関数方程式レッスド
at MATH
1:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:19
Cauchy 方程式
f(x+y)=f(x)+f(y) の解を求めて下さい。
2:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:26
f(x) = c
3:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:32
Hamel basis で変な関数が作れるらしい。
4:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:53
>>2
f(x) = cx と言いたかった?
5:１３２人目の素数さん
03/06/17 12:41
変分問題って関数方程式と言う？
6:１３２人目の素数さん
03/06/17 14:08
>>5
それは何、変分問題は常に関数方程式に還元できるかと言うこと?
方程式は常に変分問題になると先生は主張していたけど。
7:１３２人目の素数さん
03/06/17 14:44
なんだ、こりゃ！？
,,----、,,,,,,,,,､､ カリスマ２ちゃんねら〜の東京kitty様が７ゲット（＠ｗ荒
/ ,,-‐―、ヽヽヽヽ
〔/ ））））ヾヽヽ ニュー速愚民が嫉妬で顔を歪めながらのたうちまわってるよ！！（＠ｗぷ ＞２
/.,,,,、､ ,ヽξ＼Ξ/ 公判で泣きながらヲレに許しを請う姿が 楽しみだ（＠ｗぷ ＞３
/ ==/ .,==- レi! 一生無名で終わる雑魚名無したちがｳﾞﾁｷﾚたようだ（＠ｗぷ ＞４
〔、 ,(_,､ﾉ（ "",,ﾉ:: 6） 渋谷飛鳥と早く共演したいものだ（＠ｗ荒 ＞５
λ:" ‐＝‐＾ﾝ ...::::: |/ いや、かなりｶｯｺいいが？（＠ｗ荒 ＞６
λ:::::. .::.. ::...::::::/ λ じゃあまず「お前が死んで手本を見せろよ」と ＞８
＼::::::::::::::／/ . λ、 HNも出せないようなﾍﾀﾚが何を言っても説得力ないよ（＠ｗぷ ＞９
￣|￣ /~~￣⌒＼ おまえら死ねよ（＠ｗ荒 ＞１０−１００１
8:１３２人目の素数さん
03/06/17 20:27
はめる気？
9:ｄ
03/06/17 20:36
だ
10:１３２人目の素数さん
03/06/17 20:47
（・∀・）ﾊﾒﾙ!!
11:１３２人目の素数さん
03/06/26 21:14
f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y),
g(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
の解は？
12:mathmania ◆uvIGneQQBs
03/06/27 15:19
sinh(x+y)=(exp(x+y)-exp(-x-y))/2=(2exp(x)exp(y)-2exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)exp(y)-exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(y)-exp(-x)exp(-y)+exp(x)exp(y)+exp(x)exp(-y)-exp(-x)exp(y)-exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)+exp(-x))(exp(y)-exp(-y))/4+(exp(y)+exp(-y))(exp(x)-exp(-x))/4=sinh(x)cosh(y)+cosh(y)sinh(x)
cosh(x+y)=(exp(x+y)+exp(-x-y))/2=(2exp(x)exp(y)+2exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)exp(y)+exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(y)+exp(-x)exp(-y)+exp(x)exp(y)-exp(-x)exp(y)-exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)+exp(-x))(exp(y)+exp(-y))/4+(exp(x)-exp(-x))(exp(y)-exp(-y))/4=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)
よって、f=sinh,g=coshは[11]の解になる。
13:１３２人目の素数さん
03/06/27 17:33
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14:１３２人目の素数さん
03/06/27 17:35
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/ | ヽ＿_|_|
15: ◆14get.kr8M
03/06/27 17:55
あとちょっとでじゅうよんげっと
16:mathmania ◆uvIGneQQBs
03/06/27 17:59
関数方程式
xΓ(x)=Γ(x+1)
tan'(x)=1+(tan(x))^2
17:mathmanic
03/07/03 14:36
12>双曲関数の加法定理そのもんジャン（ｗ
18:１３２人目の素数さん
03/07/12 15:45
関数方程式の本で良いのないですか？
自分は Kuczma と Aczelの本しか知りません。
19:１３２人目の素数さん
03/07/27 18:42
任意の実数 x, y に対して
f(x+y) = { f(x) + f(y) }/2
が成り立つとき、f(x) は定数関数であることを示せ。
20:１３２人目の素数さん
03/07/27 19:01
f(x)が連続である、って条件は無いのか？
21:１３２人目の素数さん
03/07/27 22:13
普通、双曲関数っていうか？
22:１３２人目の素数さん
03/07/27 22:57
>>21
ぢゃぁなんていうの？ハイパボリック関数でつか？
はいぱぼりっくってそうきょくせんのことだよね(-＿-) ･･･
23:１３２人目の素数さん
03/07/27 23:52
>20
不要。
24:１３２人目の素数さん
03/07/28 01:03
>>19
x=x, y=0 を代入して終わりか。簡単だったな
25:１３２人目の素数さん
03/07/28 10:42
そうきょくせんかんすう。
26:この本どう？
03/07/28 19:23
G. Belitskii, V. Tkachenko,
One-dimensional Functional Equations
2003. 224 pages. Hardcover
ISBN 3-7643-0084-1
English
Operator Theory,vol.144
This monograph is devoted to the study of functional equations with
the transformed argument on the real line and on the unit circle.
Such equations systematically arise in dynamical systems, differential
equations, probabilities, singularities of smooth mappings, and other
areas. The purpose of the book is to present modern methods and new
results in the subject, with an emphasis on a connection between local
and global solvability. The general concepts developed in the book are
applicable to multidimensional functional equations.
Some of the methods are presented for the first time in the monograph
literature, in particular, a functional parametrization of local
mappings, the gluing of local solutions, and a decomposition method.
The book is addressed to graduates and researchers interested in
dynamical systems, differential equations, operator theory, or the
theory of functions and their applications.
