線形代数/線型代数 2

線形代数/線型代数 2 at MATH

821:１３２人目の素数さん
05/08/07 16:45:56
>>806
固有値1のときの固有ベクトルは　-x+2y+z=0 を満たすベクトルとして
(1,0,1) , (2,1,0) の2つが取れる。
固有値0のときは (1,1,-2)

822:１３２人目の素数さん
05/08/08 01:20:10
行列Ａ＝（４　２
　　　　　１　５　）
(a)行列Ａの固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。
(b)行列e＾A=I+Σ(１/n!)＊A＾nで定義する。ただしn=1～∞　Ｉは単位行列である。この行列e＾Aの固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。
(c)N≧１に対して、A＾nの各要素をnの関数として表せ。
(d)行列e^Aの各要素を具体的に書き表せ。

(a)しかわかりません。どなたか教えてください。

823:１３２人目の素数さん
05/08/08 19:29:36
>>822
A = U^T D U (U:ユニタリ行列,D:対角行列) と分解して考えてみな。

824:１３２人目の素数さん
05/08/08 19:54:09
>>822
固有値は3,6、対応する固有(列)ベクトルとして[[2],[-1]]、[[1],[1]]がとれるので
A[[2],[-1]]=3[[2],[-1]]、A[[1],[1]]=6[[1],[1]]
まとめると
A[[2,1],[-1,1]]=[[2,1],[-1,1]] [[3,0],[0,6]]
∴A=[[2,1],[-1,1]] [[3,0],[0,6]] [[2,1],[-1,1]]^(-1)
∴A^n=[[2,1],[-1,1]] [[3^n,0],[0,6^n]] [[2,1],[-1,1]]^(-1)=略　←ここはできるでしょ？
∴e^A=[[2,1],[-1,1]] [[e^3,0],[0,e^6]] [[2,1],[-1,1]]^(-1)=略　←ここはできるでしょ？

825:１３２人目の素数さん
05/08/08 21:17:56
>>823 >>824
ありがとうございます。

826:１３２人目の素数さん
05/08/08 21:26:55
>>822
なめてんのか？この糞マルチ野郎！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:272番)

827:１３２人目の素数さん
05/08/09 13:28:47
2次以下のK-係数多項式の空間P^2(K)の線型変換Tb：f(x)→f(x+b),(b≠0)
がジョルダン標準形で表現されるようなP^2(K)の基底を求めよ。
（斉藤正彦　線型代数入門第6章末の問３）

Tbの表現行列Aは

　1　b　b^2
　0　1　2b
　0　0　1

で、J=J(1,3)への変換行列Pは

　2b^2　2b^2　2b^2
　0　　 2b　　b
　0　　 0　　 1

から、求める基底は<2b^2,bn,2n-n^2> (n=0,1,2)　■

ところが巻末の解答は<2b^2,2bx,x^2-bx>,J=J(1,3)となっています。
上記解答はどこかおかしいですか？

828:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/08/09 14:43:17
talk:>>827 表現行列は合っているのですか？

829:１３２人目の素数さん
05/08/09 15:36:11
>>828
f(x)=a_0+a_1 x+ a_2 x^2

とおくと、

f(x+b)=a_0+a_1 (x+b)+a_2 (x+b)^2
　　　=(a_0+a_1 b+a_2 b^2)+(a_1+a_2 2b)x+a_2 x^2

より係数比較をして、Tbの表現行列Aを

　1　b　b^2
　0　1　2b
　0　0　1

とおくと

Tb：(a_0, a_1, a_2)→(a_0+a_1 b+a_2 b^2, a_1+a_2 2b, a_2)

となるので合ってると思います。

830:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/08/09 16:31:49
talk:>>829 それでは変換行列とは何か？

831:１３２人目の素数さん
05/08/09 17:14:36
>>830
もうちょっと考えてみます。

832:１３２人目の素数さん
05/08/09 17:43:08
>>831
P=
　2b^2　0　　0
　0　　 2b　-b
　0　　 0　 1

でありこれを使うと

(Tb(1) Tb(x) Tb(x^2))=(1 x x^2)A=(1 x x^2)PJP^(-1) と表せて
基底は (1 x x^2)P すなわち (2b^2　2bx　x^2-bx) となる。

833:１３２人目の素数さん
05/08/09 18:09:02
>>832
ありがとうございます

834:１３２人目の素数さん
05/08/10 02:58:47
そもそも「線形」とはどういう意味なのか、いまいち分からない。
もちろんその原因は私の頭が極めて悪いということに他ならないが。

835:１３２人目の素数さん
05/08/10 03:03:28
まっすぐ

836:１３２人目の素数さん
05/08/10 03:25:29
>>834

難しく捉えない。
線型写像ならググレば判る。その性質を線型であると形容し、
主として線型写像が活躍する対象に「線型」なる形容詞を付ける。

で、線型写像を簡単に言えば定数項の無い一次式で表現出来る函数と
云う意味、あるいはそれの延長された概念。

837:１３２人目の素数さん
05/08/11 17:20:52
>>830
これでどうでしょう？

f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2　とおくと、

Tb:f(x)→f(x+b)=(a_0+a_1 b+a_2 b^2)+(a_1 +2a_2)x+a_2 x^2

書き換えて

　　　　　　　 |a_0|　　　　　　　 |a_0+a_1b+a_2b^2|　　　　　　　 |1 b b^2||a_0|
Tb:(1, x, x^2)|a_1| → (1, x, x^2)|　　　　　a_1+2a_2| = (1, x, x^2)|0 1　2b||a_1|
　　　　　　　 |a_2|　　　　　　　 |　　　　　　　　a_2|　　　　　　　 |0 0　 1 ||a_2|

　|1 b b^2|
　|0 1 2b |　＝Aと置くと、Aは基底<1 x x^2>に対するTbの表現行列である。
　|0 0　1 |

838:１３２人目の素数さん
05/08/13 21:33:41
>>827
基底のとりかたは一意じゃないから、それでもあってるよ。

839:１３２人目の素数さん
05/08/17 11:40:45
任意の正方行列はある２つの対称行列の積で表せますよね？
でも証明しようとしたら詰まってしまいました。
誰か証明を与えてみてください

840:１３２人目の素数さん
05/08/19 08:38:01
age

841:１３２人目の素数さん
05/08/23 14:20:33
>>839
表わせるの？