３囚人問題 - 暇つぶし2ch

３囚人問題 ..

166:１３２人目の素数さん
03/02/13 18:21
なぜ看守はAに誰が処刑されるかという情報を漏らしたのか？
普通ならそう簡単に情報を漏らしたりはしないだろう。
それは実はAの処刑も確定しているから、
自分が情報を漏らしたことをチクられないだろうと踏んだからだ。
いわゆる｢冥土の土産｣というやつだ。

つまりAの助かる確率は0％!!!

ッて書いて気づいたんだが、>>116に同じ事が書いてあった･･･。

167:１３２人目の素数さん
03/02/13 19:22
なんだかんだ言ってBがかわいそすぎる

168:１３２人目の素数さん
03/02/13 20:08
死刑が一人って問題ならわかりやすかったのにね。
確率の取扱いは一緒だしね。

169:１３２人目の素数さん
03/02/13 20:10
Ａが処刑されると思う人の数↓
URLﾘﾝｸ(f8.aaacafe.ne.jp)

170:１３２人目の素数さん
03/02/13 22:28
>>160
数学なんてぜんぜん知らないのに、たまたま覗いて、魔がさしちゃったのでした。
親切なレスありがとうございます。

考えてみれば、「条件」で変化したと考える場合は条件の起こる確立を考慮する
のは、人間として当然ですよね。
例え死に直面していたとしても。・・でもまじめな話、情報によって条件が変化
する（主観的事実）と考えるのか、最初から１／３は変化していない（客観的観
察）と考えるのか。。計算式としてはどちらが正しいんですか？

171:170
03/02/13 22:30
>>170
どっちにしろ、答えは１/３であるにしても。

172:170
03/02/13 22:31
てか、確率だよね、失礼。。

173:１３２人目の素数さん
03/02/13 23:37
　結局は「どちらが処刑されるか」という質問に対し答えはBかCだが、
数学的に考えるとBと答える確立は2/3、Cと答える確立も2/3。その中に
Aが生きる（つまりBもCも処刑される）という可能性もあるわけだから
結局2/3になるわけだ。その2/3の中で1/2の確立で死ぬわけだから、結局
生きられる確立は1/3ってことになる。
　かなぁ？とりあえず>>160の考えに禿同

174:１３２人目の素数さん
03/02/14 09:43
ABが処刑される事になっている時(1/3)→看守は必ず『B』と答える→1/3＞a　
ACが処刑される事になっている時(1/3)→看守は必ず『C』と答える→1/3＞b
BCが処刑される事になっている時(1/3)→看守は1/2の確率で『B』と答える→1/6＞c
　　　　　　　　　　　　　　　 1/2の確率で『C』と答える→1/6＞d
よって看守が『B』と答えた時Aが処刑される確率は　a/(a+ｃ)＝2/3

175:132人目の素数さん
03/02/14 18:56
＞１７０
この場合一般的な代数計算では対処できないと思われ。問題点がAの視点から構築されている
事を考えれば　Aの過去 -> 　Aの現在　->　Aの未来　
と、確率は何通りにも変化し得る。（といってもこれは単純過ぎる問題だけど）
時間の流れを無視すれば如何なる試行の如何なる結果も計算上の確率に収束するだろう。
しかしこのような問題では時間の経過こそが問題なのだ。

176:170
03/02/14 23:59
>>175
なるほど。
12歳の少年にとって、自分が100歳で死ぬ確率を算出した場合と、
その少年が99歳まで生き延びたあとで、自分が100歳で死ぬ確率を
算出した場合と似てますね。

条件付確率（失礼。高校レベルしか勉強していません）で計算したら、
両方とも同じ確率になるのかもしれないけど、人生の現実としては
納得できない。

うーん、数学板の皆さん、ふかいっすねー。

177:１３２人目の素数さん
03/02/15 01:25
３人の囚人A、B、Cの内、２人までが処刑され、
１人は釈放されることになっている。

Aは看守に尋ねた。
「B、Cの内、少なくとも１人は処刑されるわけだから、
どちらが処刑されるか教えてくれないか？」

すると看守はこう答えた。
「Ｂは処刑されないよ」

Aはガッカリした。
自分が処刑される確率が２／３≒６６．６％から２／２＝１００％に
なったと思ったからだ。

看守はウソをつかないものとして、
看守に聞いたことで、本当にAが処刑される確率は上がったのだろうか？

178:１３２人目の素数さん
03/02/15 11:07
>>1 の問題はよくわからなかったが
>>177 の問題はわかる。はっきりわかる。
なんでだろう～～

179:１３２人目の素数さん
03/02/16 20:59
おまえら理解してないんだからsageるなよ！

180:（･∀-)ﾁｪｷﾗｯ!
03/02/17 03:27
ぬごご

181:１３２人目の素数さん
03/02/18 19:40
>>177
上がっﾄﾙ

182:170
03/02/18 21:11
>>178
やっぱり、自分が死んじゃうってことはそれだけ重要な問題なんですよ、きっと。

175のありがたい教えを敷衍すると、「現在」とはいつかってことなんじゃない
かな。

「過去」のある時点から問題全体を見直したとき、自分が「あした」死ぬ確立に
変動が起こってなかったとしても、今「がっかり」することのほうが、よっぽど
重要だ。なんせ人生は一度しかないからなー。

１の場合も、10年後、保釈された後のＡの視点から見れば、助かる確立は100％
ですよね。

183:132人目の素数さん
03/02/19 21:06
>>176
確率っていうのは現実だからね。論理的に計算可能だから現実との整合性に
確証を欠く錯覚を与えがちだけど両者は完全に一致している。
９９歳の老人なら１年後どころか１時間後に芯でもおかしくない。
それだけ老人の生命というのは不安定なものだという現実が存在する。

184:１３２人目の素数さん
03/02/19 22:17
なんだこれ
なんでこんなくだらねー議論してるの？
条件付確率と確率とのちがいだろ？

185:183
03/02/19 22:33
>>184
くだらねーのではなく現実。１８４氏の敗残の人生もまた現実。

186:１３２人目の素数さん
03/02/19 23:31
情報がふえたら確率変わるに決まってんじゃん

187:１３２人目の素数さん
03/02/20 02:29
「確率は変らない」が正解らしいがイマイチイメージわかないぜ
Cが処刑される確率が2/3から1/3になるのもイメージわかない
頭悪いな＞自分

188:１３２人目の素数さん
03/03/01 05:40
最初はちょっと惑わされたが、問題の「処刑される」と「釈放される」を入れ替えて、
Aが「釈放される確率が減っちまった」と落胆している場合を考えてみたら、
Aの考え方のおかしさが、わりとすんなり理解できた。

