位相幾何学 - 暇つぶし2ch

位相幾何学 at MATH

723:working woman
04/11/08 08:34:17
>>722
球面の接バンドルの基礎事項として、次の二つは仮定していいわね。
ただし、m, n ≧ 1 とする。
i) S^n の接バンドルに自明直線バンドルを直和すると自明バンドルになる。
ii) n が奇数の時、 S^n の接バンドルは、
自明直線バンドル A と n-1 次元バンドルの直和 B になる。
以下、同型を =, を直和 (+) で書く事にします。

S^m×S^n の接バンドルは、射影 p ： S^m×S^n → S^m, q ： S^m×S^n →S^n
によってそれぞれの接バンドルを引き戻したものの直和になる。
以下、引き戻したバンドルともとのバンドルを同一視して同じ記号で書くわね。
以下さらに、 n は奇数とします。

T(S^m×S^n ) = T(S^m) (+) T(S^n).
上記 ii) より、 T(S^n) = A (+) B, A ：自明直線バンドル。よって、
T(S^m×S^n ) = T(S^m) (+) T(S^n) = T(S^m) (+) A (+) B.
上記 i) より、 T(S^m) (+) A は自明バンドルとなるので、
T(S^m) (+) A = C (+) D (+) E, C ：自明バンドル、 D, E ：自明直線バンドル
と出来る。よって
T(S^m×S^n ) = T(S^m) (+) A (+) B = C (+) D (+) E (+) B
= C (+) D (+) T(S^n).
C と D (+) T(S^n) が自明だから全体として自明。

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