松坂和夫『集合・位相入門』第３章を徹底理解する

松坂和夫『集合・位相入門』第３章を徹底理解する at MATH

1:１３２人目の素数さん
04/09/03 14:57
質問や議論、問題回答などしましょう。

2:１３２人目の素数さん
04/09/03 15:00
『集合・位相入門』＠アマゾン

URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)

3:（・人ζもみもみ ◆Momi/T3ouE
04/09/03 15:04
駄スレ保守

4:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/03 15:06
位相は、近傍系によって定められるべきである。

5:１３２人目の素数さん
04/09/03 15:07
>>1
質問は質問スレに。その他関連スレも。

◆ わからない問題はここに書いてね１５０ ◆
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
数学の本第9版
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
位相について語ろう！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

6:１３２人目の素数さん
04/09/03 15:24
第3章　順序集合，Zornの補題　pp.87-136　全50ページ

§1　順序集合　pp.87-97　全11ページ

　A)　順序関係
　B)　順序集合，部分順序集合
　C)　最大（小）元，極大（小）元，上限，下限
　D)　順序同型
　E)　双対概念，双対の原理
　問題

§2　整列集合とその比較定理　pp.97-105　全9ページ

　A)　整列集合
　B)　切片と超限帰納法
　C)　整列集合の順序同型
　D)　整列集合の比較定理
　問題

§3　Zornの補題，整列定理　pp.105-116　全12ページ

　A)　整列集合に関する一命題
　B)　Zornの補題
　C)　Zornの補題の変形
　D)　整列定理
　問題

7:１３２人目の素数さん
04/09/03 15:25
§4　順序数　pp.116-125　全10ページ

　A)　順序型，順序数
　B)　順序数の大小
　C)　順序数の演算
　D)　順序数と濃度
　問題

§5　Zornの補題の応用　pp.125-136　全12ページ

　A)　濃度に関する二三の定理
　B)　群論の一定理
　C)　ベクトル空間の基底の存在

8:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/03 15:29
いま、勉強中なんです。
何か質問があったら、みなさんに教えていただきたいです。
順序って難しいですよね。

9:１３２人目の素数さん
04/09/03 15:32
>>8
勉強もいいが、このスレの削除依頼も忘れずに。
質問があれば質問スレへどうぞ。

10:１３２人目の素数さん
04/09/03 15:35
>>1

関連する内容のスレ

集合論なぜなにスレッド
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
選択公理、Zornの補題
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

「今日は何ページまで読みました」などと報告したいときはこちらへ。

毎日の勉強成果を報告するスレです。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

～終了～

11:１３２人目の素数さん
04/09/03 16:05
良スレ!

12:（・人ζもみもみ ◆Momi/T3ouE
04/09/03 17:12
駄スレ保守

13:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/03 17:48
ところで、順序集合という場合は、半順序集合、すなわち、反射律、反対称律、推移律を満たす順序関係が入っている集合のことか、
それとも、全順序集合、すなわち任意の二元に対して順序関係が定められている半順序集合のことだろうか？

14:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/03 18:44
松坂和夫先生の本では、半順序集合のことを順序集合と
いっています。

15:１３２人目の素数さん
04/09/03 19:07
赤攝也だと順序 = 全順序だけど最近は順序 = 半順序っぽい

16:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/03 20:03
ところで、まだ勉強し始めですが、識者に質問です。
第３章の内容で、非自明で一番面白く、有り難味のある
定理は何でしょうか？

勉強していて感じるのは、自明なことばかりだが、それ
ゆえに頭に残りにくいということです。

17:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/03 21:38
Re:>16 自分の専攻に関して色々な書物を読めば、何を記憶しておくべきかはおのずと分かってくるだろう。

18:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/04 15:39
>>17
結局、おもしろみのある内容ではないということですね。

19:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/04 19:08
それにしても退屈な内容ばかりでいやになってきました。

20:１３２人目の素数さん
04/09/04 19:18
独学中です。まだ１章はじめたばかりですが、追いつけたときはよろしくお願いします

21:１３２人目の素数さん
04/09/04 19:37
松坂和夫先生の『数学読本』その2
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50

22:Владимир(☆8) ◆QRDTxrDxh6
04/09/04 22:09
>>19 >>20
以下のスレで春から精読しています。いま第一章が終わったばっかりです。
参加者は、受験生、大学一年生、七十年代生まれ、六十年代生まれ(わたし)の四人です。
大学一年生が受験生のときから企画していたスレで、彼が今春合格したのと同時に
始めたのですが、大学生活も忙しいらしく今ではなかなか顔を出すことが出来ず、
ペンディング中です。彼も予定では九月の中旬から復帰するそうですが。

参加してみませんか。お待ちしています。

「集合・位相入門」輪読会
URLﾘﾝｸ(jbbs.livedoor.com)

23:１３２人目の素数さん
04/09/04 23:53
>>16
Zornの補題は学部レベルの教科書でも
多用されるので使いこなせないとマズイ

選択公理や整列定理と同値であることは
教養として知っておくほうがよい

24:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/05 10:21
その同値であることの証明には、非自明でおもしろい部分
が含まれているのでしょうか？

25:１３２人目の素数さん
04/09/05 10:57
>>24
君の実力がわからないから自明かどうかは
判断できない．次の問題は解けるか．

[3.1節/例2の応用問題]

有理数全体の集合Qには大小による順序
構造が入る．Qの部分集合M

M={x | x>0, x^2 < 61}

は上限を持たないことを示せ．

26:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/05 23:34
M ＝ {x∈Q | x ＞ 0 , x^2 ＜ 61}とする。

