代数的整数論 - 暇つぶし2ch

代数的整数論 at MATH

1:１３２人目の素数さん
05/09/12 16:30:31
代数的整数論に関するスレッドです。

2:１３２人目の素数さん
05/09/12 16:33:10
↓の依頼により立てますた。
ガロア理論 Part 2
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:695番)

208さん後はよろしく。

3:１３２人目の素数さん
05/09/12 16:57:17
隔離スレおめ

4:１３２人目の素数さん
05/09/12 17:10:30
Neukich??

5:20B
05/09/12 17:21:31
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。

6:208
05/09/12 17:35:54
そう怖がらなくていい。
予備知識としてはガロワ理論と一般位相、位相群の初歩くらいか。

7:１３２人目の素数さん
05/09/12 17:47:22
ちんこ？

8:１３２人目の素数さん
05/09/12 17:50:47
Yes

9:１３２人目の素数さん
05/09/12 17:59:53
まんこ？

10:１３２人目の素数さん
05/09/12 18:04:45
No

11:１３２人目の素数さん
05/09/12 18:18:43
二次体の整数環の構造を教えて下さーい

12:１３２人目の素数さん
05/09/13 02:55:27
おっぱい？

13:１３２人目の素数さん
05/09/13 15:19:23
208さん、たくさんカキコしに来てくださ～い
他スレで浮気しちゃだめよ

14:208
05/09/13 16:00:38
もうちょっと待ってくれ。

15:１３２人目の素数さん
05/09/13 18:54:02
整数的代数論って何？

16:１３２人目の素数さん
05/09/13 18:55:28
代数的整数論って何？

17:１３２人目の素数さん
05/09/13 18:59:53
ググればわかる

18:１３２人目の素数さん
05/09/13 19:04:01
ググルのめんどくさい。教えて

19:１３２人目の素数さん
05/09/13 19:40:20
整数的代数論のことか？

20:１３２人目の素数さん
05/09/13 19:51:15
スレ主は全然面倒見てくれないな。無責任だよ。

21:１３２人目の素数さん
05/09/13 19:55:04
人のいるところでオナニーしないとつまらないんでしょ
208的に

22:208
05/09/14 09:54:06
ガロワ理論スレで述べたDedekindの判別定理の証明には以下の命題
が陰に使用されていた。

AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
IをBの(非零な整)イデアルとする。
このときB/Iの任意の剰余類に L = K(θ) となる元θ∈B が存在する。

この証明を演習問題として提出しよう。

23:１３２人目の素数さん
05/09/14 16:37:26
結局圏ってなんなんですか？　関数だか集合だかの拡張と聞いたんですが
具体的イメージが湧きません。

24:208
05/09/14 17:07:05
次の命題もDedekindの判別定理の証明に使われる。

命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの任意の(非零)素イデアルとする。
p = A∩P とする。B/P は A/p の分離拡大と仮定する。
このとき、元θ∈B とモニックな多項式 P(X)∈A[X] で以下の条件を
満たすものが存在する。
1) θのmod Pの剰余類は、B/PのA/p上の(拡大体としての)生成元。
2) P(X) (mod P) はθ(mod P) の最小多項式
3) P(θ) ∈ P - P^2

この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。

25:208
05/09/14 17:24:12
>>24の命題のθとして、L = K(θ) となるものがとれる。

この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。

26:１３２人目の素数さん
05/09/14 17:37:14
てす

27:208
05/09/14 17:38:40
>>24の命題のθとして、L = K(θ) かつθ∈ I となるものが取れる。
ここで I は、前もって任意に与えられた P と素なBのイデアル。

この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。

28:１３２人目の素数さん
05/09/14 17:39:36
と

29:208
05/09/15 09:15:54
>>22のヒント

θ∈ B で、L = K(θ) となる元をとる。
α∈B を任意にとる。
t ∈ A∩I で0でないものをとる。
m > 0 を整数として、K(α+(t^m)θ) を考える。

30:208
05/09/15 09:58:29
命題
BをDedekind環、Pをその(非零)素イデアルとする。
πを P - P^2 の任意の元とし、S を B/P の剰余類の完全代表系とする。
αをBの任意の元とし、m > 0 を任意の整数とする。
α = a_0 + a_1π + ... + a_(m-1)π^(m-1) (mod P^m)
となる。ここで、各 a_i ∈ S

この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。

31:208
05/09/15 10:05:14
高木の代数的整数論の前半の各命題（全部ではない）の証明を
現代的に書き直すのは、いい勉強になる。
後半(類体論)を書き直すのはちと手にあまる。

32:208
05/09/15 10:13:30
高木の本は必要とされる予備知識が少ないのに驚く。
ガロワ理論さえも仮定されていない(本文の中で導入している)。
群論の初歩はさすがに必要かな。
体論は、本文の中で殆ど自己完結しているが、予備知識ゼロだと
少しきついかもしれない。

33:208
05/09/15 10:24:47
良く知られてはいないが、抽象代数の勃興はDedekindの影響が大きい。
Dedekindの代数的整数論は非常に明快かつ驚くほど現代的。
代数的整数論は抽象代数の母体であるといえる。
そして抽象代数の勃興が現代数学の他の分野の抽象化を促した。
こう見てくると代数的整数論というのは一見非常に特殊な分野に見えるけど、
現代数学に大きな影響を持っていた(そしてたぶん今も)と言える。

34:208
05/09/16 09:43:11
命題
BをDedekind環、Pをその(非零)素イデアルとする。
πを P - P^2 の任意の元とし、S を B/P の剰余類の完全代表系とする。
αをBの任意の元とし、m > 0 を任意の整数とする。
α = a_0 + a_1π + ... + a_(m-1)π^(m-1) (mod P^m)
となる。ここで、各 a_i ∈ S

この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。

35:１３２人目の素数さん
05/09/16 10:12:04
ガロワ理論のスレで書いたことやや一般にして再度述べる。

AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
判別定理の証明のために以下の仮定をする。

Aの各(非零)素イデアルpに対して、A/p は完全体である。

Kが代数体のときは A/p は有限体だから、この仮定は当然満たされる。

TrをLからKへのトレース写像とする。
M(L/K) = {ξ∈B; Tr(ξB) ⊂ A} とおく。
M(L/K)は B を含むBの分数イデアルである。
D(L/K) = M(L/K)^(-1) とおく。D(L/K)をL/Kの共役差積という。
D(L/K)はLの整イデアルである。

