★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

★東大入試作問者にな ..

669:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:06:46
>>667
積分区間を良く見てみ

∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ =
∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0

670:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:07:24
[e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。

671:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:10:46
>>670
> [e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。

じゃ，何だっていうつもり（ｗ

672:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:12:46
勘弁してくれよ、出題者に聞いてくれ

673:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:09:39
不定積分なんだから積分区間はないよな．
[e^0..sin(π/2)]は「..」が気になる．なんだろ？

674:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:13:09
>>673
定積分の書き間違いだろ

675:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:21:09
「..」は？

676:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:29:33
667 １３２人目の素数さん 04/10/14 13:01:30
これは難問だぞ

668 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:03:29
アフォか？

669 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:06:46
>>667
積分区間を良く見てみ

∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ =
∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0

675 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 15:21:09
「..」は？

面白すぎ :-)

677:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:34:12
定積分を不定積分と間違え、しかも「解きなさい」などと意味不明な事を書き、
不定積分に必要だと勘違いした積分区間に「..」などと変な記号を入れる、
これはそうとうな池沼だな。

678:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:50:15
んなことは、どうでもいいから、>>662の解答ｷﾎﾞﾝ

679:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:50:42
>>677
そんなこと一目で見抜けるだろ

わざわざ書き込んだのは釣られたはらいせだな

680:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:51:36
釣られたのは多分>>679

681:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:56:19
>>667-680

666を見て10秒以内に解けなかった人は高校の微積分からやり直してください，
ということで終了

粘着もやめてね

682:１３２人目の素数さん
04/10/14 16:25:39
>>662
面倒だなぁ

凸包で場合分けしていくやり方しか思い浮かばない。

683:シメジ方程式
04/10/14 17:30:26
おまいら分かってねーな。
>>666は0と即断したヤシを馬鹿にするための問題だぜ。
罠はひとつと思い込んだ奴の負け。

684:１３２人目の素数さん
04/10/14 17:38:25
>> 683
ボクもこたえが0になりました．

0が正解ででないならこたえを教えてください．

685:１３２人目の素数さん
04/10/14 17:42:41
６６６は間違いを誤魔化すので必死だった
ということで終了

686:シメジ方程式
04/10/14 17:49:04
>>684
疑惑の[e^0..sin(π/2)]の部分は「..」が不明だが取り合えず
変数が含まれてないので定数と考えればよい。
「..」の詳細は>>666の再降臨を待つべし。

687:１３２人目の素数さん
04/10/14 20:33:51
関数f(x)とg(x)があり、f(x)=g(x)とおくと、その根が交点のx座標である。
何故か説明せよ。

688:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 20:37:06
Re:>687 交点とは何か、等式の根とは何か、それぞれ説明願う。

689:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:20:13
kingうんち

690:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:27:26
>>687
実根でなくていいのか？

691:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:33:02
巨根

692:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:41:19
[e^0..sin(π/2)] は何かの演算子だろう。交換子に似ているが。

693:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:44:57
Re:>692 a<bとするとき、[a..b]={x∈R|a≤x≤b}.

694:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/14 21:45:48
Re:>693 いいから消えろ。

695:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:46:36
Re:>694 何故消えねばならぬのだ？

696:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/14 21:49:33
Re:>695 お前が偽者だからだ。迷惑してるんだよ。
おまえがウンコウンコ言うから、俺が同類だと思われるんじゃないか。

697:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:51:13
Re:>696 う■こと言ってるのはお前だろが。寝ぼけた上に頭打ったのか？

698:あぼーん
あぼーん
あぼーん

699:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/14 21:54:00
Re:>697 いまさらとぼける気か？この恥知らず。

700:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:57:19
Re:>698 お前何考えてんだよ？
Re:>699
【ゴキブリ】KingMathematician４【ストーカー】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:594番)
を参照のこと。

701:１３２人目の素数さん
04/10/14 23:19:28
>>666ま～だ～？

702:１３２人目の素数さん
04/10/15 01:36:08
>>666の再臨期待あげ

703:１３２人目の素数さん
04/10/15 08:07:13
>>666は施設からの外出許可がまだ出ないようです。

704:666
04/10/15 14:23:32
ごめん。積分区間です（汗

705:666
04/10/15 14:24:47
てか、定積分だし。すみませんね。

706:666
04/10/15 14:27:18
よって>>669、正解。

707:１３２人目の素数さん
04/10/15 16:04:05
小学生がいいそうな問題だな。
2*3*4*5*・・・・・・*0*3*4*・・・・=
なんでしょう？とかよく言ってたよ。小2の頃。
こんなこというと馬鹿にされそうだが。