Mに上限が存在しないことを示す。

①たとえMの上限が存在するにしても、その値が正であることは明らか。

②たとえMの上限が存在するにしても、Mの中には存在しないことを
示す。

∀a∈Mとする。
xy平面上の2点(a , a^2-61)と(8 , 3)を通る直線とx軸との交点
のx座標をbとすると、b ＝ (8*a+61)/(a+8)となる。

b∈Qは明らか。
b＞0は明らか。
b^2-61 ＝ 3*(a^2-61)/(a+8)^2 ＜ 0。

∴b∈M。

b-a ＝ -(a^2-61)/(a+8) ＞ 0。

∴b ＞ a。

よって、Mの中には、Mの上限はもちろん、Mの上界すら存在しない。

27:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/05 23:35
N ＝ {x∈Q | x ＞ 0 , x^2 ≧ 61}とする。

x^2 ＝ 61はQ上に解を持たないから、
N ＝ {x∈Q | x ＞ 0 , x^2 ＞ 61}である。

③Nの中にもMの上限が存在しないことを示す。

∀c∈Nとする。明らかにcはMの上界である。

y ＝ x^2-61の点(c , c^2-61)における接線とx軸との交点
のx座標をdとすると、d ＝ (c^2+61)/(2*c)となる。

d∈Qは明らか。
d＞0は明らか。
d^2-61 ＝ (c^2-61)^2 / (2*c)^2 ＞ 0。

∴d∈N。

c-d ＝ (c^2-61) / (2*c) ＞ 0。

∴c ＞ d。

①、②、③よりMには上限が存在しない。

28:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/05 23:36
この問題は解けたと思いますが、あまり実力はありません。

29:１３２人目の素数さん
04/09/06 00:36
>>28
お疲れさん

さすがにx -> (bx+61a)/(ax+b) (ただし，a, bは
b^2=61a^2 + 1を満たす)のような変換は作らな
かったようだ

選択公理，Zornの補題，整列定理の同値性証明を
自力で考え付くのは殆どの学生には無理だろうから
教科書の証明を熟読すればよいだろう，

特殊な分野に進まない限り，実用上はZornの補題を
使いこなれせれば十分のはずだ．また順序集合に
関する諸概念は当然常識となる．

もしも選択公理に興味があるのなら，発展話題として
バナッハ・タルスキーの定理，ルベーグ非可測集合など
について勉強してもよいだろう．これらの結果は自明では
ない．

30:１３２人目の素数さん
04/09/06 11:16
>>29
極大イデアルの存在、ベクトル空間の基底の存在、チコノフの定理、ハーン・バナッハの拡張定理
他になんかあったっけ。学部でツォルンのレンマ使いそうなとこ。

31:１３２人目の素数さん
04/09/06 13:48
>極大イデアルの存在

ネターしか扱わないから自明。

32:１３２人目の素数さん
04/09/06 15:00
>>31
ではベクトル空間も有限次元しか扱うな。

33:１３２人目の素数さん
04/09/06 15:16
ここで命令をされている方は、どちらの病院の患者さんですか？

34:１３２人目の素数さん
04/09/06 18:01
リリース政策でこんなのが７万人も放流されるわけだ…

35:１３２人目の素数さん
04/09/08 03:05
「集合・位相入門」輪読会
URLﾘﾝｸ(jbbs.livedoor.com)

36:１３２人目の素数さん
04/09/08 03:36
集合と位相を学び最終的には測度論・ルベーグ積分を学びたいのですが、位相を学ぶさい集合の知識は必要ですか？集合の知識は濃度や可算など初歩的なことしかしりません。ちなみに基礎的なことは小平先生の本である程度学びました。

37:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/08 13:47
Re:>36
集合の記号∈,⊂と写像の意味ぐらいは分かるようになろう。

38:１３２人目の素数さん
04/09/08 19:59
公理的集合論と素朴集合論というのがあって（呼び名はいろいろだが，
ともかくそれぞれ何物であるかは検索してくれ），まず公理的集合論は
いらない。素朴集合論は小平本をやったなら位相の勉強にさしつかえない程度の
基礎はできているはずだから，あとは位相の教科書に出てくる記号で
意味がわからないものを一つ一つ調べていって，位相の勉強が一段落してから
１冊まとまった教科書を読めば終わり。とっとと測度論とかルベーグ積分とかに
進むこと。

39:哲くずの読書記録
04/09/08 21:57
URLﾘﾝｸ(www010.upp.so-net.ne.jp)
哲屑が数学について偉そうにコメントしている。
哲屑って、なんでこうも数学に粘着するんだ?

例)
松坂和夫『集合・位相入門』、岩波書店、1968
集合論はやはり古さを感じる。素朴集合論だし。
位相空間論の方はとても面白かった。
最初のinformalな動機づけの方がむしろ私には分かりにくかったりした
（これは前に志賀浩二を読んでいたので、informalな考えは少し身に付いていたからかもしれない）。
この本の位相空間論の読書は、日々の読書の中でもっとも楽しい時間だった。

40:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/09 19:57
p.94に、
「
　上の例２でもみたように、一般に A が順序集合で、
M ⊂ A_1 ⊂ Aであるとき、 M が A_1 の中に上限を
もたなくても、 A の中には上限をもつことがある。
また、その逆の場合もあり得る。さらに、 M が A_1、
A の中にそれぞれ異なる上限をもつような場合もある。
そこで、こうした事態にまぎれがないように対処する
ために、（必要があれば）たとえば A の中で考えた M の
上限を sup_A M（下限を inf_A M ）と書くことがある。
」

とあります。

41:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/09 19:57
上で述べられている２つの例を考えてみたのですが、
おもしろい例が思い浮かびません。どなたか、おもし
ろく、ためになる例を教えてください。

① M が A_1 の中に上限をもつが、 A の中には上限をもたない場合。

M = { {1}, {2} }
A_1 = { {1}, {2}, {1, 2, 3} }
A = { {1}, {2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4} }

② M が A_1、A の中にそれぞれ異なる上限をもつような場合。

M = { {1}, {2} }
A_1 = { {1}, {2}, {1, 2, 3} }
A = { {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3} }