L = K(θ) となるθ∈B に対して、F = {ξ∈B; ξB ⊂ A[θ]}
を環 A[θ] の導手(fuhrer)と呼ぶ。F は B のイデアルである。
f(X)∈A[X] をθの最小多項式とする。f'(X) をf(X)の微分とする
と、f'(θ)B = D(L/K)F という関係が成立つ。これはf(X)に関する
Eulerの公式から得られる(例えば高木の代数的整数論参照)。

命題
PをLの任意の(非零)素イデアルとしたとき、P が F を含まないような
θ∈B が存在する。

36:１３２人目の素数さん
05/09/16 12:20:41
おい学生、せっかく俺が問題出したんだ、少しは解けや。
高木を見てもいいよ。その代わり自分で理解して書いてくれ。
この問題は、判別定理で使うし、問題自体基本的なことばかり。

37:１３２人目の素数さん
05/09/16 12:38:13
面白いアーベル多様体の例を教えてくだーさい

38:１３２人目の素数さん
05/09/16 13:02:08
今、大学の試験時期か？どのスレも閑散としてるな

39:１３２人目の素数さん
05/09/16 18:17:01
問題がオモロナイ。

40:１３２人目の素数さん
05/09/21 09:17:36
高木の代数的整数論の前半で一番難しい部分を噛み砕いて教えようと
してるのにオモロナイとはいい度胸だ。
誤解のないように言っておくけど、ここで俺が出す問題は基本的には
代数的整数論の基本部分を分かりやすく説明するために出したものであり、
問題を出すことそれ自体を目的にしたものではない。今後もその予定。
問題はどれも素直なものばかり。これ等の問題を解くことにより基本が
身につくように配慮した。問題の意味は後になってわかるようになっている。
ちょうどプラモデルの組み立てみたいなもの。各問題は最終完成品の
部品に過ぎない。

41:１３２人目の素数さん
05/09/21 09:18:11
命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの(非零)素イデアルで、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
I を P と素なBの(非零)イデアルとする。
このとき、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) θ∈I
2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、
ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。

証明
>>24, >>25, >>27 より、
元θ∈B とモニックな多項式 φ(X)∈A[X] で以下の条件を
満たすものが存在する。
1) θのmod Pの剰余類は、B/PのA/p上の生成元。
2) φ(X) (mod P) はθ(mod P) の最小多項式
3) φ(θ) ∈ P - P^2
4) L = K(θ)
5) θ∈I

>>30から、このθが求めるものである。
証明終

42:１３２人目の素数さん
05/09/21 09:59:45
問題
AをDedekind環、I, J をその(非零)イデアルとする。
α∈I で αA = IR, R + J = A となるものが存在する。
ここで、R は A の(非零)イデアル

ヒント：中国式剰余定理を使う。

43:１３２人目の素数さん
05/09/21 10:03:54
>>35の命題を改めて書く。
命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの(非零)素イデアルで、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
このとき、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) A[θ] の導手 F はPと素である。

44:１３２人目の素数さん
05/09/21 10:05:19
>>43の命題の証明

pB = (P^e)I, I + P = B とする。
>>41より、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) θ∈I
2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、
ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。

c ∈ f'(θ)B ∩ A となる c ≠ 0 をとる。
f'(θ) ≠ 0 だから、このような c は存在する。
c が p に含まれないとすると、f'(θ)B は P に含まれない
ことになり、f'(θ)B = D(L/K)F より、F は P に含まれない。
よって、この場合は証明が終了する。
よって、 cA = (p^h)J, h > 0, J + p = A とする。ここで J は A のイデアル。
>>42より、dA = JR, R + p = A となる元 d ∈ J と A のイデアルRが
存在する
>>41より、任意のω∈B に対して、ω = G(θ) + β となる、
G(X) ∈ A[X] と β∈P^(eh) がある。
θ∈ I だから、(θ^h)β∈(I^h)P^(eh) = (IP^e)^h = (p^h)B
d(θ^h)β ∈ (p^h)JRB = cRB ⊂ f'(θ)B ⊂ F ⊂ A[θ]
よって、d(θ^h)ω = d(θ^h)G(θ) + d(θ^h)β ∈ A[θ]
ωは任意のB の元だから、d(θ^h) ∈ F となる。
d と θ は P に含まれないから F は P に含まれない。
証明終

45:１３２人目の素数さん
05/09/21 10:16:09
>>29のヒントでもまだたりない？

mを変化させると、KとLの中間体 K(α+(t^m)θ) の列が得られる。
L/Kは分離的だから、中間体の数は有限(ガロワ理論より)。
だから、この列は実質有限。つまり、K(α+(t^m)θ) = K(α+(t^n)θ)]、
m ≠ n となる整数m, n がある。

46:１３２人目の素数さん
05/09/21 10:20:37
>>45

実は、t^m = 1 となるケースがある。この場合、上の論法は使えない。
ただし、これが起きるのは I = A のときだけだから、問題ない。

47:１３２人目の素数さん
05/09/21 10:23:46
>>46の訂正

>これが起きるのは I = A のときだけだから、

これが起きるのは I = B のときだけだから、

48:１３２人目の素数さん
05/09/21 11:08:22
>>45はDirichletの部屋割り論法の一種。
この論法は数論でよく使われる。簡単だけど強力。

49:１３２人目の素数さん
05/09/21 14:03:16
高木の初等整数論はガウスのDA＋デデキントの整数論の本のサマリ。
高木の代数的整数論は、ヒルベルトの（１９世紀数学百科）報文の
引き写し＋自分の類体論　だと誰かが言ってたが、そこらへんどうなの？

（ヒルベルトの報文って、手に入らないので、高瀬さんでも翻訳本
出してくれないものかな）

50:１３２人目の素数さん
05/09/21 14:33:48
>>49

ヒルベルトの報文は当然参考にしてるだろうだろうが、それが主要
なソースかどうかは知らない。
邦訳があったような。記憶違いかな。

自分の類体論といっても、ArtinとかChevalleyとかの改良を
取入れている。Artinのは改良と言うより、類体論の主定理と
言っていいものだが。

51:１３２人目の素数さん
05/09/21 19:55:21
ガロアスレでx^3+x+1の分解体で31Z以外は分岐しないことが即答できない程度の
人間が何をいきがってんだろ？

