代数的整数論 - 暇つぶし2ch

代数的整数論 at MATH

441:208
05/10/19 20:29:12
>>440

しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。
ほれ

命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。

証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終

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