圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
at MATH
1:１３２人目の素数さん
04/07/13 00:13
, ＿ ﾉ）
γ∞γ~ ＼ とて
とて | / 从从) ）
ヽ | | l l |〃 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
｀从ﾊ~ ワノ） ＜ 圏論についてなんでもどうぞ♪
{| ￣［`［>ﾛ<］'］￣|! ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
`,─Y ,└┘_ﾄ─'
└／/ ｌ T ヽ＼ とて
⌒ヽ ,く._ ' _ >
人 ｀ヽ｀二二二´'´
Y⌒ヽ）⌒ヽ し' ｌ⌒)
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
■前スレ
なんで圏論なんてもんがあんのよ？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
■関連スレ
大好き★代数幾何 Part 2
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
集合論なぜなにスレッド
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
非古典論理について語るスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
■関連過去スレ
層
ｽﾚﾘﾝｸ(math板) （dat落ち中）
シット サイト トポス シャン モチーフ
URLﾘﾝｸ(science.2ch.net)
2:１３２人目の素数さん
04/07/13 00:14
2ｹﾞﾄはにゃーん
3:１３２人目の素数さん
04/07/13 00:49
「はにゃーん」だなんてロリ漫画の読みすぎだ
4:１３２人目の素数さん
04/07/13 00:50
おまえもなー>>3
5:１３２人目の素数さん
04/07/13 03:35
米田たんヽ(´ー`)ﾉ
6:１３２人目の素数さん
04/07/13 11:32
6
7:１３２人目の素数さん
04/07/13 11:33
変なAAを>>1に入れんなよ・・・
8:１３２人目の素数さん
04/07/13 11:50
刷れたてに免じて許そう。
9:１３２人目の素数さん
04/07/13 13:26
>>5
米田たんの下の名前おしえて
10:１３２人目の素数さん
04/07/13 13:49
信夫
だったか？
11:１３２人目の素数さん
04/07/13 14:02
教養の頃、情報基礎論だか何だかいう授業うけたぜ。
何言ってんだかまったく理解できなかったが。
12:１３２人目の素数さん
04/07/13 14:45
お前東大か？
13:１３２人目の素数さん
04/07/13 18:44
東江戸川大学とばかだ大学ってもしかして姉妹校でつか？
14:１３２人目の素数さん
04/07/14 18:08
圏論演習 (6) （前スレからの続き）
Sets を集合の圏、 C を下向きにフィルターづけられた small category, F ： C → Sets を函手とする
。任意の x ∈ Ob(C) に対し、C(x) が空でない有限集合なら、（逆系） F の逆極限（射影的極限）は空でない。
（注）C を下向きにフィルターづけられた ：
(1) 任意の x, y ∈ Ob(C) に対して、Hom(z, x), Hom(z, y) が共に空でないような z が存在。
(2) 任意の x, y ∈ Ob(C), a, b ∈ Hom(x, y) に対して、或る z ∈ Ob(C) と、 c ∈ Hom(z, x) で、
a・c= b・c なる物が存在。
15:１３２人目の素数さん
04/07/14 18:24
>>14
〜であることを示せ？
16:１３２人目の素数さん
04/07/14 18:34
>>15
その通りです。
17:１３２人目の素数さん
04/07/14 19:00
>>14
だいぶはしょったけどこんなもん？
順序数γについてCγ=[0,γ)にC(i,j)={<j,i>} (if i≧j) φ (otherwise)、<j,k>･<i,j>=<i,k>で
圏の構造をいれる。>>14のCはCγとして一般性を失わない。
Fの部分関手GをG(j)={x∈F(j)|∀i≧j x∈im F(<i,j>)}とさだめる。G(j)≠φは容易に
わかる。このときi≧jに対しG(<i,j>)は全射。列(xi)⊂∪Giで
(i)xi∈G(i) (ii)xi=G(<j,i>)(xj) (j≧i)をみたすものを超限帰納法で構成する。
I)x1∈G(1)は好きにとる。
II)xiまでとれたとしてG(<i+1,i>)は全射なのでG(<i+1,i>)(y)=xiなるy∈G(i+1)がとれる。
これをx(i+1)とする。
III)極限数l未満のiについてxiが構成できたとする。もし任意のy∈G(l)についてある
i(y)=i<lが存在してxi≠G(<l,i>)(y)とするとi=max{i(y)}に対しxiはimG(<c,i>)の元で
なくなるのでG(<l,i>)の全射性に矛盾。よってy∈G(l)をxi=G(<c,i>)(y) (∀i<l)
ととれる。このyをxにする。
んな感じ。
18:１３２人目の素数さん
04/07/14 19:39
>>17
＞CはCγとして一般性を失わない。
が少しはしょりすぎで、
フィルター付けの仮定を何処で使っているか良く分からんが、
まあ良しとしておこう。
19:１３２人目の素数さん
04/07/14 20:01
>>18
たしかに･･･ちとはしょりスギですた･･･大目にみてもろえてよかたよ。
20:１３２人目の素数さん
04/07/14 21:11
C (= Htp) を、位相空間と連続写像のホモトピー類のなす圏とする。
この圏では push out, pull back は一般に存在しないことを示せ。
今日のネタはここまでにしておくが、ここまで全部解いた人は
圏論の通だな。
21:１３２人目の素数さん
04/07/14 21:15
↑ 圏論演習 (7)
22:１３２人目の素数さん
04/07/15 07:32
algebraic set theory のサイトができてます。
URLﾘﾝｸ(www.phil.cmu.edu)
23:１３２人目の素数さん
04/07/15 15:29
>>22
哲学科のページですか。
24:１３２人目の素数さん
04/07/15 16:10
圏
25:１３２人目の素数さん
04/07/15 16:18