解答者自身の死にたくないという心理が、混乱を生みだす原因なのかもしれないとおもた。

189:㌦箱の詐欺師
03/03/02 21:52
すでに何人かの方が同じ趣旨のことを触れられていますが・・・。
囚人の誰が処刑されるかすでに決まっているのですから、確率ではなく推定ですよね。

Ａが処刑されるかどうかすでに決まっているが、われわれはそれを知らない。そこで、
“知り得た情報”と“もっともらしい仮定”をおいて推定しているのですから、情報が
増えれば推定値が変化するのは当然です。それを確率が変化したと勘違いするから気持
ち悪いと感じ、おかしいと思い込む。

（“もっともらしい仮定”というのは三人が処刑されるかどうかは、特段の情報がない
限り同じように考えよう（えこ贔屓しない）ということです。これを「三人が処刑され
る確率は等しい」と考えた時点で歯車が狂いだします）

宝くじを買う。10枚に3枚が当たりとして1枚買ったが当たる確率は？　といえば0.3だ。
ただし1週間後に発表があり、当たった。このときは強いて言えば確率1ですが、正確に
言うと「既に結果は出て発表を見た人は100％正しい推測ができる」ということですよね。

ところが、実は当たりは抽選ではなく発売前から決められていたとすれば状況が変わっ
てきます。宝くじ関係者は何番があたりが知っている。そうすると、“この”1枚の宝
くじが当たるかどうかは、宝くじ関係者は“100％正しい推測ができる”ということに
なります（看守と同じ立場です）。ところが結果を知らない一般人は情報がないので
0.3と推測するしかない。どの宝くじもおなじように考えようということです。こうい
う人たちにとって「当たり外れはまだわからず確率は0.3」と考えたとしても仕方のな
いことですし、普通はそれでいいのでしょうが・・・。

だから結果を知っている看守から見ればこのようなスレッドで議論しているわれわれは
バカに見えるかもしれませんな。（笑

ちなみに、死刑になる２人が、「一人はＢ、もう一人は当日ＡとＣがジャンケンして負
けた方」という”ルール”が決まっていればどうでしょう？
看守は同じようにＢと答えるでしょうが、この場合は明らかにＡの”確率”は0.5ですね。

190:１３２人目の素数さん
03/03/08 10:11
ＢとＣが同時に処刑される場合、看守がどちらを選ぶか1/2の確率とは
限らないが、かりにそれが1/2じゃなかっても、
Aの助かる率は1/3。Cの助かる率は2/3だな。

191:１３２人目の素数さん
03/03/08 10:16
>>190
なぜですか？
数学知らない香具師より

192:１３２人目の素数さん
03/03/08 15:24
>>190
BとCが処刑される場合必ずBというとして計算したら
Aの助かる率1/2となったが？

193:１３２人目の素数さん
03/03/08 15:48
残りの2人の囚人のいずれもが処刑される場合、看守はどちらが処刑されると
告げるのを選ばないといけないんだよな

194:190
03/03/08 15:49
Ｂを選ぶ確率をXとする。問題の意図からいって0<x=<1
ｃを選ぶ確率は1-Xだな。
その場合のBが処刑されると聞いてAの助かる率はx/（x+1)

しかし　実際の所　Aは知っているとは書いていないので
そんな仮定の話はここで出したら問題にならないじゃん。

そこでｘの値の確率分布の話になってくるんだよ。
つまり勝手にＸを1/2に仮定して計算するのは大胆すぎると
いうこと。でも分布が正規分布ならAの助かる可能性は1/3。

195:１３２人目の素数さん
03/03/08 16:00
>>190
ＢとＣが処刑の時、看守はＸの確率でＢを告げるものとする。

このとき、Ａが処刑でＢが告げられるのは、（ＡＢが処刑のときなので、）
１／３となる。
また、Ａが処刑ではなくＢが告げられるのは、（ＢＣが処刑のときなので、）
Ｘ／３となる。
よって、Ｂが告げられるのは１／３（１＋Ｘ）となる。
これより、Ｂが告げられたとき、Ａが処刑であるのは、（１／３）／（１／３（１＋Ｘ））
よって、１／（１＋Ｘ）である。
どこが、つねに１／３なのでつか？

あとさ、計算式の途中で文系の解答になるの、やめたほうがいいよ。（ｗ
「しかし、」から「１／３」の導出計算式が一切ないのはあまりにも不自然。

196:１３２人目の素数さん
03/03/08 16:10
>>195
ヴァカ？おまいは「Aは（確率を）知っているとは書いていないので」
が読みとれないのかと問いたい。

197:１３２人目の素数さん
03/03/08 17:03
で190はあってるのか間違ってるのか。
間違ってたら論破しないとな

198:１３２人目の素数さん
03/03/08 18:11
>>195
＞Aは（確率を）知っているとは書いていないので

これがどうかしたか？

199:１３２人目の素数さん
03/03/08 19:20
＞１の問題で『看守がＢは処刑と言う前にすでに二人決まっている』なら確率は変わらない。

『看守がＢは処刑言った後に、またＡ＆Ｃから選ぶ』なら確立は50%になる
　　↑
これはどうなんでしょう？

200:１３２人目の素数さん
03/03/08 19:39
>>198は>>196に対して。

201:１３２人目の素数さん
03/03/08 20:21
二日に分けて処刑すると考えれば?
「明日処刑されるのは誰ですか？」

202:１３２人目の素数さん
03/03/09 10:12
>>195
もし問題文が、ＢとＣが処刑の場合、看守がサイコロを振って
出目が奇数ならＢと告げ、偶数ならＣと告ぐという条件だった
なら、そのＸの値は1/2なので　Aの助かる率は1/3。これなら
簡単だろう。この問題では看守がどう判断するか解らない状況。
頭の中で判断するわけだからちょうど0.5になるはずもない。
ＢとＣが両方とも処刑の時、看守がＢを選ぶ確率Ｘの値が0.1か
もしれないし、0.9かもしれない。もしかしたら数値で表現する
こと自体間違っているかもしれない。また当然Aはその値Ｘを知
らない。看守が公平に判断するだろうとの期待だけである。もし
仮に、Ｘの確率分布を自然界に普遍的な正規分布（平均値0.5）
と仮定する。1/（Ｘ+1）の値とＸの確率を掛け合わせ、Ｘの値
を0～1まで積分すると、Aの助かる可能性は1/3に収束。しかし、
正規分布でたまたま1/3になるだけのことで、他の分布では1/3
になるとは限らない。本質的にはＸの値を知り得ないAが看守か
ら処刑されるのがＢとかＣとかという情報を聞いても自分の助か
る率に変化はないということ。分かる？ボク。
AにとってはＸは0.5と期待するしかない。そのため本当のＸの値
がいくつであったとしてもAが判断する助かる率には影響しないん
だよちみ？
どうだ？ヴォケ！分かったか！アホ脳しか持ってないテメーは
ほざくんじゃねえ！

