代数的整数論 - 暇つぶし2ch

代数的整数論 ..

237:208
05/10/13 12:42:13
>>236の補題の証明

上の関係式を行列記法で書くと、TX^t = 0 となる。
ここで、 X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。

T~ を T の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
T~T = det(T)E となる。ここで、E は n-次の単位行列。
よって、T~TX^t = det(T)X^t = 0 となる。
つまり、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。

証明終

238:１３２人目の素数さん
05/10/13 13:11:57
定義
環 A のすべての極大イデアルの共通集合を A の Jacobson根基といい、
rad(A) と書く。Jacobson根基を省略して J-根基ということもある。

239:１３２人目の素数さん
05/10/13 14:09:07
よく恥ずかしげもなくassなんて書けるな

240:208
05/10/13 17:26:14
補題
A を環、x を A の元で x = 1 (mod rad(A)) とする。
このとき、 x は可逆元である。

証明
x ∈ m となる A の極大イデアルがあるとする。
rad(A) ⊂ m だから x = 1 (mod m) である。
当然、x = 0 (mod m) だから 1 = 0 (mod m) となって矛盾。
よって、Ax = A でなければならない。
何故なら、Ax ≠ A とすると Zornの補題より、Ax を含む極大イデアル
が存在するから。
証明終

241:208
05/10/13 17:27:04
補題
A を環、E, F を A の元を成分とする n-次の正方行列とする。
I を A のイデアルとする。
E = F (mod I) とは、行列の成分毎の mod I での合同を意味する
とする。このとき、det(E) = det(F) (mod I) である。

証明
明らか。

242:208
05/10/13 17:36:29
中山の補題
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。
IM = M なら M = 0 である。

証明
M の A-加群としての生成元を x_1, ... , x_n とする。
IM = M より、I の元の列 a_(i,j), 0≦i, j≦n があり、
これ等の間に次の関係式が成立つ：

a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = x_2
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = x_n

つまり、TX^t = X^t となる。
よって、(E - T)X^t = 0 となる。
ここで、T = (a_(i,j))、
X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。 E は n-次の単位行列。

よって det(E - T)x_i = 0 が各 i で成立つ(>>236)。
よって、det(E - T)M = 0 となる。
一方、E - T = E (mod I) となるから、
det(E - T) = 1 (mod I) となる(>>241)。
よって、det(E - T) は可逆元である(>>240)。
よって、M = 0 となる。
証明終

243:208
05/10/13 17:47:48
中山の補題(>>242)の別証１

>>242の記号を使う。
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1 より、
(a_(1,1) - 1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(1,1) - 1 は可逆(>>240)だから、
x_1 ∈ Ax_2 + ... + A x_n となる。
よって、M = Ax_2 + ... + A x_n となる。
これから、n に関する帰納法より、M = 0 となる。
証明終

244:208
05/10/13 17:58:50
補題
A を環、M を有限生成 A-加群とする。
N を M の部分加群で N ≠ M とする。
N を含む M の極大部分加群が存在する。

証明
N を含む M の部分加群で M と異なるものから構成される
全順序集合(包含関係による) S があるとする。
S の要素全体の和集合 L は M の部分加群で M と異なる。
何故なら M = L とすると L は M の有限個の生成元を含むから
S の要素で M と一致するものがあることになり矛盾。
よって Zorn の補題より N を含む M の極大部分加群が存在する。
証明終

245:１３２人目の素数さん
05/10/14 08:33:28
>>244
明らかな事を証明するな馬鹿

246:１３２人目の素数さん
05/10/14 08:51:11
>>244
明らかな事を証明するな馬鹿

omae usero BOKE!!!

247:１３２人目の素数さん
05/10/14 09:07:51
>208

O-BOKE!!! !!!

248:１３２人目の素数さん
05/10/14 09:20:45
>>245-247 寝た子を起こすな。

249:208
05/10/14 10:24:13
補題
A を環、I を A のイデアル、M を A-加群とする。
(A/I)(x)M は M/IM と標準的に同型である。

証明
A-加群の完全列
0 → I → A → A/I → 0
より完全列
I(x)M → A(x)M → (A/I)(x)M → 0
が得られる。これより明らか。
証明終

250:208
05/10/14 10:29:27
中山の補題(>>242)の別証２

M ≠ 0 とする。
>>244 より、M の極大部分加群 N が存在する。
M/N は 0 以外に真の部分加群を持たない。つまり単純加群である。
よって M/N は１個の元で生成されるから、A の適当なイデアル m に
対して A/m と同型である。N は極大だから m は極大イデアルである。
よって、完全列
M → A/m → 0
が得られる。
よって、完全列
M(x)(A/I) → (A/m)(x)(A/I) → 0
が得られる。
一方、>>249より、
M(x)A/I = M/IM
(A/m)(x)(A/I) = A/m (I ⊂ m に注意)
と見なされる。つまり、完全列
M/IM → A/m → 0
が得られる。
よって、M/IM ≠ 0
証明終

251:208
05/10/14 10:38:20
個人的には、>>250の証明が中山の補題の本質を突いてると思う。
どの証明もZornの補題を本質的に使っていることに注意。
A がネーター環ならZornの補題はいらないが。

252:208
05/10/14 11:23:43
中山の補題と準素イデアル分解の応用として「Krullの共通イデアル定理」
を証明する。

定理(Krull)
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとすると、
∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。