708:707
04/10/15 16:05:18
まぁこれが結構わからない奴もたけどね・・・

709:１３２人目の素数さん
04/10/15 16:14:48
最近、スレ違い厨が大杉。
しっ！しっ！

710:１３２人目の素数さん
04/10/15 18:46:00
いつからウンチ臭い大学生とションベン臭い小学生のスレになったんだ？

711:１３２人目の素数さん
04/10/16 02:53:57
>>662

(1) 2点間を結ぶ線分は 4C2=6 本ある。このうちの少なくとも3本の
長さが1であるとして一般性を失わない。
1以外の長さが3本の場合 → 正三角形と，その重心
1以外の長さが2本の場合 → 正方形
1以外の長さが1本の場合 → 1辺を共有する2つの正三角形

712:１３２人目の素数さん
04/10/16 03:04:26
>>711
正五角形の一点を抜かした四角形は条件を満たしてるんじゃないの？

713:１３２人目の素数さん
04/10/16 03:06:11
あとは四点A,B,C,Dを△ABCを正三角形にして、点DをBD=CD、AD=ABを満たすように取れば
これも、条件を満たすだろ。

714:１３２人目の素数さん
04/10/16 14:38:04
一辺2の立方体の内部を半径1の円盤が自由に動く。
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。

715:１３２人目の素数さん
04/10/16 14:54:44
これは難問だぞ

716:１３２人目の素数さん
04/10/16 15:36:27
こちらの方が激難問だよ。

「一辺2の正方形の内部を半径1の円盤が自由に動く。
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。」

717:１３２人目の素数さん
04/10/16 15:55:42
>>662　長いので概略のみ
ある３点が存在し、それが同一直線上に並ぶ場合、条件を満たさない。よって、どの３点も同一直線上に並ばない。

ある点Dが存在し、残りの３点が作る三角形ABCの外心がDである場合。
△ABCが正三角形の場合、Dが外心の時、明らかに条件を満たす。
△ABCが正三角形でない場合、AB,BC,CAは二通りの値を取る。Dが△ABCの外心であることからAD=BD=CD、一般性を失わず
AD=BD=CD=ABとしてよく、この場合△ABDが正三角形をなす。このような条件を満たす点配置は３通り、その全てが条件を満たす。

４点のうち、どの３つを選んでもその３点がなす三角形の外心は４点に含まれない場合。
AB,AC,ADは条件より２通りの値を取る。よって、AB=1,AC=AD=aとしても一般性を失わない。
BC=1の場合、 BA=BC=1、Bは△ACDの外心でないことから、BD=aが成立する。
このとき、DA=DB=aが成立するため、DC=1が成立する。
BC=aの場合、 CA=CB=aが成立するためCD=1　BDの値は1,a両方取り得る。
以上より、この場合の４点が作る線分の長さは以下の通り。

1) AB=1 AC=AD=a、 BC=1 BD=a CD=1
2) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=a CD=1
3) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=1 CD=1

ところが、1,3は点C,Dを入れ替えることで同じとなるため、実質的に異なる配置は二通り。

1)の配置の場合、aの値は二通り考えられるが、拡大または縮小することで両者は等しくなる。よって、1)の場合の配置は一通り。
2)の配置の場合、AC=CB=BD=DA=aより、ACBDは菱形をなす。対角線がAB=CD=1となることから、この菱形は正方形であり
この場合の点配置も一通り。

以上をまとめると、全ての点の配置は６通りであることが分かる。

718:１３２人目の素数さん
04/10/16 16:10:07
>>716
君は馬鹿か？

719:１３２人目の素数さん
04/10/16 18:56:19
>>718
ﾕｰﾓｱのｾﾝｽがないﾔｼだなぁ。

720:１３２人目の素数さん
04/10/16 19:03:30
え、>>716って寒くない？

721:１３２人目の素数さん
04/10/16 19:04:34
スレ違いは他所でやｔってくれ。

722:１３２人目の素数さん
04/10/16 19:39:40
>>717　( 自己レス )
間違い発見、ｽﾏｿ　逝ってくるわ

723:１３２人目の素数さん
04/10/17 20:45:07
関数 f(x) は x＝0 で連続とする。
lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈが存在するとき、f’(0) は存在するか？
存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。

724:723
04/10/17 20:47:55
× 存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。
○ 存在するならば証明し、存在しない場合があるならその反例を挙げよ。

725:１３２人目の素数さん
04/10/17 20:55:21
>>662の問題作成者が素敵。
解がエレガントならすごく面白い。

726:１３２人目の素数さん
04/10/17 20:58:09
>>723
f(x)=xsin((2π/log2)log|x|) (x≠0)、f(0)=0とすれば反例。

