f(n)/n=0を示すことはそんなに難しくない。
king、やってみろ！

280:１３２人目の素数さん
06/06/27 14:00:40
このスレも荒らす気か
死ね

281:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/06/27 18:31:07
talk:>>279 何考えてんだよ？

282:１３２人目の素数さん
06/06/27 19:46:25
素数7の場合
2+
3+6+
4+8+12+
5+10+15+20+
6+12+18+24+30
は7で割り切れる

283:１３２人目の素数さん
06/06/27 20:07:24
素数p>=5をとると
Σ[k=2,p-1](Σ[i=1,k-1]( i*k ) )はpで割り切れる

けっこう簡単だと思います

284:283
06/06/28 19:50:33
誰もいなかった・・・

285:１３２人目の素数さん
06/06/28 19:52:32
>>280
お前さんが自殺すればいいことじゃないか。
そうだろ？統合失調症患者さんｗ

286:１３２人目の素数さん
06/06/28 21:56:35
>Σ[k=2,p-1](Σ[i=1,k-1]( i*k ) )はpで割り切れる
Σ[k=2,p-1 i=1,k-1]ik
=Σ[k=2,p-1]k^2(k-1)/2
=p(p-1)(p-2)(3p-1)/24だから割り切れる

>lim[n→0]f(n)/n=0を示すことはそんなに難しくない。
わかんね、誰か教えてけれ

287:１３２人目の素数さん
06/06/28 22:02:24
>>280は生ける産業廃棄物ｗ

288:１３２人目の素数さん
06/06/28 22:53:20
>>286
馬鹿にとっては0/0=0なんだよ

289:１３２人目の素数さん
06/06/29 01:36:36
>>286
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.sakura.ne.jp)

290:１３２人目の素数さん
06/06/29 01:37:55
y/x＋z/y＋x/z＝3を満たす整数（x,y,z）を全て求めよ。
ヒントだけでもよろしくお願いします。

291:１３２人目の素数さん
06/06/29 19:13:26
1～nの中で素数p_1～p_kで割り切れない数の個数をf_k(n)とする時、
f_k(n)/n→Π[i=1,k](1-1/p_i) (n→∞)
そしてΠ[i=1,k](1-1/p_i)→0 (k→∞)だからπ(x)/x→0 (n→∞)
みたいな感じで証明出来たらいいのに

292: ◆BhMath2chk
06/06/30 00:00:00
ａは整数でｎは正の整数とする。
任意の素数ｐに対して整数ｘが存在しｘ＾ｎ≡ａ（ｍｏｄ．ｐ）となるとき
ｘ＾ｎ＝ａとなる整数ｘは存在するか。

293:１３２人目の素数さん
06/06/30 02:29:45
>>292
珍しく、日数カウント以外で発言したな。

294: ◆BhMath2chk
06/07/02 00:00:00
ｎが整数でｐが素数のとき
Ｘ＾６＋３ｎ＾２は（Ｚ／ｐＺ）［Ｘ］で可約であることを示せ。
ｎが３ｍ＾３（ｍは整数）と表されないとき
Ｘ＾６＋３ｎ＾２はＱ［Ｘ］で既約であることを示せ。

295:１３２人目の素数さん
06/07/02 01:51:24
>>294
すこしはマシになったじゃネーか？
日付変更時に糞レスしていたのを問題を出題するようになっただけマシか…
今後とも精進しろよ。

296:１３２人目の素数さん
06/07/02 04:16:35
>>294
(Z/ｐZ)［X］での可約性だけ
p=3のとき
X^6+3n^2=X^6はZ/3Z[X]で可約
p≡2　(mod　3)のとき
n≡3m^3　(mod　p)となるような整数mをとる。(事実m≡(n/3)^{(p+1)/3}とおけばよい)
X^6+3n^2=X^6+27m^6=(X^2+3m^2)(X^4-3m^2*X^2+9m^4)なので、X^6+3n^2はZ/pZ[X]で可約
p≡1　(mod　3)のとき
ルジャントルの規準(-3/p)=(p/3)=1より
a^2≡-3　(mod　p)となる自然数aが存在する。
X^6+3n^2=X^6-(a*n)^2={X^3-(a*n)}{X^3+(a*x)}なので、X^6+3n^2はZ/pZ[X]で可約