Table of contents: Preface .- 1. Implicit Functions .- 2. Classification
of One-dimensional Mappings .- 3. Generalized Abel Equation .- 4. Equations
with Several Transformations of Argument .- 5. Linear Equations .-
Bibliography .- Index
27:１３２人目の素数さん
03/08/09 18:59
525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：03/08/09 02:32
(i) F(1,0,0,1)=1
(ii) F(ka,b,kc,d)=k*F(a,b,c,d)
(iii) F(a,b,c,d)=-F(b,a,d,c)
(iv) F(a+e,b,c+f,d)=F(a,b,c,d)+F(e,b,f,d)
を満たす関数F:R^4→Rを全て求めよ。
って問題が出てた。
28:１３２人目の素数さん
03/08/20 05:50
7
29:ムック剛
03/08/22 08:17
F(a,b,c,d)=F(a,0,0,d)+F(0,b,c,0)+F(a,b,0,0)+F(0,0,c,d)
=ad-bc+p(a-b)+q(c-d)
30:１３２人目の素数さん
03/08/30 22:23
f(x)が x=0 で微分可能で、
f(2x)=f(x+sin x)+f(x-sin x)
をみたすとき、f(x)=ax であることを示せ。
31:１３２人目の素数さん
03/08/30 22:40
やだ！
32:１３２人目の素数さん
03/08/30 22:44
>>30
質問は質問スレで
33:１３２人目の素数さん
03/08/30 22:55
>>30
f(0)=0,f(x+y)=f(x)+f(y)とできる。
34:１３２人目の素数さん
03/08/30 23:00
x+sinx=yとすると、その解は存在する。
この解のひとつをtとおくと、f(2t)=f(y)+f(t-sint)
sint=y-tから、f(2t)=f(y)+f(2t-y)
2t-yをxとおきなおすと、2t=x+yだから、f(x+y)=f(y)+f(x)なり。
蛇足スマソ
35:１３２人目の素数さん
03/08/30 23:35
x と y が独立でないような・・・
36:supermathmania ◆ViEu89Okng
03/09/12 16:52
Hamel basisで、変な関数を作れるらしいが、fが連続であるという条件を付けると、
f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=cなる関数はf(x)=cxしかない。なぜなら、有理数上でf(x)=cxになるからだ。
37:１３２人目の素数さん
03/09/12 21:57
関数f(x)は微分可能で,次の条件(1)(2)を満たしている
(1)f(x)≧x+1
(2)全ての実数hに対し,f(x+h)≧f(x)f(h)
f(x)を求めよ
解答はﾒｰﾙらん
38:１３２人目の素数さん
03/09/12 22:17
大昔の入試問題か？
39:１３２人目の素数さん
03/09/12 23:16
いや、オリジナル
多分求められると思う
当方高卒以上大学入学未満です
40:１３２人目の素数さん
03/09/21 03:03
R上で連続な関数fで、∀x,y f(x)+f(y)=f(√(x(y^2+1))+√(y(x^2+1)))を満たす物を全部求めよ。
R上で連続な関数fで、∀x,y f(x)+f(y)=f((x+y)/(1-xy)) (xy≠1)を満たす物を全部求めよ。
41:１３２人目の素数さん
03/10/14 07:57
9
42:１３２人目の素数さん
03/10/28 07:55
Aequationes Mathematicae という雑誌は
一流ですか？
43:１３２人目の素数さん
03/10/28 18:57
(?Д?)ヴ??ヴ?? ?勹?ス???
?????????ヴ??????
???????????????
うぉぐ！(*゜∀゜)〜????? ??ν?..._〆(゜▽゜*)??
(?Д?)ヴ??ヴ?? ?勹?ス???
?????????ヴ??????
???????????????
うぉぐ！(*゜∀゜)〜?????
??ν?..._〆(゜▽゜*)??
44:１３２人目の素数さん
03/11/10 07:30
3
45:１３２人目の素数さん
03/12/03 17:51
o
46:１３２人目の素数さん
03/12/03 18:16
o
47:１３２人目の素数さん
03/12/12 17:41
ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ
48:１３２人目の素数さん
03/12/24 05:57
6
49:１３２人目の素数さん
04/01/09 16:47
354
50:１３２人目の素数さん
04/01/15 20:46
654
51:１３２人目の素数さん
04/01/31 05:26
017
52:１３２人目の素数さん
04/02/03 01:27
53:１３２人目の素数さん
04/02/23 22:53
\ell
54:１３２人目の素数さん
04/03/07 01:24
934
55:１３２人目の素数さん
04/03/31 07:19
375
56:１３２人目の素数さん
04/04/06 11:06
229
57:１３２人目の素数さん
04/04/25 22:34
786
58:１３２人目の素数さん
04/05/02 15:56
hh
59:１３２人目の素数さん
04/05/02 16:28
なまなま
60:１３２人目の素数さん
04/05/09 03:45
184
61:１３２人目の素数さん
04/05/28 08:49
704
62:１３２人目の素数さん
04/06/02 04:01
226
63:１３２人目の素数さん
04/06/10 03:04
794
64:１３２人目の素数さん
04/06/17 00:25
ﾎｳｹｰｲ
65:１３２人目の素数さん
04/06/26 13:28
871
66:UltraMagic ◆NzF73DOPHc
04/07/04 09:03
x>0で定義される関数f(x)で、
f(x+1)=xf(x) for all x>0かつ、
fは連続関数
になるようなものは、ガンマ関数以外にありうるか？
67:ムック剛
04/07/04 09:30
>>66
いっぱいあるですよ。
実解析関数でもいっぱいある。
ガンマ関数に特定するには、さらに対数凸性が必要。
68:UltraMagic ◆NzF73DOPHc
04/07/04 10:18
Re:>67 それと、f(1)=1であること。
69:１３２人目の素数さん
04/07/26 05:23
842
70:１３２人目の素数さん
04/07/26 20:23
>>21
双曲関数も双曲線関数もどっちもあるみたい。
71:１３２人目の素数さん
04/07/26 20:25
>>67
対数凸性ってなんですか？
72:１３２人目の素数さん
04/08/03 07:59
584
73:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/08/03 08:07
Re:>71 元の関数に対数をかけたものが凸関数であること。
74:１３２人目の素数さん
04/08/03 12:00
>>66
f(x) = Γ(x)･g({x}), ここに{x}はxの小数部、g(0)=g(1)=1
75:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/08/03 12:03
Re:>74 うひょーっ！
76:１３２人目の素数さん
04/08/03 12:48
>>66
f(x) = Γ(x)･g(sin (2πx)), g(x) = x^2 + 1 等
77:１３２人目の素数さん
04/08/03 20:43
>>66
f(x) = Γ(x)･g(x), ここにg(x+1)=g(x) (周期函数)
78:１３２人目の素数さん
04/08/06 05:39
関数方程式の本を紹介してください、今でも売ってるやつで…
| _,.. -‐"／￣/ /| ￣ l ヽ ＼~`"'ー､ﾉ たのも〜♪
ｹﾌ" ／ / ,.-'‐￣/ .i .i ￣＼- ＼ ＼ヾ
/ ／.l l l .// / .／ l / ヾ iヽ i.＼ たのも〜♪
ノ | l l l Y ／"¨''ヽ .i / ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi. ﾘ
`ヽ r､ 丶l i` ﾚ | ｲ/"
＼ ヽ ヽ """ iー'ｰv' """ / '
ヽ ヾ- ゝ ._／ .／
/''"" ＼Ｙ.': ∧∧ ∧∧ｿ ｀"ヽ､
,ィ" ,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
/" ヾ,.-" 〜（ x）､ /（x ）〜 ｀丶、
／ /" ＼⊃U U y U U⊂／ ヽ
79:１３２人目の素数さん
04/08/06 11:49
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
80:１３２人目の素数さん
04/08/09 17:36
任意の実数x,yに対して、次をみたす定数関数でないfを求めよ。
f(x+y) = {f(x)+f(y)}/{1+f(x)f(y)}
微分可能って書いてないから、どうするんでせう？
81:１３２人目の素数さん
04/08/09 17:37
予想
はいぱぼりっくたんじぇんと
82:１３２人目の素数さん
04/08/09 17:52