52:１３２人目の素数さん
05/09/21 20:28:35
ここは王国なんだから干渉しちゃだめ

53:１３２人目の素数さん
05/09/22 09:32:43
なんだレスついたと思ったら煽りかよ。

54:１３２人目の素数さん
05/09/22 09:56:37
命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
Bの任意の(非零)素イデアルPに対して、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
このとき、L/K の共役差積 D(L/K) は、f'(θ) 全体で生成される。
ここで、θ∈B、L = K(θ) で f(X)∈A[X] はθのK上のモニックな
最小多項式。

証明
A[θ] の導手をFとすると、f'(θ)B = D(L/K)F となる。
これと、>>43 からわかる。
詳しくは演習問題(簡単)とする。

55:１３２人目の素数さん
05/09/22 10:26:10
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
θをB の元で L = K(θ) とする。
A[θ] の導手をFとする。
p を A の(非零)素イデアルで、pB + F = B とする。
包含射 A[θ] → B と標準射 B → B/pB の合成
A[θ] → B/pB は、同型 A[θ]/pA[θ] = B/pB を誘導する。

証明
pB + F = B と F ⊂ A[θ] より、A[θ] → B/pB は全射。

A[θ] ∩ pB = (pB + F)(A[θ] ∩ pB) ⊂ pA[θ] + pA[θ] ⊂ pA[θ]
逆の包含関係 pA[θ] ⊂ A[θ] ∩ pB は明らかだから、
A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。
よって, A[θ] → B/pB の核 A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。
証明終

56:１３２人目の素数さん
05/09/22 10:41:45
命題
Aを(可換)環、p をAの極大イデアルとする。
f(X)∈A[X] をモニックな多項式とする。
A[X]/(f(X)) = B とおく。
このとき、B/pB = κ[X]/(φ(X)) となる。
ここで、κ= A/p、φ(X) は κ[X] のモニックな多項式で
f(X)の係数を mod p で考えたもの。

証明
演習問題(簡単)とする。

57:１３２人目の素数さん
05/09/22 11:03:27
高木のp.83の付記の証明、つまりDedekindの判別定理の証明の
初めの部分、f(X) = P(X)^eA(X) (mod p) が良く分からない。
これほんとに成立つのかな？ p がθの導手と素なら>>55で述べたように
言えるけど、この場合、そうとは限らない。あの付記で言えるのは
pの上にある特定の素イデアルPと素になることだけ。

58:１３２人目の素数さん
05/09/22 11:07:09
>>55と>>56を組み合わせると、θのK上のモニックな最小多項式
f(X)∈A[X] の mod p での既約多項式の分解により pB の素イデアル
分解が得られる。詳しくは、演習問題とする。

59:１３２人目の素数さん
05/09/22 11:11:45
結局、高木のDedekindの判別定理のイデアル論による証明は
よく分からない。Zariski-Samuelに綺麗な証明があるので
それを後で紹介する。その前にDedekind環の基本からやり直す。

60:１３２人目の素数さん
05/09/22 11:17:27
>>49
確か、Springerから、英訳が出ていたのがそうだと思う。これじゃない？
The Theory of Algebraic Number Fields" David Hilbert (著)
ところで、ガロアスレでWeberの代数学の本の話があったけど、
どうやれば手にはいるか知ってる人いる？　独、英訳どちらでもいい。

61:208
05/09/22 11:21:01
>>60
>ガロアスレでWeberの代数学の本の話があったけど、

amazon.comにあったので最近注文した。まだ届いてない。
それが最後の在庫だったらごめん。

62:１３２人目の素数さん
05/09/22 11:40:22
>>60
AMSのBookstoreで購入可能！
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)

63:１３２人目の素数さん
05/09/22 11:42:58
まず、可換代数の初歩から復習する。
今後、環と言えば可換環を意味する。

定義
A を環、SがAの積閉集合とは、次の条件を満たすAの部分集合である。
1) 1 ∈ S
2) a∈ S, b ∈ S なら ab ∈ S

64:１３２人目の素数さん
05/09/22 11:59:38
>>63
零元は含まない、という条件も加えたら？

65:１３２人目の素数さん
05/09/22 11:59:50
A を環、SをAの積閉集合とする。
I = {x ∈ A; sx = 0 となる s ∈ S がある}
とおく。
I はA のイデアルである。
φ: A → A/I を標準射とする。
φ(S) の各元は B = A/I の非零因子である(演習問題)。
よって、φ(S) の各元は B の全商環 Q において逆元を持つ。
よって、Qの部分環 A_S = {φ(x)/φ(s); x ∈ A, s ∈ A} が定義
出来る。
A_S を A の S による局所化という。
A_S は A[1/S]とも書く。
A_S の元 φ(x)/φ(s) は、普通略して x/s と書く。

66:208
05/09/22 12:05:28
>>64

やだw
何故なら環というとき零環、つまり 1 = 0 となる環も含めたいから。
これがBourbakiやGrothendieckの流儀。
こうすると、f ∈ A のとき A[1/f] がfがベキ零でも定義できて
場合分けの面倒がない。

67:64
05/09/22 12:15:28
>>66
了解！　そのほうが形式的にすっきりします。

68:１３２人目の素数さん
05/09/22 12:15:33
ちなみに、可換代数でもっとも重要な概念は>>65の局所化である。
この概念を自由自在に使いこなせるようになることが、可換代数を
学ぶ上での最初のハードルである。この重要な概念がやっと1940年代に
定式化されたのは驚くべきことだろう。

69:64
05/09/22 12:18:32
>>69
さらに任意の可換環に対する局所化の定式化は
これからかなり遅れて成された、ということも驚き。

70:１３２人目の素数さん
05/09/22 12:20:57
>>69
はあ？ >>65は任意の可換環の局所化だけど

71:60
05/09/22 12:40:55
>>62
ありがとう！

72:１３２人目の素数さん
05/09/22 12:59:17
A_S を圏論的に特徴つけると以下のようになる。

可換環の圏を Ring と書く。
A を環、SをAの積閉集合とする。
B を環としたとき、
F(B) = {f ∈ Hom(A, B); f(S)の任意の元は可逆 } とおく。
対応 B → F(B) により、Ring から集合の圏 Setへの共変関手 F が
得られる(確かめよ)。
F は A_S により表現可能である。
つまり、関手 B → Hom(A_S, B) は関手 F と標準的に同型になる。

これを、噛み砕くと
f ∈ F(B) に対して、g∈ Hom(A_S, B) で、gφ = f となるものが
一意に存在する(図を書くとよくわかる)。

ここで、φ: A → A_S は a ∈ A に a/1 ∈ A_S を対応させる標準射。

73:１３２人目の素数さん
05/09/22 13:14:11
>>72
圏と関手の定義を簡単に説明してくれんか？
できればわかりやすく！

74:１３２人目の素数さん
05/09/22 13:47:50
>>73
英語が読めればwikipedeiaでcategory theoryを検索すればいい。
英語が読めないときは、図書館に行って日本語の圏論の入門書を調べてくれ。