297:296
06/07/02 04:42:18
訂正
×(事実m≡(n/3)^{(p+1)/3}とおけばよい)
○。(事実m≡(n/3)^x，ただしxは3x-(p-1)yを満たす自然数xとおけばよい)

298:296
06/07/02 04:42:57
再訂正
×(事実m≡(n/3)^{(p+1)/3}とおけばよい)
○。(事実m≡(n/3)^x，ただしxは3x-(p-1)y=1を満たす自然数xとおけばよい)

299:１３２人目の素数さん
06/07/02 14:05:55
>286
　p≧5 だから p=6q±1, q∈N.
　g(p) = (p-2)*(p-1)(3p-1)/24 とおくと
　g(6q-1) = (6q-3)*(6q-2)(18q-4)/24 = (2q-1)*{(3q-1)(9q-2)/2} =(2q-1)m ∈ N,
　g(6q+1) = (p-2)*6q(18q+2)/24 = (p-2)*{q(9q+1)/2} = (p-2)*n ∈ N.

300:１３２人目の素数さん
06/07/02 14:24:00
>299

>　212 ：１３２人目の素数さん：2006/06/30(金) 23:52:42
>　奇素数は, 6の倍数±1 で表せる! (予想)
>　ただし 3 は例外.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:212番)
さくらスレ１９６

301:１３２人目の素数さん
06/07/02 16:37:01
>290
　(x,x,x), 　 x≠0,
　(x,4x,-2x), x≠0,
　(-2y,y,4y), y≠0,
　(4z,-2z,z), z≠0,
　(x,9x/2,-6x), x=偶数≠0,
　(-6y,y,9y/2), y=偶数≠0,
　(9z/2,-6z,z), z=偶数≠0.

302:１３２人目の素数さん
06/07/28 16:40:49
646

303:１３２人目の素数さん
06/08/30 15:26:43
351

304:１３２人目の素数さん
06/10/02 23:52:56
857

305:３億PV/日をささえる
06/10/18 19:09:11
【１】「ｎを整数値とする、2^n　+1　は15で割り切れないことを証明せよ」
【２】「2000^2000を12で割ったときの余りを求めよ」　

306:１３２人目の素数さん
06/10/18 19:10:06
sage

307:１３２人目の素数さん
06/10/19 15:03:49
>>305
(1)
2^4≡1　(mod　15)より2^n+1≡2,3,5,9　(mod　15)
(2)
2000^2000≡(-4)^2000≡4^2000≡4　(mod　12)　

308:１３２人目の素数さん
06/10/19 20:36:29
x<y<zにおいて
　(1/x)+(1/y)+(1/z)=1/2 を満たす自然数x,y,z
　　　　　　　　　

309:１３２人目の素数さん
06/10/21 07:33:20
(x,y,z)=(3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15),(4,5,20),(4,6,12)

310:１３２人目の素数さん
06/11/13 01:37:34
543

311:１３２人目の素数さん
06/11/26 20:38:23
整数論の問題スレなのか整数の問題スレなのか

312:１３２人目の素数さん
06/11/26 20:47:50
>311
> 整数論の問題スレなのか整数の問題スレなのか
有理*整数の問題*　=　初等*整数論の問題*　だが？

313:１３２人目の素数さん
06/11/26 20:51:37
>>312
*は何の意味で用いたのですか？

314:１３２人目の素数さん
06/11/26 20:54:34
>313
> *は何の意味で用いたのですか？
ボールド体の代わり、つまり太文字です。

315:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:00:14
> 整数論の問題スレなのか整数の問題スレなのか
有理太文字整数の問題太文字　=　初等太文字整数論の問題太文字　だが？

316:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:18:23
>315
校正したことある奴なら直ぐ分かる事なんだがね。

317:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:29:56
ﾆﾔﾆﾔ…

318:１３２人目の素数さん
06/11/27 08:45:43
有理整数の性質に関する問題？
初等整数論の範囲だけで解ける問題？

有理整数に関する問題だけど証明には
初等整数論以外の深い知識を使う命題って結構あるような。

有名どころではFermatの大定理（A.Wilesの定理）とか
Catalan予想（P.Mih\u{a}ilescu's の定理）とか。

319:１３２人目の素数さん
06/12/02 19:45:38
vの二乗足す
ｉをさらに二乗して
ｐで割ったらいいのかな？？

そういう見方も出来るね

320:１３２人目の素数さん
06/12/02 21:00:40
>318
混乱してるようだから・・・
「代数的整数論」=「代数的整数に関する理論」であるのに対応して
「初等整数論」=「有理整数に関する理論」だ。
「初等整数論」=「初等的な整数論」ではないぞよ。

321:１３２人目の素数さん
06/12/02 23:45:56
初頭整数論講義は二次体の整数も扱っているが。

322:１３２人目の素数さん
06/12/03 09:02:16

>「初等整数論」=「有理整数に関する理論」だ。

そうとは限らないだろう。
解析を使う素数分布に関する理論は有理整数に関する理論だが
初等整数論とは言わない。

>「初等整数論」=「初等的な整数論」ではないぞよ

「初等整数論」=「初等的な整数論」だよ。

323:１３２人目の素数さん
06/12/03 14:47:06
>322
なら、Fermatの最終定理やCatalan予想も「初等的な整数論」と言う事になるぞ。
ついでに、「単純群」は「構造が単純で分かりやすい群」かね？

324:１３２人目の素数さん
06/12/03 18:58:02
＞なら、Fermatの最終定理やCatalan予想も「初等的な整数論」と言う事になるぞ。

ならない。

325:１３２人目の素数さん
06/12/03 19:38:46
>>323
>ついでに、「単純群」は「構造が単純で分かりやすい群」かね？

単純群でない群と較べればそうなる。

326:１３２人目の素数さん
06/12/03 19:46:12
>>323
>なら、Fermatの最終定理やCatalan予想も「初等的な整数論」と言う事になるぞ。

>>322のどこからそういう結論になるんだよ。
Fermatの最終定理が初等的な方法で解ければ「初等的な整数論」になるが
まだそうなってないし、それが可能かも不明。

327:１３２人目の素数さん
06/12/03 20:12:39
>>それが可能かも不明

328:１３２人目の素数さん
06/12/03 20:28:09
それの何かおかしいか？

329:１３２人目の素数さん
06/12/04 16:39:51
>325
>「単純群」は「構造が単純で分かりやすい群」かね？
> 単純群でない群と較べればそうなる。
随分雑な奴がいるな。
そんなら、(非可換有限)単純群よりアーベル群や可解群の方が
「構造が単純で分かりやすい」事になるぞ。

330:１３２人目の素数さん
06/12/04 17:23:00
つまり329は(非可換有限)単純群よりアーベル群や可解群の方が
構造が単純でなく分かりにくいと思っているの？

331:１３２人目の素数さん
06/12/04 20:46:03
>330
如何みても逆だね。ま、いいか。

332:325
06/12/04 20:48:31
>>329

常識を使え。
単純群でない群 G の組成剰余群 H_i は単純群だ。
G の構造は各 H_i より複雑となるだろ。

333:１３２人目の素数さん
06/12/04 20:51:41
>>331

ほう、面白い。
説明希望。

334:333
06/12/04 20:55:10
>>333 は勘違い。
取り消す。

335:１３２人目の素数さん
06/12/04 21:04:47
>332
だったら、「非可換」で「超可解性等の組成列条件を持たない」「非単純群」
といった風に限定したほうがいい。