42:１３２人目の素数さん
04/09/10 02:44
>>41
2つの例と書いているけれど、>40 の引用中に述べられているのは3つだよ。
半順序ではなく、全順序でも例が作れるのだけれどわかる？
M={x|x<0}⊂A1⊂A⊂R (実数全体の集合) となる A1, A で考えてみて。

43:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/10 09:52
>>42

例２で例が挙がっているので、③のタイプは書きませんでした。

③ M が A_1 の中に上限をもたなくても、 A の中には上限をもつ場合。

M = { {1}, {2} }
A_1 = { {1}, {2}, {3} }
A = { {1}, {2}, {3}, {1, 2} }

44:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/10 10:02
M = (-∞, 0) の場合ですが、おもしろい例はあるのでしょうか？

① M が A_1 の中に上限をもつが、 A の中には上限をもたない場合。

M = (-∞, 0)
A_1 = (-∞, 0) ∪ [1, 1]
A = (-∞, 0) ∪ (0, 1]

② M が A_1、A の中にそれぞれ異なる上限をもつような場合。

M = (-∞, 0)
A_1 = (-∞, 0) ∪ [1, 1]
A = (-∞, 0) ∪ [0, 0] ∪ [1, 1]

③ M が A_1 の中に上限をもたなくても、 A の中には上限をもつ場合。

M = (-∞, 0)
A_1 = (-∞, 0) ∪ (0, 1]
A = (-∞, 0) ∪ [0, 1]

45:１３２人目の素数さん
04/09/11 05:29:01
問題に飢えているようなので。

Q (有理数全体) と Q(√2)={a+b√2 | a,b∈Q} は順序同型か？
R-Q と R-Q(√2) は順序同型か？

46:１３２人目の素数さん
04/09/11 12:12:21
>>36
ε-δや集合論の概念がやっぱり必要だと思う。
ある程度やれば頭の中で位相空間がイメージできるようになるよ。

47:１３２人目の素数さん
04/09/15 20:26:30
↓この人、人名激しく間違えすぎ。

URLﾘﾝｸ(syllabus.tsuda.ac.jp)

48:１３２人目の素数さん
04/09/15 20:29:31
どこをどう間違えたら…
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)

49:１３２人目の素数さん
04/09/15 20:39:51
位相空間は、局所的に三次元以下のユークリッド空間と同相の時しか
イメージできない。

50:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/09/15 21:39:15
p.94

「
f が順序単射であることは、 f が順序写像でかつ単射であることとは
必ずしも一致しない。
」

↑で一致しないのは、もちろん半順序集合の場合です。

f: { {1}, {2} } → { {1}, {1, 2} } s.t.

f: {1} ～> {1}
f: {2} ～> {1, 2}

fは順序写像でかつ単射であるが、明らかに順序単射ではない。

51:１３２人目の素数さん
04/09/15 21:53:06
>>49
そんなことはない

52:１３２人目の素数さん
04/09/15 22:15:42
>>50
別の例だが・・・

自然数全体の集合において
数の大小関係（≦）と整除関係（｜）は
それぞれ順序構造を与える

（Ｎ，｜）から（Ｎ，≦）への恒等写像は
単射な順序写像だが順序単射ではない

53:１３２人目の素数さん
04/09/15 23:18:54
>>52
よい例をありがとうございます。

54:１３２人目の素数さん
04/09/16 04:29:23
＞順序単射
ってなぁに

55:１３２人目の素数さん
04/09/16 12:08:49
何かが変だぞ

56:１３２人目の素数さん
04/09/16 14:41:23
>>55
さては順序単射の定義を理解してないな

57:１３２人目の素数さん
04/09/16 17:37:06
>>56
というよりも、定義を読んだことも調べたこともない可能性が大。

58:１３２人目の素数さん
04/09/18 14:13:06
>>56-57
URLﾘﾝｸ(wwwmi.cias.osakafu-u.ac.jp)
p.11
順序写像f : (X;≦_X) → (Y;≦_Y ) がX からY への単射であるときfを順序単射という.

59:１３２人目の素数さん
04/09/18 14:31:44
>>58は晒し者

松坂の「集合・位相入門」のスレなのだから
順序単射の定義も松坂に従う

60:１３２人目の素数さん
04/09/18 16:15:47
じゃあ「調べろ」とか煽らずに最初から松阪の定義書いてけれ

61:１３２人目の素数さん
04/09/18 16:26:10
>>60
うそつき
誰も「調べろ」などと書いてない

それから「松阪」ではなく「松坂」だ
人名を間違えるとは失礼なヤツ

まさか松坂の「集合・位相入門」を読んだことも
ないのに書き込んでいるのか

それから間違いを指摘することは
「煽る」とはいわんゾ

62:１３２人目の素数さん
04/09/18 16:35:49
なんでそんなに熱くなってるんだろう
代数では順序単射は単射の順序写像と定義するのが普通だろう
だから何か変だぞとソースまで示してやっただけなんだが
何か間違いを指摘された気になったから熱くなってるのかな

63:１３２人目の素数さん
04/09/18 16:37:39
>>60
調べるなら松坂の本で調べろよ

>>50がページ数まで指定してるんだからさ～

64:１３２人目の素数さん
04/09/18 16:40:53
松坂の本ネタで必ずわいてくるのが↑この手のDQN

65:１３２人目の素数さん
04/09/18 16:46:30
>>63
それについては悪かった
和書はなかなか手に入らん環境なので

しかし圏でmonicにならんものを単射と呼ぶのはやはり相当
違和感があるんだが
先々困らないのかな

でもまあそんなことあなたたちの責任じゃないんで
このまま続けてください

ageでやってる人も粘着はやめて勉強を続けさせてあげてね

66:１３２人目の素数さん
04/09/18 17:02:08
>>65
松坂せんせがどう考えたかは知らんが
少なくとも一冊の教科書中では困らない
ようになってるんだろう