727:１３２人目の素数さん
04/10/17 21:16:06
オレは長い方の辺の数aと短い方の辺の数bで場合わけしてやった。
―
I)(a,b)=(5,1)のとき
短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。のこる一辺はもとの辺よりながいので矛盾。
II)(a,b)=(4,2)のとき
長い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するかしかない。
正三角形ならのこりの一辺はひとつの内角の２等分線の対辺と交叉している側に
長辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(A)。
菱形は無理。
III)(a,b)=(3,3)のとき
長い辺は正三角形の３辺か３角形をつくらないとき。
正三角形ならのこる一点は重心で条件みたす。(B)
三角形の３辺とならないときはちょっとがんばると正５角形から１点のぞいた形。条件みたす。(C)
IV)(a,b)=(2,4)のとき
短い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するしかない。
正三角形ならのこりの一辺は一つの外角の２等分線の大変と交叉していない側に
短辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(D)
菱形になるときは正方形と２対角線になるとき。条件みたす。(E)
V)(a,b)=(1,5)のとき
短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。条件満たす。(F)
で結局A～Fの６つ。
―
になった。答えはこれであってるとおもうんだけどエレ解がみつからない･･･

728:１３２人目の素数さん
04/10/17 22:02:23
>>726
反例になってない罠。
lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈが存在しない。

729:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/17 22:09:03
やっぱり、1_{0}(x)だね。

730:あぼーん
あぼーん
あぼーん

731:１３２人目の素数さん
04/10/17 22:22:12
>>729
何、それ？

732:１３２人目の素数さん
04/10/17 22:28:25
>>723 は直感的には真で反例がありそううな気がしない。
こんな漏れはｾﾝｽなしかもしれないが．．．

733:あぼーん
あぼーん
あぼーん

734: ◆BhMath2chk
04/10/17 23:00:00
>>723
存在する。

735:１３２人目の素数さん
04/10/17 23:05:32
>>734
証明してたもれ。

736:１３２人目の素数さん
04/10/18 02:25:04
>>662
(2)になってくると、もはや相当長い場合分けしかないと思っていたが、
５点のうち、どの４点を取り出しても、必ず(1)で求めたパターンになっていると言うことと
距離が二種類しかないという事を使えば、結構簡単になるか。

737:１３２人目の素数さん
04/10/18 08:04:54
>>723
存在する。以下証明。
　
証明）lim[h→0](f(2h)-f(h))/h)=cとおく。g(x)=f(x)-f(0)-cxとおけば
lim[h→0](g(2h)-g(h))/h)=0。g'(0)が存在することがいえれば十分。
g(x)は原点で連続でg(0)=0である。
正の数e>0を固定すると仮定からd>0を十分ちいさくとって任意の-d<h<d、h≠0にたいして
-e<(g(2h)-g(h))/h<e⇔-eh<g(2h)-g(h)<ehが成立するようにできる。
よって任意の-d<h<d、h≠0にたいして
-eh/2<g(h)-g(h/2)<eh/2
-eh/4<g(h/2)-g(h/4)<eh/4
-eh/8<g(h/8)-g(h/8)<eh/8
･･･
をたしあわせて左辺の和>-eh、右辺の和<ehより-eh<g(h)-g(h/2^N)<eh。
N→∞とするとlim[h→0]g(h)=0から-eh≦g(h)≦eh。
よって任意の-d<h<d、h≠0に対して-e≦(g(h)-g(0))/h≦e。
eは任意の正の数であったから結局lim[h→0](g(h)-g(0))/h=0。証明終
ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･

738:１３２人目の素数さん
04/10/18 08:16:41
>>737
>ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･

そうだよね｡僕も大体同じﾗｲﾝで考えて､
lim[h→0]{g(h)-g(h/2^N)}/h=0　
までは高校範囲ででるんだけど､そこから後が続かない｡

739:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/18 19:17:54
Re:>730,733 人のメアドを勝手に載せるな。
Re:>731 連続ではなかった。

740:１３２人目の素数さん
04/10/21 04:00:24
あ・げ・ま・す・よ

741:１３２人目の素数さん
04/10/21 08:03:57
URLﾘﾝｸ(www.h3.dion.ne.jp)

742:１３２人目の素数さん
04/10/21 09:45:54
あるサークルで、5人の女優A～Eについての好き嫌いを調べた結果次のようになった。
・どの女優についても、好きな人は3人ずついた。
・AとBを共に好きな人、BとCを共に好きな人、CとDを共に好きな人、
　DとEを共に好きな人、EとAを共に好きな人がそれぞれ1人ずついた。
・どの女優も好きでないという人はいなかった。
このとき、このサークルの人数は最大何人いるか。

