★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

★東大入試作問者にな ..

800:１３２人目の素数さん
04/10/23 09:20:37
>>795
ｐが有理数とするとｐ＝ｊ/ｋ（ｊ，ｋは自然数）とおける．
そのとき，

ｊ/ｋ＝1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!+a_n/(n+1)!

両辺をｎ!倍すると

（ｊ/ｋ）ｎ!＝（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!+a_n/(n+1)

ｎ≧ｋのとき（ｊ/ｋ）ｎ! は自然数．
（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! は常に自然数で，
ｎ+1≧3 のとき， 0＜a_n/(n+1)＜１
よって，ｎ≧max｛ｋ，2｝のとき，

a_n/(n+1)＝（ｊ/ｋ）ｎ!-（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!

において，右辺は整数となるので矛盾．

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