ここらの用語は文献によっても異なるので
学習者は定義を確認すべし

ということでいいかな

67:１３２人目の素数さん
04/09/18 17:16:15
>>65
a=bとf(a)=f(b)の同値性が単射だが、
それの類似である（実質強めているが）
a\le bとf(a)\le f(b)の同値性を（単射でなく）「順序単射」と
呼ぶと言う意図は、それほど悪くないように思う。
必ず混乱が生じる所ではあるが。
定義をきちんと見ていないので、違ったらフォロー頼む。

68:１３２人目の素数さん
04/09/18 18:09:04
>>67
それならやはり「埋め込み」などと呼んでおいたほうが
他の分野との整合性があるんじゃないかなあ・・・

まあどうでもいいよな
かえって学習者の方に混乱させてしまったかも
もうしゃしゃり出てこないんで許してね
それとお名前誤植してごめんなさい松坂先生

69:１３２人目の素数さん
04/09/18 23:14:15
田中尚夫「選択公理と数学」

これは当時の論争なんかが載っていて
ためになりそうですね。

70:１３２人目の素数さん
04/09/18 23:24:11
>>69
選択公理に関する和書の定番ですね
歴史的経緯を詳述してある良い本です

71:１３２人目の素数さん
04/09/23 02:21:52
突然ですみませんが・・
「集合・位相入門松坂和夫」
を理解するには、高校数学（３Ｃ）までの知識で可能でしょうか。
それとも初等解析や線型代数の知識が必要ですか？

72:１３２人目の素数さん
04/09/24 01:54:24
>>71
別スレで「必要ない」と返事もらってるね。
ちゃんとこっちも処理しておかねば。

73:７１
04/09/24 19:20:49
>>72
忠告どうもありがとうございます。
失礼しました。
>>ALL
７１での質問は別スレで回答いただきました。
重複質問失礼しました。

74:１３２人目の素数さん
04/09/25 14:07:18
俺も読もうかな。この本って１冊目にいい？物理なんでこの分野の本
読んでないんだけども。

75:１３２人目の素数さん
04/09/26 02:22:03
物理なら位相のみの本読め。
暇があるなら集合もやったらいいが、普通役立たん。

この本は冗長に感じる人もいるだろうから、一冊目に良くないこともありうる。

76:１３２人目の素数さん
04/09/26 15:41:10
そうでしか。わかりますた。どうもです

77:１３２人目の素数さん
04/10/01 10:53:51
超限帰納法

W：整列集合
W' ⊂ W

W<a> ⊂ W' ⇒ a ∈ W'

⇒

W ＝ W'

78:１３２人目の素数さん
04/10/01 10:54:20
（証明）
W － W' ≠ φ と仮定し矛盾を導く。
W は整列集合であるから、W ⊃ W － W' ≠ φ には
最小元が存在する。

この最小元を a であらわすことにする。

W － W' の最小元は a であるから、 x ＜ a であるような元 x は、
W － W' の元ではない。すなわち、x は W' の元である。
よって、 W<a> ⊂ W' が成り立つ。
仮定により、 a ∈ W' となる。

これは、 a ＝ min (W － W') ∈ W － W' と矛盾する結果である。

したがって、 W － W' ＝ φ である。

79:Cofee Break
04/10/01 10:58:57
就任の御挨拶
松坂和夫
　この7月から梅谷先生の後を継いで分館長を勤めること
になりました。正直なところ，少々気が重い感じがします。
このように長と名のつく職務にたずさわる資格も能力も，
私にはないからです。その点 -- というと失礼な言い方に
なりますが，梅谷前分館長はまことにそうした職にふさわ
しい方で，学識の広さはむろんのこと，諸般のことがらに
精通され，万事に抜群の器量をおもちの方でありました。
こういう方の後任にすわるのはそれだけでも気の重いこと
です。まして私は博識多才などとはまったく縁のない人間
で，また，どんなにひいき目に自己採点をしてみても，前
分館長の具備しておられた企画力，調整力，実行カなど，

80:Cofee Break
04/10/01 10:59:26
私には百分の一ほども備わっておりません。その上私は学
内の諸事情にうとく，図書館内部のことにも一向に不案内
です。適性からいうと不適格なところばかりで，むしろ不
適格者の見本のようなものでありましょう。このようなわ
けなので，5月ごろ高橋前分校主事から次期分館長に推薦
するというお話を承ったときにも，極力御辞退したのです
が，あまりわがままもいえませんし，明白な意思表示をつ
いつい怠っているうちに，時の勢いでこういうことになっ
てしまいました。

81:Cofee Break
04/10/01 10:59:52
　 -- と，こんな具合に書くと，御推薦下さった高橋先生
にはたいへん申しわけないのですが，今日でもなお，私は
私などに分館長のような職が勤まるのか，はなはだ心もと
なく思っているのです。

82:Cofee Break
04/10/01 11:00:15
　もっとも考えてみれば，私も本学に来てからもう10年に
なります。それなのに本学の図書館のことに無知であると
いうのは，怠慢の極みといわれるかも知れません。実際そ
ういわれても一言もないような気がしますが，少し言い訳
めいたことを述べますと，私は比較的高年令になってから
本学に来ましたので，最初から何かと雑用をしなけれぼな
らないようになり，図書館にゆったりと通うというような
余裕のある期間をほとんどもつことができませんでした。

83:Cofee Break
04/10/01 11:00:38
また，本学に来る以前は研究室と図書室とが密着した環境
にいましたので，本学の特徴である中央図書館制になかな
かなじまなかったのも事実ですし，本学の性格と数学の教
官という自分の立場とを顧慮する結果，いろいろな面で必
要以上に自己規制をしてしまった，ということもあるよう
に思います。そんなわけでおのずから図書館とは疎遠にな
っていたのですが，畢竟は私の怠惰に帰することでありま
しょう。今回こうした任務を与えられたのを機会に，今ま
でのことを反省し，できるかどうかは分かりませんが，遅
ればせながら自己改革もこころみていきたいと考えており
ます。