203:１３２人目の素数さん
03/03/09 11:25
>>202
Ｘの値は看守が持っているものではないんですが・・・

Ｘの値は「実際に調べたと想定した、条件下の看守の動作確率」です。
ここで、条件より客観は看守から一切の思惑を取得しません。
このとき、看守は客観により「０か１かをランダムに出すコンピュータ」と
みなされます。つまり同確率により、（この場合は）Ｘ＝１／２と設定する
しかないのです。Ｘを他の値に設定するならば、
例えば「この看守はＢかＣかを選ぶ試行１００回中、
Ｃを９０回出すほどのＣ好きでした。」などの条件を加え、客観に
看守の思惑を取得させなくてはなりません。

つまり、１／３がより客観的な答えと言えるというわけです。
看守の思惑という概念は、問題の看守１万人に聞けば（平均が支配する世界では）
無に等しくなります。
Ｘの値について議論している>>190,>>194,>>195,>>202は少し論点が
ずれているのでは？

204:１３２人目の素数さん
03/03/09 16:23
>>202
＞アホ脳しか持ってないテメーはほざくんじゃねえ！

>>195と五十歩百歩だったってわけだ（藁

205:１３２人目の素数さん
03/03/09 16:28
Ｂｶﾜｲｿ

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03/03/09 16:28
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207:190
03/03/09 19:43
>>203
>>148
>このとき、看守は客観により「０か１かをランダムに出すコンピュータ」と
>みなされます。つまり同確率により、（この場合は）Ｘ＝１／２と設定する
>しかないのです。

そう。初めからそう割り切れれば簡単な問題。

実際には看守の判断というのが、あまりにもいい
加減なので、素人的にどんなモノなのか、議論に
するために、Ｘという確率を出してややこしくし
てしまった。

どんな正確なサイコロでも出目の確率は実際には
ちょうど1/6になるとは限らないだろ？？？？？？？
しかし確率の計算をするときは1/6でするのと同じなんじゃ。分かったか！

208:１３２人目の素数さん
03/03/09 23:17
?

209:１３２人目の素数さん
03/03/09 23:53
>>207
ちみは「モデル化」という事を知らない様だが

210:１３２人目の素数さん
03/03/11 13:15
処刑　　看守の返答　　　　Ａ助かる
①ＡとＢ　　Ａが処刑される　　×｜　全集合はこんな感じ
②ＡとＣ　　Ａが処刑される　　×｜　看守の返答で言及される囚人が等確率で決定し、
③ＡとＢ　　Ｂが処刑される　　×｜　かつ嘘をつかないことを前提とするので
④ＢとＣ　　Ｂが処刑される　　○｜　下の３つは除外して考えるが、
⑤ＡとＣ　　Ｃが処刑される　　×｜　Ａが処刑されない確率は１／３であることがわかる。
⑥ＢとＣ　　Ｃが処刑される　　○｜

ＢとＣ　　　Ａが処刑される
ＡとＣ　　　Ｂが処刑される
ＡとＢ　　　Ｃが処刑される
----------------------------------
ここで、ＢとＣについて処刑される囚人を一人教えるように看守に頼むのだが、
これによって①と②の場合の返答が

ＡとＢ　　　Ｂが処刑される　　×
ＡとＣ　　　Ｃが処刑される　　×

と変化するに過ぎず、全集合は下のようになって、確率に変化はない。

①ＡとＢ　　Ｂが処刑される　　×
③ＡとＢ　　Ｂが処刑される　　×
④ＢとＣ　　Ｂが処刑される　　○
②ＡとＣ　　Ｃが処刑される　　×
⑤ＡとＣ　　Ｃが処刑される　　×
⑥ＢとＣ　　Ｃが処刑される　　○

211:１３２人目の素数さん
03/03/11 23:40
>>207
＞どんな正確なサイコロでも出目の確率は実際には
＞ちょうど1/6になるとは限らないだろ？？？？？？？
ふーん。それはうなずけるが・・・

＞しかし確率の計算をするときは1/6でするのと同じなんじゃ。
ヴァカ？「同じ」じゃなくて、統計的にそうなるから、「振るさいころの
出目の確率の期待値」で考えるのが最も真実に近づくんだよ！
だいいち一個あたりなんか１／６近辺を減ったりも増えたりもするし、
どっちかわからないならその平均（＝出目率の期待値）を利用するんだろ！
おまえのは計算方法しか書いてなく、「どうしてそうなるのか」を無視している。
こんな記述しかできないんじゃ、理系として失格だな。

212:１３２人目の素数さん
03/03/12 03:17
理系なら全角英数使うなよ

213:山崎渉
03/03/13 13:06
（＾＾）

214:１３２人目の素数さん
03/03/16 00:51
>>210間違ってるよ・・・

215:１３２人目の素数さん
03/03/16 01:04
>>210の場合だと
看守がまだ何も答えてない時の状態だから
確率なんて考える意味が無いよ

看守はBが処刑されるって言ってるんだから
Ｂが処刑されるって言ってるのだけを選ばないと

①ＡとＢ　　Ｂが処刑される　　×
③ＡとＢ　　Ｂが処刑される　　×
④ＢとＣ　　Ｂが処刑される　　○

でAが助かる確率はやっぱり1/3

216:１３２人目の素数さん
03/03/16 01:09
これがもしAかBで処刑される囚人を教えてもらって、
Bだという返事が返ってきたとしたら

①ＡとＢ　　Ａが処刑される　　×
②ＡとＣ　　Ａが処刑される　　×
⑤ＡとＣ　　Ａが処刑される　　×
③ＡとＢ　　Ｂが処刑される　　×
④ＢとＣ　　Ｂが処刑される　　○
⑥ＢとＣ　　Ｂが処刑される　　○

こう変化してこの中からＢが処刑されるものを選ぶと

③ＡとＢ　　Ｂが処刑される　　×
④ＢとＣ　　Ｂが処刑される　　○
⑥ＢとＣ　　Ｂが処刑される　　○

Ａが助かる確率は2/3に上がったと言える

217:１３２人目の素数さん
03/03/17 22:59
　

218:１３２人目の素数さん
03/04/12 11:56
　

219:１３２人目の素数さん
03/04/12 21:21
これって、別のいい方すると、
当たり１、はずれ２のくじがあって、一回、くじを引いた時、
結果はまだ見ずに、ひかなかったくじのどちらかは
確実にどちらかはずれだから、どっちがはずれだったのか店員に聞いた、
ってパターンと一緒だと思う。
この時、三本から１つ選ぶんだから、くじを引いた後、残りのはずれを聞いたとしても、
１／３にはかわりないでしょ。
でも、引く前にはずれくじを一つ教えてくれたら当然確率は１／２

