代数的整数論 at MATH

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650:208 05/11/02 15:11:28 命題 A を単項イデアル整域、L を A 上の有限階数 n の自由加群とする。 L の部分加群は、階数 ≦ n の自由加群である。 証明 n に関する帰納法。 e_1, ... , e_n を L の基底とする。 p_n : L → A を e_n に関する射影とする。 q: M → A を p_n の M への制限とする。 q(M) は A のイデアルだから単項であり、A は整域だから このイデアルは A-加群として自由である。 Ker(q) = N とおく。 0 → N → M → q(M) → 0 は完全である。 N ⊂ Ae_1 + ... + Ae_(n-1) だから帰納法の仮定より、 階数 ≦ n-1 の自由加群である。 q(M) は自由だから、>>649 よりこの完全列は分解する。 よって、M は自由である。q(M) の階数 ≦ 1 だから、 M の階数 ≦ n である。 証明終 651:208 05/11/02 15:36:53 >>650 q(M) = 0 のときは、q(M) は自由加群ではないが、この場合、 N = M となって自明。 652:208 05/11/02 16:26:24 定義 A を整域、M を A-加群とする。 x ∈ M が捩れ元であるとは、A の元 a ≠ 0 があり ax = 0 となることである。 M のすべての元が捩れ元であるとき、M を捩れ加群(torsion module)という。 M の捩れ元が 0 以外にないとき M を捩れのない(torsion-free)加群という。

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