743:１３２人目の素数さん
04/10/21 17:06:35
>>742
ぱっと見、10人のような気がするけど間違ってる？

744:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/21 17:10:41
Re:>743 第二の条件から、A～Eを好きな人が5人いて、それでA～Eを好きな人が2人ずついることが分かる。あとは簡単。

745:１３２人目の素数さん
04/10/21 19:35:08
11人？

746:１３２人目の素数さん
04/10/21 19:42:28
15に一票。

747:１３２人目の素数さん
04/10/21 19:46:01
２０％くらい

748:１３２人目の素数さん
04/10/21 21:44:32
正の実数x,y,zが2xyz+xy+yz+zx=1を満たすとき、x+y+z≧3/2を示せ。

749:１３２人目の素数さん
04/10/21 22:32:05
(x+2)(y+2)(z+2)でも計算すっか

750:１３２人目の素数さん
04/10/21 22:54:17
>>749　違った……　2と1が逆だった。

((2(x+y+z)+3)/3)^3≧(2x+1)(2y+1)(2z+1)=4(2xyz+xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1 = 5+2(x+y+z)
x+y+z=sと置けば、
((2s)/3 + 1)^3 ≧ 5+2s
が成立する。これを満たす、sの範囲はs≧3/2である。　等号成立はx=y=z=1/2

751:１３２人目の素数さん
04/10/21 23:43:10
負でない実数a,b,cがa+b+c=2を満たすとき、
3abc≧2(ab+bc+ca-1)が成り立つことｗ示せ。

752:１３２人目の素数さん
04/10/22 00:08:47
>>751
なにそれ？a=2、b=c=0でいきなり反例あるじゃん。

753:１３２人目の素数さん
04/10/22 00:15:59
>>752
君は
　0≧-2
が「矛盾」だとでもいうのか。

754:１３２人目の素数さん
04/10/22 00:16:36
>>752
？

755:１３２人目の素数さん
04/10/22 00:18:58
あ、しまった。計算まちごた。釣ってくる。

756:１３２人目の素数さん
04/10/22 01:26:36
>>750みたいなエレ解があるとあとがやりにくい。
しかしどろくさくやるなら>>751はできる。
a+b+c=2なのでどれか一個は2/3以下。a≦2/3として一般性をうしなわない。
このとき
与式⇔(3a-2)bc≧2a(b+c)-2
aを固定すると右辺は一定で左辺は3a-2≦0よりb=c=1-a/2のときが最小。
そのときに成立すればよい。よって
(3a-2)(1-a/2)^2≧2a(2-a)-2
が0≦a≦2/3で成立すればよい。4(左辺-右辺)を展開して
4(左辺-右辺)
=(3a-2)(a-2)^2+8a(a-2)+8
=3a^3-6a^2+4a
=a(3(a-2)^2+1)
は0≦a≦2/3において0以上。よって与式は成立。
等号はa=0、b=cまたはb=0、c=aまたはc=0、a=bのとき。

757:１３２人目の素数さん
04/10/22 02:38:07
次のように電卓(テンキーでもよい)の周りを3桁ずつ回るとき
どのように回っても(右回りでも左回りでも)和が2220になることを証明せよ。
７　８　９
４　５　６
１　２　３
例214+478+896+632=2220
789+963+321+147=2220
　236+698+874+412=2220.....
きちんとした解答を作るのは難しそうなので入試問題でもよさそうではないか?

758:１３２人目の素数さん
04/10/22 02:43:26
>>757
16個しかないんだから全部計算したってそんなたいした手間にならんような。

759:１３２人目の素数さん
04/10/22 03:00:09
次の文章が正しいかどうか判定せよ( 答えはメール欄 )

半径1とrの同心円がある。r＞1とする。小円( 半径1 )の内部に点Pをとり、点Pを通る二直線が
小円と交わる点をP,Q、大円( 半径r )と交わる点をR,Sとする。円弧PQをPとQを結ぶ円周のうち短い方の長さ
円弧RSも同様と定義するとき、 PQ≦RSが成立する。

760:１３２人目の素数さん
04/10/22 03:06:03
おおっと、間違えた

>>759　訂正
＞点Pを通る二直線が
ではなく

＞点Pを始点とする二つの半直線が

761:757
04/10/22 03:12:22
それは(1)にしよう。
(2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに
どう回っても和が一定であることを証明せよ。
例n=2
12+23+36+69+98+87+74+41=440
47+78+89+96+63+32+21+14=440
n=7
1236987+7412369+9874123+3698741=22222220
6321478+8963214+4789632+2147896=22222220

762:１３２人目の素数さん
04/10/22 03:18:04
>>761
＞(2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに
nは8でわったあまりが1でない自然数じゃないの？