証明
I = ∩m^n とおく。
mI = I を示せば、中山の補題より I = 0 となる。
mI ⊂ I は明らかだから I ⊂ mI を示す。
mI = q_1 ∩ ... ∩ q_r とする。ここで、各 q_i は準素イデアル。
ある i に対して、I ⊂ q_i とならないと仮定する。
mI ⊂ q_i だから m の各元は mod q_i で零因子となる。
よって、{m} = Ass(A/q_i) である。
よって、m^n ⊂ q_i となる整数 n > 0 がある(>>168)。
一方、I = ∩m^n だから I ⊂ m^n である。
よって、I ⊂ q_i となって矛盾。
証明終

253:208
05/10/14 12:05:02
定義
A を環、M を A-加群とする。
M ≠ 0 で
M ≠ N かつ N ≠ 0 となる部分加群 N が存在しないとき
M を単純加群と呼ぶ。

254:208
05/10/14 12:06:05
定義
A を環、M を A-加群とする。
M の部分加群の列
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0
があり、各 i に対して M_i/M_(i+1) が単純とする。
このとき、列 (M_i) を M の組成列と呼ぶ。
n をこの組成列の長さという。

255:１３２人目の素数さん
05/10/14 14:26:25
アホかお前

256:１３２人目の素数さん
05/10/14 14:27:57
>>255
たのむからこのスレに文句つけるのやめてくれ。

257:208
05/10/14 18:45:16
可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。

258:１３２人目の素数さん
05/10/14 19:34:24
そ　れ　が　な　に　か　？

259:１３２人目の素数さん
05/10/14 19:44:55
>>256

260:１３２人目の素数さん
05/10/15 10:11:17
可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。

tatoeba hokaniaru?

261:感想
05/10/15 12:28:52
おつかれさま。これからもがんばって。
いや、なんだか大変そうだから。読んで文句をいうだけなら楽でも書くのは大変かと。

以下愚痴：素人というのはつまり、今はどんな状態からどんな状態へとつなぐ為に
こんなことをしています、っていうイメージがわかないひとのことかな、って思った。
たどれる（なぞれる）だけでは意味がなくてそれぞれの場面でどこを目指せばいいか
そんなレベルで知りたくて見てる私は素人なので、途中の道に目印だけ置かれて
途中で迷子にならないように何とかとりあえずついていくだけだと、ちょっとさびしく。

原語がわかるから言語的イメージを持てるのかもしれないけれど、
図形などの視覚的イメージや同じ～類似の形式的性質を持つモデルがあったらな。
でもわかるひとには長くてくどくなるし、かくのにも面倒だから、無理なんだろうな…。

たとえば？えーと上の局所化って内部相互差の一部の同一視なのかな、とか、
それによって扱うべき差異に注目して、本題以外の情報を視野から外せるかなとか、
ネイター環なら閉集合縮小時＝限定条件強化＝焦点化に限界があって、
開集合拡大時＝存在条件ゆるめ時の限界と表裏で、操作時いろいろ便利だ、とか。
かなり雑で不正確な気がするけど、ここの文だけだとそんなイメージになったよ。

262:１３２人目の素数さん
05/10/15 12:52:02
そんな無茶苦茶な理解しても役に立たんよ
数学は基礎からきちんと勉強しないと身につかない

それからネイター環じゃなくてNoether(ネター/ネーター）ね
物理の人とかたまにナーターとか読んでたりするけど

263:感想
05/10/15 14:06:13
そうそう、そんな感じで。

何がどう間違ってるか突っ込まない教授って
あまり学習者には役に立たないものだから。
単に不正確とかいうのは、まず無意味。
ちゃんと正しい記述に直してくれてありがとう。

ちなみにこのｏｅは円唇音（≒咽頭開け音でも可、
口腔内前後径延長によって同様の音の変化
＝全フォルマントの低音化が起きるから容認発音）
のエで、やや長めなので、その通りになります。

他で基礎を全部学ぶならこの場はいらない。
半分の理解（＝誤解）の段階が想定対象だから、
軌道修正が中心になるのは当然、でもそれがない
参考書等が多く、このスレッドを頼りに学ぶわけで。

参考文献が入手困難か読みにくい外国語だけ、
または本の記述の細かさのムラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。

だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。

で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。

264:１３２人目の素数さん
05/10/15 15:46:55
ラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。

だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。

で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。

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265:208
05/10/15 16:30:38
>>260
>tatoeba hokaniaru?

例えば、Krull環、例えば、ネーター整域のその商体における整閉包とか

266:208
05/10/15 16:35:11
初学者？　そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。

267:208
05/10/15 16:46:04
まあ、そう突き放すのも何だから、わからないところは質問して
くれればいい。

268:１３２人目の素数さん
05/10/15 16:49:10
さて、ここでクリトリスについて考察してみよう。

まず、「リス」を漢字で書くと「栗鼠」、すなわち
　　(リス) = (栗鼠)

ここで、
　　(栗) + (栗鼠) = (栗) (1 + 鼠)

故に、
　　(クリトリス) = (栗) (1 + 鼠)

を得る。

269:208
05/10/15 16:55:44
何なんだろうね。釣りに反応するのもなんだけど。
数学がなんかすごくまじめくさった面白くもなんともないもんだと
誤解してんだろうね。数学ってのは場合によるとセックスより気持ち
いいもんなんだよ。これは知るひとぞ知る公然の秘密