>81ッ！ 君の意見を聞こうッ！
83:１３２人目の素数さん
04/08/09 18:50
最近、関数方程式が好きになりますた。
関数方程式の本（桑垣）で、こんなのを見つけましたが、
答えがないので、教えて下さい。
f(x+y+z)=f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x) を解け。
関数方程式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
84:１３２人目の素数さん
04/08/09 18:57
>83は f(x)≡0, f(x)≡1/3 だけですか？
85:１３２人目の素数さん
04/08/09 19:02
f(xyz)=f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x) は解けるのかなぁ？
自作自演 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
86:１３２人目の素数さん
04/08/09 19:19
では私も桑垣から。
f (x + y) = g (x) + h (y)
87:１３２人目の素数さん
04/08/09 19:31
>85も f(x)≡0, f(x)≡1/3 でしたな。
桑垣の復刊をキボンヌ。
＿＿＿
.／ f(x) ＼ 関数不等式ヲタ発見！
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ
88:１３２人目の素数さん
04/08/09 19:39
>>85
f(x)≡0, f(x)≡1/3 だけ
変数のlogを取れば本質は同じ
89:１３２人目の素数さん
04/08/09 19:44
関数不等式
log(x+y) < (log x)(log y)
とか？
90:１３２人目の素数さん
04/08/09 19:57
>>87
図書館にあるだろ。
大したこと(深いこと)は書いてない本だよ。
高校生向き。
91:１３２人目の素数さん
04/08/09 20:39
>>80
与えられた関数方程式を満たす定数でない連続関数 f(x) を求める。
f(0)=2f(0)/(1+f(0)^2) より、f(0)=0,1,-1.
f(0)=1 とすると、1=f(0)=f(x+(-x))=(f(x)+f(-x))/(1+f(x)f(-x)) より、
(1-f(x))(1-f(-x))=1-f(x)-f(-x)+f(x)f(-x)=0
ゆえに、f(x)=1 または f(-x)=1 が成立する。
したがって、0 の近傍に値 1 を取る点が稠密に存在するので、
f(x) は 0 の近傍で恒等的に 0.
ところが、f(a)=1 ならば f(2a)=2f(a)/(1+f(a)^2)=1 なので、
f(x) は恒等的に 1 となってしまう。
f(x) は定数ではないので、f(0)≠1.
同様にして、f(0)≠-1 も証明できる。
したがって、f(0)=0 でなければならない。
f(0)=0 であり、f(x) は値 ±1 をとらないことから、中間値の定理より -1<f(x)<1.
g(x)=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))} とおく。
1-f(x)>0 より、g(x) は全ての実数で定義された連続関数である。
g(x+y)=1/2log{(1+f(x+y))/(1-f(x+y))}
=1/2log{(1+f(x)+f(y)+f(x)f(y))/(1-f(x)-f(y)+f(x)f(y))}
=1/2log{(1+f(x))(1+f(y))/(1-f(x))(1-f(y))}
=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))}+1/2log{(1+f(y))/(1-f(y))}
=g(x)+g(y)
g(x+y)=g(x)+g(y) と g(x) が連続であることより、g(x)=cx となる c がある。
1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))}=cx を解いて f(x)=(e^(cx)-e^(-cx))/(e^(cx)+e^(-cx))
92:１３２人目の素数さん
04/08/09 20:49
g(x)=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))} の部分が天下り的だと思うのは漏れだけか？
93:１３２人目の素数さん
04/08/09 20:49
うはっ！ ありがとうございます。
g(x)を自力では見つけられそうにないです。
94:93
04/08/09 20:53
上のほうで tanh と書いてあったので、
試行錯誤して、g(x+y)=g(x)g(y) をみたすように
g(x)=(1+f(x))/(1-f(x)) とおいてやりました。
95:１３２人目の素数さん
04/08/09 20:56
f’（0） の存在がわかれば
f’（x）＝f’（0）［1-｛f（x）｝^2］ が出て簡単なんだけどね。
96:１３２人目の素数さん
04/08/09 20:58
ところで
f(xyz)=f(x)f(y)f(z)+f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x)+f(x)+f(y)+f(z)
をみたす関数が f(x)≡0 以外に見つけられないんですが、教えて下さい。
左辺が f(x+y+z) の場合は、f(0)の値で場合分けして何とか解けましたが、
この場合の解は、間違ってなければ…
f(x)=e^(ax)-1、 f(x)≡-1、 f(x)=-e^(ax)-1
97:１３２人目の素数さん
04/08/09 20:58
>>94
おみそれしますた。
98:１３２人目の素数さん
04/08/09 20:58
では、桑垣に無い有名難問
R 上の定数でない実連続関数で、
f (x) + f (2x) + f (3x) = 0
を満たすものを一つ求めよ。
99:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:08
>98
有名問題ですか…、さっぱり分かりません。
ほかにもあったら、もっと教えて下さい。ﾊｧﾊｧ…
100:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:10
>>96
g(x)=f(log x)
ってしてみてごらん
101:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:12
>>100
逆でしたまあいいか
102:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:17
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ｳﾋｮｯ！
そんな手があるんですね。
gが f(x+y+z)= の等式をみたすから、解は…
f(x)=e^(a(e^x))-1、 f(x)≡-1、 f(x)=-e^(a(e^x))-1
103:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:18
(；ﾟдﾟ) …
104:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:20
>>96>>100>>101
関数の定義域は与えられているのか自分d決めるのか?
105:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:22
定義域は実数でやってます
106:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:27
>96を g(x)=f(e^x) としても、f(x+y+z)= をみたすから
f(x) = x^a-1, -1, -x^a-1
となりますか…。>102の結果と同じ？
107:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:30
あぁそうか、g(x)=f(log x) だと
g(x+y+z) = f(log(x+y+z)) で、みたさないのか…
,､|,､
(f⌒i
U j.|
UJ
：
‐＝‐
108:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:38
>>98
[1,3]をf(1)+f(2)+f(3)=0となるような連続関数として決めたら、あとは帰納的に全部決まるんじゃ？
1<x方向へは、まずf(x)=-{f(x/3)+f(2x/3)}で2x/3=3までつまりx=9/2まで決まる
次は2x/3=9/2つまりx=27/4まできまる・・・・
x<1方向へは、まずf(x)=-{f(2x)+f(3x)}で2x=1までつまりx=1/2まで決まる
次は2x=1/2までつまりx=1/4まできまる・・・・
そうか、f(0)=0で連続になるようにするわけか
それは[1/2,1]での関数の値域が[1,3]でのそれよりも狭くなればいいわけだ
109:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:41
>>102
そのg(x)が定数関数だからf(x)は？
110:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:46
定義域の問題もあるのか…
g(x)=f(e^x)とおくには、fの定義域が正の実数でないとダメか…
111:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:56
このスレ、積分方程式もOKですか?
112:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:58
>>108
だからどうしたのよ
定数以外にあったのか？
113:１３２人目の素数さん
04/08/09 21:58
この場合は f(x) が解ならば f(-x) も解なので g(x)=f(-e^x) とおくことができます。
114:１３２人目の素数さん
04/08/09 22:02
>>110
g(x)=f(-e^x)でもいいよ
115:１３２人目の素数さん
04/08/09 22:05
>111
積分方程式もOKです。とにかくﾊｧﾊｧ…
>113
>f(x) が解ならば f(-x) も解なので
この部分が分かりません。お願いします、
116:１３２人目の素数さん
04/08/09 22:09
>>115
f(-xyz)=f((-x)(-y)(-z))=f(-x)f(-y)f(-z)+f(-x)f(-y)+f(-y)f(-z)+f(-z)f(-x)+f(-x)+f(-y)+f(-z)
117:１３２人目の素数さん
04/08/09 22:13
>>115
>113
>f(x) が解ならば f(-x) も解なので
この部分が分かりません。お願いします
＞>f(x) が解ならば f(-x) も解なので
＞この部分が分かりません。お願いします
f (0) = 0 はすぐ出るから、
x が正の場合と不の場合に独立に考えてよいということ
118:１３２人目の素数さん
04/08/09 22:19
なるほど、定義域が正の数で求めた解 (>106)
f(x) = x^a-1, -1, -x^a-1
について、F(x)=f(-x) を考えると、Fも関数方程式をみたすから解だと…。
気になるのは、f(x+y+z)=… の解を求めるときに、fは連続だとして求めたので、
x<0のときは、上の解は、aが偶数じゃないとヤバイ？
119:１３２人目の素数さん
04/08/09 22:43
f(x)≡0も解
120:１３２人目の素数さん
04/08/09 22:57
f(x)≡0 は f(x) = x^a-1 に含まれてるじゃん。だめぽ漏れ
121:１３２人目の素数さん
04/08/10 06:09
>>108
それだけでは恒等式は満たされない
122:１３２人目の素数さん
04/08/10 09:12
>98を解説してください。
| _,.. -‐"／￣/ /| ￣ l ヽ ＼~`"'ー､ﾉ たのも〜♪
ｹﾌ" ／ / ,.-'‐￣/ .i .i ￣＼- ＼ ＼ヾ
/ ／.l l l .// / .／ l / ヾ iヽ i.＼ たのも〜♪
ノ | l l l Y ／"¨''ヽ .i / ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi. ﾘ
`ヽ r､ 丶l i` ﾚ | ｲ/"
＼ ヽ ヽ """ iー'ｰv' """ / '
ヽ ヾ- ゝ ._／ .／
/''"" ＼Ｙ.': ∧∧ ∧∧ｿ ｀"ヽ､
,ィ" ,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
/" ヾ,.-" 〜（ x）､ /（x ）〜 ｀丶、
／ /" ＼⊃U U y U U⊂／ ヽ
123:１３２人目の素数さん
04/08/10 09:14
発掘品を。
f(x+y+z)-f(x+y)-f(y+z)-f(z+x)+f(x)+f(y)+f(z)=0
124:１３２人目の素数さん
04/08/10 10:42
>>123
「桑垣」に典型例として載っている。
125:１３２人目の素数さん
04/08/10 10:48
>>123
「桑垣」には、
f(x+y+z)-f(x+y)-f(y+z)-f(z+x)+f(x)+f(y)+f(z)- f(0) =0
の形で載っていたから、 f(0)=0 として終わり。
126:１３２人目の素数さん
04/08/10 11:04
たとえば f(x)=x とか f(x)=x^2 も満たしていますが…
127:１３２人目の素数さん
04/08/10 11:05
桑垣ッ！ 君の意見を聞こうッ！
､ ‐;､
_,..rｰ' ｀``ヾヽ`､ﾉ i,, ､
i､|` ⌒ヾ ､`､／ ノi ‐'ｿ
ﾄ､/ =｀ヽ //／__ ヽ ￣ヽ
'ｧl! / ､､ i 〃, ‐､ ヽ |‐､ヾ ｀)
{i/,ﾉ | r=---‐ｧ |__{. { ､､ il>′
{/ ,ﾉノ !|..:::. .:'）ﾉ li; } l/ lヽ
r''v‐'- .,,`＿::_＿,. -‐''iノ 丶｀ヽ
|{i ト ､;::: :::::;>‐<:::::: ;ィ′`''i ヽ, l
l>,i l ￣ ,:::l;:'￣l |、 ヽ |! |
O'ri!l | ､;/ '/ `O ,!ﾉ /
|＼ヽ -===-‐ /ﾉ! く ｣'′
l｀`ヽ､＼ 'T'' /／! _ﾉﾉ
|;;|｀`'〒,ヽ ＿,/'i'´ |､
,. ィ|;;`;;,､_|;;;;;;;;;|||;;;;;| _,.|└;_
,.. ィ"i l ヽ'､ ;;;;;;;:;;;;|||;;;;;;'／;//;;;ヽ、
─-､‐''"´;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ヽ,` ｀`'''-､;○／;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;`''ｰ-=＝'''ヽ、
128: ◆BhMath2chk
04/08/10 13:30
>>91
０≦ｘのときｆ（ｘ）＝１であればｆ（ｘ）＝１またはｆ（−ｘ）＝１になる。
ｆ（ｘ）が−１と１にならないことの証明がない。
ｆ（ａ）＝１のとき
ｆ（ｘ）
＝ｆ（（ｘ−ａ）＋ａ）
＝（ｆ（ｘ−ａ）＋ｆ（ａ））／（１＋ｆ（ｘ−ａ）ｆ（ａ））
＝（ｆ（ｘ−ａ）＋１）／（１＋ｆ（ｘ−ａ））
＝１。
129:１３２人目の素数さん
04/08/10 17:30
なるほど。
130:１３２人目の素数さん
04/08/10 17:32
f(xy-zw)=f(x)f(y)-f(z)f(w) をみたす連続関数fは、
f(x)=ax (aは任意定数) でよろしいでせうか？
131:１３２人目の素数さん
04/08/10 22:35
>130
ちがった、f(x)=x, f(x)≡0 だけか
132:１３２人目の素数さん
04/08/10 22:46
>>98は周期関数を使わないとできそうにないと思うが．．．
133:１３２人目の素数さん
04/08/10 22:49
では三角関数を使うのかな？
134:１３２人目の素数さん
04/08/11 05:16
>>98の問題について、
URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
の一番下の(注)に解答の指針が書いてあった。
誰か具体的に計算してみてくれ
135:１３２人目の素数さん
04/08/11 09:31
むずかしいぽよ
○|￣|_ =３ ブッ
136:１３２人目の素数さん
04/08/11 14:05
>>134
これはちょっとexplicitに表せてないんですっきりしな罠。
137:１３２人目の素数さん
04/08/11 14:57
＿＿_
,∠==､ヽ `i'ｰ- .