前スレ973に対する解答978の、どの辺りが987言うところの
米田の補助定理と関係してくるのですか。
26:１３２人目の素数さん
04/07/15 16:31
論
27:１３２人目の素数さん
04/07/15 23:17
>>20
答えおながいします。
28:１３２人目の素数さん
04/07/16 18:48
>>20
答えおしえろage
29:１３２人目の素数さん
04/07/16 21:01
>>20は有限集合に適当に位相を入れて作ればできるんでは（ホンマに適当
30:１３２人目の素数さん
04/07/17 21:05
って何。
31:683
04/07/17 21:22
成層圏
32:１３２人目の素数さん
04/07/18 01:01
>>20
圏論演習 (7) の解答。
これらは少々位相幾何の知識を要する。簡単のため pull back が存在しない事のみ示す。
K(π, n) をEilenberg-MacLane とする。圏 Htp において
A =K(Z, 64), B = K(Z, 32), C = K(Z, 16), D = K(Z, 8) とし、
f ： B → A, g ： C → A をそれぞれ基本コホモロジー類の自乗、四乗から導かれる写像とする。
もしこれらの pull back
Ａ←Ｂ
↑ ↑
Ｃ←Ｘ
が有ったとすると、 X のホモトピー群は 16, 32次元を残して消滅するが、
一方 h ： D → B, k ： D → C をそれぞれ基本コホモロジー類の
四乗、自乗から導かれる写像とする と、 X からの射は、
Ａ←Ｂ
↑ ↑
Ｃ←Ｄ
となる自明でない可換図式を経由する事になり、Hopf invariant 1 に関する定理に矛盾。
33:１３２人目の素数さん
04/07/18 01:14
そういう例を持ち出す必然性（存在のための有効な十分条件）はあるの？
34:１３２人目の素数さん
04/07/18 01:21
>>33
必然性（存在のための有効な十分条件）という意味は？
もっと簡単な（反）例がないかと言う事？
35:１３２人目の素数さん
04/07/18 01:40
>>33
A が終対称の時、即ち直積は常に存在する。一般に任意個数の直出来・直和は常に存在する。
36:１３２人目の素数さん
04/07/18 01:49
>>34
pull backなんか無いのが普通なんじゃ？
37:１３２人目の素数さん
04/07/18 01:52
それとも特別な例で証明したということは、
ありきたりな例では存在するわけですか？
38:１３２人目の素数さん
04/07/18 02:15
>>36>>37
確かに多くの場合 pull back は存在しない。
しかし証明するには或る程度のトポロジーの知識は必要だろうと思う。
39:１３２人目の素数さん
04/07/19 02:53
>>32
＞四乗、自乗から導かれる写像とする と、 X からの射は、
＞
＞Ａ←Ｂ
＞↑ ↑
＞Ｃ←Ｄ
＞
＞となる自明でない可換図式を経由する事になり、Hopf invariant 1 に関する定理に矛盾。
↑これ逆じゃないの？D→BとD→CがそれぞれX→？を通過するんじゃないの？
40:１３２人目の素数さん
04/07/19 04:36
＞Hopf invariant 1 に関する定理に矛盾。
これは何?具体的にどうゆうステートメントに矛盾するの？
41:１３２人目の素数さん
04/07/19 20:34
原生計算と存在論的観測って本に圏論の解説が出てるね。
42:１３２人目の素数さん
04/07/20 18:10
>>39
失礼 ! 逆でした。
X が pull back だから、D → X → B → A と D → X → C → A
>>40
X がこの次元では、
X → B → A の表すコホモロジー類の自乗が
X → C → A の表すコホモロジー類の偶数倍となり、
D → X → B → A と D → X → C → A が可換となることに
（共にコホモロジー類の生成元となることに）矛盾する。
43:１３２人目の素数さん
04/07/20 19:55
圏論演習 (8)
今度は標準的な問題にしよう。
X を位相空間、 その上の環層 O_X の上の加群層の圏を C とする。
(i) C には十分多くの injective object が存在する。（これは易しいから答えなくとも良い）
(ii) C の対象は injective hull を持つ。
(iii) C は十分多くの projective object を持つ。
44:１３２人目の素数さん
04/07/26 23:46
>>43
私の勘違いだった
(iii) C は十分多くの projective object を持たない。
が正しい
45:１３２人目の素数さん
04/07/27 09:27
カキゴリー
46:１３２人目の素数さん
04/07/27 19:31
圏論演習も、段々と加群の圏、層の圏、アーベル圏、局所化圏、導来圏などに
シフトしようと思っていたが、最初で躓いてしまった。
又一般論：順序集合と順序写像(広義単調増加写像)の圏など良くある圏に話を戻して、
随伴関手・極限等の問題にしようか？
47:１３２人目の素数さん
04/07/27 20:52
もし可能なら、ステップアップする際に定義やなんかの説明をして
頂けないでしょうか。
スペース的&手間的に、無理っすかねー？
48:１３２人目の素数さん
04/07/28 04:47
>>47
定義がやたら長いのが abstract nonsense の特徴
49:１３２人目の素数さん
04/08/01 12:21
FeaturesOfTheGod
はつくづくアホだなと感じ
50:１３２人目の素数さん
04/08/01 12:22
FeaturesOfTheGod
はつくづくアホだなと感じ
51:１３２人目の素数さん
04/08/01 18:37
と言うことで夏休みに入りました（＾＾；；；
52:１３２人目の素数さん
04/08/01 19:03
>>51
あなた誰
私は圏論演習の出題者だが、近々易しい問題を出す予定。
その前に Tor の問題を1題だけ出してみたいのだが、
皆さん Tor はご存知かな?
説明しろといわれても長くなり杉
53:１３２人目の素数さん
04/08/01 19:13
出して味噌。興味が湧けば、考えよう。
54:１３２人目の素数さん
04/08/01 20:20
それでは。
圏論演習 (9)
有限アーベル群の圏 C において、
F (X) = X (恒等函手）、G (X) = Tor(Q/Z, X) は、各 X に付いて F (X) と G (X) は同形であるが、
函手として同値(同形)出ないことを示せ。
(日本語入力が急にバカになったので暇がかかった.)