270:１３２人目の素数さん
05/10/15 17:15:22
問題が解けたときって、１００円玉拾ったときと脳波がおなじじぇあねーの？

271:シュリ
05/10/15 18:26:57
　今、就職活動中で、もし数学に事を何も知らない面接官に「代数学って何？」ってき
聞かれたら、何て説明しますか！？（素朴な疑問でスミマセン・・・。）
　あとこの掲示板では、代数的整数論の話題以外の分野で質問するのは、マズイですか！？

272:１３２人目の素数さん
05/10/15 18:29:15
おでん屋みたいなものですとネタを入れる

273:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/10/15 18:44:30
talk:>>271 集合に、いくつかの演算の構造を入れた空間を考える学問。(もはや「代数」などとは呼べないかもしれないが。)

274:１３２人目の素数さん
05/10/15 18:53:07
>>273
それは「数学」の説明では？

275:１３２人目の素数さん
05/10/15 19:10:33
暗号に使える高級数学とでもいっておけば。。。どんな暗号ってって会話が続くかも
営業で代数専攻でっていったら客がぽかーんとするから、そのときどう答えるかを聞いてるんだよ。
代数なんかで商売できる仕事はない

276:１３２人目の素数さん
05/10/15 19:14:27
まあとにかく
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある

という点をアピールするのが目的だから、
説明と言う手段にこだわりすぎないほうがよい。

277:１３２人目の素数さん
05/10/16 15:46:59
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある
・本質は馬鹿である
・他人に教える才能も無い
・つぶしが利かない
・人生やめたほうが良い

278:１３２人目の素数さん
05/10/16 16:24:57
もとの話題に戻りましょ。208さん、すみません。

279:１３２人目の素数さん
05/10/16 16:37:52
微分幾何学と数値解析はなにに使えるって聞かれて。。。
リアクターの中のケミカル物質の濃度解析につかえるといったら。。
うちでは使う機会がないといわれた。。。

だったら面接に呼ぶなよな。。。忙しいのに。。。
馬鹿の面接官を出す会社は最初から蹴ったほうがいい

280:１３２人目の素数さん
05/10/16 16:41:26
大手は形式だけ試験受けてくれで。。。即決だった。
判断が速い。格の違いを感じた。

281:208
05/10/17 09:48:11
最近(実はほんの２、３日前)、Kummerの理想数に関して以外な発見を
した。俺だけが気がついたとは思はないが。
足立の「フェルマーの大定理」という本を１ヶ月ほど前にアマゾンで
買った。この本にはKummerの理想数について書いてあると聞いたから。
ところが読んでみるとあまり詳しく書いてない。
ただ、定義は書いてあった。

K を代数体(実は円分体だが一般の代数体でも同様)、A をその主整環、
p を素数とする。p の素因子とは、p と A の元ωの組 (p, ω)
で以下の条件を満たすものである。
1) ω ≠ 0 (mod pA) である。つまり ω ⊂ pA とならない。
2) α、βを A の元で、αβω = 0 (mod pA) なら、
αω = 0 (mod pA) または βω = 0 (mod pA) となる。

このとき、(p, ω) は p の素因子 P を定めるという。

αω = βω (mod pA) のとき α と β は素因子 P を法として
合同といい、α = β (mod P) と書く。

初めこれを読んだとき、なんじゃこれは？奇妙な定義だなと思った。
ところが、２、３日前に読み返してみて気がついた。
皆、もうわかるよね？そう素因子 P とは A/pA の随伴素イデアル、
つまり P ∈ Ass(A/pA) のことだ(>>89)。
これは驚きだよね。随伴素イデアルの概念はやっと１９５０年代の
終わりにBourbakiが定式化したものだ。それを、Kummerが100以上前に
代数体でやっていたとは。

282:208
05/10/17 10:24:37
Kummerの定義によると α ∈ A が (p, ω) で定義される素因子 P の
n乗で割れるとは αω^n = 0 (mod (p^n)A) となることをいう。
A がDedekind環であることを使うと、これはイデアルとして
αA ⊂ P^n と同値であることが分かる。

283:１３２人目の素数さん
05/10/17 10:54:37
偉大なり、kummer

拡大スレをあげるんだ！

284:208
05/10/17 12:06:11
補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N は、
長さ ≦ n の組成列を持つ。

証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_1)/ M_1 は N/(M_1 ∩ N) と同型である。
N + M_1 = M_1 つまり N ⊂ M_1 の場合は帰納法の仮定より、
N は長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
N + M_1 ≠ M_1 の場合は、N + M_1 = M であり、N/(M_1 ∩ N) は
単純加群(>>253)である。一方、M_1 ∩ N は帰納法の仮定より、
長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。よって、N は長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明終

(注) 図を書くと証明が良く分かる。

285:208
05/10/17 12:22:24
補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N に
対して、M/N は長さ ≦ n の組成列を持つ。

証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_(n-1))/N は M_(n-1)/(N ∩ M_(n-1)) と同型である。
N + M_(n-1) ⊃ M_(n-1) であり、M/M_(n-1) は長さ = n-1 の
組成列を持つ。よって、N + M_(n-1) に帰納法の仮定が使える。
残りの証明は読者に任す。

286:208
05/10/17 12:30:31
定理(Jordan-Holder)
A を環、M を A-加群とする。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
M の任意の組成列の長さは n であり、その剰余群の列は、
順序を別にして列 (M_i/M_(i+1)) と同型である。

証明
n に関する帰納法。
M = N_0 ⊃ N_1 ⊃ N_2 ... ⊃ N_m = 0 を別の組成列とする。
M_1 ∩ N_1 は補題(>>284)より長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
これと、帰納法の仮定を使えばわかる。
詳しくは読者に任す。