75:１３２人目の素数さん
05/09/22 13:54:06
ところで、学部では圏論やらないの？

76:１３２人目の素数さん
05/09/22 14:01:23

非可換環の場合、局所化はどうなるんですか？

77:１３２人目の素数さん
05/09/22 14:02:57
>>75
学部でやるとかやらないとか関係ねーじゃん
公式のカリキュラムなんてほんの目安で
必要と思えば自分で勉強すればいいじゃん

小学生じゃねんだからさ

78:１３２人目の素数さん
05/09/22 14:13:27
>>74
けちなこと言うなよ。お前の悪いところだ。自分のいいたいことは延々と
垂れ流すくせに、こういうときは妙に素っ気ない。

79:１３２人目の素数さん
05/09/22 14:59:21
>>78

英語読めないやつはいっていいよ。数学やってるのに英語読めないってのは
話にならない。さらに独、仏も読めないとな。
高木は、ドイツ語だけでなくフランス語もよく出来たらしいね。
むこうで、フランス語で発表したらしい。発表だけでなく会話も。

80:１３２人目の素数さん
05/09/22 15:43:17
>>79
なら、このスレも英語で書いてみな。書けるものなら。
フランス語でもいいぞｗ

81:１３２人目の素数さん
05/09/22 15:45:12
環Aの素イデアルの集合をSpec(A)と書く。
SをAの積閉集合とする。
T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合} とおく。
p∈S に p(A_S) を対応させるとT(S)からSpec(A_S)への全単射が
得られる。この写像の逆写像は、P ∈ Spec(A_S) に P のφによる
逆像φ^(-1)(P) を対応させるもの。ここで、φ: A → A_S は標準射。

以降、この全単射により、T(S)とSpec(A_S)を同一視する。

82:１３２人目の素数さん
05/09/22 15:48:32
>>80

残念でした。俺は英語は得意。しゃべりも書くのも。
外人とりラックスして話せる。食事を楽しみながらな。

83:１３２人目の素数さん
05/09/22 15:49:12
非可換環の場合はどうなるんですか？

84:１３２人目の素数さん
05/09/22 15:55:53
A をネーター環とし、SをAの積閉集合とすると、
A_S もネーター環である。

85:１３２人目の素数さん
05/09/22 16:07:09
A を環とし、MをA-加群とする。
SをAの積閉集合とする。
M_S = M(x)A_S と定義する。
ここで、M(x)A_S は M とA_Sの A 上のテンソル積。
M_S は A_S-加群となる。M_S を M[1/S] と書くこともある。

x ∈ M, s ∈ S のとき、x(x)(1/s) を x/s と書く。

x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。

86:１３２人目の素数さん
05/09/22 16:10:30
M → M_S は完全関手である。
つまり、A-加群の完全列 0 → N → M → L → 0 があると
0 → N_S → M_S → L_S → 0 も完全である。

87:１３２人目の素数さん
05/09/22 16:12:26
A を環とし、MをA-加群とする。

x ∈ M に対して、Ann(x) = {a∈A; ax = 0 } とおく。

Ann(M) = {a∈A; aM = 0 } とおく。

Supp(M) = {p∈Spec(M); M_p ≠ 0 } とおく。

88:１３２人目の素数さん
05/09/22 16:17:57
>>87
>Supp(M) = {p∈Spec(M); M_p ≠ 0 } とおく。

M_p は M の S = A - p による局所化。
同様に A_p も定義される。

89:１３２人目の素数さん
05/09/22 16:19:10
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
p ∈ Spec(A) で、ある x ∈ M に対して p = Ann(x) となるとき
p を M の随伴素因子という。M の随伴素因子全体を Ass(M) と書く。

90:１３２人目の素数さん
05/09/22 16:41:44
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
x ∈ M, x ≠ 0 とすると、
Ann(x) を含む p ∈ Ass(M) がある。

証明
A イデアルの集合 T = {Ann(y); 0 ≠ y ∈ M, Ann(x) ⊂ Ann(y)}
は空でない(すくなくともAnn(x)がその要素)。
A はネーター環だから、T に極大元 Ann(y) がある。
a ∈ A - Ann(y)、b ∈ A とする。
Ann(y) ⊂ Ann(ay) で、ay ≠ 0 だから、Ann(y) の極大性から
Ann(y) = Ann(ay) となる。ab ∈ Ann(y) とすると、b ∈ Ann(ay) だから、
b ∈ Ann(y) となる。これは、Ann(y) が素イデアルであることを示す。
証明終

91:１３２人目の素数さん
05/09/22 16:47:13

非可換環の場合はどうなるんですか？

92:１３２人目の素数さん
05/09/22 17:01:04
>>91

うるせえな。すこしは自分で調べろよ。

93:１３２人目の素数さん
05/09/22 17:48:06
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
p ∈ Ass(M) であるためには、A-加群としての単射 A/p → M が
存在することと同値である。

94:１３２人目の素数さん
05/09/22 17:59:04
>>91のような質問を完全にスルーするのは感心できないな。

Ore setで調べてみ。

95:１３２人目の素数さん
05/09/22 18:00:01
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
SをAの積閉集合とする。
Ass(M_S) = Ass(M) ∩ Spec(A_S) となる。
ここで、M_S は A_S-加群として考え、>>81 の同一視をしている。

証明
p ∈ Ass(M) ∩ Spec(A_S) とする。
>>93より、A-加群の単射 A/p → M がある。この像をNとする。
よって A-加群の完全列 0 → p → A → N → 0 が得られる。
>>86より、0 → p_S → A_S → N_S → 0 は完全。
よって、N_S = A_S/p(A_S) となる。
仮定より、p(A_S) ∈ Spec(A_S) である。
A-加群の完全列 0 → N → M → M/N → 0
より、A_S-加群の完全列 0 → N_S → M_S → (M/N)_S → 0
が得られる。つまり、A_S-加群の単射 A_S/p(A_S) → M_S
が存在する。よって、p(A_S) ∈ Ass(A_S) となる。