55:１３２人目の素数さん
04/08/01 23:23
>>54失礼、又、ボケていた。
｢同値｣でした。
書こうとしたのは、
有限アーベル郡の圏において、A と B のテンソル籍は、Tor(A, B) の、同形であるが、函手として同形でない、でした失礼。
56:１３２人目の素数さん
04/08/03 15:41
問題がぐちゃぐちゃでわけがわかんねーよ
57:１３２人目の素数さん
04/08/03 23:45
失礼
又書き直します
58:１３２人目の素数さん
04/08/12 15:12
255
59:１３２人目の素数さん
04/08/12 15:38
Z/4 ->> Z/2
で考えるよし
60:１３２人目の素数さん
04/08/12 16:07
>>59
相方はZ/2
61:１３２人目の素数さん
04/08/17 09:27
>>59>>60
ご明察
62:１３２人目の素数さん
04/08/17 16:16
次からは自作の演習問題を考えるから待って炉。
考えた末に既出という場合もあるがな。
63:１３２人目の素数さん
04/08/24 01:24
971
64:１３２人目の素数さん
04/08/24 18:35
9月になったら作るから待って炉
65:１３２人目の素数さん
04/08/31 23:30
400
66:１３２人目の素数さん
04/09/02 18:54
９月になったので約束通り圏論演習の続きを始めよう。
第(10)題目になるな。
久々だからごく易しい問題から始める。
圏 C で次の三条件を満たす物を具体的に一つ構成せよ。
(i) C は small category に圏同値でない。
(ii) C は任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じている、
(iii) C は その双対圏 C^op と圏同値である。
67:１３２人目の素数さん
04/09/02 19:23
Sets \times Sets^op
68:１３２人目の素数さん
04/09/02 19:37
>>67
ご明察。
簡単すぎたな。
69:１３２人目の素数さん
04/09/02 20:00
圏論演習 (11)
ではひと味変えて、
圏 C で次の三条件を満たす物を具体的に一つ構成せよ。
(i) C は small category に圏同値でない。
(ii) C は その双対圏 C^op と圏同値である。
(iii) C は、D×D^op の形の圏に圏同値でない。
70:１３２人目の素数さん
04/09/02 20:22
Sets x Sets^op に更に object A 及び A^op を付け加えたものは。
・当然smallってこたあないやね
・自分の双対圏と同値だあね
・で、D×D^op の形の圏に圏同値でないように思うのだが
71:１３２人目の素数さん
04/09/02 20:26
A 及び A^opって言い方、変だな。スマソ。
72:１３２人目の素数さん
04/09/02 22:37
>>70>>71
もう少し整理してから書き込んでください。
73:１３２人目の素数さん
04/09/02 23:37
えーと、object A及びarrowとしてid_Aのみを加えたとして。
もしあるD×D^op の形と圏同値だったとすると、Aに対応するある
(a1, a2) （a1, a2はDのobject）が存在する。
x≠a1, y≠a2とする。(a1, y)≠(x, y)かつ(x, a2)≠(a1, a2)
なので、Sets×Sets^opのobject P, Q（≠A）がそれぞれ
(a1, y)及び(x, a2)に対応する。
Sets×Sets^opのarrow f: P→Q及びg: Q→Pが存在するので、
Dのarrow a1→x, a2→y及びx→a1, y→a2が存在する。つまり
D×D^op のarrow h: (a1, a2)→(x, y)が存在する。
これはarrowとしてid_Aのみを加えたことに反するので、
そもそもD×D^op の形と圏同値ではない。
74:１３２人目の素数さん
04/09/03 00:03
>>73
ご明察
次はもう少し難しくしよう。
75:１３２人目の素数さん
04/09/03 08:53
すんません、4行目の「(a1, y)≠(x, y)」は「(a1, y)≠(a1, a2)」の
間違いです。
はじめは>>69の「ひと味変えて」の意味がよく分からなかったのだが、
>>73の構成だといわゆる帰納的極限・射影的極限を持たないのだから、
確かにひと味変わってるんだな・・・。
76:１３２人目の素数さん
04/09/03 19:09
圏論演習 (12)
R を環、圏 C を左 R - 加群の圏とする。
C の充満部分圏 D で、
(i) 包含関手 C ⊂ D は左随伴関手を持つ。
(ii) Ob(D) に属する加群の剰余加群（に同型な加群）も Ob(D) に属する。
なる二性質を満たす物全体は集合になる事を示せ。
77:１３２人目の素数さん
04/09/03 20:39
>>76
訂正
（誤）(i) 包含関手 C ⊂ D は左随伴関手を持つ。
（正）(i) 包含関手 D ⊂ C は左随伴関手を持つ。
78:１３２人目の素数さん
04/09/05 17:51
ちょっと難しかったかな。
回答は別の機会にして、
次は又易しめのにしよう。
79:１３２人目の素数さん
04/09/06 22:46
>>76
ならないだろ？
Vをヴァーサスクラスとして各x∈Vにたいし
R加群Mx=(S,A,B) (Sは底集合、Aは加法を定義するグラフS×S→S、BはR倍を定義する
グラフS×R→S)をS={x}、A(x,x)=x、B(x,r)=xと定義すればMxはR加群。
さらにCの充満部分圏Dxを{Mx}だけで構成されるものとすれば条件をみたす。
Dxの全体は集合にならない。
80:１３２人目の素数さん
04/09/06 23:39
>>79
＞Vをヴァーサスクラス
って何?
その後の意味も良く解らないんだけど
(出題者)
81:１３２人目の素数さん
04/09/06 23:44
>>80
＞＞Vをヴァーサスクラス
＞って何?