287:208
05/10/17 12:32:51
>>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
だから、>>286は非常に基本的な定理ということが出来る。

288:208
05/10/17 12:37:52
定義
A を環、M を長さ n の組成列を持つ A-加群とする。
>>286より n は組成列の取り方によらない。
n を leng(M) と書き、M の長さと呼ぶ。
一般に組成列をもつ加群を長さ有限の加群と呼ぶ。

289:208
05/10/17 12:41:14
命題
A を環、M を長さ有限の加群、N をその部分加群とする。
このとき、N も M/N も長さ有限であり、
leng(M) = leng(N) + leng(M/N) となる。

証明
>>284と>>285から明らか。

290:208
05/10/17 12:45:08
命題
A を環、M をA-加群とする。
M が長さ有限であるためには、部分加群に関して極大条件と
極小条件を同時に満たすことが必要十分である。

証明
>>286や>>289を使えば簡単なので読者にまかす。

291:208
05/10/17 12:49:44
>>281

自画自賛だけど、このスレで随伴素イデアルを扱ったのは正解だね。
なにしろ、Kummerがやってるんだから。
普通は代数的整数論の導入部で随伴素イデアルに関してここまでやらない。

292:208
05/10/17 16:00:19
定義
A を環とする。それをA-加群とみたとき極小条件を満たすなら、それを
Artin環という。

293:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:03:51
>>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
うそつけ

294:208
05/10/17 16:06:13
命題
Artin環が整域なら、それは体である。

証明
a ∈ A を 0 でない元とする。
イデアルの列 aA ⊃ (a^2)A ... ⊃ (a^n)A ⊃ ...
は途中で停留するから、(a^n)A = (a^(n+1))A となる整数 n > 0 が
ある。よって、a^n = a^(n+1)x となる x ∈ A がある。
A は整域だから、1 = ax となる。
証明終

295:208
05/10/17 16:15:32
>>293

素直に、わからないから教えてくださいと言えばいいものを。

296:208
05/10/17 16:19:35
>>294の系

Artin環の素イデアルは極大である。

297:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:20:38
>>295

おしえてなんかいらねーよ

298:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:21:46
208は教えてクンでもあったのか・・・

299:208
05/10/17 16:28:42
命題
Artin環の素イデアルは有限個である。

証明
p_1, p_2, ... , p_n を相異なる素イデアルとする。

p_1 ≠ (p_1)(p_2) である。
何故なら、p_1 = (p_1)(p_2) なら、p_1 ⊂ p_2 となるが、
p_1 は極大イデアルだから(>>296)、p_1 = p_2 となって矛盾。
同様に、(p_1)(p_2) ≠ (p_1)(p_2)(p_3) である。
何故なら、(p_1)(p_2) = (p_1)(p_2)(p_3) なら、p_1 ⊂ p_3
または p_2 ⊂ p_3 となるから。
よって、降鎖列 p_1 ⊃ (p_1)(p_2) ⊃ (p_1)(p_2)(p_3) ...
が得られ、隣合うイデアルは異なる。
極小条件から、この列は無限に続かない。
証明終

300:208
05/10/17 16:30:46
>>298

お前はアフォか。

301:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:33:13
おまえの返答、教えてクンの定型そのものだよ。

302:208
05/10/17 16:38:47
>>301

だから、素直に謝れ。そしたら答えを教えてやる。

303:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:40:27
>>302
見当違いだって
うそつけっていったのは俺だよ

304:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:43:13
いや結構。俺は>>293じゃないから。敵は一人症候群、早く治せよ。

305:208
05/10/17 16:46:41
>>303

要は、答えが分からないんだろ。
分からないのに、人を嘘つき呼ばわりするんじゃない。
この問題は、そんなに大騒ぎするほどのもんじゃない。
だからこれで終わり。答えは自分で考えろよ。
ヒントは Z/nZ の組成列を考える。
このヒントでほとんど終わりだけどな。

306:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:48:18
>>305
おまえは馬鹿だね
それでおわりだとおもってるからうそつきなの

307:208
05/10/17 17:40:52
>>306

何を悔し紛れに。これで勉強になったろ。
その程度で俺に喧嘩を売るのはまだ早いんだよ。

308:１３２人目の素数さん
05/10/17 17:42:56
>>307
あ　まだわからないんだ
いつまでもそうやって自己満足してろ

309:１３２人目の素数さん
05/10/17 18:05:32
やっと208らしくなってきたｗ

310:208
05/10/17 18:14:21
>>308

こんな簡単な問題につべこべ言ってるならここに来る資格なし。
来るなよ。邪魔だから。

311:１３２人目の素数さん
05/10/17 18:15:53
>>310
わからないからって
くやしまぎれ言うんじゃないよ
ま
おまいさんには無理だと思ってたよ

312:１３２人目の素数さん
05/10/17 18:17:21
>>310
教えて欲しかったらちゃんと謝れよ
教えてくん

313:208
05/10/17 18:36:50
笑っちゃうね。そんなに説明してもらいたいのか。いじらしいね。
それならもうちょっと言い方があるだろうに。

314:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:09:32
抽象論の中で自己完結しているやつらの糞スレだな。
まあ、趣味でやる分にはいいだろうが、実社会では
もっとも使えない連中だｗ

315:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:17:38
>>314
自己完結しない抽象論なんてないよ。
君は実社会で糞でも食べてなさい。