逆に、p(A_S) ∈ Ass(A_S) とする。
Ann(x/s) = p(A_S) となる、x ∈ M、s ∈ S がある。
A はネーターだから、p は有限個の生成元 a_1, ..., a_n をもつ。
(a_i/1)(x/s) = 0 だから、t(a_i)x = 0 がすべての a_i で成立つような
t ∈ S がある。よって、p = Ann(tx) となる（詳細はまかす）。
証明終

96:１３２人目の素数さん
05/09/22 18:02:07
>>94
スレ違いだろ。可換環論と関係ない

97:１３２人目の素数さん
05/09/22 18:06:38
>>96
一言キーワード与えるくらい別に大したことないじゃん。
しかし、おぬしの口からスレ違いとは。。。

98:１３２人目の素数さん
05/09/22 18:17:03
Aを環、p ∈ Spec(A) とする。
>>81 より Spec(A_p) = {q ∈ Spec(A); q ⊂ p } となる。
よって、A_p はpA_pをただ１つの極大イデアルにもつ。
つまり、A_pは局所環である。
A_p/pA_p は A/pの商体に同型である。

99:１３２人目の素数さん
05/09/22 18:37:09
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
Ass(M) ⊂ Supp(M) となる。

証明
p ∈ Ass(M) とする。
A/p ⊂ M とみなせる。
よって、(A/p)_p ⊂ M_p
一方、(A/p)_p = A_p/pA_p ≠ 0
よって、M_p ≠ 0
証明終

100:１３２人目の素数さん
05/09/22 19:11:50
208がここに落ち着いてくれのたはうれしい。
いちいち、あげないでくれというのはさすがに無理か？

101:１３２人目の素数さん
05/09/22 22:09:16
208 さんの書き込みは勉強になります。
ずっとこのスレだけに書き込み続けてください

102:１３２人目の素数さん
05/09/22 22:20:44
>>96
そんなことだから、いつまでたっても風采が上がらんのだよ。

103:１３２人目の素数さん
05/09/22 22:35:47
ところで非可換環に対してもスキームみたいなことって
研究されてるのかね

104:１３２人目の素数さん
05/09/22 22:41:36
>>94

レスどうもです。Ore ring と言うんですね。
検索したらいろいろあって勉強になりました。

105:１３２人目の素数さん
05/09/23 00:56:10
>>74
＞日本語の圏論の入門書
殆ど無いような気がするけど、どんな本のことを言ってるの？
最近和訳されたMac Laneとか？

>>75
やらないかと、、

関係ないけど、英語のwikiは充実振りが凄いね

106:１３２人目の素数さん
05/09/23 01:00:16
>>79
そうだね
数学やってるんだから露も読めないとねｗ
代数幾何やってるのにイタリア語を読めないとか、カスだねｗｗｗ

ってたまたま語学堪能な数学者に言われたらあなたどういう気持ちがしますか？
分野によっては独語とか殆ど使わないような気がしますが、、

107:１３２人目の素数さん
05/09/23 01:55:54
気のせい。

108:１３２人目の素数さん
05/09/23 02:35:43
数学専攻ならロシア語くらいは読めんとな。

109:１３２人目の素数さん
05/09/23 06:17:50
数学の神ラマヌジャンの祖国インドの全ての民族語も読めんとな。

110:１３２人目の素数さん
05/09/23 06:35:29
数学専攻なら古代サンスクリットとマヤ語くらいは読めんとな。

111:１３２人目の素数さん
05/09/23 06:58:39
古代エジプト人はリーマン予想を解いていた

112:１３２人目の素数さん
05/09/23 16:11:53
リーマン予想くらいは解けんとな。

113:１３２人目の素数さん
05/09/26 09:52:11
スレ違いの質問でも数学のことなら俺は答えるべきとか無視すべきではない
とかと考えてるやつがいるけど（例えば、>>91, >>97）、どっからそういう
とんでもない思い込みが来るんだ？
誤解のないように言うけど、スレ違いでも流れから自然に出てくるのは、
駄目とは言ってない。だから、>>91 の質問も最初のときはいいんだよ。
だけど、それに俺が答えるかどうかは、俺の勝手だろ。
その質問は俺にとっては興味がないんだよ。可換環の概念のそれぞれに対応する
非可換バージョンは何かという発想は俺には退屈なんだよ。わるいけどな。
他の人が答えるぶんにはいっこうにかまわない。

114:１３２人目の素数さん
05/09/26 09:58:02
>>106
>ってたまたま語学堪能な数学者に言われたらあなたどういう気持ちがしますか？
>分野によっては独語とか殆ど使わないような気がしますが、

どういう気もなにも必要ならその言語を勉強するしかないだろ。
気持ちの問題じゃないんだよ。必要かどうかの問題なの。

115:１３２人目の素数さん
05/09/26 10:02:40
>>105
>殆ど無いような気がするけど、どんな本のことを言ってるの？
>最近和訳されたMac Laneとか？

俺なんか学部１年目で読んだけどな。岩波の現代数学概説Ｉを。
あの本は、あまり良くないけど圏論について一応は書いてある。
他には岩波の河田のホモロジー代数。圏論はこっちのほうが詳しい。

116:１３２人目の素数さん
05/09/26 11:07:32
>>85
>x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。

これを定義(M_S = M(x)A_S)から直接証明するのはかなり面倒。
普通は、M_S を M×S のある同値関係の同値類として定義し、
これが、M(x)A_S と同型になることを示す。

ここでは、Bourbakiに従って、面倒なほうの証明を紹介する。
そのためには、テンソル積と帰納極限が可換なことを使う。
詳しく述べると、

A を環とし、(M_i), i ∈ I をA-加群の帰納系とする。
ここで、I は有向前順序集合。
同様に、(N_j), j ∈ J をA-加群の帰納系とする。
ここで、J は有向前順序集合。
このとき、
ind.lim M_i(x)N_j = (ind.lim M_i) (x) (ind.lim N_j)
となる。ここで等号は同型を表す。

117:１３２人目の素数さん
05/09/26 11:47:03
集合 I が前順序集合であるとは、I に以下の条件を満たす関係≦が
定義されていることを意味する。

1) 任意の i ∈ I に対して i ≦ i
2) i ≦ j, j ≦ k なら i ≦ k

前順序集合 I が有向であるとは、任意の i, j ∈ I に対して
i ≦ k, j ≦ k となる k が存在することをいう。

有向前順序集合 I を添え字集合とする A-加群の族 (M_i) が帰納系
であるというのは i ≦ j のとき A-加群の射 f_(j, i) : M_i → M_j
があり、以下の条件を満たすものをいう。
1) f_(i, i) は M_i の単位射
2) i ≦ j, j ≦ k なら f_(k, j)f_(j, i) = f_(k, i)