84:Cofee Break
04/10/01 11:01:11
　今，私はこの原稿を，夏休みも半ばにさしかかった時点
で書いています。 8月のはじめに，事務主任の稲葉さんか
ら館報に何か書くようにという連絡を受けたからです。編
集の方々の趣旨では，要するに新任者として一言挨拶を，
できれば抱負のようなものを語れ，ということであるよう
です。しかし，就任(という言葉を使うのも大げさですが)
以来まだ正味1ケ月にしかなりませんし，上に言ったように
図書館についての諸般の事情をわきまえておりませんので，

85:Cofee Break
04/10/01 11:01:33
特に申し上げることもありません。抱負などと言われると
困るのですが，前分館長の梅谷先生をはじめ歴代の分館長
のお力によってきちんとしたレールがすでにひかれている
ことですし，基本的には私はただそのレールに従っていけ
ばよいのであろうと思っています。しかし，何分にも不敏
の者ですから，分館の事務の方々をはじめ，関係各位にい
ろいろお助けいただかなければならないでありましょう。
どうかよろしくお願いいたします。

(小平分館長)

86:Cofee Break
04/10/01 11:09:34
位相についてのスレッドに書かれていたのですが、
森重文教授も松坂先生の『集合・位相入門』で勉強
したそうですね。

87:１３２人目の素数さん
04/10/01 11:40:26

p.101

補題１

W：整列集合
J ⊂ W

① J ＝ W または、J ＝ W<a> for some a ∈ W
② W<x> ⊂ J for ∀x ∈ J

88:１３２人目の素数さん
04/10/01 11:40:49

（証明）

① ⇒ ② は明らかである。

② ⇒ ①：
W － J ≠ φ とし、 a ＝ min(W － J) とする。
このとき、｛ x | x ∈ W、a ≦ x ｝には J の
元は含まれない。なぜなら、
ｙ ∈ J でかつｙ ∈｛ x | x ∈ W、a ≦ x ｝と
すると、 J ∋ ｙ ≠ a ∈ W － J であるから、
a ＜ｙとなるが、 J についての仮定より、
a ∈ J となって矛盾が起こるからである。

よって、 J ⊂ W<a>。
明らかに、J ＝ W<a>。

89:１３２人目の素数さん
04/10/01 16:48:08
p.102
補題２

W：整列集合
f： W から W への順序単射

f(x) ≧ x for ∀x ∈ W

（証明）
∀x ∈ W とする。
A ＝｛ f^i (x) | i ∈ ｛0, 1, 2, 3, …｝｝とする。
A ⊂ W であるから、min A が存在する。
min A ＝ f^i (x) (i ∈ ｛0, 1, 2, 3, …｝)とかける。

90:１３２人目の素数さん
04/10/01 16:48:30

f^i (x) は、 A の最小元であるから、

f^i (x) ≦ f^(i+1) (x)

f(x) ≦ f(y) ⇒ x ≦ y が成り立つから、

f^(-i) (f^i (x)) ≦ f^(-i) (f^(i+1) (x))、i.e.
x ≦ f(x) が成り立つ。

91:１３２人目の素数さん
04/10/01 16:50:41
図書館行ったら借りられててショボーン
だから同じ松坂先生が書いてる数学序説っての借りてみますた
この本はあんまり評判聞いたことないからある意味楽しみ

92:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/02 00:32:36

足立恒雄『数　―体系と歴史―』（朝倉書店） p.63

整列原理は純粋な「存在定理」であって、具体的な整列順序の存在を
保証してくれるわけではない。実際には、 ZF では実数体（実数全体
のなす集合）に整列順序を具体的に与えることはできないことが知ら
れている。これは数学のもつ一面をよく表していると思う。

↑こういうのを読むと、非加算集合の得体の知れなさが嫌になります。
クロネッカーの気持ちも少し分かるような気がします。

93:１３２人目の素数さん
04/10/02 01:00:01
皮下さん集合のせいだという理由は？

94:１３２人目の素数さん
04/10/02 01:03:18
蚊さん集合すら怪しいということでしょう。

95:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/02 01:07:11

p.103
定理３

整列集合 W、W' が順序同型ならば、 W から W' への順序同型写像は一意的
に定まる。

96:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/02 01:07:48

（証明）
f、g を W から W' への順序同型写像とする。
写像 W ∋ x ～> g^(-1)(f(x)) ∈ W は、
W から W への順序同型写像であるから、p.102 補題２により、
∀x ∈ W に対し、g^(-1)(f(x)) ≧ x 　　i.e.
f(x) ≧ g(x)
が成り立つ。

97:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/02 01:08:34
今、∃x_1 ∈ W s.t. f(x_1) ＞ g(x_1)
と仮定する。

x_2 ＝ f^(-1)(g(x_1)) とおけば、
x_1 ＝ f^(-1)(f(x_1)) ＞ f^(-1)(g(x_1)) ＝ x_2　　i.e.
x_1 ＞ x_2 が成り立つ。

また、
f(x_2) ＝ g(x_1) ＞ g(x_2)　　i.e.
f(x_2) ＞ g(x_2) が成り立つ。

98:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/02 01:08:59
以上の方法を繰り返すことにより、 W の元の無限列
x_1 ＞ x_2 ＞ x_3 ＞ … ＞ x_n ＞ …
が得られる。 W の部分集合｛ x_i | i = 1, 2, 3, … ｝は
最小の元を持たない。これは矛盾である。