ヴァーサスクラス＝全ての集合を含むクラス。当然集合でない。
＞その後の意味も良く解らないんだけど
＞(出題者)
つまり条件(i)(ii)をみたす充満部分圏のなすクラスと一対一に対応する集合は
存在しないということ。
82:１３２人目の素数さん
04/09/06 23:51
>>80
あ、すまん。同型な加群もいれるのか。よく読んでなかった。吊ってくる。
83:１３２人目の素数さん
04/09/07 00:07
死ぬな、イキロ。
ところでヴァーサスクラスって言い方、初めて聞くけど。
英語は「versus」なの？ それは、proper class全部を指すの？
84:１３２人目の素数さん
04/09/07 00:10
>>出題者
ネタ本かお勧めの書籍教えて
85:１３２人目の素数さん
04/09/07 00:14
>>83
＞ところでヴァーサスクラスって言い方、初めて聞くけど。
そう？すくなくとも２つの教科書でよんだとおもう。岩波の公理論的集合論と
AlgebraIって本。
＞英語は「versus」なの？
だったかな？自信ないからカタカナで書いた。
＞proper class全部を指すの？
∀x(∃y x∈y⇒x∈V)
を満足する唯一のクラスと定義していたはず。
86:１３２人目の素数さん
04/09/07 00:23
>>84
＞ネタ本かお勧めの書籍教えて
ヴァーサスクラスも知らなかった私が余り大きな事は言えないな。
87:１３２人目の素数さん
04/09/07 00:27
教えたくないのですか？
88:１３２人目の素数さん
04/09/07 00:47
>>87
別に教えたくないわけではないが、
純粋な圏論関係はずいぶん昔に読んだ
(著者、書名も正確には覚えていないが)
Pareigis, Categories ang Functors,
Freyd, Abelian Categories などで、
最新知識は代数やトポロジーの本から得ている。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
など。
89:１３２人目の素数さん
04/09/07 10:19
>>87
つまりネタ本は今手にはいるかどうか分らないような古い本で、
最新のお薦め本は知らないと言う事。
ではもう少しやさしくして
圏論演習 (13)
任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた
small category を特徴付けよ。
90:１３２人目の素数さん
04/09/07 13:06
>>88-89
ありがとう。結構定番だね。
91:１３２人目の素数さん
04/09/07 13:33
射影的極限を持つならば、
・終対象
・Ob(C)の任意の部分集合の直積
・equalizer
を持っている。逆にこの３つを持てば、射影的極限を持つ。
……くらいでどや？
92:１３２人目の素数さん
04/09/07 13:58
>>91
特徴づけだからもっと簡単な言葉で述べてくれ。
93:１３２人目の素数さん
04/09/07 14:04
>>85
普通はそれを universal class とか universe と呼ぶのだが。
岩波の公理論的集合論などという本は存在しないし。
94:１３２人目の素数さん
04/09/07 14:39
>>91
＞終対象
終対象は 0 個の直積だから、任意の直積に付いて閉じていれば
終対象も存在する。
＞Ob(C)の任意の部分集合の直積
では重複が許されないから、
射影的極限を持つとはすぐには結論できない。
95:１３２人目の素数さん
04/09/07 17:40
・・・あ、そうか。部分集合つったら、確かにそうなってしまうな。
96:１３２人目の素数さん
04/09/07 19:55
>>89
それより>>76の証明は？
97:１３２人目の素数さん
04/09/07 20:00
>>93
＞岩波の公理論的集合論などという本は存在しないし。
あれ？そうだっけかな？たしか岩波だったとおもったが。日本語でBG集合論の解説してる
数すくない本の一冊だったんだけど。
＞普通はそれを universal class とか universe と呼ぶのだが。
universeともいうかもしれないけどuniverseというと本来のヴァーサスクラスのもつ
性質のいくつかを公理化してそれを満足するクラスのことをさす場合もあるんじゃ
なかったっけ？すくなくともAlgebraIではそのような解説がしてあったとおもうけど。
98:97
04/09/07 22:12
どうも岩波じゃなくて共立のようだ。大学いって図書館いかないと確認できないけど。
99:１３２人目の素数さん
04/09/07 23:10
>>96
兎に角
>>89
を次の>>100で解いてくれ。
ヒント: small category が任意の直積に付いて閉じているか
或いは、任意の直和に付いて閉じているか、いずれかならば
Hom (A, B) は常に高々一個の元からなる。
100:１３２人目の素数さん
04/09/07 23:13
>>99
｢特徴づけよ｣なんて設問に答えようがあるか。こんな設問なら
Cが任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた
small category であるための必要十分条件は
Cが任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた
small category であることである。
だってこたえだろが？
101:１３２人目の素数さん
04/09/07 23:15
そこらへんは多めに見てあげたら？
彼の出題、独善的なものも多いけど、なかなか面白いよ。
個人的に>>100はハズレ。
102:１３２人目の素数さん
04/09/07 23:16
>>100じゃなくて>>89な。
103:１３２人目の素数さん
04/09/07 23:18
多めにみるったって答えようないじゃん。
たとえばpullback、pushout、帰納的極限、射影的極限について閉じてるちいさい圏
とかも答えになるだろうがこれだって唯一のこたえじゃないし。受験数学じゃあるまいし
こんな設問答えようがない。
104:１３２人目の素数さん
04/09/07 23:26
それこそ受験数学じゃないんだからさ、
いくらでもある同値条件の中から、
ぱっと見もっとも簡単なもの挙げろ、って事だろ。
>>99よく見てみ。
105:１３２人目の素数さん
04/09/07 23:30
だいたい任意の直積についてるって意味もよくわからん。
おそらく>>99の解釈でいえば｢任意の直積｣とかいうやつは
｢任意のクラスでラベルされた対象の族の直積｣
を意味してるみたいだけど普通に圏論やったことがある人間なら
そんな風には解釈しないだろ？こんな解釈なら
｢Setsは任意の対象の族の直積について閉じてる。｣
みたいな命題もまちがってることになる。
106:105
04/09/07 23:34
ああ、しまった。そういう意味か。つまりすべての対象が始対象かつ終対象
になってる圏って答えろって意味か。しかしやっぱり設問としてはいかんと思う。
問題がおもしろくなくなっても｢〜をしめせ｣みたいにすべきだ。
107:１３２人目の素数さん
04/09/07 23:56
>>106
まだ違ってるな。
始対象であり、かつ終対象であるような object が存在するとは限らないよ。
108:１３２人目の素数さん
04/09/08 00:04
>>107
え？Aが始対象⇔Hom(A,B)が任意のBに対し１元集合
じゃないのか？>>89の問題は集合Iに対し圏C(I)をC(i,j)=1i (i=j) φ(i≠j)
と定義したときCが任意の集合Iに対し関手Δ:C→fun(C(I),C)
(Δ(X)i=X)が左右の随伴をもつが仮定なんだよな？
109:１３２人目の素数さん
04/09/08 00:04
>>105
つまらんor気に入らん問題は放置すれば良いだけだろ。
110:１３２人目の素数さん
04/09/08 00:05
>>109
そうだな。そうするよ。
111:１３２人目の素数さん
04/09/08 00:07
>>108
高々一個という事は空集合と言う事もあるということだよ。
112:１３２人目の素数さん
04/09/08 00:09
>>106
＞設問としてはいかんと思う。
大学院入試で出たら>>100の様に答えるのか?