帰納系(M_i) から A-加群 M への射を射 f_i: M_i → M の族(f_i)で
i ≦ j なら f_i = f_j f_(j, i) となるものと定義する。

帰納系(M_i) から A-加群 M への射 (f_i) があるとする。
これが次の条件を満たすとき、M を帰納系(M_i) の帰納的極限という。
1) 帰納系(M_i)から A-加群 N への射 (g_i) があるなら、
射 f: M → N が存在し、g_i = f f_i が各 i ∈ I で成立つ。
2) f は上の条件で一意に定まる。

M を ind.lim M_i と書く。ind. はinductiveの略。

118:１３２人目の素数さん
05/09/26 12:02:28
有向前順序集合 I を添え字集合とする A-加群の帰納系 (M_i) には、
必ず帰納的極限が存在する。

T を M_i の直和集合とする。T に以下のように同値関係を導入する。
x_i ∈ M_i, y_j ∈ M_j が同値であるとは、i ≦ k, j ≦ k となる
k があり、f_(k, i)(x_i) = f_(k, j)(y_j) となることをいう。
ここで、f_(k, i) は、帰納系 (M_i) を定義する射。
これが同値関係を満たすことの確認は各自にまかす。
T をこの同値関係で割った商集合を M とする。
M が A-加群になり、M = ind.lim M_i となることも各自にまかす。

119:１３２人目の素数さん
05/09/26 12:18:46
帰納的極限 ind.lim (M_i) は次の意味で同型を除いて一意に定まる。
帰納系 (M_i) の極限として M と N があるとする。
このとき、A-加群の同型射 f: M → N があり、
f f_i = g_i となる。ここで、f_i: M_i → M, g_i: M_i → N は
それぞれの極限を定義する射。

このことは帰納的極限の定義からすぐ出る。

120:１３２人目の素数さん
05/09/26 12:30:58
>>118から次のことがわかる。
M = ind.lim (M_i) とし、x ∈ M_i, y ∈ M_j に対して、
f_i(x) = f_j(y) とする。このとき、i ≦ k, j ≦ k となる k があり、
f_(k, i)(x) = f_(k, j)(y) となる。

とくに、x, y ∈ M_i で、f_i(x) = f_i(y) とすると、
i ≦ j となる j があり、f_(j, i)(x) = f_(j, i)(y) となる。

これから、f_i(x) = 0 なら f_(j, i)(x) = 0 となる j がある。

121:１３２人目の素数さん
05/09/26 13:00:19
>>113
そんなに長々と理屈こねなくても、素直に知りませんと言えばすむことじゃん。

122:１３２人目の素数さん
05/09/26 13:23:44
圏論を学部で教えないってのはおかしいな。
私見によれば圏論は２０世紀の数学が発見したものの中で最も重要な概念だ。
１９世紀の集合概念の発見に匹敵するものだろう。
パラダイムが変わったといってもいいほどのもの。

123:１３２人目の素数さん
05/09/26 13:26:51
面白そうでないということくらいなら知ってる

124:１３２人目の素数さん
05/09/26 13:28:24
何故知ってるかというと昔、浅野の環論をちらっと見たから
たしかエライ面倒

125:１３２人目の素数さん
05/09/26 13:31:09
対象よりも射によって色々なものを定義しようって発想ですな
つまり人間は一人で生きるにあらずということを主張しているわけですよ
圏論というものは

126:１３２人目の素数さん
05/09/26 13:36:40
>>121
スルーしたってことで終わりだろ。それをぐだぐだ言う奴がいる。
なんか勘違いしてるんだな

127:１３２人目の素数さん
05/09/26 13:41:26
挑発的なレスは208？

128:208
05/09/26 13:45:07
今日のレスで>>121,>>125,>>127以外は今のところ俺

129:１３２人目の素数さん
05/09/26 14:00:57
ぐだぐだ言ってるのは208だと思います＞＜

130:１３２人目の素数さん
05/09/26 14:07:02
そのとおりだとおもいまゅ（＞＜）

131:１３２人目の素数さん
05/09/26 14:07:40

これからの数学にとって、非可換環ほど重要なものはないだろ？

132:208
05/09/26 14:18:13
>>131

これからって、どのくらいのスパンを考えてる？
５０年以上先ってのなら、そういう話は今しないでくれ。

133:１３２人目の素数さん
05/09/26 14:24:59
GL(2,Z)の整数論でもやらないか？

134:208
05/09/26 14:31:49
>>133
ヘッケ環だろ。
特殊な非可換環なら昔から整数論でやってる。
群環だって表現論では昔から重要。

135:１３２人目の素数さん
05/09/26 14:41:17
例えば、M(2,Z) を2次の行列環とするとき、
Spec(M(2,Z)) はどういうものになるんですか？

136:208
05/09/26 14:54:33
俺は知らないからスルー

137:１３２人目の素数さん
05/09/27 05:47:22
現代数学概説Ｉはやたら一般の代数系に拘ったり
素朴集合論に70～80ページとか費やしてる割に
群、環、体はあまり深く議論してなかったり、突っ込みどころ満載かと、、

圏論について書いてないことも無いけど、あれを学部生に読ませるのは駄目だと思う
あの本が参考文献で出てくること自体が、
ほとんど日本語の本が出てないこと、学部教育に圏論が必要と
考える人が少ないことをを端的に表している

138:１３２人目の素数さん
05/09/27 06:45:52
>>137
まあ圏論なんて代数幾何とかやらないとなかなかありがたみがわかないと思う。
圏論だけの授業やってもあまり面白くないと思うし、しょうがないわな。

139:208
05/09/27 08:56:16
>>137
>現代数学概説Ｉはやたら一般の代数系に拘ったり
>素朴集合論に70～80ページとか費やしてる割に
>群、環、体はあまり深く議論してなかったり、突っ込みどころ満載かと、、

そうそう。俺なんか、何も知らない１年生だったから、退屈なのを
我慢して読んだよ。束論なんかもいやに詳しくて、そのくせ
あそこに書いてある束論の結果なんか俺は今もって使ったことがない。

あれはBourbakiにひどく影響されて書かれたものなんだね。
Bourbakiの集合論と代数の内容をあの一冊に収めようとしたのが
そもそもの間違い。

140:208
05/09/27 09:09:09
>>138
>圏論だけの授業やってもあまり面白くないと思うし、

何も圏論だけの授業をやれと言ってるんじゃない。
圏論は代数幾何とまで言わなくても、普通に代数に使われるよ。
位相幾何もそう。これ等をやる前にちょこっとやればいいじゃん。