763:761
04/10/22 04:01:36
失礼しますた。訂正します。
誤n=9の倍数でない自然数
正nは8でわったあまりが1でない自然数

764:東大教授
04/10/22 15:18:52
自然数ｎについて定義された関数ｆ（ｎ）＝［2005／ｎ］について、
ｆ（ｆ（ｎ））≠ｎ　満たす最小のｎを求めなさい。
ここで［ｘ］はｘを超えない最大の整数とする。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2005年　第1問）

765:東大教授
04/10/22 15:23:56
方程式　x^2+y^2+z^2=（8m+7）4^n　(n,mは自然数)　
を満たす自然数の組（ｘ、ｙ、ｚ）が存在しないことを示せ。

（2006年　第1問）

766:１３２人目の素数さん
04/10/22 15:44:49
>>764
nが2005を超えたらｆ（ｆ（ｎ）)は存在しない。悪問。

767:１３２人目の素数さん
04/10/22 16:21:21
(mod8)
0^2≡0,1^2≡1,2^2≡4,3^2≡1,4^2≡0,5^2≡3^2≡1,6^2≡4,7^2≡1,
よって、任意の自然数nにおいてn^2≡0,1,4
題意を満たす(x,y,z)の組がもしあればx^2+y^2+z^2≡0,4で
x,y,zはどれもmod8で0か4でなければならない。
つまり、x,y,zは全て偶数でなければならない。
x=2＊x1,y=2*y1,z=2*z1,(x1,y1,z1は自然数)とおける。
この時、条件は
x1^2+y1^2+z1^2=(8m+7)4^(n-1)とかける。
この操作を繰り返し、
xn^2+yn^2+zn^2=(8m+7)を得る。
この時、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数となる。
しかしながら、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数ならば
xn^2+yn^2+zn^2≡1,3(mod8)であるから、この様な組み合わせは存在しない。

768:１３２人目の素数さん
04/10/22 16:30:09
>>764
2005/［2005/k］≧k+1を満たす最小の自然数kを求めればよい
2005=kp+q (p,q整数、0≦q＜k)とすると2005/p≧k+1
p=(2005-q)/kを代入して整理するとq(k+1)≧2005
q＜kよりk≧45　k=45,46,47・・・と代入してk=53で題意を満たす。

769:１３２人目の素数さん
04/10/22 16:40:45
[2005/53]=37,[2005/37]=54
[2005/52]=38,[2005/38]=52

770:東大教授
04/10/22 16:44:45
>>767 >>768

お見事。皆さんにはちょっと簡単すぎましたね。悪しからず

771:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:00:10
正六角形のすべての頂点に1～3のいずれかの数字を与える。
平面内で回転して重なるものは同一とみなすとき、数字の与え方は何通りか。

772:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:43:45
関数方程式か。　へぇ……
俺も一つ。

f(f(x))=-xを満たす関数fを一つ求めよ。

773:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:49:11
f(x)=x^i

774:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:50:00
f(x)=ixだっただ

775:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:53:26
おっと、>>772はｆ：R→Rね。

776:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:10:49
>>772
連続関数でか?

777:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:13:12
f(x)=0 (x=0)
=1/x (｜x｜≧1)
=-1/x (0＜｜x｜＜1)

778:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:13:12
別に連続でなくてもいいぞ。　ってか、連続だとねーだろ

779:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:13:41
f(x)≡0

780:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:18:34
○>>777
×>>779

781:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:20:47
距離hだけ離れた互いに平行な2平面上にそれぞれ面積Sの三角形があり、
その二つの三角形は合同で対応する3辺がすべて平行である。
このとき、二つの三角形の頂点である6つの点を頂点とする多面体の体積を求めよ。

782:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:35:07
なんかあれなのか？
Sh以外の意外な組み合わせがあるのか？

わくわく

783:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:40:56
Shともうひとつある

784:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:45:50
>>781
三角形がねじれてる場合か

785:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:51:44
>>784
それだ。

786:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:54:21
8面体か

787:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:00:53
ということは(4/3)Sh？

788:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:02:32
>>787
その通り

789:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:05:55
続けていってみよう！

Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k] = n*(4^(n-1))

を示せ、　C(m,n) = (m!)/((n!)((m-n)!))だよん

790:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:45:59
>>789
できた。
Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k]
=Σ[k=0,n] (k^2)C[2n,n-k]
=Σ[k=0,n] ((n-k)^2)C[2n,k]
=(1/2)Σ[k=0,2n] ((n-k)^2)C[2n,k]
=(1/2)Σ[k=0,2n] (n-k)(n-k-1)C[2n,k]
=(1/2)(Σ[k=0,2n] C[2n,k]t^(n-k))''|t=1
=(1/2)(t^n(1+1/t)^(2n))''|t=1
=(1/2)((t+2+1/t)^n)''|t=1
=(1/2)(n(n-1)(t+2+1/t)^(n-2)(1-1/t^2)+n(t+2+1/t)^(n-1)(2/t^2)))|t=1
=n*(4^(n-1))

791:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:51:02
んじゃ、これは？
Σ[k=1,n] k*C[2n,n-k]

k^2をkに変えた奴

792:１３２人目の素数さん
04/10/22 23:00:19
次の性質を満たす正の実数 p がある．

任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p－1－1/1!－1/2!－．．．－1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．

このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．

793:LettersOfLiberty
04/10/22 23:09:07
おまえらしね

794:１３２人目の素数さん
04/10/23 00:48:25
xについて恒等式
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d).....(x-z)=0
が常に成立するためのa,b,c,d......zの必要十分条件を求めよ。

795:792
04/10/23 01:51:59
>>792はちと難し過ぎたかな。
では「p が無理数である事を示せ」は？

796:１３２人目の素数さん
04/10/23 02:03:00
>>794
まだそんな事やってんのか、氏ねよ。

797:１３２人目の素数さん
04/10/23 05:24:18
x>0のとき、2^(-x) + 2^(-1/x)の最大値を求めよ。

798:１３２人目の素数さん
04/10/23 07:19:31
>>797
ん？微分したら終わりじゃないのか。

799:１３２人目の素数さん
04/10/23 07:46:43
>>792
ｐは明らかにネイピアの数だね。
マクローリン展開か．．．

800:１３２人目の素数さん
04/10/23 09:20:37
>>795
ｐが有理数とするとｐ＝ｊ/ｋ（ｊ，ｋは自然数）とおける．
そのとき，

ｊ/ｋ＝1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!+a_n/(n+1)!

両辺をｎ!倍すると

（ｊ/ｋ）ｎ!＝（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!+a_n/(n+1)

ｎ≧ｋのとき（ｊ/ｋ）ｎ! は自然数．
（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! は常に自然数で，
ｎ+1≧3 のとき， 0＜a_n/(n+1)＜１
よって，ｎ≧max｛ｋ，2｝のとき，

a_n/(n+1)＝（ｊ/ｋ）ｎ!-（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!

において，右辺は整数となるので矛盾．

801:800
04/10/23 09:22:33
>>792も同様にしてできる．

802:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/23 10:26:42
Re:>793 お前誰だよ？

803:１３２人目の素数さん
04/10/23 11:54:42
，．厨

804:１３２人目の素数さん
04/10/23 12:40:33
939

805:１３２人目の素数さん
04/10/23 18:20:18
半径1の円を長さaの弦で二つの弓形に分けたとき
面積が小さい方の弓形の面積をSとする。
lim[a→0]S/(a^3)の値を求めよ。

806:１３２人目の素数さん
04/10/23 18:39:15
>>805
細かいことだが，a→+0 と書いて欲しい．

807:１３２人目の素数さん
04/10/23 20:05:05
>>805
やってみますた。
f(x) = x - sin x - (1/6)x^3 ± x^4とおくと、(以下複合同順)
f'(x) = 1 - cos x - (1/2)x^2 ± 4x^3
f''(x) = sin x - x ± 12x^2
f'''(x) = cos x - 1 ± 24x
f''''(x) = -sin x ± 24
±f''''(x) > 0, f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0　だから、
x>0のとき±f(x)>0。すなわち、
-x^4 < x - sin x - (1/6)x^3 < x^4
両辺をx^3(>0)で割って、
-x < (x - sin x)/(x^3) - 1/6 < x
∴lim[x->+0](x - sin x)/(x^3) = 1/6 …(1)
題意の弓形の円周角はaだから、
S = (1/2)a - (1/2)sin a
lim[a->+0]S/(a^3)
=(1/2)lim[a->+0](a - sin a)/(a^3)
=1/12 (∵(1))