316:208
05/10/17 19:22:03
趣味でやってんだけど。将棋とか野球とかと同じ
上(>>269)にも書いたけど何か勘違いしてんだろうね。

317:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:38:34
実社会の甘い果実がわからんとな！
コチコチの自己完結頭の将来には、フリーターかニート
しかないってことかｗ

318:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:41:21
数学に関係のない価値を持ち出すなって。

319:208
05/10/17 19:47:56
だから勘違い。一種の嫉妬だろ。みっともねえ。

320:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:51:55
フリーターかニートはもうすぐ捕獲されて収容所に送られます

321:１３２人目の素数さん
05/10/17 20:01:44
208の方こそ数学に（しかも自分が得意なもの限定）すがりついて
るんじゃないか。だから、ささいなことに過剰に反応する。
余裕があるときとないときの落差大きすぎｗ

322:１３２人目の素数さん
05/10/17 20:02:51
ニコリのパズルなら良くて数学ならダメというのがわからん。絡むなよ。

323:１３２人目の素数さん
05/10/17 21:53:52
>>322
要するに２０８の態度が不快ということだろう？　空気嫁。

324:１３２人目の素数さん
05/10/17 21:55:52
>>323
ニコリのパズルについて嬉々として話している人がいたとして、
それを不快がるヤシの気持ちがわからん、という話をしている。

325:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:10:56
>>324
「嬉々として話している」だけなら誰も文句は言わん。
繰り返す、空気嫁。

326:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:15:07
>>325
おまいの脳の中だけの空気は読めん。スレを１個消費するだけ。無視すれ。

327:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:18:01
>>326
自分の脳の中しかわからんか。典型的な自己完結厨だな。

328:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:18:22
>>325
おまえの村の空気だけで地球は覆えない。

329:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:22:40
>>327
暗に、「数学の価値はニコリのパズル程度と思え」という価値の改革を迫っている。改革しろ。

330:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:32:21
>>328
君の脳内世界についていけん。

>>329
被害妄想。

331:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:33:03
d一つであぼーんできる2chブラウザを使ってる俺は勝ち組

332:１３２人目の素数さん
05/10/18 00:06:58
THAT"S BOTTOM LINE!!!!!!!!!1
THE undertaker takes Tomb Stone PiLe Driver!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1

333:208
05/10/18 08:55:00
俺の態度？バカヤロ。
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが。

334:208
05/10/18 09:26:34
補題
体 k 上の加群 V が部分加群に関して極小条件をみたせば、
V はｋ上有限次である。

証明
V が k 上無限個の基底を持つとする。
容易にわかるように、部分加群の無限降鎖列で途中で停滞しないものが
得られる。
証明終

335:208
05/10/18 09:30:37
命題
A を局所Artin環とする。つまりただ１つの極大イデアル m をもつ
Artin環とする。m がべき零なら A は A-加群として長さ有限である。

証明
m^n = 0 とする。
A-加群の降列
A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^(n-1) ⊃ m^n = 0
を考える。
0 ≦ i ≦ n-1 に対して M_i = m^i/m^(i+1) とおく。
m(M_i) = 0 だから、M_i は体 A/m 上のベクトル空間とみなせる。
M_i の A-加群としての部分加群は、A/m 上の部分ベクトル空間でも
あり、逆も成立つ。よって補題(>>334)より M_i は A-加群として
長さ有限である。よって A も長さ有限である。
証明終

336:208
05/10/18 09:47:16
命題
A をArtin環とし、J を A の J-根基(>>238)とする。
J はべき零となる。

証明
A-加群の降列
J ⊃ J^2 ⊃ ... ⊃ J^n ⊃ ...
は途中で停滞するから、J^n = J^(n+1) となる整数 n > 0 がある。
N = J^n とおく。N^2 = N である。
N ≠ 0 として矛盾を導けば証明が終わる。
NI ≠ 0 となるイデアル I の集合 S を考える。N^2 = N だから、
N ∈ S だから S は空でない。よってこの集合に極小なものがある。
それを I とする。NI ≠ 0 だから Na ≠ 0 となる I の元がある。
I の極小性より、I = aA である。(N^2)a = Na だから、
Na ∈ S であり、Na ⊂ aA より再び I の極小性より Na = aA
となる。よって x ∈ N で xa = a となるものがある。
(x^2)a = xa = a を繰り返して (x^n)a = a が任意の n > 0 で
成立つ。
一方、N ⊂ J であり、J = nil(A) でもあるから(>>296 と >>163)、
x はべき零である。よって a = 0 となって矛盾。
証明終

337:１３２人目の素数さん
05/10/18 09:49:50
俺の態度？バカヤロ。
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが

Do not worry about it. You do a good job..