113:１３２人目の素数さん
04/09/08 00:11
>>112
大学院入試で>>89のようなバカな設問する大学はない。
114:１３２人目の素数さん
04/09/08 02:11
○○を特徴づけよというのは、日本語として読んだとき理解しにくいとは思う。
115:１３２人目の素数さん
04/09/08 07:57
うん、確かにそうなんですけどね。
でも、結果として提示される答え（のリスト）をつらつらと眺める
ことは、初学者には結構勉強になりますよぅ。
116:１３２人目の素数さん
04/09/08 12:16
圏論演習 (13) が設問として不適当というなら
私が解答「例」を述べよう。
族 A_λ, ∈ Λ の直積を Π_λ A_λ と書こう。
もし Hom (A, B) が二つ以上の元を持ったとすると、
Hom (A, Π_λ B) = Π_λ Hom (A, B) となって、
Λ を大きくしてやれば、 Hom (A, Π_λ B) = Π_λ Hom (A, B) が
幾らでも大きくなり、 small と言う仮定に反する。
よって Hom (A, B) の元は高々一個。
さて、 small と言う仮定から、（この仮定はなくても良いか）
圏同値を除けば、集合 X = Ob(C) 異なるる元は同型でないと仮定して良い。
X = Ob(C) の二元 a, b に、 Hom (a, b) が空でない時、 a ≦ b としてやれば
半順序集合が得られる。逆に半順序集合 Y が与えられた時、圏 D を、
Ob(D) = Y, Hom (a, b) は、 a ≦ b の時のみ只一個の元からなり、
それ以外の場合は空集合とすると圏になる。
よって条件を満たす圏を調べる事は、（圏同値を除いて）
半順序集合を調べる事に帰着する。 a ∈ Ob(C) 自身の（任意個数の）直積は
a だから、 Ob(C) の部分集合の存在が言えれば、任意の直積が存在する。
（半）順序集合の言葉で言えば、直積は部分集合の下限となる。
（空集合の下限は定義より最大元となり、これは終対象）
よって下限が常に存在すれば任意の直積は存在する。
又 Hom (a, b) は高々一個の元からなるから、equalizer は常に存在。
よって下限が常に存在すれば、射影的極限について閉じている。
同様に上限が常に存在すれば、帰納的極限について閉じている。
よって必要条件は上限・下限が常に存在する（半）順序集合と言う事になる。
（これを完備束という）
逆にこれが十分条件である事を言うのは難しくない。
よって、完備束から上記の方法で定義された圏に
圏同値である small category と言うのが一つの特徴付けである。
117:１３２人目の素数さん
04/09/08 12:23
訂正
（誤）族 A_λ, ∈ Λ
（正）族 A_λ, λ ∈ Λ
（誤）（この仮定はなくても良いか）
（正）仮定は必要
118:１３２人目の素数さん
04/09/08 12:40
不適当とは言わないが、今までの中では駄問くさい。
119:１３２人目の素数さん
04/09/08 14:36
Hom (A, Π_λ B) = Π_λ Hom (A, B) が 幾らでも大きくなると、
何故「 small と言う仮定に反する」ことになるのでしょうか。
smallって、Ob(C)が集合って意味ですよね？
解説お願いしますです。
120:１３２人目の素数さん
04/09/08 15:30
同型類が集合なら、同型類を走らせた\cup_{A,B}Hom(A,B)も集合なので、
Homの濃度の上限が存在する。
121:１３２人目の素数さん
04/09/08 16:41
おお、そうやって考えるものなのですね。
解説thx.
122:哲屑はウザイ
04/09/08 23:06
URLﾘﾝｸ(www010.upp.so-net.ne.jp)
哲くずが数学について偉そうにコメントしている。
哲クズって、なんでこうも数学に粘着するんだ?
例)
松坂和夫『集合・位相入門』、岩波書店、1968
集合論はやはり古さを感じる。素朴集合論だし。
位相空間論の方はとても面白かった。
最初のinformalな動機づけの方がむしろ私には分かりにくかったりした
（これは前に志賀浩二を読んでいたので、informalな考えは少し身に付いていたからかもしれない）。
この本の位相空間論の読書は、日々の読書の中でもっとも楽しい時間だった。
123:１３２人目の素数さん
04/09/08 23:18
>>122
マルチの上にスレ違い
124:１３２人目の素数さん
04/09/08 23:23
ここは良スレですね
125:１３２人目の素数さん
04/09/09 19:54
>>124
何で
126:１３２人目の素数さん
04/09/09 23:35
>>125
スレの死亡宣告だよ。
127:１３２人目の素数さん
04/09/10 13:18
圏論演習 (14)
今度は初学者向けのにしよう。
Grp ： 群の圏、 C ： 半群の圏
（或はモノイドと単位元を保つ準同型の圏にしても良い）
この時包含関手 F ： Grp ⊂ C は随伴関手を持つ
（右か左かは分るよねー）
この関手は○○○○と言われている。
所で容易問題なら幾らでも出来るが、難易度・中程度で、
面白くて、出題も適切で、勉強にもなる演習問題となると、
こちらのネタにも限りがある。
他の人、出題の応援を求む。
別に出題でなくても、圏論の話題提供してくれ。
128:１３２人目の素数さん
04/09/10 17:30:23
えーと、これはＣのobjectをbase setとした自由生成を、
左随伴関手として持つんじゃないかな。
呼び名は知らんなぁ。
129:１３２人目の素数さん
04/09/10 20:52:16
>>128
答案の文章としては分かりにくい点もあるが
まあよしとしておこう。
本当は初学者の方にもう少しきっちりした物を書いてほしかったのだが、
随伴関手は group completion という。
130:１３２人目の素数さん
04/09/10 21:17:01
あ、すいません。じゃあ、時間があったら、も少しコリコリと
書いて出します。ちゃんと書いたら間違ってたりするかもしれ
ませんし。
（ていうか私は初学者の範疇に入るハズ）
131:１３２人目の素数さん
04/09/14 21:35:18
包含函手F: Grp→Cに対して、左随伴函手G: C→Grpを構成する
ことを考える。つまりunit ηを使った三角図式をηX: X→FGX、
f: X→FA、Fg: FGX→FAとし、この図式が可換となるような唯一
のg: GX→Aが任意のfに対して存在することを示す。X, FA, FGX
ﾎ Ob (C)であり、A, GX ﾎ Ob (Grp)である。もちろん上のηX, f, Fg
は半群の準同型写像であり、gは群の準同型写像である。
以下の点を示す必要がある。
i) 半群Xに対して群GXを構成する
ii) Gが函手であることを示す
iii) η: 1→FGが自然変換であることを示す