808:１３２人目の素数さん
04/10/23 20:36:30
>>791
どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。
　
(補題)
∑[m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2C[2n,n]/4^n
(証明) C[2n+2,n+1]=(4n+2)/(n+1)C[2n,n] + 帰納法。以下略
(命題)
∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n]
(証明) 以下のような試行をかんがえる。動点Pを最初原点におき
確率(1/2)でx軸方向に+1、確率(1/2)でy軸方向に+1うごかす。この試行を2n回
くりかえす。各段階で直線y=xから遠のいたとき1点、近づいたとき-1点をあたえる。
試行の終了時動点は(n+k,n-k) (-n≦k≦n)であらわされる点のいづれかにいる。
(n+k,n-k)に到達する確率はC[2n,n+k]/4^nでありそのときの全得点は|2k|である。
したがって全得点をあたえる確率変数Eの期待値は
E=∑[k=-n,n]|2k|C[2n,n+k]/4^n･･･(1)
一方でl回目の試行の時点でえられる得点の期待値はlが奇数のとき0であり
lが偶数のときはC[l,l/2]/2^l×1である。(=点(l/2,l/2)に到達している確率×その場合の条件付期待値)
よって全期待値は
E=∑[m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2nC[2n,n]/4^n･･･(2)
(1)、(2)より∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n]

809:１３２人目の素数さん
04/10/23 20:54:33
>>807
「弓形の円周角はa」じゃないよ。

810:１３２人目の素数さん
04/10/23 21:03:41
答えはあってるし、まあ良し

811:１３２人目の素数さん
04/10/23 21:11:36
よかないよ。
その誤差が結果に影響しないことを
ちゃんと評価しなければ駄目駄目だ。

812:１３２人目の素数さん
04/10/23 22:40:30
>>808
訂正っす
×どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。
○どうも(1/2)nC[2n,n]みたい。以下証明。
　
×∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n]
○∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n]

813:１３２人目の素数さん
04/10/23 23:24:19
>>808
普通に計算した方がはやいような・・・

814:１３２人目の素数さん
04/10/23 23:31:20
>>813
-((t+2+1/t)^n)'(1/(1-t))の原点の留数計算でやるって方法はあるんだけど
あまりに味もそっけもないのでちょっと凝った方法をのせてみますた。

815:１３２人目の素数さん
04/10/23 23:46:09
>>814
留数計算とか知らんけど

Σ[k=0,n] k*C[2n,n-k]
=Σ[k=0,n] (n-k)*C[2n,k]
=nΣ[k=0,n]C[2n,k] - Σ[k=0,n] k*C[2n,k]
=nΣ[k=0,n]C[2n,k] - 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1]
=n(2^(2n)+C[2n,n])/2 - 2n(2^(2n-1))/2
=n/2C[2n,n]

でいいんじゃね？

816:１３２人目の素数さん
04/10/23 23:50:30
>>815
なる。
Σ[k=0,n] k*C[2n,k] = 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1]
これおもいつかんかったよ。だいたいこの手の計算答えが簡単になるときは
瞬殺する方法あとからでてきていやんなるんだよな。まだまだ修行がたりん。

817:１３２人目の素数さん
04/10/24 02:34:50
簡単なのを一題
　二つの自然数m,nに対し[m,n]はmとnの最小公倍数を表すものとする。
1≦a＜b＜c＜dとして

(1/[a,b])^2 + (1/[b,c])^2 + (1/[c,d])^2

の最大値を求めよ。

818:１３２人目の素数さん
04/10/24 11:24:34
(a,b,c,d)=(1,2,3,4)
1/4+1/36+1/144=(36+4+1)/144=41/144
(a,b,c,d)=(1,2,4,8)
1/4+1/16+1/64=(16+4+1)/64=21/64
41/144<21/64

819:１３２人目の素数さん
04/10/24 13:20:20
>>809
指摘サンクス。
弓形の円周角をyとおくと、a->+0のときy->+0で、
a =　√(2 - 2cos y)
lim[y->+0]y/a
= √2(lim[y->+0]y/(1 - cos y))
= 1

820:LettersOfLiberty
04/10/24 13:26:19
メールくれたら､解答送付してやる

821:１３２人目の素数さん
04/10/24 13:49:53
>>819
lim[y->+0]y/(1 - cos y)＝∞

822:１３２人目の素数さん
04/10/24 13:56:36
>>821
訂正します。
lim[y->+0]y/a
= √(2lim[y->+0]y^2/(1 - cos y))
= 1

823:１３２人目の素数さん
04/10/24 14:18:22
∠B=75°,∠C=45°の三角形ABCの辺AB上に点D辺AC上に点EをとるとBD=DE=ECとなった。
三角形ABCの面積と三角形ADEの面積の比を求めよ。

824:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/24 16:18:27
Re:>820 お前誰だよ？

825:１３２人目の素数さん
04/10/24 16:23:25
>>824
スレと関係ないレスは控えてくれよ。

お前も荒らしと変わらないぞ。

826:１３２人目の素数さん
04/10/24 20:32:59
>>824
荒らしは消えろ！

827:１３２人目の素数さん
04/10/24 20:38:30
一辺の長さが1の正三角形の内部に点Pを取る。
Pから正三角形の各辺におろした垂線の足によって構成される三角形の面積がある一定の値aになるような
点Pの軌跡のうち、長さが最大になる物を求めよ。また、その時のaの値を求めよ。