/ ヽ| ｢｀'ｰ､`ｰ､
l ﾐ| / `ｰ､ヽ ････ｺﾞﾒﾝﾅｻｲ
j R|ｲ ｰ-､. ﾉ7┐
`Vﾊﾊﾊ/ヽ.｢~￣ ｀''ｧf‐┘
. `､ }ｰ-`､__..._／::l
`|:::::::|ヽ／l:;:;:;|
. |::::::::l:::::::::::::::l
. l::::::::l:::::::::::::::l
l:::::::::l::::::::::::::l
l;::::::::{:::::::::::::l
`iiiiiiiﾊiiiiiiiij´
∠-､ﾚ'ヽ〃〕
138:１３２人目の素数さん
04/08/11 20:39
>>123-125
「桑垣」に
ｘ の高々二次関数と書いてある。
関数方程式を論ずるなら。、
桑垣アキラ、函数方程式概論、朝倉
ぐらいは読んでおけ。
139:１３２人目の素数さん
04/08/12 00:15
f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) をみたす関数f(x)をすべて求めよ。
ただしｆ（ｘ）は実数全体で定義され、実数値をとる。（高１レベル）
140:１３２人目の素数さん
04/08/12 04:26
>>139
＞f(x+y)=f(x)+f(y)
は既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出
141:１３２人目の素数さん
04/08/12 09:12
>139
荒らすな、氏ね！
142:１３２人目の素数さん
04/08/12 09:31
r;ｧ'N;:::::::::::::,ｨ／ >::::::::::ヽ
. 〃 ヽﾙ1'´ ∠:::::::::::::::::i
i′ ___, - ,. = -一 ￣ｌ:::::::::::::::ｌ
. ! , -＝=､´r' l::::::/,ﾆ.ヽ >>139
ｌ _,, -‐''二ゝ ｌ::::l fﾞヽ |、 ここはお前の日記帳じゃねえんだ
ﾚー-- ､ヽヾﾆ-ｧ,ﾆ;＝、_ !:::l ） } ト
ヾ¨'７"ry､｀ ｰﾞ='ニ,,,｀ }::ヽ(ノ チラシの裏にでも書いてろ
:ｰゝヽ､ !´ "￣ 'l,;;;;,,,.、 ,i:::::::ﾐ
::::::::::::::::ヽ.-‐ ﾄ、 r'_{ __)｀ニゝ、 ,,iﾘ::::::::ﾐ
::::::::::::::::::::Vi／l:::V'´;ｯ`ﾆ´ｰ-ｯ-,､:::::`"::::::::::::::;ﾞ , な！
:::::::::::::::::::::::::N. ﾞ､::::ヾ,.｀二ﾆ´∠,,.i::::::::::::::::::::/／／
:::::::::::::::::::::::::::::l ヽ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::／ ／
::::::::::::::::::::::::::::::! :|.＼;::::::::::::::::::::::::::::::／ ／
143: ◆BhMath2chk
04/08/12 13:00
>>83
ｘ＝０，ｙ＝０，ｚ＝０としてｆ（０）＝０，１／３。
ｙ＝０，ｚ＝０としてｆ（ｘ）＝ｆ（０）＾２／（１−２ｆ（０））。
144:１３２人目の素数さん
04/08/12 23:29
>>140
f(xy)=f(x)f(y)がついているのは既出ではないんでは
145:１３２人目の素数さん
04/08/12 23:30
いまさらだが「レッスド」って耳新しいな。
146:１３２人目の素数さん
04/08/13 17:58
次をみたす連続関数fを求められませぬ。
たのもー、たのもー
f(xy) = {a{f(x)f(y)}+1} / {f(x)+f(y)}
147: ◆BhMath2chk
04/08/13 19:00
>>1の解は>>123の解になる。
148:１３２人目の素数さん
04/08/14 10:31
>146を解説してください。
| _,.. -‐"／￣/ /| ￣ l ヽ ＼~`"'ー､ﾉ たのも〜♪
ｹﾌ" ／ / ,.-'‐￣/ .i .i ￣＼- ＼ ＼ヾ
/ ／.l l l .// / .／ l / ヾ iヽ i.＼ たのも〜♪
ノ | l l l Y ／"¨''ヽ .i / ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi. ﾘ
`ヽ r､ 丶l i` ﾚ | ｲ/"
＼ ヽ ヽ """ iー'ｰv' """ / '
ヽ ヾ- ゝ ._／ .／
/''"" ＼Ｙ.': ∧∧ ∧∧ｿ ｀"ヽ､
,ィ" ,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
/" ヾ,.-" 〜（ x）､ /（x ）〜 ｀丶、
／ /" ＼⊃U U y U U⊂／ ヽ
149: ◆BhMath2chk
04/08/14 11:10
方程式から簡単な関係を出すために
同じものが出るように代入する。
ｆ（ｘ）とｆ（ｙ）とｆ（ｘｙ）がある場合は
ｘ＝ｙかｘ＝ｘｙかｙ＝ｘｙとなるようなものを代入する。
150:１３２人目の素数さん
04/08/14 19:55
>>146
定数関数しかないじゃん
151:１３２人目の素数さん
04/08/14 20:07
>150
それはどうかな、明智君！
aの値で場合分けするのは当然として、
鼻クソほじくって、よく考えろ！
152:１３２人目の素数さん
04/08/14 20:54
y = 1 と置くとおのずと･･･
153:１３２人目の素数さん
04/08/14 20:55
f(1)をまず求めにゃあかん
154:１３２人目の素数さん
04/08/14 21:06
>>146
f(xy) のように、f の中に一次式以外のものが入ってきたら
定義域を決めるのが普通。
f(xy) = f(x) + f(y)
のように。この場合はどこで考えているのかな。
x > 1000000000 かな?