だから、この囚人のケースの場合、結果がすでに決まってるとしたら、
確率は１／３のまま変化していない、という論理ではだめか？

当方、しょせｎ法学部の学生ですが。

220:１３２人目の素数さん
03/04/12 22:28
>>219
そういう論理展開はまずい。
条件付確率を求めよって言っているのに､条件を考慮してないところがまずい。

結果的には正しい値に辿り着くし､直感的に説明できているけど､
その調子で、自分が引いてなくて、はずれと決まってないほうのくじが
あたりである確率が 2/3 であることも直感的に理解させられる説明ができるかな。

221:１３２人目の素数さん
03/04/12 23:45
数学科でない人にそこまでのものを求める必要もないと思うが。
条件付き確率なんて言葉も知らねーだろーし。

222:１３２人目の素数さん
03/04/12 23:47
しょせｎ法学部。

223:221
03/04/12 23:57
いや別に｢しょせん｣とかそういうことではなくて、
専門外でしょってことを言いたかったわけで。

224:220
03/04/13 00:11
だめか？って訊かれたから､だめって言うことを
ただ単に理由を添えて書いたつもりだったんだが……。

225:１３２人目の素数さん
03/04/13 00:33
>>219
＞この時、三本から１つ選ぶんだから、くじを引いた後、残りのはずれを聞いたとしても、
＞１／３にはかわりないでしょ。

店員（看守）の情報は「直接関係ない」から確率は不変で当然、という直観は間違い。
（このスレの初めのほうで紹介されているように）事前確率の設定と店員（看守）の
選択確率の設定によっては、情報で事後確率が変化することがありうる。

通常の設定では店員（看守）の情報の前後で確率が変化しないが、それは結果的にそ
うなるというだけで、一般には確率は変化し得る。直観的に「不変」、（あるいは
「増加」）と感じられる場合でも、計算結果は「変化」（あるいは「減少」）となる
場合もあるので、この手の問題で直観的理屈に頼るのは危険。

226:１３２人目の素数さん
03/04/13 00:56
ちなみに条件付き確率は高校で普通にやるよ。
中学でもやったかもしれない。

227:山崎渉
03/04/17 09:19
（＾＾）

228:１３２人目の素数さん
03/04/17 19:24
すでに結論が出ているかどうかも確認せずにカキコ。
>>1
「変わらない」
Ｂの処刑が確定された場合でも
Ｃの処刑が確定された場合でも
Ａが処刑される確率は変わらない、
つまり自分が処刑される確立には何も影響しない。はず・・。

～いろいろと考えてみた～
ＡＢＣの誰が処刑されるかまったく分からない場合、
処刑のパターンは
ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ
の３パターン。このうちＡが処刑されるのはＡＢとＡＣの二つ。
つまり２/３かな。

Ｂの処刑は確実ということは、ＡＢとＢＣに絞られることになる。

ＢではなくＣの処刑が確実となった場合、
ＡＣとＢＣの二つ。

これを見る限りでは３分の２から２分の１になったようだが、
ぜったいにＢＣのどちらかが処刑されるのはわかっているのだから、
どっちが処刑されようと関係ない。

229:１３２人目の素数さん
03/04/23 19:10
３人の囚人、A,B,Cがいる。
一人が恩赦になって釈放され、のこり二人が処刑されることがわかっている。
恩赦になる確率はABCそれぞれ、1/4,1/4,1/2であった。
（これまでの問いではみんなそれぞれ1/3でしたが）
だれが恩赦になるか知っている看守に対し、Aが「BとCのうちすくなくとも一人処刑されるのは確実なのだから、２人のうち処刑される一人の名前を教えてくれても私についての情報を与えることにはならないだろう。一人を教えてくれないか」と頼んだ。
看守はAの言い分に納得して、「Bは処刑される」と答えた。
さて、この答えを聞いたあと、Aの釈放される確率はいくらになるか。

答えは1/5らしい

230:１３２人目の素数さん
03/04/23 22:00
>>229
ここまでくると、もう条件付き確率の公式使わないとダメだね。
意味考えて解こうとすると、わけがわからなくなる。

231:１３２人目の素数さん
03/04/23 22:56
>>229
烈しく外出だが、問題が曖昧でこれでは確率は出ない
確率の問題はモデル化が命

232:１３２人目の素数さん
03/04/24 02:44
>>229
・もしAが恩赦されるのならば、看守は処刑される二人の囚人のうち、Aに答える方の名をそれぞれ等しい確率（1/2）で決定した。
・看守は嘘をついていない。
以上が成立するなら、この問題の解答は以下の通り。
看守がBと答えるのは次の２通り。
１．Aが釈放され、看守が1/2の確率でBと答える。
２．Cが釈放され、看守がBと答える。
まだ看守が処刑される囚人の名を告げていないとき、
１．の確率は、(1/4)*(1/2)=1/8。
２．の確率は、1/2。
残りの確率は条件からはずれる（看守がCと答える）ので、看守がBと答えたとき、Aが恩赦される確率は、
(1/8)/(1/8+1/2)=1/5。
でよいか？

233:１３２人目の素数さん
03/04/24 08:33
>>232
「Aに答える方の名をそれぞれ等しい確率（1/2）で決定した
↑
この部分が看守の無知による勘違い
Ｂ，Ｃが恩赦になる確率は違うので看守側でも調整しなければ
Ａに情報を与えてしまう事になる

234:１３２人目の素数さん
03/04/24 08:43
図で解くと簡単なんだけどなぁ・・・

235:１３２人目の素数さん
03/05/11 13:15
　

236:１３２人目の素数さん
03/05/11 23:50
じゃあ図。
・看守が1/2で答えるモデル（看守が恩赦確率を知らなかった場合とか）
「B処刑」：氏氏氏氏氏氏氏氏生生＝1/5
「C処刑」：氏氏氏氏生生＝1/3
で看守が気分屋さんであるという事は「生」の文字の行き場が変わると言うこと。
・最大限に希望的観測：氏氏氏氏氏氏氏氏生生生生＝1/3
・お約束の悲観的観測：氏氏氏氏氏氏氏氏＝0