したがって、
∀x ∈ W に対し、g^(-1)(f(x)) ＝ x 　　i.e.
f(x) ＝ g(x)
が成り立つ。

99:１３２人目の素数さん
04/10/02 01:30:00
ｆ（ｘ）≦ｇ（ｘ）≦ｆ（ｘ）。

100:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/02 08:37:40
>>99
そうですね。あほでした。

（証明）
f、g を W から W' への順序同型写像とする。
写像 W ∋ x ～> g^(-1)(f(x)) ∈ W は、
W から W への順序同型写像であるから、p.102 補題２により、
∀x ∈ W に対し、g^(-1)(f(x)) ≧ x 　　i.e.
f(x) ≧ g(x)
が成り立つ。
同様にして、
g(x) ≧ f(x)。

したがって、f ＝ g。

101:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/05 00:42:19
p.106 補題１と p.107 補題１の系との違いがよく分かりません。
同じことを言っているだけのように思うのですが、どこが違うの
か分かるかたがもしいらっしゃれば、詳しく教えてください。

確かに補題１では、 A が順序集合だとは仮定されていませんし、
各 W_λ の順序も独立に考えられていて、結果として W_λ と W_λ'
には、一方が他方の部分順序集合（一方が他方の切片になっている
ということの大前提として当然、一方が他方の部分順序集合である）
になるような順序がそれぞれに与えられていたということでしょうが
、何かこの補題１の仮定はいやらしくないでしょうか？系の仮定のほう
が素直でいいと思いますし、証明も全く補題１と変わらないと思うの
ですが。。。

102:１３２人目の素数さん
04/10/05 01:03:39
>>101
整列定理の証明では整列集合族｛Ｗλ｝から出発して
その和集合が再び整列集合となることを使う

103:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/06 21:03:55
>>102
そうなんですか。ありがとうございます。

104:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/06 21:04:39
p.110
「
このことに注意すれば、 W_0 も条件（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を
満たすことが容易に検証される。（読者はくわしく考えよ。）
」

（ⅱ）は明らか。

105:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/06 21:05:14
（ⅲ）

x を W_0 の元とし、 W_0 の中に直前の元 x_* を持つとする。
W_0 の定義により、（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす
A の部分集合 W 、 W' が存在して、
x ∈ W
x_* ∈ W'
となる。

W ⊂ W' または W’ ⊂ W が成り立つから、
（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A 部分集合
W'' が存在して、
x ∈ W''
x_* ∈ W''
となる、としてよい。

このことから、
x ＝ φ(x_*)
が成り立つことは明らか。

106:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/06 21:05:39
（ⅳ）

（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A の部分集合に、W_0
が含まれれば、何も証明することはない。よって、W_0 は上記集合
に含まれないと仮定する。

W_0 の元 x を x_0 と異なり、かつ W_0 の中に直前の元をもたない元
とする。
W_0 の定義から、（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A の部
分集合 W が存在して、x ∈ W となる。W ≠ W_0 であるから、
W ＝ W_0<x'> (for some x' ∈ W_0）とかける。
W ＝ W_0<x'> は(ⅳ)を満たすから、
(W_0<x'>)<x> ＝ W_0<x> の A における上限は、 x である。

107:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/06 21:58:13
ところで、p｡108 補題２なのですが、どう
やってこの見事な誘導尋問を考えついたの
でしょうか？

いきなり、思いつくようなものとも思えない
んですが。。。

まだ十分消化してないのでそう思うだけなの
かもしれませんが。。。

108:１３２人目の素数さん
04/10/06 21:59:01
ローマ数字はやめてくれよ

109:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/07 18:17:00
>>108
なぜですか？

p.111 定理６の証明なのですが、「この証明はある程度概略にとどめ、
細部は読者の補充にゆだねる。」と書いてあるのですが、どこが
概略なのでしょうか？

110:１３２人目の素数さん
04/10/07 22:56:15
>>109
ローマ数字は機種依存文字だから
表示できない環境が存在する可能性がある
だから使わない方がよい

111:１３２人目の素数さん
04/10/08 00:38:29
バファリン

112:１３２人目の素数さん
04/10/13 06:21:23
823

113:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/13 11:16:12
第３章だけでなく、第４章も徹底理解したいと思います。

114:１３２人目の素数さん
04/10/13 12:08:53
にゃーん

115:１３２人目の素数さん
04/10/18 04:00:01
194

116:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/20 23:01:27
ところでいま２章も読んでいるのですが，§３濃度の演算というのは，
これ以上に発展した内容はあるのでしょうか？

確かにうまく拡張されていて読んでいて気持ちいいところもあるのです
が，それが何の役に立つのか？と思ってしまうのも事実です．

117:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/10/20 23:04:25
ところで，
>>45
の問題が解けていないのですが，どなたかヒントを
お願いできないでしょうか？

118:あぼーん
あぼーん
あぼーん

119:１３２人目の素数さん
04/10/20 23:53:52
l　　　　 l |l　　 ! !　　l　　　ljL　ヽヽ　　　＼
　　 {　　　　 |! |　　　!|　　ﾄ、 __,ゝヽフ /ヽヽ　　ヽ
　　 !l　　　　lH　　　N　　ヽ´/7T 〒ﾐくノ　ヽﾄ、　ヽ
　　　lﾄ､_,､ ┬ヽﾆ二、　　　　ﾄｰ'　ﾟ　!´　ﾘﾊ
　　　　l　　ﾊﾆ! !_ )｡ヽ　　　　　､ヽニヌ｀　 / ｰ〉　Kingに、死を…
　　　　|　　|ハヽ｀辷タ､　　　　　￣　　　　　j｀´ l
　　　　l 　 l　ﾍ´' ｰ ´　ﾉ　　　　　　　　　　ハ　 l
.　　　 !　 |　　ﾊ　　　｀ヽ'　_　　　　　 /　ヽｰ!
　　　 !　 !　　　＼　　　｀ -´ 　　　／　　　,ゝ|
　　　　 l　 l　　　　/｀丶､　　　　　　／　　　／　 |
.　　　　 ',　l 　　 ,′　　ヽ7 ｰﾍ´　　,.　'´　　　 j
　　　　　ヽ l　　　l　　　 /　　　 j.　'´　　　　／ l
　　　　　　ヽ　　 ! 　　 /　ー　´　　　　　／　 , !
　　　　　　＼　 !　　ヽ、　　　　　　　　　　 / l

120:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/21 10:18:19
Re:>118 人のメアドを勝手に載せるな。
Re:>119 お前に何が分かるというのか？

121:１３２人目の素数さん
04/10/21 20:57:42
この本は文系でも読めますか？

122:１３２人目の素数さん
04/10/21 21:07:10
そういう質問する人はたぶん読めない。

123:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/21 21:09:29
Re:>121 人に聞く前にまず読んでみること。

124:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/21 21:47:14
Re:>123 お前誰だよ？

125:１３２人目の素数さん
04/10/26 18:38:44
354

126:１３２人目の素数さん
04/10/28 06:45:00
>>116
cardinal arithmeticでぐぐるのがおすすめ

URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)

もっともあまりこっちにはまると数学科の普通の先生からはエタヒニンのように
みられるので注意

127:１３２人目の素数さん
04/10/31 00:11:44
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128:１３２人目の素数さん
04/10/31 01:13:55
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129:１３２人目の素数さん
04/11/09 05:51:58
松坂さんってまだ生きてるの？

130:１３２人目の素数さん
04/11/09 06:00:43
牛になって喰われた

131:１３２人目の素数さん
04/11/09 06:02:59
死んじゃった？

132:１３２人目の素数さん
04/11/10 01:02:38
P25に、
写像を定義する前に全単射であることを証明している
ミラクルがあることについて。

133:１３２人目の素数さん
04/11/10 22:56:48
良くあることだよ。
佐武の本でも行列式の定義を述べる以前に
行列式を計算する問題がある。
以下あげればキリがなし。

134:１３２人目の素数さん
04/11/10 23:30:26
集合と位相　鎌田正良 (著)

うちのガッコの理学部数学科がこれ使ってる。
激しく糞本だと思うのだが。そして講師も・・・・

135:１３２人目の素数さん
04/11/10 23:44:49
クズには糞がお似合いだ！

136:１３２人目の素数さん
04/11/12 05:36:48
糞本なんて買わずに自分で良いと思う本を買って教科書かわりに使えばいいじゃん。
自分はそうしてるよ。

137:１３２人目の素数さん
04/11/12 05:47:48
その方法がうまく機能するには大学2年以上
じゃないと無理だな。私は大学1年の時の教科書が悪書だったので、
大いに時間を浪費した。それが悪書だと判ったのは2年になってからだ。

138:１３２人目の素数さん
04/11/12 05:53:29
>>132,133
というか、そういう数学書の「ミラクル」を挙げていくスレとか
結構面白そうに思うんだが。

139:１３２人目の素数さん
04/11/12 06:40:57
>>132
別に全単射という言葉は使ってないし、
全単射ってか、∀G∃!Γ... って命題なだけでしょ。
素数という言葉を定義せずに、
3が3と1以外の自然数で割り切れないこと(つまり素数であること)
を証明しても何の問題もないわけで、それと同じようなことかと。

>>138
それは確かに面白そうだ。

140:139
04/11/12 06:46:37
>>139
> 全単射ってか、∀G∃!Γ... って命題なだけでしょ。

∀Γ∃!G... 忘れてた。まあどっちにせよ(ry

141:１３２人目の素数さん
04/11/12 13:08:24
>>132と>>133がアホだというだけのことさ．．．

142:１３２人目の素数さん
04/11/14 17:00:11
>>141
なんで>>133まで入るの？

143:１３２人目の素数さん
04/11/14 18:48:28
>>142
あほレスに同意するレスはあほレス

144:１３２人目の素数さん
04/11/15 22:23:43
>>134
なんで糞だと思うか分からない。
簡潔にまとまった良書です。
数学科の学生が渡されるのは屈辱的ということなら分かる。

145:１３２人目の素数さん
04/11/21 14:42:01
771

146:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/11/21 18:59:52
志賀さんの「集合への３０講」，「位相への３０講」って分かりやすそう
ですけど，読んだ方はいますか？

147:（・３・）　エェー
04/11/21 21:42:49

148:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
04/11/21 21:44:47
（・３・）　エェー　間違えたYO
　　　　　　　　　　集合は読んだの中学生のときだからあやふやだけど特別に分かりやすくも無いYO
　　　　　　　　　　位相のほうは途中までしか読んでないけど結構いいNE

149:１３２人目の素数さん
04/11/22 00:11:47
つか、松坂で十分では？理解できないならともかく、１はそれなりに読めていると思うのだが。

150:１３２人目の素数さん
04/11/22 09:50:45
Construct a set A which is a subset of [0,1]×[0,1] and contains at most
one point on each horizontal and each vertical line and boudary of which
is [0,1]×[0,1].