155:１３２人目の素数さん
04/08/14 21:43
それも含めて考えろと言う問題なんじゃない？
156:１３２人目の素数さん
04/08/15 04:43
関数方程式って一般論無いの？
157:１３２人目の素数さん
04/08/15 07:52
有る分けないがな
分類なら｢一般論｣はあるが。
158:１３２人目の素数さん
04/08/15 08:13
ちょっと思いついた方法が、たとえばf,gを超幾何関数だと仮定して代入、
両辺を簡約化してf,gを具体的に出すとか。
これで何でも解けるとは思えないけど。
159:１３２人目の素数さん
04/08/15 08:15
URLﾘﾝｸ(www.kudpc.kyoto-u.ac.jp)
こーゆーの使ってね。
関数方程式でも、クラスを限定すれば結構一般的解法はあるんじゃないかなぁ。
160: ◆BhMath2chk
04/08/15 09:00
>>146
ａ≠１のときｆ（ｂ）≠ｆ（ｃ）となるｂ，ｃをとり
ｆ（ｂ（ｃｘ））＝ｆ（ｃ（ｂｘ））を展開する。
161:１３２人目の素数さん
04/08/15 21:53
>>146
f(xy) = {a{f(x)f(y)}+1} / {f(x)+f(y)}
定義域が正の数に限るなら、
g (x) = f(e^x) と置いて一般加法定理に帰着。
162:１３２人目の素数さん
04/08/16 01:50
Meijer G Functionに有理数乱数を代入して関数テーブルを作り、
片っ端から関数方程式に代入というのを考えた。
163:１３２人目の素数さん
04/08/16 01:59
URLﾘﾝｸ(documents.wolfram.com)
ね、たいていの関数方程式に出てきそうな関数は全部Meijer G Functionで
表せる訳よ。
引数ベクトルを指定して乱数成分とかを与えれば、ある限定されたクラスの
関数を全て網羅するテーブルが生成できることになる。
んでそいつを代入。
164:１３２人目の素数さん
04/08/16 12:14
桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣
165:１３２人目の素数さん
04/08/16 22:35
>>164
桑垣にMeijer G Functionを使った方法が出てるのか？
166:１３２人目の素数さん
04/08/17 03:38
>146
a=1のとき, f(x) = coth[(c/2)Log(x)] = (x^c -1)/(x^c +1), c:定数.
167:１３２人目の素数さん
04/08/18 21:33
f(x)+f(1/x)=c, cは定数
略解ぐらい欲しいものだ＞桑垣
168:１３２人目の素数さん
04/08/18 22:18
>167
f(x) = c/2 + b*Log(x), b,c:定数
169:１３２人目の素数さん
04/08/19 00:26
>168様。
一体どうやって解くのでしょうか？
この愚か者めに教えてちょんまげ！
170: ◆BhMath2chk
04/08/19 07:00
ｆ（ｘ）＝ｃ／２＋（ｘ−１／ｘ）ｇ（ｘ＋１／ｘ）。
171:１３２人目の素数さん
04/08/19 13:01
解き方を教えろっちゅーに。
172:１３２人目の素数さん
04/08/19 13:10
>170
前から気になるのだが、BhMath2chk の意味を教えれ！
Bh … 意味不明。
Math2chk … これは分かる、2ch数学板ｷﾗｰ、つまり「数ヲタ殺し」だな。
173:１３２人目の素数さん
04/08/19 13:29
>168
正しい答えは こうじゃないかね？ ゴゴゴゴゴ…
f(x) = c/2 + b*Log|x|, b,c:定数
丈太郎ッ！ 君の意見を聞こうッ！
174:１３２人目の素数さん
04/08/19 14:21
それは証明と、
定義域がそこに行き着いた
理由を聞いてから。
175:１３２人目の素数さん
04/08/19 15:03
ある関数方程式を解いていて、
任意の実数xに対して f(2x)=f(x) をみたす f(x) は
定数関数に限りますよね？
176:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/08/19 19:04
Re:>175 0でのみ異なる値をとる関数というのもある。他にもたくさんある。
177:１３２人目の素数さん
04/08/19 19:10
>>175
そうでもないよ。ディリクレ関数なんかは違うと思うが。
178:１３２人目の素数さん
04/08/19 20:29
>>175
連続ならそれのみだが、それ以外に沢山有る。
179:１３２人目の素数さん
04/08/20 09:46
>>175
区間 (-2, -1], {0}, [1, 2) で f を任意に定めれば
f(2x)=f(x) を満たす f が一意に定まる。
180:１３２人目の素数さん
04/08/21 12:08
>>167
f(x) = c/2 +{h(x)-h(1/x)}･g(x+1/x).
181:１３２人目の素数さん
04/08/21 20:41
だめだこりゃ
182:１３２人目の素数さん
04/08/22 01:22
レッスド だからな。
183:１３２人目の素数さん
04/08/24 16:53
f(x+y) = {f(x)}^2+f(y) …(1) をみたす実関数fを求めよ。
(1)に x=0を代入して f(0)=0
(1)に y=0を代入して f(x)={f(x)}^2 …(2)
(2)から、各xについて f(x)=0 または f(x)=1が成り立つ.
