代数的整数論 - 暇つぶし2ch

代数的整数論 at MATH

342:208
05/10/18 11:01:55
定理
Artin環はネーター環でもある。

証明
A を Artin環とする。A の極大イデアルを m_1, ..., m_r とする。
J = m_1 ∩ ... ∩ m_r とする。>>336より J^n = 0 となる整数 n > 0
がある。>>339 より、J = (m_1)...(m_r) であるから、
(m_1)^n...(m_r)^n = 0 である。
>>341 より A は (A/(m_1)^n) x ... x (A/(m_r)^n) と同型である。
各 A/(m_i)^n は Artin 環であるが >>335 よりネーター環でもある。
よって A 自身もネーター環でもある。
証明終

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