代数的整数論 - 暇つぶし2ch

代数的整数論 at MATH

299:208
05/10/17 16:28:42
命題
Artin環の素イデアルは有限個である。

証明
p_1, p_2, ... , p_n を相異なる素イデアルとする。

p_1 ≠ (p_1)(p_2) である。
何故なら、p_1 = (p_1)(p_2) なら、p_1 ⊂ p_2 となるが、
p_1 は極大イデアルだから(>>296)、p_1 = p_2 となって矛盾。
同様に、(p_1)(p_2) ≠ (p_1)(p_2)(p_3) である。
何故なら、(p_1)(p_2) = (p_1)(p_2)(p_3) なら、p_1 ⊂ p_3
または p_2 ⊂ p_3 となるから。
よって、降鎖列 p_1 ⊃ (p_1)(p_2) ⊃ (p_1)(p_2)(p_3) ...
が得られ、隣合うイデアルは異なる。
極小条件から、この列は無限に続かない。
証明終

次ページ

続きを表示

1を表示