237:１３２人目の素数さん
03/05/11 23:54
てことは看守がAに情報を与えないためのパラメータは？

（こんどは分母１２）
B処刑発言　氏氏氏氏氏氏生生
C処刑発言　氏氏氏生
で1/4ずつになるということは。B：C＝表面どおり２：１。つまんねー

238:１３２人目の素数さん
03/05/19 05:10
名スレあげ

239:１３２人目の素数さん
03/05/19 05:12
>>238
（・∀・）ﾆﾔﾆﾔ

240:１３２人目の素数さん
03/05/19 06:58
Bという情報が与えられた場合、Aが起きる確率は
　　Pr(A|B)=Pr(A and B)/Pr(B)…(1)
である。Bが処刑される確率をPr(B)=2/3とする。看守から
「Bが処刑される」という情報を得たAが、自らの処刑される
確率をPr(A|B)=1/2に修正したとする。値を式(1)に代入して
　　[1/2]=Pr(A and B)/[2/3]
つまりAの処刑される確率が1/2に減少する場合は　
　　Pr(A and B)=1/3
の場合のみである。その他の場合、
　　もし　Pr(A and B)>1/3　なら　Pr(A|B)>1/2、
　　もし　Pr(A and B)<1/3　なら　Pr(A|B)<1/2
となる。問題ではPr(B)もPr(A and B)も与えられていないので
「？」が答えかなw

241:山崎渉
03/05/21 22:10
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

242:１３２人目の素数さん
03/05/23 04:40
6

243:１３２人目の素数さん
03/05/27 18:56
学校の授業で似た話が出てきたんですが、この場合ってどうなんでしょうか？
先生は３囚人の問題とおんなじと言っていたんですが、どうも違うようで・・

アメリカのクイズ番組のボーナスゲーム。
３つの箱があり、その中のひとつだけに車の入っている。
解答者が一つを選んだ後、司会者は解答者が選んだものでもなく、車も入っていな
い箱をオープンする。
「今なら選択を変えてもいいですよ」と司会者は言う。
さて選択を変えた場合と、変えない場合確率は同じであろうか？またそれぞれの確
率は？

どう考えても１／２としか思えないのですが、それだとあたりまえすぎる気がして
不安です。

244:１３２人目の素数さん
03/05/27 19:04
>>243
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)

245:山崎渉
03/05/28 14:34
　　　　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾）＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎―◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

246:１３２人目の素数さん
03/05/30 22:36
　

247:１３２人目の素数さん
03/05/30 23:58
１０００円くれるって。
URLﾘﾝｸ(nigiwai.net)

248:１３２人目の素数さん
03/05/31 14:57
>>243
「ドアを変える」というのは、３囚人問題で言うと、囚人として入れ替わる（魂を変える？）
ということ。
司会者＝看守の情報の後もハズレ＝処刑の確率は「変わらない」(2/3)のだから、
「運命を変えられる」のなら、変えたほうが得。

249:１３２人目の素数さん
03/05/31 20:04
>>243
数式で計算すると、「変えない」が1/3、「変える」が2/3。

これを感覚で説明。

もしも、当たりが選ばなかった二つのドアのどちらかなら、
自動的にはずれドアが開いてくれるので、残ったドアが当たり。

つまり、途中でドアを変えるというのは、最初にあった二つのドアを
両方選ぶことに等しい。

よって、ドアを変える＝２／３、ドア変えない＝１／３。

上の論理を↓に適用されたし。
「ドアが１億個で、１つだけ当たりのドアがある。
あなたは一つのドアを選び、司会者は選ばなかった残りの
９９９９９９９８個のはずれドアを開いた。
司会者が『ドアを変えていいですよ』と言ったのだが、
あなたはドアを変えた方が良いか？両方の確率を求めよ。」

答え：変えたほうがいい。
「変えない＝１／１億」「変える＝９９９９９９９９／１億」

250:１３２人目の素数さん
03/06/04 00:27
うーん結構みんな適当なことかいてるね。
正しいことを書いている人のほうが少ない。
モンティー・ホール・ジレンマ、３囚人問題
とかで検索すればネットでも結構出て来るから
もっと勉強しなさい。

251:１３２人目の素数さん
03/06/17 20:54
ところで自分は良く知りませんが
元ネタと>>1に違いがないでしょうか？
多義的にとらえられる文章なので
ここまで紛糾してスレがのびたのでは？

252:スマイルα
03/06/17 22:08
URLﾘﾝｸ(elife.fam.cx)

253:１３２人目の素数さん
03/06/21 23:58
URLﾘﾝｸ(plaza.umin.ac.jp)
この考え方は正しいのですか

254:１３２人目の素数さん
03/06/22 09:49
>>253
囚人のジレンマのとこしか見てないけど、
そこは正しいこと書いてあるよ。
なんか同じ式二つ書いてあるけど。

255:１３２人目の素数さん
03/06/28 17:46
これってさ、
処刑されるのが
ＡとＢ　ＡとＣ　ＢとＣ　が３分の１づつでしょう？
つーことは、６分の１づつの確率で
「ＡとＢが処刑」「ＡとＢが処刑」
「ＡとＣが処刑」「ＡとＣが処刑」
「ＢとＣが処刑で、看守がＢと言う」「ＢとＣが処刑で、看守がＣと言う」
が起こるから、
看守が「Ｂ」って言っても、この時点で起こりうるのは
「ＡとＢが処刑」「ＡとＢが処刑」「ＢとＣが処刑で、看守がＢと言う」
の３つだからＡが助かる確率は３分の１のまま

ってのは矛盾してるのかな？

256:１３２人目の素数さん
03/06/28 18:48
この問題、大学への数学の増刊号の「確率」の後ろのほうに
書いてあったぞ、多分・・・
答えも載ってたと思うが。

257:１３２人目の素数さん
03/06/28 20:07
>>255
亜流な理解の仕方ですが、正しいです。

258:１３２人目の素数さん
03/06/29 06:27

259:１３２人目の素数さん
03/06/29 22:05
>>255
ティムポ洗って出直してきたまへ

260:１３２人目の素数さん
03/06/29 23:04
>>255
ベーイスの定理をそのまま文に起こしたって感じだな。
でも、文章を所々端折るときは、読む人に優しい省略の仕方をして欲しい。

261:２５５
03/07/06 19:39
皆さんに感謝。　反省します。

262:１３２人目の素数さん
03/07/06 21:23
↓
URLﾘﾝｸ(www.sexpixbox.com)

263:１３２人目の素数さん
03/07/06 21:28
(*´o)*ゞふぁぁ…
めんどくさいから全員処刑と決定！
では、おやすみ～

264:ガンバレ松井
03/07/06 23:43
松井のバットでホームラン(3run-homerun)

265:ガンバレ松井
03/07/06 23:43
なぜ松井?

266:１３２人目の素数さん
03/07/06 23:46
おまいらばかか？
処刑されるかされないか1/2だろ？
YesかNoだYo!

