★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

★東大入試作問者にな ..

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806:１３２人目の素数さん
 04/10/23 18:39:15
>>805 
細かいことだが，a→+0 と書いて欲しい．

807:１３２人目の素数さん
 04/10/23 20:05:05
>>805 
やってみますた。 
f(x) = x - sin x - (1/6)x^3 ± x^4とおくと、(以下複合同順) 
f'(x) = 1 - cos x - (1/2)x^2 ± 4x^3 
f''(x) = sin x - x ± 12x^2 
f'''(x) = cos x - 1 ± 24x 
f''''(x) = -sin x ± 24 
±f''''(x) > 0, f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0　だから、 
x>0のとき±f(x)>0。すなわち、 
-x^4 < x - sin x - (1/6)x^3 < x^4 
両辺をx^3(>0)で割って、 
-x < (x - sin x)/(x^3) - 1/6 < x 
∴lim[x->+0](x - sin x)/(x^3) = 1/6 …(1) 
題意の弓形の円周角はaだから、 
S = (1/2)a - (1/2)sin a 
lim[a->+0]S/(a^3) 
=(1/2)lim[a->+0](a - sin a)/(a^3) 
=1/12 (∵(1))

808:１３２人目の素数さん
 04/10/23 20:36:30
>>791 
どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。 
　 
(補題) 
∑[m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2C[2n,n]/4^n 
(証明) C[2n+2,n+1]=(4n+2)/(n+1)C[2n,n] + 帰納法。以下略 
(命題) 
∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n] 
(証明) 以下のような試行をかんがえる。動点Pを最初原点におき 
確率(1/2)でx軸方向に+1、確率(1/2)でy軸方向に+1うごかす。この試行を2n回 
くりかえす。各段階で直線y=xから遠のいたとき1点、近づいたとき-1点をあたえる。 
試行の終了時動点は(n+k,n-k) (-n≦k≦n)であらわされる点のいづれかにいる。 
(n+k,n-k)に到達する確率はC[2n,n+k]/4^nでありそのときの全得点は|2k|である。 
したがって全得点をあたえる確率変数Eの期待値は 
E=∑[k=-n,n]|2k|C[2n,n+k]/4^n･･･(1) 
一方でl回目の試行の時点でえられる得点の期待値はlが奇数のとき0であり 
lが偶数のときはC[l,l/2]/2^l×1である。(=点(l/2,l/2)に到達している確率×その場合の条件付期待値) 
よって全期待値は 
E=∑[m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2nC[2n,n]/4^n･･･(2) 
(1)、(2)より∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n]

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