代数的整数論 - 暇つぶし2ch

代数的整数論 at MATH

709:208
05/11/10 09:24:01
命題
p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
>>690より M は単項 p-加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和となる。
|M_i| = p^(m_i) とする。
m_1 ≧ ... ≧ m_r と仮定してよい。
このとき、整数の組 (m_1, ... , m_r) は、 M により一意に決まる。

証明
Ann(M) = p^n とする。M の部分加群の列
M ⊃ pM ⊃ ... ⊃ p^(n-1)M ⊃ 0
を考える。この列の各剰余加群 p^(k-1)M/(p^k)M の長さを s_k と
する。p の生成元をπとしたとき、πによる乗法により、
全射: p^(k-1)M/(p^k)M → (p^k)M/(p^(k+1))M が得られるから
s_k ≧ s_(k+1) である。つまり、整数の降列
s_1 ≧ ... ≧ s_n が得られる。この列は、明らかに M だけで決まる。
これから、(m_1, ... , m_r) が決まることは、次のような図を書けば
わかる。
まず、>>708 より s_1 = r_1 である。
s_1 個のブロック（レンガをイメージするとよい）を
横に水平に並べる。その上に左詰めに s_2 個のブロックを並べる。
同様にして、最後に s_n 個のブロックを並べる。
この図の左端の縦１列に並んだブロックの数が m_1 である(>>708)。
その隣の縦１列に並んだブロックの数が m_2 である(>>708)。
以下同様。
証明終

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