★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

★東大入試作問者にな ..

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98:１３２人目の素数さん
 03/12/08 04:18
>>25の模範解答まだー？

99:25
 03/12/08 17:17
もう流されたかと思っていたよ（汗 
ってか、すまん（ぇ）0<a<π/4じゃなくて全てπ/2だよ（氏 
答えには支障ないだろうけど、考えてくれた人がいるかどうかはわからんが、すまん・・・ 
 
－解法例１－ 
0<a<π/2、0<b<π/2、0<c<π/2より0<a+b+c<3π/2 
そこでa+b+cがπ/2以下だと仮定すると、 
cos(a+b+c)=cos(a)・cos(b+c)-sin(a)・sin(b+c)≧0 
即ち、cos(a)・cos(b+c)≧sin(a)・sin(b+c)・・・（１） 
0<a<π/2、0<b+c<πだから、sin(a)とsin(b+c)は正なので、両辺二乗しても符号は変化しない。 
ここで条件式を使って、（１）の両辺を二乗したものを整理すると、（sinのみの式にして加法定理のみなので略ｗ） 
cos(b+c)≦0、つまりb+c≧π/2 
しかし、これは最初の仮定と矛盾するので、以上より、π/2<a+b+c<3π/2 
∴cos(a+b+c)<0　である。 
 
－解法例２－ 
方針「0<a+b+c≦π/2におけるa,b,cについて考えていく」 
sinθは0<θ<π/2において単調増加・・・（１） 
よって、A+b+c=π/2となる時、(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2≦(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2・・・（２） 
また、（２）の右辺を整理すると、 
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=3/2-1/2(cos2A+cos2b+cos2c) 
                             =3/2-1/2(2cos(A+b)・cos(A-b)-cos2(A+b)) 
                             =1-cos(A+b)(cos(A-b)-cos(A+b)) 
                             =1-2cos(A+b)・sinA・sinb・・・（※） 
ここで、sinA>0、sinb>0、そしてA+b<π/2より、cos(A+b)>0であるので、（※）より、 
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2＜１ 
 
よって、A+b+c=π/2、（１）より(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=1となるのは、π/2<a+b+c<3π/2 
従って、cos(a+b+c)<0  である。 
                              
 
こんな感じ。

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