267:トム
03/07/07 00:51
この手の問題って去年の高校への数学にあったけど

268:１３２人目の素数さん
03/07/07 23:05
バカ？20%じゃないの？

269:１３２人目の素数さん
03/07/26 07:57
9

270:１３２人目の素数さん
03/08/02 12:48
難しい数式は良く分からないけど（文系なもんで・・）
Aだけじゃなくて、B,Cも看守に尋ねたとしたら、

Aが看守に聞いたとき、「Bは処刑されるよ」
Bが看守に聞いても、「X（AorCのどっちか）は処刑されるよ」
Cが看守に聞いても、「Y（AorBのどっちか）は処刑されるよ」
って事に必ずなるから、
3人とも同じ条件で、助かる確立は最初から1/3って直感で考えたけどダメ？

271:１３２人目の素数さん
03/08/05 17:43
>>270
漢字を正しく書けない時点でダメだろうな。

272:１３２人目の素数さん
03/08/19 07:02
2

273:１３２人目の素数さん
03/08/20 05:29
(意外と大きな荒らしも無くここまで続いたのが不思議ですが・・・)
オレは言いたい。
なんかみんな、1の提示の先にこの手のパラドックスを知ってる人ばかりだから、
混同してるんじゃないか？

「２つの箱があって、空けると初めて(未来の一事象が)定まる」という
ものは、パラドックスを生じ得る、いたいなことはあるけど、
本スレの場合は違うんじゃないの？

1の言う、看守が「Ｂは処刑されるよ」ということが"true"と(前提に)したところで、
「確率」は変わったんでないの？

274:１３２人目の素数さん
03/08/20 05:56
>>273
なんか言っていることがよく分からないので、
別の言葉で書き直してくれると嬉しい。

275:１３２人目の素数さん
03/08/20 20:38
>>273
釣りなのか阿保なのか俺にはわからん。

276:１３２人目の素数さん
03/08/21 03:34
>>273
なんとなく気持ちはわかるが、「混同してる」ってのは早計で、
1の例と「２つの箱があって、空けると初めて(未来の一事象が)定まる」っていう例は、
同じ(根本は同じ)じゃないの？

277:１３２人目の素数さん
03/08/21 05:30
>>276
同じだろうか・・・・・？
考え中・・・。

278:１３２人目の素数さん
03/08/22 21:26
なんにしろ確率は変わらないが正しいのは確か。

279:１３２人目の素数さん
03/08/27 08:00
「>>9」の例のように極端な場合を考えると「確率は最初から変わっていない」ことに
納得できるだろう（納得できない人もいるが）。
「>>9」の応用で酒席でのネタも作れる(今は省略します)。

こいつは妥当だと思うがあえて言ってみる・・・
『Ｂ・Ｃのうちどちらが処刑されるかと看守に問い、看守は「Ｂだ」と答えた』
その答えの前後で(またはその答えによって)Ａの確率は変わらない、というのが
9などの認識だが、では・・・・、
看守がＢだと答える前後で「Ｂの確率はどうなのか」？

280:１３２人目の素数さん
03/08/27 11:33
ある国では、国民の１００人に一人が、コカインを乱用しています。
そこで血液検査を行い、コカイン中毒者を割り出すことにしました。
検査に使う試薬は、的中率９９％です。
いま、ある男の血液を検査した結果、陽性の反応が出ました。
この男がコカイン中毒である確率は？

281:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:18
>>280 ９９％なのでは？

282:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:20
>>281んなわきゃない。

283:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:21
９９％コカイン使用者
＋
１％×１％コカイン使用者

284:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:47
>>280-283
「的中率９９％」の検査(この場合の)って、「陽性」の場合・・・
１．９９％陽性で、陰性の可能性は１％
２．９９％陽性で、残る１％は陽性とも陰性とも(この検査では)わからない
・・・の、どっち？
283では後者みたいだけど

285:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:50
残る１%は陰性なのに陽性
陽性なのに陰性と出る

286:284
03/08/27 12:52
そもそも280って279までの流れ(特に279の問題提議)を受けたものなの？
それとも別個に言い出したもの？

スンマセンよくわからなくて

287:280
03/08/27 12:55
条件付確率の問題であるという点以外、ほとんど関係ありません。
>>284
前者です。後者の場合、的中率９９％ととはいえませんので。

288:１３２人目の素数さん
03/08/27 13:02
280それ意味ないじゃん

289:281
03/08/27 13:04
理解した(283が正解)

290:281
03/08/27 13:05
理解したが、別の答えも思い出した

　　　↓

291:１３２人目の素数さん
03/08/27 13:06
２０％ぐらいなんじゃない？

292:132人目の素数さん
03/08/27 13:16

陰性と出る確率＝99C1/（100C1）*99/100＋1C1/（100C1）*1/100

でいいんじゃねーの？

293:１３２人目の素数さん
03/08/27 20:04
コカ中かつ陽性が出る確率/陽性が出る確率
(1/100 * 99/100) / (1/100 * 99/100 + 99/100 * 1/100)
=1/2？？？？

294:293
03/08/27 20:27
いやあ、1/2とは驚いた。

295:293
03/08/27 20:39
訂正。

x 陽性→中毒
y 陰性→健康
a 中毒→陽性
b 健康→陰性
1/100 a + 99/100 b = 99/100
b=(99-a)/99
1/100 a = (1/100 a + 99/100 ((1 - (99 - a)/99))) x
x=1/2

>>293は偶然合ってたっぽい。

296:293
03/08/27 20:45
yの意味無かった…。

297:１３２人目の素数さん
03/08/29 01:00
>>1
上がってます

298:１３２人目の素数さん
03/08/30 22:05
たとえば、誰もコカインを乱用していないとわかっている集団で
この血液検査をやったときに、陽性の反応が出たら、どうだろう。
９９％的中するのだから、その人は９９％陽性？そんなはずはない。

299:293
03/08/30 22:56
ある国では、国民のpが、コカインを乱用しています。
そこで血液検査を行い、コカイン中毒者を割り出すことにしました。
検査に使う試薬は、的中率qです。
いま、ある男の血液を検査した結果、陽性の反応が出ました。
中毒者が検査をした時陽性が出る確率をaとすると、
この男がコカイン中毒である確率はap/(1 - p + 2ap - q)で求まると思います。
この問題の場合p=1/100,q=99/100なのでaが上手く消えて1/2となります。
>>298の場合p=0,q=99/100なので0です。

300:１３２人目の素数さん
03/08/30 23:35
>>280
直感でいえば、1%間違うのだから、陽性とでる人物はだいたい2人いることになり、
1/2になる。
だから1/2でもおどろくこたぁ～ない

