代数的整数論 - 暇つぶし2ch

代数的整数論 at MATH

640:208
05/11/02 11:26:58
>>639 の命題は L/K が有限次でなくても成立つ。

命題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない
準ガロワ拡大(>>586)とする。
B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと
すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。

証明
M を L/K の中間体で、M/K が有限次準ガロワ拡大とする。
S をこのような M の集合とする。
M ∈ S に対して
F(M) = {σ∈ Aut(L/K); σ(q_1 ∩ M) = q_2 ∩ M} とおく。
σ∈ Aut(L/K) を M に制限することにより、
連続写像 Aut(L/K) → Aut(M/K) が得られる。
F(M) は、この写像による、離散群 Aut(M/K) のある部分集合の逆像だから
閉集合である。一方、>>639 よりこれは空ではない。
M, M' ∈ S のとき、F(M) ∩ F(M') ⊃ F(M(M')) となる。
ここで、M(M') は M と M' から生成される L の部分体で
M(M') ∈ S である。
Aut(L/K) は >>623 よりコンパクトだから、∩F(M) は空でない。
L は M ∈ S の合併集合となるから、σ ∈ ∩F(M) が求めるものである。
証明終

次ページ

続きを表示

1を表示