iv) gのwell-definedness及びuniqueness、gが準同型であること
を示す
v) 図式が可換であることを示す
132:１３２人目の素数さん
04/09/14 21:37:46
X = {x, y, z, ﾉ}としたときに、Z = {e, x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...}
とする。Zに以下の2項演算による構造を入れる。
0. a, b, c ∈ Zに対してa (b c) = (a b) c
1. a ∈ Zに対してe a = a（Xが単位元を持つ場合はそれとeを
同一視する）
2. x ∈ X ⊂ Zに対して、x^(-1) x = x x^(-1) = e
3. その他、半群Xにおける規則を{x, y, z, ...}に入れる
明らかにZは群であり、特に「3.」により導入された規則が、
その他の規則の反復適用によって{x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...}の部分
にも適切に浸透する。
133:１３２人目の素数さん
04/09/14 21:39:28
ZはXの構造を「比較的」よく保っている群であるが、忠実な
表現という訳ではなくて、縛りとしてはよりきつくなっている。
例えばXが単位元を持つ半群の場合、x y = eだからと言って
y x = eとは限らない（反例は簡単に作れる）が、Zにおいては
y x = eが強制される。つまり、縛りがきつくなった分というのは、
群の構造を要請する限りは必ず強制される「同一視」によって
もたらされるものである。
Zを改めてGXと置く。明らかにGXは群である。
半群準同型h: X→Yとする。Gh: GX→GYを以下のように定義
する。a ∈ GXとする。
Gh (a) = h (a) （a ∈ Xのとき）
Gh (a) = (h (a^(-1)))^(-1) （a^(-1) ∈ Xのとき）
134:１３２人目の素数さん
04/09/14 21:40:36
GXにおいてa = bならばa^(-1) = b^(-1)であり、たとえXにおい
てa ≠ b（あるいはa^(-1) ≠ b^(-1)）であったとしても、上記の理由
により（GYが群である限りは）GYにおいては再びh(a) = h(b)で
あり、Ghはwell-definedである。またhが半群準同型なので、
Ghは群準同型である。
明らかにGhk = Gh Gk, G id_X = id_GXなので、結局Gは函手
である。
ηX: X→FGXを自然な包含とする。ηX: X→FGX、ηY: Y→FGY、
h: X→Y、FGh: FGX→FGYという図式を考えると、上のGhの定義
から、FGh (ηX (x)) = FGh (x) = Gh (x) = h(x) = ηY (h (x))となるので、
この図式は可換になる。よって、η: 1→FGは自然変換である。
135:１３２人目の素数さん
04/09/14 21:43:01
a ∈ GXとする。f: X→FAに対して、g: GX→Aを
g (a) = f (a) （a ∈ Xのとき）
g (a) = (f (a^(-1)))^(-1) （a^(-1) ∈ Xのとき）
と定義する。半群としてのFAは本来Aとして群の構造を持って
いるので、上記のGhと同様にgがwell-definedであること、及び
群準同型であることが分かる。またgの定義よりFg (ηX (x)) =
Fg (x) = g (x) = f(x)となるので、目的の図式が可換であることが
示された。
g' ≠ gであるとすると、あるa ∈ GXが存在してg' (a) ≠ g(a)とな
る。Aは群なのでg' (a)^(-1) ≠ g(a)^(-1)でもあるので、始めから
そのようなa ∈ Xが存在するとして良い。つまりf (a) = g (a) =
Fg (a) = Fg (ηX (a)) ≠ g' (a) = Fg' (a) = Fg' (ηX (a))となるので、
g'は目的の図式を可換にしない。よってgのuniquenessが示さ
れたことになる。
結局、Gは包含函手Fの左随伴函手である。
136:１３２人目の素数さん
04/09/17 19:28:11
おぉー
解答が出来ていましたね。
大筋では正解と言えますが、
細かい点
＞Z = {e, x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...}
→ Z ： {x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...} から生成されたモノイド？
Z が良く分からないので、以下の
＞Zに以下の2項演算による構造を入れる。
も良く分かりません。単に
＞Z = {e, x, y, z, ..., x^(-1), y^(-1), z^(-1), ...}
とする場合は
x*y^(-1) が何になるのか良く分かりません。
137:１３２人目の素数さん
04/09/17 23:03:56
あ、そうか、そうですね。
Z = 云々、という書き方だと駄目ですね。おっしゃる通り、そこから
生成する、というつもりでした。御指摘ありがとうございます。
あと、文字化けスマソ(^^;
138:１３２人目の素数さん
04/09/18 00:52:21
>>137
ご明察
としておきましょう。
では次の問題の準備をしておこう。
139:１３２人目の素数さん
04/09/18 01:17:49
日本の圏論の第一人者って誰？
140:１３２人目の素数さん
04/09/18 01:24:25
純粋な圏論という人はいないと思うよ
外国まで含めても少数。
皆何かと絡ませているね。
141:１３２人目の素数さん
04/09/18 04:38:12
絡ませてる人では？
東大にはいないの？
142:１３２人目の素数さん
04/09/18 08:11:22
大体東大に圏論がメインという人がいるわけ無いよ
143:１３２人目の素数さん
04/09/18 08:34:03
情報の方を探せば…
144:１３２人目の素数さん
04/09/18 14:14:10
第一人者どころか圏論が専門の人すら稀なのかー
145:１３２人目の素数さん
04/09/18 18:57:38
ペギオ
146:１３２人目の素数さん
04/09/18 19:29:10
セミナーでカテゴリーの話をすると先輩が『またか』みたいな顔をするのはなぜ？
147:１３２人目の素数さん
04/09/18 19:48:44
>>146
それは
＞カテゴリーの話
の内容にもよると思う。
基本的なことなら、ああ又かと思うかも知らないし、
それ以外だったら、自分にわからん抽象的な長話はよしてくれ
だったりする。
148:１３２人目の素数さん
04/09/18 20:03:31
>>146
てか専攻はなに。専攻によるんじゃないの？代数幾何とかだったらもはや昨今
圏論的議論はさけられないし、代数的位相幾何とかいわずもがなだし。
できればそんな話はやりたくないってジャンルもあるだろうし。