338:208
05/10/18 09:51:21
補題
A を環、I, J を A のイデアルで I + J = A とする。
このとき、IJ = I ∩ J となる。

証明
IJ ⊂ I ∩ J は明か。
I ∩ J = (I ∩ J)(I + J) ⊂ IJ + IJ = IJ
証明終

339:208
05/10/18 10:01:23
補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
このとき、(I_1)(I_2)...(I_n) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n となる。

証明
>>338 と帰納法を使う。

340:208
05/10/18 10:19:36
すまん。>>339の証明には次の補題がいるな。

補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
各 i に対して J_i を I_1, I_2, .. I_n から I_i を除いた積とする。
このとき I_i + J_i = A となる。

証明
I_i + J_i ⊂ m となる極大イデアルがあったとする。
J_i ⊂ m だから i ≠ j のとき I_j ⊂ m となって、
I_i + I_j = A に矛盾する。
証明終

この補題は極大イデアルを使わなくても証明できる。

341:208
05/10/18 10:50:05
命題(中国式剰余定理)
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
A/(I_1)(I_2)...(I_n) は (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n) と
標準的に同型である。

証明
環の射 f
f: A → (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n)
を f(x) = (x mod I_1) x ... x (x mod I_n) で定義する。
これが全射であることを示せばよい。
何故なら Ker(f) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n だが、>>339
より Ker(f) = (I_1)(I_2)...(I_n) となる。

x_1, x_2, ..., x_n を A のかってな元の列とする。
x = x_1 (mod I_1)
x = x_2 (mod I_2)
...
x = x_n (mod I_n)
となる A の元 x を求めればよい。

>>340 より、各 i に対して I_i + J_i = A
だから、z_i + e_i = 1 となる z_i ∈ I_i と e_i ∈ J_i
がある。
e_i = 1 (mod I_i)
i ≠ j のとき、e_i = 0 (mod I_j)
となる。
x = (x_1)(e_1) + (x_2)(e_2) + ... + (x_n)(e_n)
が求めるもの。
証明終

342:208
05/10/18 11:01:55
定理
Artin環はネーター環でもある。

証明
A を Artin環とする。A の極大イデアルを m_1, ..., m_r とする。
J = m_1 ∩ ... ∩ m_r とする。>>336より J^n = 0 となる整数 n > 0
がある。>>339 より、J = (m_1)...(m_r) であるから、
(m_1)^n...(m_r)^n = 0 である。
>>341 より A は (A/(m_1)^n) x ... x (A/(m_r)^n) と同型である。
各 A/(m_i)^n は Artin 環であるが >>335 よりネーター環でもある。
よって A 自身もネーター環でもある。
証明終

343:208
05/10/18 13:50:21
命題
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Ass(M) の元はすべて極大イデアルである。

証明
p ∈ Ass(M) とする。A-加群としての単射 A/p → M がある。
よって A/p の長さは有限(>>284)。よって p は極大イデアル(>>296)
証明終

344:208
05/10/18 13:51:18
命題
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである。

証明
p ∈ Supp(M) とすると定義から M_p ≠ 0 である。
Ass(M_p) は空でない(>>90)。Ass(M_p) は Ass(M) の部分集合
Ass(M) ∩ Spec(A_p)と同一視される(>>95)。
よって、p は Ass(M) の元を含む。
Ass(M) の元は極大(>>343)だから p は極大である。
証明終

345:208
05/10/18 13:52:11
命題
A をネーター環、M を有限生成 A-加群とする。
Ass(M) の元がすべて極大なら M は長さ有限である。

証明
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである(>>344)。
一方、>>193 より
M の部分群の列
0 = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ... ⊂ M_n = M で各 M_i/M_(i-1) が A/p_i
と同型になるものが存在する。p_i は素イデアル。
各 p_i は Supp(M) に属す(>>172)から極大である。
よって、M_i/M_(i-1) は単純加群、つまり、この列は組成列である。
証明終

346:１３２人目の素数さん
05/10/18 13:56:50
>俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
>の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
>仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
>別の言い方があるだろうが。

そうだったな
おまえが親切にも(小さな親切大きなお世話)誰も頼んでない
問題を出して自己満足に浸っていたのに
冷や水かけられてアタマにきたわけだな
でもな
おまえこそが問題の本質ががわかってないんだろ
自分で顔でも洗ってろ
っての

347:１３２人目の素数さん
05/10/18 13:58:12
いっとくけどな俺は親切でうそつけって言ったんだからな

348:208
05/10/18 14:15:55
定義
A を環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
φ: A → A_p を標準射とする。
(p^n)A_p の φによる逆像を p^(n) と書く。
これを p の記号的 n-乗(symbolic n-th power)という。

349:208
05/10/18 14:17:54
>>347

あそ。じゃあ、どこが嘘なのか説明してもらおうか。
説明できないなら、それこそお前が嘘つきってことになる。

350:１３２人目の素数さん
05/10/18 14:20:58
うそなのは
簡単ってとこ

あとはおしえたらへん
ひんとは自然数以外にも一意性はなりたつのかな

351:208
05/10/18 14:22:12
命題
A をネーター環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
p の記号的 n-乗 p^(n) は、準素イデアルであり Ass(A/p^(n)) = {p}
となる。

証明
p^n を含む素イデアルは p を含む(>>203)から p は
V(p^n) = Supp(A/p^n) の極小元である。
よって p ∈ Ass(A/p^n) である(>>146)。
p^n = q_1 ∩ ... ∩ q_r を最短準素分解(>>188)とする。
Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
p ∈ Ass(A/p^n) だから、p_i = p となる i がただ１つある。
p_1 = p とする。φ: A → A_p を標準射とする。
q_1 は (p^n)A_p のφによる逆像である(>>198)。
証明終