336:１３２人目の素数さん
06/12/04 21:07:23
勝手に限定してればいいじゃん

337:１３２人目の素数さん
06/12/04 21:07:54
>>331

可解群の構造は単純群よりわかってないと思うが。

338:１３２人目の素数さん
06/12/04 21:17:02
スレ違いな話からもとに戻すと
「初等整数論」=「有理整数に関する理論」のときに
「Fermatの最終定理やCatalan予想も「初等的な整数論」と言う事になる」から
>>323の「>322」は「>320」の間違いだな

339:１３２人目の素数さん
06/12/04 21:17:56
>>335

なんで限定する必要がある。
初めから一般論だろ。

一般的に単純群よりそうでない群のほうが複雑ってこと。
当たり前だ。

340:325
06/12/04 21:29:54
>>329, >>330, >>331

どうした？
逃げたのか？

341:１３２人目の素数さん
06/12/04 21:31:47
さっきから書いてるが

342:325
06/12/04 21:33:52
>>341

レス番号は？

343:１３２人目の素数さん
06/12/04 21:34:47
330
336
338
341

344:325
06/12/04 21:37:19
>>343

常識ありますか？
俺に答えてないだろ。

345:１３２人目の素数さん
06/12/04 21:41:02
>>344
325とは何もやり取りをしてないのに何に答えて何から逃げてるの

346:325
06/12/04 21:43:43
>>345

こっちの勘違いみたいだな。
スマン。

逃げたのは >>329 と >>331 か？

347:１３２人目の素数さん
06/12/05 23:10:23
ほんとにどうでもいいことばかり。

348:１３２人目の素数さん
06/12/06 03:14:17
>>347
問題出せ

349:１３２人目の素数さん
06/12/06 12:59:56
数列 {a_n} があり、各 n に対して
a_n ＜ 42 ならば a_{n+1} = a_n + 8
a_n ≧ 42 ならば a_{n+1} = a_n - 42
であるとし、a_1 は 0≦a_1＜50 を満たす整数とする。
このとき、a_1 = a_{1+N} であるような自然数 N が存在することを示し、
そのような N の最小値を求めよ。

350:１３２人目の素数さん
06/12/06 13:36:28
>>349
[i]0≦a_n＜42 ならば
0≦a_n+8<50
0以上の整数qy+rについて
(qy+r mod y) = rと書くとする(q,y,r は整数, q≧0, y>0, 0≦r＜y)
よってa_{n+1} = (a_n+8) mod 50

[ii]42≦a_n＜50 ならば
0≦a_n-42<50
a_{n+1} = (a_n-42) mod 50
= (a_n+8) mod 50

0≦a_1＜50であり、
0≦a_n＜50を仮定すると0≦a_{n+1}＜50
が成り立つので
2以上の自然数 n に対して
a_{n} = (a_{n-1}+8) mod 50
=(a_1+8*(n-1)) mod 50
また、これはn=1の時も成り立つ

a_1 = (a_1+8*N) mod 50 を満たすNを求める
a_1+8*N = q*50 + a_1 となる自然数qが存在する
8N=50q
N=(50/8) q
=25/4 q

Nは自然数であるのでNが25の倍数であれば良い
最小のNは25である

351:１３２人目の素数さん
06/12/06 21:32:16
>>346
>逃げたのは >>329 と >>331 か？

はい

352:１３２人目の素数さん
06/12/07 20:45:32
Q[√d],d>0がUFDとなるようなd∈Nを決定せよ。

353:１３２人目の素数さん
06/12/07 20:57:14
>>349　は今年の駿台の阪大実戦の問題ですね。

354:１３２人目の素数さん
06/12/08 11:12:50
QabをQの代数閉包とするときGal(Qab/Q)を求めよ。

355:１３２人目の素数さん
06/12/08 11:14:30
もうほとんど呪文だな

356:１３２人目の素数さん
06/12/08 13:53:16
>>354
二元で位相的に生成されるprofinite群

357:１３２人目の素数さん
06/12/08 16:37:38
>356
証明は？(長かったら方針だけでも)