どういうジャンルの人はいやがるんだろう？
149:１３２人目の素数さん
04/09/18 20:08:42
では代数幾何と代数トポロジー以外だな。
基礎論とか
複雑系に出てくる高次圏とか
150:１３２人目の素数さん
04/09/18 20:21:48
>>149
＞基礎論とか
＞複雑系に出てくる高次圏とか
こういうのに出てくる圏論ってどっちかってとウザイ議論は避けたいとかいって
敬遠される対象なのかな？全然しらないけど。計算論で圏論つかうってのは聞いたことあるけど。
やっぱりけむたがられてんのかな？
151:１３２人目の素数さん
04/09/18 21:04:04
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)
152:１３２人目の素数さん
04/09/19 00:01:25
>>151
こっちの方がｳｻﾞｲな
153:ちょっとｽﾏﾝがおれのスレはどのカテゴリに定義すべき？
04/09/19 00:13:46
タイトル： おれが萌え萌え彼女とｾｯｸﾙ出来るようになるスレ
ｵﾆｬﾆｮｺに話しかけるテク教えてください！
まずは大学で萌え萌え彼女を発見した場合はどのようにしたらいいんでしょうか？
シュチュエーション別にテク教えて頂けるとありがたいです。
教えてもらってアタックして２０日たっても萌え萌え彼女とｾｯｸﾙ出来なかった場合、
おれの魅力が無いのだと思います。そしたら潔くﾁﾝﾎﾟ切り落とそうと思います。
おれの特徴：
・口べたです
・童貞です
・ｵﾆｬﾆｮｺをデートに誘ったことないです
頑張ります！よろしくおねがいします。
154:１３２人目の素数さん
04/09/19 00:15:54
ここで問題なし。
155:１３２人目の素数さん
04/09/22 17:46:04
圏論演習 (15)
適当な問題を作るまでの場つなぎに。
問題が全部で 91 個出来るが、自明でない物を各自選んで答えよ。
Set : 集合の圏、 Ab : アーベル群の圏、 Grp : 群の圏、 Ring : 単位元を有する可換環と単位元を保つ環準同型の圏とする。
これら四つの圏、これらの内二つの直積として出来る 10 個の圏、合計 14 個の圏は、どの二つも圏同値でない。
156:１３２人目の素数さん
04/09/22 18:09:02
うはー(^^;
157:１３２人目の素数さん
04/09/23 18:30:48
Wikiで作る圏論まとめサイトって需要ある？
158:１３２人目の素数さん
04/09/23 22:37:29
中味が濃く、十分噛み砕かれていれば需要は大きい。これが難しい。
やってくりゃれ。
159:１３２人目の素数さん
04/09/24 14:47:29
>>155
すべて自明なので選べない。
160:１３２人目の素数さん
04/09/24 15:54:57
自明なのなんて、１組でもあるんすか
161:１３２人目の素数さん
04/09/24 21:43:09
あるよ。
始対象と終対象が同型な場合と同型で無い場合など。
162:１３２人目の素数さん
04/09/24 23:17:18
なるへそ。
163:１３２人目の素数さん
04/09/29 00:59:33
次は正しい？
圏の直積分解は一意的である。
164:１３２人目の素数さん
04/09/29 01:05:17
>>163
ぁゃιぃ。だってたとえばモノイド(単位元をもつ半群)は対象を一つしかもたない
圏と同一視できるけどモノイドの直積分解なんかおもいっきり一意じゃなさそう。
165:１３２人目の素数さん
04/09/29 16:24:01
レスが少ないので若干の解答例を述べよう。これら
>>155の圏では始対象と終対象が同型で無いかあるかすぐ分るから、二類に分かれる。
Set, Ring は前者、 Ab, Grp は後者。
Set の始対象は空集合だから、二つの始対象の直積は始対象。 Ring の始対象は有理整数環
Z なので、その二つの直積 Z×Z は零因子を持つから Z に同型でない。
因ってこの二つは圏同値にならない。
Ab では二つの対象の直和と直積は常に同型だが、
Grp ではそうならないから、これらは圏同値でない。
166:１３２人目の素数さん
04/09/29 16:24:51
次に Set と Set×Set が圏同値でないこと。
Set の終対象は濃度 1 の集合、例えば {1} で、
二つの対象 X, Y が同型となるための必要十分条件は、
Hom ({1}, X) と Hom ({1}, Y) の濃度が一致することである。
ところが Set×Set では ({1}, {1, 2}) と ({1, 2}, {1}) は
共に終対象からの射が 2 個であるが同型でない。因ってこれらは圏同値ではない。
167:１３２人目の素数さん
04/09/29 16:52:21
一般に二つの対象の直和と直積が常に同型なのは Ab, Ab×Ab だけだから、
これらは他者と区別出来る。
Ab, Grp では、部分対象が同値を除いて 2 個しかないのは、素数位数の巡回群である。
この様な対象 X, Y が同型であるための必要十分条件は
Hom(X, X) と Hom(Y, Y) の濃度が一致することだが、
Ab×Ab, Ab×Grp, Grp×Grp はその様な性質を満たさないから、
これらは Ab, Grp と圏同値でない。
Ab×Grp と Grp×Grp が圏同値でないことをどなたかどうぞ。
168:１３２人目の素数さん
04/09/29 17:06:30
＞一般に二つの対象の直和と直積が常に同型なのは Ab, Ab×Ab だけだから、
Rを多元環としてmodRの圏も有限直和と有限直積同型だと思うけど？
169:１３２人目の素数さん
04/09/29 17:24:47
>>168
>>155
の中で。
170:１３２人目の素数さん
04/10/05 11:48:26
590
171:１３２人目の素数さん
04/10/05 15:21:04
>>167
Ab×Grp と Grp×Grpでは、部分対象が同値を除いて 2 個しかないのは、
(Z/pZ,{1}), ({1}, Z/pZ) p は素数
この様な対象 X, Y が同型であるための必要十分条件は
Hom(X, X) と Hom(Y, Y) の濃度が一致すること、、、ではないな。
あとはよろしく。
172:１３２人目の素数さん
04/10/06 18:44:47
>>171
何を言いたいのか・・・
173:１３２人目の素数さん
04/10/09 15:42:51
荒らしを防ぐためsage進行で行こう
174:１３２人目の素数さん
04/10/14 22:21:42
158
175:あぼーん
あぼーん
あぼーん
176:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 22:29:34
Re:>175 捏造すんな。
177:１３２人目の素数さん
04/10/15 09:02:29
mail okuttemo ii?
178:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/15 12:01:30
Re:>177 それでどうする気だ？
179:初学者
04/10/16 12:07:47
Mac Lane の本で、metacategoryってのが出てくるけど、
これは普通のcategoryの定義と何が違うんだろう？
それに対して、categoryの定義では「Oを対象の集合」として
グラフがどうとかこうとか言ってるけど、
metacategoryが（大きい）圏で、
categoryは小さい圏に限るということなのだろうか？
どうなんでしょう？
180:１３２人目の素数さん
04/10/24 00:03:02
767
181:１３２人目の素数さん
04/10/27 05:13:50
>>179
metacategory の定義の書けばかやろう
182:１３２人目の素数さん
04/10/27 15:42:28
圏論やってる人でMac Lane持ってない人っているんだ・・・
183:１３２人目の素数さん
04/10/27 23:51:34
定義書けよ。ばかやろう
184:１３２人目の素数さん
04/10/28 00:40:09
定義だ，定義だ！
185:１３２人目の素数さん
04/10/28 16:42:39
locally smallじゃないってんじゃなかったっけー
186:１３２人目の素数さん
04/10/28 19:29:15
質問になっとらん！
187:１３２人目の素数さん
04/10/29 00:43:40
定義書けーーーーー！！！！！！
188:１３２人目の素数さん
04/10/29 00:47:32
何であがるんだよ
私は数学兼業の労働者じゃないよ
189:１３２人目の素数さん
04/10/29 00:55:46
私はworking woman 何でも答えてあげるわよ
190:working woman
04/10/29 01:07:32
Ob = 圏全体
Mor = 関手の自然同値類全体
は、locally small にならないのです。
191:１３２人目の素数さん
04/10/29 01:12:32
定義書けーーーーーーーーーー！！！！！！！！！！！！
192:１３２人目の素数さん
04/10/29 07:41:01
定義厨ｳｻﾞｰ．
マクレーンのp10までに完全に定義済みだよ．
ごちゃごちゃ言わないで参照汁！ でもレスしなくていいよ．
図書館で借りる香具師はモグリ．
193:１３２人目の素数さん
04/10/29 19:44:29
定義書けーーーーーーーーーー！！！！！！！！！！！！ーーーーーーーーーー！！！！！！！！！！！！
194:１３２人目の素数さん
04/10/29 21:24:37
位相幾何か代数幾何でつかうために覚えるのが普通なんかな
他の用途で圏論覚えようと思った奴いるか？
195:１３２人目の素数さん
04/10/29 21:31:26
計算機科学では別の用途でしょ
196:１３２人目の素数さん
04/10/29 21:45:30
>>189
女は風俗で働いてろクソ
197:１３２人目の素数さん
04/10/29 22:45:13
定義や！定義や！
198:working woman
04/10/30 10:32:44
>>196
女性差別はよして
199:１３２人目の素数さん
04/10/30 13:19:42
>>198
だまれ腐れマンコが
てめーなんか死ねよ
200:working woman
04/10/30 13:33:08
このスレひどいスレね。
ほかのスレに行こーっと。
201:１３２人目の素数さん
04/10/30 13:36:57
>>198
てめえボコボコにしてやろうか？
202:１３２人目の素数さん
04/10/30 13:37:43
>>200
2度とくんなヴァカ
ついでに自殺しろ
203:working woman
04/10/30 13:43:10
崩れ博士は自殺して
204:１３２人目の素数さん
04/10/30 13:43:54
>>203
だまれクソ女
フェラチオでもしてろ
205:１３２人目の素数さん
04/10/30 13:45:10
>>200
ぼくのお家へおいで！
206:working woman
04/10/30 14:43:02
何がありますの? AV 撮影はいやよ
207:１３２人目の素数さん
04/10/30 18:38:51
圏論って何だよ？３行以内で説明しろ。
208:１３２人目の素数さん
04/10/30 18:45:11
数学って何だよ？３行以内で説明しろ。
209:１３２人目の素数さん
04/10/30 18:45:43
代数って何だよ？３行以内で説明しろ。
210:１３２人目の素数さん
04/10/30 18:55:17
幾何って何だよ？２行以内で説明しろ。
211:１３２人目の素数さん
04/10/30 18:55:21
>>207
数学で
圏を論じる
一分野
212:１３２人目の素数さん
04/10/30 19:10:39
けんはけんでも
志村では無い
213:１３２人目の素数さん
04/10/30 19:30:07
>>194
何となく面白そうだったから
214:working woman
04/10/30 19:30:14
私の守備範囲ね。
215:ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw
04/10/31 11:04:33
Re:>214 君はどんな仕事をしているの？それと、主語と述語をはっきりさせましょう。
圏とは、準同型の概念を拡張したものと言える。
写像でないものの集合もまた圏になりうる。
(しかし、それはどんなものだろう？)
216:１３２人目の素数さん
04/10/31 11:08:47
>>215
キチガイネカマと会話しないように
217:ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw
04/10/31 11:39:51
Re:>216 三行目からは会話ではないよ。
218:１３２人目の素数さん
04/10/31 12:18:56
_,,.. -─‐- .､.._.
, '´ ╋ ヽ
〈::::::: _:::)
/´＼:::::::::_,. - ― - ､.〃/
, '/〈∨〉’‐'´ ｀ ' ､
/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ } ! `, ヽ ヽ ＼
｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ| .Ll_! } 、.ヽ
{ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l }
ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿
＼ !（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_] |iﾘ {､|,ﾉ!' ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
<＼ｎ )’（ (‘ｰｌ | ° ´ __,' ﾟ,' ） | Kiｎgくん♪
/.）＼_, ｀ ） ﾉﾉ＼ ｔﾉ ／(（. ＜ うんこ食べのお時間よ！
Ｖ二ｽ.Y´| （( (ｒ个 . ___. イヽ） ）) | 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
{. r_〉｀! }>' ） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＼ ｆ ,. '´／ o ..::: ＼
`! {／⌒ヽ:::::: :::. ＼_:: ヽ
| .|:::/::| ',::::: ::'､:: ヾ:: ,〉、
219:１３２人目の素数さん
04/10/31 13:06:35
>>圏とは、準同型の概念を拡張したものと言える。
意味わかんないんだけど．
220:ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw
04/10/31 13:12:57
Re:>219 準同型全体のなす類も圏になる。
221:１３２人目の素数さん
04/10/31 13:18:57
Kingさん使ってください。
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