352:208
05/10/18 14:27:12
>>350

ｗｗｗ...
笑わせるやろうだ。
そんなことだったのかよ。
もういいから失せろ

353:１３２人目の素数さん
05/10/18 14:30:29
おまえな自然数をなめるなよ

354:１３２人目の素数さん
05/10/18 14:32:02

>笑わせるやろうだ。
>そんなことだったのかよ。
>もういいから失せろ

しったかこいてるぜ

355:208
05/10/18 15:09:28
>>353

じゃあ、どのくらい難しいのか、ここで自然数の素因数分解の一意性を
Jordan-Holderを使って証明してみてくれ。

356:１３２人目の素数さん
05/10/18 15:14:28
だからJordan-Holderだけじゃ証明できないだろ
って指摘してるのがわからない
血の巡りのとことん悪いアホの癖に
偉そうにだらだらお勉強ノート書いて
えっ
お前何様なんだよ
どこの教授様なんだよ
教授なら辞表かけ
そうでないならもっと謙虚になれ
このくそったれが

357:208
05/10/18 15:27:40
じゃあ他も使っていいから証明してみてくれよ。

358:１３２人目の素数さん
05/10/18 15:28:23
やめろよ教えてくん

359:１３２人目の素数さん
05/10/18 15:29:22
結局教えてくんだったね

360:208
05/10/18 16:55:47
命題
A をネーター環、p を A の素イデアルとする。
φ: A → A_p を標準射とする。
∩p^(n) = Ker(φ) である。
ここで n はすべての正の整数を動く。

証明
∩p^(n) = ∩φ^(-1)(p^nA_p) = φ^(-1)(∩p^nA_p)
ここで、∩p^nA_p = 0 である(>>252)。
よって、∩p^(n) = φ^(-1)(0) = Ker(φ)
証明終

361:208
05/10/18 17:10:26
>>359

どっちが正しいかはっきりしたいだけ。
だから、証明してみてくれ。

362:１３２人目の素数さん
05/10/18 17:18:31
どっちもこっちもありゃしないさ
じょるだんへるだーだけで素因数分解の一意性なんか
証明できるわけないだろって

いくら馬鹿だってそれくらいは理解できるだろ

363:１３２人目の素数さん
05/10/18 17:57:14
208の代わりに証明してみる。
Z/pZ が単純⇔pが素数は自明。
したがって、nを自然数とすると、Z/nZの組成列は
Z/nZ ⊃ pZ/nZ ⊃pqZ/nZ ・・・ ⊃pq・・・rZ/nZ = 0 （p、q、・・・r は素数、pq・・・r = 1)
という形をしている。
したがって商群の列の（順序を除いた）一意性から、素因数分解の一意性がでる。
おわり。

364:１３２人目の素数さん
05/10/18 17:59:36
ｽﾏｿ
「pq・・・r = 1」じゃなくて「pq・・・r = n」

365:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:09:23
>>363
素直なよい子だね
それを代数体の整数環でやったらどうかな
そこでも素因数分解の一意性はなりたつかな

366:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:16:07
あ！？
代数体の整数環の素イデアル分解の話は最初から誰もしてねーだろ。
大体それは「素因数分解」っていわねーよ、フツー。何言いたいんだおめーは？

367:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:21:16
いであるのことなんか言ってないよ
数の話をいってるのさ

368:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:21:50
208レベル大杉だな

369:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:22:28
もういいや

すきにやって

370:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:23:06
「数の話」って何よ。釣りか？

371:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:23:39
飛んで飛んで飛んで～

372:１３２人目の素数さん
05/10/18 21:08:59
イデアルの話じゃないのなら、何の話をしてるの？？

言っとくけど俺、このスレ初カキコだから。イコール厨は勘弁して
くれよな（聞いてるだけなんで、「教えてクン」呼ばわりされるの
は別に構わんが・・・(^^;

373:１３２人目の素数さん
05/10/18 21:27:14
出るかもしれないけど自然数の素因数分解の一意性の証明っていうより
素因数分解の一意性の一般化になっているから重要だってことだよね

まあJordan-Holderは
（一般には作用域を持つ）加群の一種の「分解」になってるわけで
素因数分解の一般化だろうが仮にそうでなかろうが重要なのは間違いないね

374:１３２人目の素数さん
05/10/18 21:35:01
どうでもいい。オナニーさせろや。

375:208
05/10/19 09:26:18
>>362

お前には、ここは無理。代数の基礎からやり直してこい。

376:208
05/10/19 09:35:41
>>359

しつこいな。お前、アフォだろ。
どっから、俺が教えてくんというのが出てくるんだよ。
演習問題を出して、それを嘘だと言われたら、誰でも
理由を聞くだろうが。それを、教えてくん呼ばわりするってのは(略

377:１３２人目の素数さん
05/10/19 09:38:06
「イデアルのことではなく、数の話である」という主張の意味を、一晩
寝ないで考えてみました（まあ嘘ですけど(w
でも、結局全然分からんかった。

「イデアル」って、「理想数」というほどのニュアンスで命名されたん
だよね？　だったら、「イデアルではなく数の話」っていうのは、つま
りは「理想的でない数」の話ということだ。結局、何言ってんだか全然
分からんということだ！！

378:208
05/10/19 10:17:51
>>340 と似たようなものだけど、次の命題を>>340と別の方法で
証明しておく。

命題
A を環、I, J, L を A のイデアルで
I + J = A
I + L = A
とする。
このとき、I + JL = A となる。

証明
A = (I + J)(I + L) = I^2 + IL + JI + JL
⊂ I + JL
証明終

これと帰納法を使って、>>340 が出る。

379:208
05/10/19 10:21:50
定義
A を環、A の素イデアルの列
p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
で各p_i が異なるものを長さ n の素イデアル鎖と呼ぶ。
長さ n の素イデアル鎖が存在し、長さ n + 1 の素イデアル鎖が
存在しないとき、n を A の Krull次元と呼ぶ。
A の Krull次元を、dim(A) または dim A と書く。

p を A 素イデアルとしたとき、dim A_p を p の高さといい、
ht(p) または ht p と書く。
これは、p = p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
となる素イデアル鎖の長さの最大である。