358:１３２人目の素数さん
06/12/08 16:38:48
8161^2を2個の「整数の平方」で表わせ。

359:１３２人目の素数さん
06/12/08 16:42:34
(2^5*11^12*13^13)^7を立法数1個と7乗の数1個の和で表わせ。

360:１３２人目の素数さん
06/12/08 16:48:41
>359
立法 →　立方

361:１３２人目の素数さん
06/12/08 18:12:10
>>357
Grothendieck-Teichmuller群でググっておくれ。

362:１３２人目の素数さん
06/12/08 20:44:52
>361
Thanks!

363:１３２人目の素数さん
06/12/15 01:22:11
整数論総合スレが消えてしまっため、最後の解答が分からなかったのだが。

364:１３２人目の素数さん
06/12/15 01:36:31
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:972番)
最後の問題ってこれ？これ確か未解決じゃなかったっけ？

365:１３２人目の素数さん
06/12/15 11:57:26
>>364
それです。
元の問題は（素数及び）素数冪を小さい方から順番に並べて、 q_n とすると、
limsup (q_(n+1) - q_n) = ∞？
と言う問題です。

366:１３２人目の素数さん
06/12/15 15:30:42
ついでに、
liminf (q_(n+1) - q_n) は有限か？

367:１３２人目の素数さん
06/12/15 16:53:48
>>365
いや、972は「3^nを十進数表示したとき（略）」という問題なんだけど。
似た問題がピーターフランクルの本に載ってたんだけど
意外と証明は難しくてまだ誰も成功してないという話だった。

>>365はちょっとした有名問題で、
隣り合う素数冪同士の差は幾らでも長くなる事が初等的に証明できる。
数学オリンピックの過去問で、ブルーバックスの
「数学オリンピック問題にみる現代数学」にも収録されていた。

以下前スレから

978 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/11/26(日) 11:53:13
では隣り合う素数冪の差は？

984 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/11/29(水) 11:07:02
>>978
(n!)^2+2，から(n!)^2+nまでの間に素数冪はない
(証明は背理法で、(n!)^2+iが素数冪つまり(n!)^2+2=p^iとなると仮定して矛盾を導く)
から、この区間の長さはn-1でいくらでも大きくなる。

368:１３２人目の素数さん
07/01/25 22:58:36
二年二時間。

369:１３２人目の素数さん
07/02/05 02:20:56
age

370:１３２人目の素数さん
07/02/27 00:29:59
king

371:１３２人目の素数さん
07/02/27 00:30:47
>>370
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

372:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
07/03/02 09:00:00
talk:>>370 私を呼んだだろう？
talk:>>371 何考えてんだよ？

373:１３２人目の素数さん
07/03/11 06:09:38
Wikipedia項目ﾘﾝｸ
3つ並んだ楔数は無限に存在するか？

374:１３２人目の素数さん
07/03/11 06:20:37
>>358
8161^2 = 4961^2 + 6480^2

375:１３２人目の素数さん
07/03/11 16:04:32
キッスてどんな吸う？

376:１３２人目の素数さん
07/03/14 21:26:37
>>373
421445 = 5 * 31 * 2719
421446 = 2 * 3 * 70241
421447 = 13 * 17 * 1907
を手計算で見つけた。方針が立たないな。

377:１３２人目の素数さん
07/03/15 17:27:13
374
>>358
8161^2 = 4961^2 + 6480^2
そう。
驚くのは、古代バビロニアでこれが知られていた事だ。
試行錯誤の末、分かったとは思えんし…　

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