fの連続性が仮定されていなかったら、f(x)≡0 または f(x)≡1 は出せませんよね？
184:１３２人目の素数さん
04/08/24 18:39
>>183
f(x)≡0
はでてくるがな
185:１３２人目の素数さん
04/08/24 22:49
がながな
186:１３２人目の素数さん
04/08/25 03:52
関数方程式を解く仮定で、x=0 とか x=y を代入して、
既知の関数方程式に帰着させたりして解くけど、
得られた解は必要十分でしょうか？
元々の関数方程式を満たすことを確認して完成でしょうか？
187:１３２人目の素数さん
04/08/25 09:15
いや十分ではない。
f(x+y)=x+2y
には解はない。
188:１３２人目の素数さん
04/08/25 15:47
なるほど、ありがとうございます
189:１３２人目の素数さん
04/08/30 06:09
関数方程式にハマってしまった。パズルみたいだからかな？
任意の実数x,yに対して、次をみたす関数fを求めよ。
(1) f(x+y) = f(x)f(y)f(xy) [INMO 2001]
(2) f(xy){f(x)-f(y)} = (x-y)f(x)f(y) [IMO shortlist 2001]
| _,.. -‐"／￣/ /| ￣ l ヽ ＼~`"'ー､ﾉ たのも〜♪
ｹﾌ" ／ / ,.-'‐￣/ .i .i ￣＼- ＼ ＼ヾ
/ ／.l l l .// / .／ l / ヾ iヽ i.＼ たのも〜♪
ノ | l l l Y ／"¨''ヽ .i / ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi. ﾘ
`ヽ r､ 丶l i` ﾚ | ｲ/"
＼ ヽ ヽ """ iー'ｰv' """ / '
ヽ ヾ- ゝ ._／ .／
/''"" ＼Ｙ.': ∧∧ ∧∧ｿ ｀"ヽ､
,ィ" ,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
/" ヾ,.-" 〜（ x）､ /（x ）〜 ｀丶、
／ /" ＼⊃U U y U U⊂／ ヽ
190:１３２人目の素数さん
04/08/30 17:21
＿＿＿
.／ nCr ＼ 神降臨まだぁ〜
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
191:１３２人目の素数さん
04/08/30 22:58
>>189
(2) f(x)≠0ならばy=1を代入して、
f(x)(f(x)-f(1))=(x-1)f(x)f(1)
両辺をf(x)で割って
f(x)-f(1)=(x-1)f(1)
よって
f(x)=cx
192:１３２人目の素数さん
04/08/31 01:26
>189(2)
y=1 を代入して f(x){f(x)-xf(1)}=0
各xに対して、f(x)=0 または f(x)=xf(1) が成り立つ。
fの連続性が仮定されているならば、f(x)=ax (aは任意定数) が解。
連続性が仮定されてないから、どうやればよいのか…
193:１３２人目の素数さん
04/08/31 02:56
わからんちん
194:１３２人目の素数さん
04/08/31 03:06
>192から続けると、
「各xに対して、f(x)=0 または f(x)=xf(1) 」
どちらの場合にも f(0)=0 が成立。
f(c)=0 をみたす c≠0 が存在しないとき、
f(x)=xf(1) より f(x)=ax, a≠0 を得る。
f(c)=0 をみたす c≠0 が存在するとき、
与式に y=c を代入して f(cx)f(x)=0 が任意のxに対して成り立つ。
「各xについて、f(cx)=0 または f(x)=0」
これから f(x)≡0 が言えれば楽なのだが…。
195:１３２人目の素数さん
04/08/31 04:06
>>189(1) f(x+y)=f(x)f(y)f(xy)
与式に x=y=0 を代入して f(0)={f(0)}^3 より、f(0)=0,1
f(0)=0 のときは、与式に y=0 を代入して f(x)≡0
f(0)=1 のとき…、どうするんだろう？
196:１３２人目の素数さん
04/08/31 04:13
>>194
c≠0 を勝手な定数としたとき、
f(x)= cx (x≧0 のとき), 0 (x<0 のとき)
とか、
f(1)=c, f(x)=0 (x≠0 のとき)
はこの関数方程式の解なので、一筋縄ではいかないみたい。
一般に、乗法群 R-{0} の部分群 S が与えられたとき、
f(x)=cx (x∈S のとき), 0 (x∈S でないとき)
も解だけれど、これが答？
197:196
04/08/31 04:15
> f(1)=c, f(x)=0 (x≠0 のとき)
f(1)=c, f(x)=0 (x≠1 のとき)
198:１３２人目の素数さん
04/08/31 05:02
>189(2) の IMO shortlist は解答をwebで晒してないのかなぁ？
自分は よう見つけられなんだけど…。
>195
>f(0)=1 のとき…
もしf(a)=0をみたすa≠0が存在するとすると、
与式にy=aを挿入して、任意のxに対しf(x+a)=0が成り立つことになるが、
x=-aのときf(0)=0となって仮定に反する。
とりあえず、f(0)=1のときには、fは0にならない。
これが分かっても、なんにもならんなぁ…、だめぽ
199:１３２人目の素数さん
04/08/31 06:21
>195
>与式に x=y=0 を代入して f(0)={f(0)}^3 より、f(0)=0,1
f(0)=0,1,-1 だった。
結局、答えは f(x)≡0,1,-1 になりそうな予感。
200:１３２人目の素数さん
04/08/31 07:01
問題 f(f(x)+y)-f(f(y)-x)=2x をみたす実関数f(x)
201:１３２人目の素数さん
04/08/31 07:25
>196 は正しいみたい。
必要条件を示す。f(1)=c≠0 のときを考える。
>194 より、f(x)≠0 と f(x)=cx は同値となることに注意する。
S={x∈R | f(x)≠0} とおくと、S は乗法に関し群となることを示す。
0) 1∈S は f(1)=c≠0 より明らか。
1) x,y∈S かつ x≠y ならば xy∈S となること。
f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y) の右辺≠0 より、f(xy)≠0.
2) x∈S ならば 1/x∈S となること。
x=1 ならば 1/x=1∈S なので、x≠1 としてよい。
f(1)(f(x)-f(1/x))=(x-1/x)f(x)f(1/x) である。
ここで、f(x)-f(1/x)=c(x-1/x) または f(x)-f(1/x)=cx であるが、
いずれの場合も f(x)-f(1/x)≠0 なので f(1/x)≠0 となる。
3) x∈S ならば x^2∈S となること。
この場合も x≠1 としてよい。
f(x)(f(1/x)-f(x^2))=(1/x-x^2)f(1/x)f(x^2) であるが、
2) より f(1/x)≠0.
f(1/x)-f(x^2)=c/x または f(1/x)-f(x^2)=c(1/x-x^2) だがx≠1 より
1/x-x^2≠0 なので f(1/x)-f(x^2)≠0. したがって左辺≠0 なので f(x^2)≠0.
0)-4) により、S は乗法に関し群となることがわかった。
202:１３２人目の素数さん
04/08/31 21:57
(1) f(f(x)+x) = f(x)
(2) f(f(x)+y) = f(x)+f(y)
203:１３２人目の素数さん
04/09/01 00:28
>189 (2)
f(a)=0 となる a が存在すれば、任意の x に対し f(x)=f(a)f(x-a)f(a(x-a))=0 となる。
そこで、f(x)=0 となる x が存在しない場合を考える。
f(x) が解のとき g(x)=-f(x) とおくと、
g(x+y)=-f(x+y)=-f(x)f(y)f(xy)=(-f(x))(-f(y))(-f(xy))=g(x)g(y)g(xy)
より、g(x) も解となるので、f(0)>0 となる解を決定すればよい。
f(0)=f(0)^3 より、f(0)=0, ±1 なので、f(0)=1 である。
f(x-1)=f(x)f(-1)f(-x)=f(-(x+1)) より、f(-2)=f(0)=1.
一方、f(x+1)=f(x)f(1)f(x)=f(1)f(x)^2 より
f(0)=f(1)(f(1)f(-2)^2))^2=f(1)^3f(-2)^4=f(1)^3 なので f(1)=1 である。
したがって f(x+1)=f(x)f(1)f(x)=f(x)^2 なので、
任意の x に対し、f(x)>0 であり 任意の整数 n に対し、f(n)=1 となる。
f(x)=f(x+1)f(-1)f(-x-1)=f(x)^2 f(-x-1) なので f(x)f(-x-1)=f(x)√f(-x)=1.
よって f(-x)=1/f(x)^2. x に -x を代入して f(x)=1/f(-x)^2=f(x)^4 なので f(x)=1.