301:293
03/08/30 23:39
>>300
確かに言われてみるとごく自然な結果ですね。

302:１３２人目の素数さん
03/08/30 23:53
280の問題のような状況は、意外と日常のあちこちの場面にあふれているので
注意しておくといいよ。

303:１３２人目の素数さん
03/08/31 00:54
その検査が50%の確率で正しい答えがでるとしたら、
陽性が出た人がホントに陽性な確率って、50%？

304:１３２人目の素数さん
03/08/31 00:59
>>298
＞９９％的中するのだから、その人は９９％陽性？そんなはずはない。
１．「１％の『ハズレ』」が出た。
２．もっというと、そういう国でこの検査を広く行えば、検査の精度「９９．***％」が知れる。
・・・・
これってもはや問題意識が「数学」から離れてる？

305:293
03/08/31 01:37
>>303
正確な値は定まらないけど、もっと全然低いのは確実。

306:298
03/09/01 00:20
>>303
1/100。50％の検査など、やってもやらなくてもいっしょ。
>>304
１．

307:293
03/09/01 01:01
>>306
なんで1/100になるの？途中式を書いていただけるとありがたい。

308:１３２人目の素数さん
03/09/01 16:26
簡単に言うと、
１００人に一人が乱用している国で、ランダムに一人選んだのだから、1/100。検査はまったく無意味。
具体的に式にすると、
分子＝（陽性と出てコカインを乱用している確率）
分母＝（陽性と出てコカインを乱用している確率）＋（陽性と出てコカインを使用していない確率）
より (1/100)(1/2)/((1/100)(1/2)+(99/100)(1/2))=1/100

309:１３２人目の素数さん
03/09/01 16:28
コインを投げて、表が出たら「陽性」、裏が出たら「陰性」
というような検査でも、５０％的中する。

310:１３２人目の素数さん
03/09/01 16:52
>>284-285
詭弁を言う気はないが、的中度１％の検査があるとして、
(結果の逆をとれば)的中度９９％の検査と等しく信頼度があるってこった。

311:１３２人目の素数さん
03/09/01 16:59
二択の問題で的中率が５０％をきるようなものは、検査とはいえないけどね。

312:293
03/09/01 17:02
>>308
最初の問題の例で言うと
99%の乱用していない人が陰性と出る確率が100%で
1%の乱用している人が陽性と出る確率が0%でも
全体では99%の的中率になる。

今回の問題でも同じように
コカインを乱用している人が陽性と出る確率が1/2
とは限らないと思います。

313:293
03/09/01 17:21
コカインを乱用している人が陽性と出る確率をa、
コカインを乱用していない人が陰性と出る確率をb、
陽性が出た人がホントに陽性な確率をxとした時
1/100 a + 99/100 b = 1/2
1/100 a/(1/100 a + 99/100 (1 - b)) = x
この連立方程式を解くと
x=a/(2a+49)

314:１３２人目の素数さん
03/09/01 20:23
>>312
「検査に使う試薬の的中率は９９％」
的中率９９％とは、どんな集団を対象に検査しても、９９％の確率で的中することを、言うのでは。
どんな場合でも「陽性」という結果をだす試薬に、的中率なんてないと思います。

315:１３２人目の素数さん
03/09/01 20:51
>>314
どちらとも取れる。
どちらに取っても答えが同じになるように出来た>>280の設定をそのまま使ってるのに問題がある。
>>303がどちらのつもりで聞いたのかは本人しかわからない。

316:１３２人目の素数さん
03/09/02 00:26
>>315どちらにでも取れるとはどういうこと？
どうとれば280の答えが同じになるの？

317:１３２人目の素数さん
03/09/03 03:05
>>316
>>280は>>293の捕らえ方をしても
>>295の捕らえ方をしても答えが同じになる
（>>295でa=0の時は1/2にならないが）

318:１３２人目の素数さん
03/10/09 02:21
17

319:１３２人目の素数さん
03/11/04 05:25
6

320:１３２人目の素数さん
03/11/17 06:47
13

321:１３２人目の素数さん
03/12/01 18:06
次はどんな確率の問題で数学板に人が来るのか。

322:１３２人目の素数さん
03/12/01 20:36
確率→確立

323:１３２人目の素数さん
03/12/12 05:15
23

324:１３２人目の素数さん
03/12/16 02:19
俺がAなら

Bは処刑される！？Bは！？
じゃあCは処刑されネェのかッ！？
必然的にもう一人処刑されるのは、俺！？
なんだってぇぇぇぇ～～～！？

ってomou

325:１３２人目の素数さん
03/12/16 02:23
看守「Ｂは処刑されるよ。(･∀･)ﾆﾔﾆﾔ」

326:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:01
話題を変えて、ｶﾞｲｼｭﾂだろうが封筒の問題。

--------------
一方の封筒には、もう一方の封筒の倍の金額が入っている。開封者はどちらかの金額をもらえる。
一方を開封すると100円が入っていたが、今もう１個の封筒を選びなおしてもいい、という。
開封者は、「もうひとつの封筒に入ってるのは50円か200円のどちらかだ。ということは期待値は50×1/2＋200×1/2＝125円で
今の100円より大きい。もう１個の封筒を選んだ方が得だ。」と考えた…。
本当？
--------------

あんまりきっちりした解答にお目にかかったことがないのでちょっと次の２つの場合に分けてちゃんとした解答を示しておく。

１．金額に対する判断をまったく無視した場合
２．金額に対する判断を考慮に入れた場合

１．金額に対する判断をまったく無視した場合

これは封筒に入っている金額になんの情報もない場合。問題文の仮定からは、開封者が封筒の金額に最初からある程度の目星
をつけているようなことは書いてないので、とりあえずそういうことにしとく、ってのがこの場合。

封筒のお金を、a円と2a円であるとし、最初に選んだ封筒の額をX、次に選んだ封筒の額をYとする。
前提条件で与えられているのは、

P(X=a,Y=2a)=P(X=2a,Y=a)=1/2

Xだけに着目すれば、当然

P(X=a)=P(X=2a)=1/2

でもある。

327:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:02
今、Xが分かった場合のYの条件付期待値E[Y|X]を考えるわけだが、Xが分かったといっても、今封入金額に何の事前情報もない
わけだから、それがa円であるか2a円であるかが分かったわけではなく、この条件付期待値E[Y|X]は当然次のような確率変数に
なる。

X=aのときのY=2aである確率は、P[Y=2a|X=a]=1（よって当然P[Y=a|X=a]=0）なので、
X=aであるときのYの期待値は、

E[Y|X=a]=2a*P[Y=2a|X=a]＋a*P[Y=a|X=a]＝2a

同様に、

E[Y|X=2a]=2a*P[Y=2a|X=2a]＋a*P[Y=a|X=2a]＝a

したがって、E[Y|X]は、確率P(X=a)=1/2で2aをとり、確率P(X=2a)=1/2でaをとる確率変数であって、これはXの確率構造とまっ
たく違わない。よって、得でもなんでもなく、Xも、Yも、E[Y|X]もすべて同じ分布に従う確率変数であるわけだ。