I をイデアルとしたとき inf{ht(p); I ⊂ p, p ∈ Spec(A)}
を I の高さといい、ht(I) または ht I と書く。

380:208
05/10/19 10:56:05
中山の補題(>>242)の系
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。 N を M の部分加群で、
M = N + IM とすると、M = N である。

証明
I(M/N) = (IM + N)/N = M/N
よって、中山の補題より M/N = 0
証明終

381:208
05/10/19 11:08:56
定理(Krullの単項イデアル定理)
A をネーター整域、a を A の 0 でなく可逆でもない元とする。
p を Supp(A/aA) の極小元とする。
このとき、ht(p) = 1 となる。

証明
Supp(A/aA) = V(aA) であるから(>>176)、これの極小元というのは、
aA を含む素イデアルの集合の極小元ということである。
A を A_p で置き換えて A を局所環と仮定してよい。
よって、p は A の極大イデアルである。
よって、Supp(A/aA) = {p} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(>>99)、Ass(A/aA) = {p} となる。
q を A 素イデアルで、q ⊂ p かつ q ≠ p とする。
q = 0 を示せばよい。
イデアルの列
q + aA ⊃ q^(2) + aA ⊃ q^(n) + aA ⊃ ...
を考える。ここで q^(n) は q の記号的 n-乗(>>348)。
Supp(A/aA) = {p} で p は極大だから、A/aA は長さ有限である(>>345)。
よって、q^(n) + aA = q^(n+1) + aA となる n がある。
q^(n) ⊂ q^(n+1) + aA である。x ∈ q^(n) とすると、
x = y + az となる、y ∈ q^(n+1) と z ∈ A がある。
az = x - y ∈ q^(n) であり、Ass(A/q^(n)) = {q} で(>>351) a は q に
含まれないから、a は A/q^(n) に関して正則である(>>180)。
よって、z ∈ q^(n) となる。つまり、q^(n) ⊂ q^(n+1) + aq^(n)
である。逆の包含関係は明らかだから、q^(n) = q^(n+1) + aq^(n)
となる。よって、中山の補題の系(>>380)より q^(n) = q^(n+1)
となる。同様に、q^(n+1) = q^(n+2) = ... である。
一方 >>360 より ∩q^(n) = 0 である。よって q^(n) = 0
である。q^n ⊂ q^(n) だから q^n = 0、A は整域だから q = 0 である。
証明終

382:208
05/10/19 11:20:29
Krullの単項イデアル定理(>>381) はネーター環の準素イデアル分解、
共通イデアル定理(>>252)、中山の補題、環の局所化など可換代数に
おける基本的な道具や結果を動員して証明された。
だから今までの命題と較べてやや深い結果といえるだろう。
これは、Krullの次元定理の特別な場合だが、次元定理は、これを
利用して帰納法により証明される。

383:１３２人目の素数さん
05/10/19 12:49:59
>>375
やっぱり無理だったなお前にはな
やっぱり染みついた馬鹿はとれないな
顔にケチャップついてますよといわれても
余計なお世話だって道歩いてんだろうな

まっこれ以上ヒント出しても無駄だから
アホは死んでね
クルルの次元定理なんて偉そうにいっても自然数の
素因数分解が理解できないのじゃ意味無いね

384:208
05/10/19 13:14:25
>>383

ヒントって何のヒントだよ。Jordan-Holderから自然数の素因数分解の
一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。
それを否定してるお前は初歩の代数の基礎がわかってないの。
これも動かせない事実。頭を冷やせ。

385:１３２人目の素数さん
05/10/19 13:34:18
「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」

ことを証明してくれ。

386:１３２人目の素数さん
05/10/19 15:57:50
クルルの次元定理って、偉そうなの？(hagewara

387:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:05:32
>Jordan-Holderから自然数の素因数分解の
>一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。

でないよ
自然数の素因数分解の本質は割り算にあるというのが
動かせない事実
それを使わない限り証明できるわけがない
おまえこそアタマを冷やせ

ここまで言ってわからなきゃ死ね

388:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:33:51
あんたが「何も使わないで」というのを、割り算も使わないでって意味だと
勝手に思い込んでただけじゃないのか？
>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか
そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、

お前は微積の授業で、平均値の定理からRolleの定理から何も使わないで出ます、
と先生が言ったら、
「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！
平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？

389:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:35:09
ヒントってどのレスのこと？
馬鹿な私には分かんないんだけど

あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ

390:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:41:54
>「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！
>平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
>ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？

噛みつくね

391:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:43:55
＞>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか
＞そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、

だからお前も同類の馬鹿なんだよ
な
ジョルダンヘルダーから簡単にでるって
じゃあどういう意味なんだよ

392:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:44:54
>あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ
ばかよくレス読んでこい

393:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:55:03
>平均値の定理

そういうのよく思いつくね

394:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:58:13
単に難しい道具を用意したりしなくても直接に出るって言ってるだけだろ？
割り算くらい代数学の勉強してる人間は理解しているとして話してるんじゃないのか？

そうすると難しい道具、の定義が無いとか言うのか？

>>208は別に今、数学を集合論から論理的に構築しているわけではないだろ？

395:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:00:30
はなしにならん

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