141:208
05/09/27 09:21:09
圏論使わないと教えるのに不便なんだよ。
圏論の初歩、つまり米田の補題とか随伴関手くらいまでだったら
証明を理解するのは簡単だろ。簡単すぎてあくびがでるくらい。

142:208
05/09/27 09:38:59
>>116の命題を証明する。
命題
A を環とし、(M_i), i ∈ I をA-加群の帰納系とする。
ここで、I は有向前順序集合。
同様に、(N_j), j ∈ J をA-加群の帰納系とする。
ここで、J は有向前順序集合。このとき、
ind.lim M_i(x)N_j = (ind.lim M_i) (x) (ind.lim N_j)
となる。ここで等号は同型を表す。
(M_i(x)N_j) の添え字集合は I と J の直積に、(i, j) ≦ (i', j')
を、i ≦ i' かつ j ≦ j' と定義したものこれが有向前順序集合に
なることは明らかだろう。

証明
M = ind.lim (M_i)
N = ind.lim (N_j)
T = ind.lim M_i(x)N_j とおく。

M × N から T への写像φを以下のように定義する。
(x, y) ∈ M × N とし、x = f_i(x_i), y = g_j(y_j) とする。
ここで、x_i ∈ M_i, y_j ∈ N_j で、f_i, g_j はそれぞれ
(M_i), (N_j) の極限を定義する標準射。
φ(x, y) = h_(i,j)(x_i (x) y_j) とする。
ここで、h_(i,j): M_i(x)N_j → T は標準射。
これが、x_iとy_jの取り方によらないことと、双線形写像であること
の確認は各自にまかす。
よって、テンソル積 M (x) N の性質から、φ(x, y) = λ(x (x) y)
となる A-加群としての射 λ: M (x) N → T が存在する。
他方、 μ_(i,j) : M_i(x)N_j → M (x) N が μ_(i,j) = f_i (x) g_j
と定義して得られる。射の族 (μ_(i,j)) は帰納系 (M_i(x)N_j) から
M (x) N への射を定義する。よって、μ: T → M (x) N が得られる。
λとμが、互いに逆写像になっていることは容易にわかる。
証明終

143:208
05/09/27 09:56:48
>>142の記号を使う。

x ∈ M, y ∈ N とし、x (x) y = 0 とする。
>>118より x = f_i(x_i), y = g_j(y_j) となる
x_i ∈ M_i, y_j ∈ N_j がある。

(f_i (x) g_j) (x_i (x) y_j) = f_i(x_i) (x) g_j(y_j) = x (x) y = 0
となる。
>>120 より、 x_k (x) y_l = 0 となる、x_k ∈ M_k, y_l ∈N_l
がある。ここで i ≦ k, j ≦ l であり、x_k = f_(k, i)(x_i),
y_l = g_(l, j)(y_j)

144:208
05/09/27 10:09:42
命題
A を環とし、M と N を A-加群とする。
x ∈ M, y ∈ N とし、x (x) y = 0 とする。
このとき、x を含む A上有限生成の M の部分加群 M' と
y を含む A上有限生成の N の部分加群 N' が存在し、
M' (x) N' の元として x (x) y = 0 となる。

証明

M の有限生成部分加群全体の族 (M_i) を考える。
ここで添え字集合 I は M の有限生成部分加群のなす集合であり、
包含関係により順序を定義する。I は有向順序集合である。
当然、有向前順序集合でもある。
M = ind.lim (M_i) は明らかだろう。
同様に、N の有限生成部分加群全体の族 (N_j) を考える。
N = ind.lim (N_j) となる。
こもまでくれば、>>143より命題は明らかだろう。
証明終

145:208
05/09/27 10:38:01
>>85の証明をする。

命題
A を環とし、MをA-加群とする。
SをAの積閉集合とする。
M_S = M(x)A_S と定義する。
ここで、M(x)A_S は M とA_Sの A 上のテンソル積。
M_S は A_S-加群となる。M_S を M[1/S] と書くこともある。
x ∈ M, s ∈ S のとき、x (x) (1/s) を x/s と書く。
x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。

証明
x/s = x (x) (1/s) = 0 より、x/1 = x (x) 1 = 0 となる。
>>144 より、A_S のA-加群としての有限生成部分加群 N で
1 を含み、M (x) N の元として x (x) 1 = 0 となる。
N の生成元を、a_1/t_1, ... , a_r/t_r とする。
t_1, ..., t_r の積を t とすれば、N ⊂ A(1/t) となる。
I = {a ∈ A; ある s ∈ S に対して sa = 0} と定義すると、
I は A nのイデアルである。
a ∈ A のとき、a/t = 0 となるのは、sa = 0 となる s ∈ S
があるときに限る。つまり、a ∈ I である。
A-加群としての射 f: A → A(1/t) を、f(a) = a/t で定義する。
この射の核は、I に他ならない。f は明らかに全射だから、
A(1/t) は A/I と同型である。よって、 M (x) A(1/t) は
M (x) (A/I) = M/IM に同型である。この同型により、
x (x) 1 = x (x) (t/t) は tx mod IM に移る。
x (x) 1 = 0 だから、tx ∈ IM となる。よって、tx = Σ(a_i)(m_i)
となる、有限個の a_i ∈ I と m_i ∈ M がある。
すべての a_i に対して sa_i = 0 となる s ∈ S がある。
この s により stx = 0 となる。
証明終

146:208
05/09/27 12:17:37
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
p を Supp(M) の極小元とすると、p ∈ Ass(M) となる。

証明
M_p は空でないから、>>90より Ass(M_p) は空でない。
Ass(M_p) は Spec(A_p) の部分集合であり、Spec(A_p) は
{q ∈ Spec(A); q ⊂ p} と同一視される(>>81)。
pの極小性より、Ass(M_p) = {pA_p} となる。
一方、>>95より、この同一視により Ass(M_p) = Ass(M) ∩ Spec(A_p)
となる。よって、p ∈ Ass(M) となる。
証明終

147:208
05/09/27 12:31:14
随伴素イデアル(つまり Ass(M) の元)という概念は Bourbakiの
手柄だね。それ以前は、この概念は準素加群分解に現れる素イデアル
ということでしか定義されなかった。
随伴素イデアルの重要性を示すために例として有限アーベル群の
随伴素イデアルは何かという問題を出そう。