上の開封者が、常に次の封筒が倍か半分かはそれぞれ確率1/2だ、と考えているのならば、それは、

P[Y=2X|X]=P[Y=X|X]=1/2

と考えてしまっている、ということになるが、これは間違い。
実際は、P[Y=2X|X]やP[Y=X|X]は、この確率自体が1/2なのではなく、確率1/2で1か0をとる確率変数なわけだ。

しかし、金額を見た後に、「その金額の倍か半分を確率1/2でもう１個の封筒に入れてやる」というのであれば、

P[Y=2X|X]=P[Y=X|X]=1/2

が成り立つ。　（当然これも確率変数だが、確率１でP[Y=2X|X]=P[Y=X|X]=1/2が成り立つ、ということ。）
この場合はXの値がいくらであるかにかかわらず、次の封筒の額がその倍か半分である確率がそれぞれ1/2なわけだ。

よって、簡単な計算で、E[Y|X]=1.25Xが成り立つことになり、この場合は次の封筒を選ぶほうが、（期待値で考えた場合は）得。

328:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:04
２．金額に対する判断を考慮に入れた場合

１．の判断は、「封筒の額は決まっており、封筒を変えようが変えまいが、どちらを選ぶのかは五分五分だ。」というあたりまえ
の内容を数学的に記述したもの。
もうひとつの判断の仕方として、実際に最初の封筒の金額を見て、その金額の大小に関わる判断を下すという場合。どちらかと言
えばこっちの方が本質かな。こうすると、実際に確率変数ではない条件付期待値が計算できる。
しかし、この判断を下すためには、１．の封筒のお金（a,2a）に対する開封者の考えという事前情報がいる。
数学的には、封筒の金額のうち小さい方の額をZ（0<Z）とし、Zが確率（密度）関数f(z)を持つ分布に従っていると開封者が判断
している、という仮定が必要。（この分布のことを事前分布という。）
ある程度金額に目星をつけている必要がある、ということ。

この仮定の下で、与えられた条件は、

P(X=z,Y=2z|Z=z)=P(X=2z,Y=z|Z=z)=1/2

ここで、今X=xということが分かった場合、そのxが小さい方である、すなわちZ=xである確率P(Z=x|X=x)を考えると、ベイズの定
理から、

P(Z=x|X=x)＝P(X=x|Z=x)f(x)/(P(X=x|Z=x)f(x)+P(X=x|Z=x/2)f(x/2))=f(x)/(f(x)+f(x/2))

これは必ず1/2になるわけではなく、事前分布（すなわち開封者の判断）に影響する。

329:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:04
したがって、X=xが分かった下でのYの期待値は、

E[Y|X=x]＝2x*P(Z=x|X=x)＋x/2*P(Z=x/2|X=x)＝2x*f(x)/(f(x)+f(x/2))＋x/2*（1-f(x)/(f(x)+f(x/2)))＝x/2*（1＋3*f(x)/(f(x)+f(x/2)))

E[Y|X=x]＞xの時、封筒を変えたほうが得だと判断することになるが、この条件は上の式から、

2*f(x)＞f(x/2)

となる。

現実的には財産は上限があるし、あんまり大きい金額をくれるはずがないし…などということを考えて、例えば仮にf(x)を指数分布（平均a）
とでもしてみると、上の条件は、

ｘ＜2a*log2

となる。すなわち入っていた額が比較的小さいと判断すれば、次の封筒に選びなおしたほうがいい、というごく普通の結論になる。

問題が、例えば開封したら100円が入っていて、100円という金額を見て、100円、200円をいれる可能性と50円、100円を入れる確率は五分五分だと
判断した、すなわち、f(50)=f(100)と判断したのであれば、次の封筒を選んだ方が得になる。
ただ、この「五分五分」というのは常に成り立つわけではなく、あくまで開封者の判断によるものである、ということ。

もし、常に「五分五分」だから、と開封者が思っているのならそれは間違い。
これは、１．の考え方でもそうだったし、この場合で事前分布を適当に選んでいいとしても、そうなるためには常に2*f(x)=f(x/2)が成り立つよう
な分布じゃなきゃいけないが、そんなのはないから（f(x)=a/xの形の分布はない）、無理。

330:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:18
暇だから長々と書いてみたのでアゲ。

331:１３２人目の素数さん
03/12/29 00:52
最後んとこはちょっと間違ってた。
常に五分五分なら、常にf(x)=f(x/2)だね。こんな分布も当然ない。失敬。

332:１３２人目の素数さん
03/12/31 00:46
>>1にもきちんとした答えを書いておこう。既に正しいことを書いている人もいるけど。

もし、BもCも死刑となるとき、看守がBと答える確率がpである（とAが判断している）とする。このとき、看守がBと答える確率は、
Aが死刑ではなくて、看守がBと答える確率…1/3*p　と、
Aが死刑であって看守がBと答える、すなわちCが釈放される確率…1/3
の和1/3*p+1/3である。
よって、看守がBと答えた条件のもとでのAが死刑である確率Pは、確率1/3*p+1/3のうちの、確率1/3の部分であり、
P=(1/3)/(1/3*p+1/3)=1/(p+1)
となる。（ベイズの定理）

よって、Aが釈放される場合に看守がBと答えるかCと答えるかは全然わからないから五分五分である、とAが判断した場合、すなわちp=1/2の場合は、P=2/3であり、確率は何も聞かなかった場合と変わらない。
問題からはAが看守に対してもっている情報はないと考えられるから、事前確率pにはこの仮定を置くのが普通であり、最も一般的な説明。

ただし、「聞こうが聞くまいが確率は最初と変わるはずはないから…」という説明は間違い。上で見たとおり、p=1/2の時に限り、Aが死刑である確率は最初の確率と変わらない。しかし、この場合でもCが死刑である確率は2/3から1/3に変わっている。
ある情報が入った場合の条件付確率は、もとの確率と違う方が普通。

もし、p=1の場合P=1/2である。すなわちAが釈放される場合は看守は必ずBと答える（とAが判断している）場合はP=1/2となる。
よって、問題に対する答えとしては、自分が釈放されないときは看守がBと答える確信がある場合のみ、確率が1/2になるとい
う判断は正しいけどそれ以外だとそうじゃないよ、ってことになる。

いずれにしても、任意のp（0≦p≦1）に対し、P=1/(1+p)≧1/2であり、「看守がA以外で死刑である囚人のうちの一人を答えることとなり、その囚人がわかった」という条件の下で、Aが死刑である確率は必ず、看守が答えなかった方の囚人が死刑である確率以上になる。

心情的にも、「絶対に死刑を告げられないA」と、「死刑を告げられる可能性があるが、告げられなかったC」とでは、Cの方がAより死の危機を回避した可能性が高いことは納得できるはず。

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