したがって、f(0)>0 となる解は f(x)≡1 に限り、f(0)<0 となる解は f(x)≡-1 に限る。
204:１３２人目の素数さん
04/09/01 04:45
>>203 なるほど、そうやるのか！
さすがです。ありがとうございます。
＿＿＿
.／ nCr ＼ 神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
205:１３２人目の素数さん
04/09/01 04:57
>202 (1)
f(f(x)+x) = {f(x)+x}-x
と変形して、z ∈ A = {f(x) | x∈R}として
f(z+x) = z-x
を考えていたけど挫折。
>202 (2)
与式のxとyを入れ替えた式の右辺は、元の右辺に等しいから
f(f(x)+y) = f(f(y)+x)
もし、fが単射であることが証明されれば、
f(x)+y = f(y)+x
より、f(x)-x = f(y)-y は変数に無関係な定数となって
f(x) = x+c （cは任意定数）
単射であることが言えればナー
206: ◆BhMath2chk
04/09/01 07:00
>>189
ｆ（ｘ＋ｙ＋ｚ）
＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ＋ｚ）ｆ（ｘ（ｙ＋ｚ））
＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）ｆ（ｚ）ｆ（ｙｚ）ｆ（ｘｙ）ｆ（ｘｚ）ｆ（ｘ＾２ｙｚ）。
ｆ（ｘ＾２ｙｚ）＝ｆ（ｘｙ＾２ｚ）。
ｘｚ＝１，ｙ＝１としてｆ（ｘ）＝ｆ（１）。
207:１３２人目の素数さん
04/09/01 23:32
>206
こりゃ思いつかんわ。
>189(2) と 202(1)(2) をたのもー
208: ◆BhMath2chk
04/09/02 07:00
>>202
ｆ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）。
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｘとするとｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＋ｘで
ｆ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）はｇ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｇ（ｙ）となるので
ｆ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）という条件は
ｆ（Ｒ）の元がｇの周期になることと同じ。
ｆが連続のときのｆは０とｘ＋ａ。
ｆが連続でない解の例はｈを［０，１）−＞Ｚの関数
ｎをｘの整数部分としてｆ（ｘ）＝ｎ＋ｈ（ｘ−ｎ）。
209:１３２人目の素数さん
04/09/04 08:30
任意の実数xに対して f(f(x))=x の解はどうなるのでしょう？
とりあえず fは全射。
f(x)=f(y)のとき、x=f(f(x))=f(f(y))=yより単射だから、与式は
f(x)=f^{-1}(x)
これ以上の情報は得られないのかなぁ…。
たのも〜 （ＡＡ略）
210:１３２人目の素数さん
04/09/04 08:47
>>209
f=f^-1 なので、y=f(x) のグラフが直線 y=x に関して
対称になるものはすべて解になります。
211:１３２人目の素数さん
04/09/04 08:58
>210
ありがとうございます。次の解はどうなりますか？
f(xf(y)) = yf(x)
x=y=0を代入して、f(0)=0
y=f(x)を代入して、f(x^2) = {f(x)}^2 ≧ 0
y=xを代入して、f(xf(x)) = xf(x)
これから>210の解の一部だろう…、とここまではいけましたが。
212:１３２人目の素数さん
04/09/04 10:07
>211 f(xf(y)) = yf(x)
x=y=0を代入して、f(0)=0
y=f(x)を代入して、f(x^2) = {f(x)}^2 ≧ 0
y=xを代入して、f(xf(x)) = xf(x)
与式でxとyを交換した式を与式に代入して f(f(xf(y))) = f(yf(x)) = xf(y)
A={xf(y) | x,y∈R}, B={xf(x) | x∈R} とおくと
x∈Aのとき f(f(x))=x, x∈Bのとき f(x)=x
これ以上わからんちん。たのも〜 （ＡＡ略）
213:１３２人目の素数さん
04/09/04 11:09
f(a)=0 となる a≠0 が存在したとすると、
f(xf(a))=af(x) より 0=f(0)=af(x).
次に、そのような a は存在しないとする。
b=f(1) とおくと、
f(b)=f(1・f(1))=1f(1)=b
よって b は f(x) の不動点である。
f(1・f(x))=xf(1) より
f(f(x))=bx. また、
f(b・f(x))=xf(b) より
f(bf(x))=bx.
b≠0 なので>>209 と同じ論法により、f(x) は全単射。よって
f(x)=f^-1(bx), bf(x)=f^-1(bx)
これより b=1 でなければならない。
よって f(f(x))=x
>>210 より、y=f(x) のグラフは y=f(x) に関して対称になる。
ところが、このような関数は次の２つのタイプしかない。
(1) y=x
(2) 単調減少：x>1 の範囲に f(x) の零点が１つある。
(2) は仮定に反するので、(1)のケースしかありえない。
以上をまとめると、f(x)=0 または f(x)=x となる。
214:１３２人目の素数さん
04/09/04 11:13
>>210 より、y=f(x) のグラフは y=f(x) に関して対称になる。
y=f(x) のグラフは [y=x] に関して対称になる。
215:１３２人目の素数さん
04/09/04 11:29
しまった。>>213 の分類には f(x) の連続性を仮定している。
連続を仮定しなければ、他にも>211の解はある。
f(x)=1/x
216:211
04/09/04 11:45
あぁ確かに…。
f : R(+)→R(+)、lim[x→∞]f(x)=0
の解を求めさせる問題が 1983.IMO でした。その解が f(x)=1/x
217:１３２人目の素数さん
04/09/04 11:46
R(+) は正の実数の意味で書きました。
218:１３２人目の素数さん
04/09/04 14:12
y=f^-1(z) を元の式に代入すれば、f=f^-1 だから
f(xz)=f(x)f(z) になる。f の不動点集合を S とすれば、
log S={log a|a∈S} は Q-vector space になる。
S={-1,0,1} のときは xf(x)∈S だから xf(x)=±1 になる。
sgn f(ab)=sgn f(a)・sgn f(b) より、
sgn f(a)={sgn f(√a)}^2=1. よって f(x)=1/x
S=R のときは y=x. それ以外のときは S は dense set になる。
Q に関する R の Hamel basis を A_1∪A_2∪A_3 (背反和）とする。
ここで A_1 は log S の基底、＃(A_2)=＃(A_3) となるように取る。
F:A_2→A_3 （全単射）を固定する。
f(p):=F(p),p∈A_2；f(q):=F^-1(q),q∈A_3 とし、
f の乗法性を用いて R 全体に f を拡張する。それは明らかに
f(f(x))=x をみたしている。
以上より、S により解を場合分けすると、
(1) S={0} f(x)=0
(2) S={-1,0,1} f(x)=1/x, f(0)=0
(3) S=R f(x)=x
(4) それ以外。上の構成法による解。
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