★東大入試作問者にな ..
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762:１３２人目の素数さん 04/10/22 03:18:04 >>761 ＞(2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに nは8でわったあまりが1でない自然数じゃないの？ 763:761 04/10/22 04:01:36 失礼しますた。訂正します。 誤n=9の倍数でない自然数 正nは8でわったあまりが1でない自然数 764:東大教授 04/10/22 15:18:52 自然数ｎについて定義された関数ｆ（ｎ）＝［2005／ｎ］について、 ｆ（ｆ（ｎ））≠ｎ 満たす最小のｎを求めなさい。 ここで［ｘ］はｘを超えない最大の整数とする。 （2005年 第1問） 765:東大教授 04/10/22 15:23:56 方程式 x^2+y^2+z^2=（8m+7）4^n (n,mは自然数) を満たす自然数の組（ｘ、ｙ、ｚ）が存在しないことを示せ。 （2006年 第1問） 766:１３２人目の素数さん 04/10/22 15:44:49 >>764 nが2005を超えたらｆ（ｆ（ｎ）)は存在しない。悪問。 767:１３２人目の素数さん 04/10/22 16:21:21 (mod8) 0^2≡0,1^2≡1,2^2≡4,3^2≡1,4^2≡0,5^2≡3^2≡1,6^2≡4,7^2≡1, よって、任意の自然数nにおいてn^2≡0,1,4 題意を満たす(x,y,z)の組がもしあればx^2+y^2+z^2≡0,4で x,y,zはどれもmod8で0か4でなければならない。 つまり、x,y,zは全て偶数でなければならない。 x=2＊x1,y=2*y1,z=2*z1,(x1,y1,z1は自然数)とおける。 この時、条件は x1^2+y1^2+z1^2=(8m+7)4^(n-1)とかける。 この操作を繰り返し、 xn^2+yn^2+zn^2=(8m+7)を得る。 この時、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数となる。 しかしながら、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数ならば xn^2+yn^2+zn^2≡1,3(mod8)であるから、この様な組み合わせは存在しない。
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