★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

★東大入試作問者にな ..

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714:１３２人目の素数さん
 04/10/16 14:38:04
一辺2の立方体の内部を半径1の円盤が自由に動く。 
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。

715:１３２人目の素数さん
 04/10/16 14:54:44
これは難問だぞ

716:１３２人目の素数さん
 04/10/16 15:36:27
こちらの方が激難問だよ。 
 
「一辺2の正方形の内部を半径1の円盤が自由に動く。  
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。」

717:１３２人目の素数さん
 04/10/16 15:55:42
>>662　長いので概略のみ 
ある３点が存在し、それが同一直線上に並ぶ場合、条件を満たさない。よって、どの３点も同一直線上に並ばない。 
 
ある点Dが存在し、残りの３点が作る三角形ABCの外心がDである場合。 
△ABCが正三角形の場合、Dが外心の時、明らかに条件を満たす。 
△ABCが正三角形でない場合、AB,BC,CAは二通りの値を取る。Dが△ABCの外心であることからAD=BD=CD、一般性を失わず 
AD=BD=CD=ABとしてよく、この場合△ABDが正三角形をなす。このような条件を満たす点配置は３通り、その全てが条件を満たす。 
 
４点のうち、どの３つを選んでもその３点がなす三角形の外心は４点に含まれない場合。 
AB,AC,ADは条件より２通りの値を取る。よって、AB=1,AC=AD=aとしても一般性を失わない。 
BC=1の場合、 BA=BC=1、Bは△ACDの外心でないことから、BD=aが成立する。 
このとき、DA=DB=aが成立するため、DC=1が成立する。 
BC=aの場合、 CA=CB=aが成立するためCD=1　BDの値は1,a両方取り得る。 
以上より、この場合の４点が作る線分の長さは以下の通り。 
 
1) AB=1 AC=AD=a、 BC=1 BD=a CD=1 
2) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=a CD=1 
3) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=1 CD=1 
 
ところが、1,3は点C,Dを入れ替えることで同じとなるため、実質的に異なる配置は二通り。 
 
1)の配置の場合、aの値は二通り考えられるが、拡大または縮小することで両者は等しくなる。よって、1)の場合の配置は一通り。 
2)の配置の場合、AC=CB=BD=DA=aより、ACBDは菱形をなす。対角線がAB=CD=1となることから、この菱形は正方形であり 
この場合の点配置も一通り。 
 
以上をまとめると、全ての点の配置は６通りであることが分かる。

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