別の例として、V を代数的閉体 K 上の有限次ベクトル
空間とし、u を Hom(V, V) = End(V) の元とする。
K[X] を K 上の１変数多項式環とし、 X に u を対応させることにより、
K-多元環としての射 K[X] → End(V) が得られる。この射により、
V は K[X]-加群となる。このK[X]-加群の随伴素イデアルは何か？

148:１３２人目の素数さん
05/09/27 12:43:22
しかし、これだけ演習題を提示して
証明もあたえらるなら、本にして売ったほうがいいような気がする
「電車男」なんてインチキ本が売れるんだ、
「数」の世界にごまかしはないからぜひとも編纂願う

149:１３２人目の素数さん
05/09/27 12:50:06
興味ある奴の絶対数が違いすぎる

150:208
05/09/27 12:52:09
随伴素イデアルの理論の次はだいたい以下のように考えている。

・Artin環
・Dedekind環の特性つけ
・Krull-秋月の定理
・正規環の因子類群
・ガロワ拡大におけるHilbertの分岐理論
・Dedekindの判別定理の証明
・付値論の初歩
・完備付値体の理論

途中で変更の可能性もある。

151:１３２人目の素数さん
05/09/27 12:56:30
興味ない奴はスルーすればいいだけとか言うくらいだったら、
自分でサイト作ってそこに文章書いて掲示板でも設置すればいいのに。

彼が2chという掲示板でやる理由は何だろうね。

152:１３２人目の素数さん
05/09/27 12:57:29
わかりきった問いをするなよ

153:１３２人目の素数さん
05/09/27 13:12:21
本当は大学か何かの先生だったりします？>>208

154:１３２人目の素数さん
05/09/27 13:58:34
>>153
だろうね。

155:208
05/09/27 15:27:24
そんなわけねえだろ。学部で圏論教えてるかどうか聞いてるのに。

156:208
05/09/27 15:28:45
>>152

ほう、教えてくれ

157:208
05/09/27 15:45:20
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
N を M の部分加群とする。
Ass(M/N) が１個の素イデアルのみからなるとき、N を M の
準素(primary)部分加群という。Ass(M) が１個の素イデアルのみから
なるとき、つまり {0} が M の準素部分加群となるとき、
M を余準素(coprimary)加群という。

M の部分加群 N が真に大きい部分加群の共通部分になるとき、
つまり、N = N_1 ∩ N_2, N ≠ N_1, N ≠ N_2 となる部分加群
N_1, N_2 があるとき、N を可約部分加群という。可約でないとき
既約という。

158:208
05/09/27 16:03:24
命題
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
N を M の部分加群とする。
N が準素部分加群でなければ、N は可約である。

証明
M を M/N に置き換えて N = 0 と仮定してよい。
よって、Ass(M) に属す素イデアルで互いに異なる p, q がある。
p = Ann(x), q = Ann(y) となる元 x, y ∈ M がある。
Ax は A/p に A-加群として同型だから、Ass(A/p) = {p} となる。
同様に Ass(A/q) = {q} である。
Ass(Ax ∩ Ay) ⊂ Ass(A/p) ∩ Ass(A/q) だから、Ass(Ax ∩ Ay) は
空集合である。よって、Ax ∩ Ay = 0
証明終

159:208
05/09/27 16:25:22
補題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
f ∈ Hom(M, M) とする。
ある整数 n > 0 に対して f^n(M) ∩ Ker(f) = 0 となる。

証明
M の部分加群の昇列 Ker(f) ⊂ Ker(f^2) ⊂ ...
を考える。M はネーターだから、Ker(f^n) = Ker(f^(n+1)) となる
整数 n > 0 がある。この n が求めるものである。
証明終

160:208
05/09/27 17:03:07
A を環、I を A のイデアルとする。
V(I) = {p ∈ Spec(A); I ⊂ p } と定義する。
V(I) の形の Spec(A) の部分集合を閉集合と定義することにより、
Spec(A) に位相が入る。この位相を Spec(A) のZariski位相という。

161:208
05/09/27 17:04:58
補題
A を環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
Supp(M) = V(Ann(M)) となる。

証明は演習とする。

162:208
05/09/27 17:17:27
A を環、f ∈ A とする。S = {f^n; n = 0, 1, 2, ...} とする。
S は積閉集合である。A_S を A[1/f] または A_f と書く。
A[1/f] が零環となるのは f がべき零のときに限る。
よって、Spec(A[1/f]) が空となるのは、f がべき零のときに限る。
Spec(A[1/f]) は、集合 D(f) = {p ∈ Spec(A); f は p に含まれない}
と同一視される(>>81)。

163:208
05/09/27 17:20:32
命題
A を環とする。A のすべての素イデアルの共通部分は A のべき零元の
全体と一致する。

証明は>>162より明らか。

A のべき零元の全体を Nil(A) と書く。

164:208
05/09/27 17:35:13
A を環、I を A のイデアルとする。Nil(A/I) の標準射 A → A/I
による逆像を I の根基(radical)とよび、rad(I) と書く。
これは、mod I でベキ零となる A の元全体である。
>>163より、rad(I) は I を含む素イデアル全体の共通部分である。

165:208
05/09/27 17:50:11
ネーター環 A の Nil(A) はベキ零である。

証明は演習

166:208
05/09/27 17:58:15
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
Ass(M) と Supp(M) のそれぞれの極小元の集合は一致する。

証明
Ass(M) ⊂ Supp(M) (>>99) と >>146 からわかる

167:208
05/09/27 18:02:21
命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
rad(Ann(M)) は p ∈ Ass(M) 全体の共通部分と一致する。

証明
>>161 と >>166 よりわかる。

168:208
05/09/27 18:07:01
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群で余準素(>>157)とする。
このとき、定義より、Ass(M) は一個の素イデアル p よりなるから
>>167より p = rad(Ann(M)) である。>>165 より、p^n ⊂ Ann(M)
となる整数 n > 0 がある。よって、(p^n)M = 0 となる。

169:208
05/09/28 09:11:33
現代数学概説Ｉの悪口を書いたけど、俺はあれで集合論を勉強した。
束論も意識してないけどジョルダン・ヘルダーの定理なんかで、
無意識に使ってるかもしれない。若い頃に読んだものって結構
影響力がある。因みにあのシリ－ズはいい本があるね。
岩沢の代数関数論とか。あの本はいいらしいけど超難しい。
俺も学部のころ仲間で読もうとしたけど、最初の付値論の
近似定理あたりで皆おだぶつ。

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