151:１３２人目の素数さん
04/11/23 20:38:21
Q×Qを(0,0)中心にπ/3回転させた集合と[0,1]×[0,1]の共通部分、とか

152:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/11/24 21:19:28
>>151
なるほど，うまいですね．

153:１３２人目の素数さん
04/11/24 21:21:12
そんなもん馬鹿でも分かるよ

154:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/11/24 21:29:47
>>153
そうですか．

155:１３２人目の素数さん
04/11/24 21:33:56
いくらでもある。例えば{(x, y) | x + y = 有理数} とか。

156:1 ◆yyxoXJ2Wgo
04/11/24 21:43:13
>>155
それだと，
A contains at most one point on each horizontal
and each vertical line
の条件が満たされないのではないでしょうか？

157:１３２人目の素数さん
04/11/24 21:51:37
>>156
x + y = 有理数
のグラフは、 x + y = 1 に平行な直線が密に並んでいるグラフだから、
x, y の一方を任意に固定しても、 x + y が有理数になる点もなら無い点も密にある。

158:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:03:17
>>156-157
失礼
読み間違えていた

159:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:30:04
a を任意の無理数として、
x + y = 有理数、
x + ay = 有理数
だな。

160:１３２人目の素数さん
04/11/27 22:26:15
アホか

161:１３２人目の素数さん
04/11/28 02:21:50
x + 0 = x
x + a0 = x

162:１３２人目の素数さん
04/11/28 02:28:03
Can we construct a set A whitch meets conditions of >>150, and cardinarity of whitch is that of R

163:１３２人目の素数さん
04/11/29 11:46:49
>>162
選択公理を使えばできるけど、必要かどうかはすぐにはわからない。

164:１３２人目の素数さん
04/11/29 13:43:05
whitchじゃなくてwhich
気をつけなはれ

165:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
04/11/29 17:56:01
meets conditions
はどういうことなんだろう？

166:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
04/11/29 17:57:20
うむ、Exciteで翻訳してみたら、まっとうな日本語が出た。
少し頭おかしくなってきたか。

167:１３２人目の素数さん
04/11/29 22:24:40
頑張って英検３級を取得しよう

168:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
04/11/29 22:42:23
Re:>167 conditionという単語は英検三級程度では出ないだろう。

169:１３２人目の素数さん
04/11/29 22:53:24
ｽﾚﾘﾝｸ(saku2ch板)l50
ｽﾚﾘﾝｸ(saku板)l50
ｽﾚﾘﾝｸ(saku板)l50

170:１３２人目の素数さん
04/11/29 22:53:52
みなさん、２ちゃんねる専用ブラウザを使用して、「Re:>」をNGワードに設定しましょう。
「Re:>」をNGワードにすると偽者もあぼ～ん出来るし、他のトリップを使ってる人を無視しなくて済みます。
kingが名前をしょっちゅう変えるのは、NGワードに登録されてあぼ～んされるのを防ぐためらしいので、この方法が有効です。

171:１３２人目の素数さん
04/12/07 05:33:47
278

172:１３２人目の素数さん
04/12/14 04:31:24
725

173:１３２人目の素数さん
04/12/21 09:37:39
766

174:１３２人目の素数さん
04/12/23 19:56:40
354

175:１３２人目の素数さん
04/12/24 04:17:04
真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　～～～終了～～～
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

176:１３２人目の素数さん
04/12/29 04:21:46
集合と位相　鎌田正良 (著)

177:１３２人目の素数さん
05/01/02 09:48:50
284

178:１３２人目の素数さん
05/02/16 02:34:35
375

179:１３２人目の素数さん
05/02/21 20:10:08
395

180:１３２人目の素数さん
05/03/03 06:12:28
234

181:１３２人目の素数さん
05/03/03 06:51:32
東京理大生ら９人逮捕　振り込め詐欺で５０万円だまし取った疑い
　東京理科大学の学生ら９人が、振り込め詐欺の疑いで逮捕された。
　逮捕された東京理科大学４年・谷口風太容疑者ら９人は先月中旬、警察官などを装って「ご主人が追突事故を起こした」などと電話をかけ、兵庫県内の４９歳の女性から現金５０万円をだましとった疑い

理科大ざまあw

182:１３２人目の素数さん
05/03/14 00:11:09
559

183:１３２人目の素数さん
05/03/24 05:29:56
795

184:１３２人目の素数さん
05/04/05 22:55:40
601

185:１３２人目の素数さん
05/04/08 15:13:02
松坂先生の御本を利用している一門の方達に質問です。↓

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:497番)

186:１３２人目の素数さん
05/04/08 15:17:21
age

187:１３２人目の素数さん
05/04/08 22:51:41
>>185
(2.3), (2.3)' のすぐ上に書いてある (2.2), (2.2)' と、
(2.3), (2.3)' のすぐ下に書いてある文章が読めませんか？

188:１３２人目の素数さん
05/04/08 23:20:58
>>187　「(2.3), (2.3)' のすぐ下に書いてある文章」

それは導入された公理や定理に対する傍論（？）のような気が…。
定理に必要条件を避ける理由としては弱くない？

189:１３２人目の素数さん
05/04/09 01:58:48
>>187の「(2.3), のすぐ上に書いてある (2.2)」とは

　　　(2．2)　　A⊂A∪B　B⊂A∪B

>>187の「(2.3)のすぐ下に書いてある文章」とは（2．3）の十分条件の証明の
次に書かれてある文章のことで、以下

　　　(2．2)によって、A∪BはAをもBをも含む、他方(2．3)によって、
　　AをもBをも含む任意の集合は、A∪Bを含まなければならない。
　　その意味で、A∪BはA，B両方を含むような集合のうちで
　　’最小’のものである。

以上，他スレの住民のための補足

190:１３２人目の素数さん
05/04/26 20:26:04
age

191:１３２人目の素数さん
05/04/27 01:08:29
519

192:１３２人目の素数さん
05/05/11 22:20:17
この本で読むのに一番時間がかかるのってこの章なの？

193:１３２人目の素数さん
05/05/12 00:28:26
>>192
位相空間論が始まる章だからだと思う。

194:１３２人目の素数さん
05/05/12 04:49:46
615

195:１３２人目の素数さん
05/05/12 07:57:44
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　　　し'

ウフフ、可愛い坊や、いつまで耐えることができるかしら

196:さとみすと ◆yyxoXJ2Wgo
05/05/26 14:16:11
あれ？まだこのスレあったんだｗ

197:１３２人目の素数さん
05/06/01 04:58:46
QとQ＼{0}が同相であることを証明

198:１３２人目の素数さん
05/06/01 08:48:18
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ウフフ、可愛い坊や、いつまで耐えることができるかしら

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