828:１３２人目の素数さん
04/10/24 21:17:03
>>827
a=√3/16のとき点Pの軌跡は正三角形の内接円で長さは最大値π/√3をとる

829:１３２人目の素数さん
04/10/24 21:24:16
異なる5つの自然数a,b,c,d,eがあり、この中から2つの数字を選ぶ組み合わせは
10通りあるが、このうち9通りが互いに素な組み合わせだった。
このような5数a,b,c,d,eの積abcdeが取りうる平方数のうち最小のものを求めよ。

830:１３２人目の素数さん
04/10/24 21:33:00
４４１００。

831:１３２人目の素数さん
04/10/24 22:10:02
お前ら……証明がほとんど無いですよ。

832:１３２人目の素数さん
04/10/24 22:18:06
xの関数f(x)=(ax+b)(2+e^x)-1についてf(x)=0を満たす実数xが3つあり、それをα,β,γ(α＜β＜γ)とする。
∫[α,γ]{f(x)/(2+e^x)}dx=0のとき、∫[β,γ]{f(x)/(2+e^x)}dxをγの式で表せ。

833:１３２人目の素数さん
04/10/24 22:30:42
>>830
違う

834:１３２人目の素数さん
04/10/25 02:34:50
>>829
(1,2,8,9,25)のときで3600、でよいのかな。

835:１３２人目の素数さん
04/10/25 03:53:16
nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1
は２つの１次以上の実数係数多項式の積としてあらわせないことを示せ

836:835
04/10/25 03:55:48
訂正；実数係数→整数係数　

nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1
は２つの１次以上の「整数」係数多項式の積としてあらわせないことを示せ

837:１３２人目の素数さん
04/10/25 04:01:04
>>828
aの値が違うだろ。　a=3√3/64

838:１３２人目の素数さん
04/10/25 04:13:38
各頂点が格子点で、一辺の長さが１０の正方形ＡＢＣＤについて、三角形ＡＢＣの頂点を次の規則にしたがって動かす。

規則Ⅰ　毎回頂点の１つ隣り合う格子点（１はなれた点）のどこかに移動する。

規則Ⅱ　正方形から外に出てはいけない

規則Ⅲ　最終的に三角形ＤＣＢに到達しなければならない（ただし、Ａ→Ｄ、Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ｂ　と重なる）。

移動するたびに三角形ＡＢＣの面積（３点が同一直線上にあるとき面積は０とする）を計算し、
その最小値をｍであらわす。巧い移動方法によるｍの最大値を求めよ。

839:１３２人目の素数さん
04/10/25 10:43:14
>>838
意味不明

840:１３２人目の素数さん
04/10/25 10:46:22
巧い巧い巧い

841:１３２人目の素数さん
04/10/25 23:40:12
正7角形には2種類の長さの対角線が存在するが、その長い方の長さをa、短い方の長さをbとする。
(1)a/b=2sin(3π/14)を示せ。
(2)sin(3π/14)を解に持つ整数係数の三次方程式を1つ求めよ。

842:kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな
04/10/25 23:42:00
kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな

843:１３２人目の素数さん
04/10/26 00:50:00
未消化問題が溜まってるな・・・

844:１３２人目の素数さん
04/10/26 00:50:52
URLﾘﾝｸ(ip.tosp.co.jp)

845:１３２人目の素数さん
04/10/26 04:34:56
>>841
(1)
正七角形をABCDEFGとし、外接円の中心をOとする。
△ACFは、AC=AF=b, CF=aの二等辺三角形で、直線AOはAからCFに下ろした垂線かつ角Aの二等分線。
よって、∠CAO=(π-∠AOC)/2=(π-2*(2π/7))/2=3π/14より、
a=2b*sin∠CAO=2asin(3π/14)

(2)
正七角形を座標上に、A(1,0)、以下左回りに順にBCDEFGと取る。
以下α=2π/7、θ=3π/14=π/2-α、sinθ=xとおく。
b^2=AC^2=(1-cos2α)^2+(sin2α)^2=2(1-cos2α)=2(1+cos2θ)=4(1-x^2)
a^2=AD^2=(1-cos3α)^2+(sin3α)^2=2(1-cos3α)=2(1+sin3θ)=2(1-x)(1+2x)^2
よって、
(a/b)^2=(1+2x)^2/(2+2x)
(1)より、(a/b)^2=4x^2なので、
(1+2x)^2/(2+2x)=4x^2
8x^3+4x^2-4x-1=0

846:１３２人目の素数さん
04/10/26 08:05:54
問題だけ吊るす、単なるマスターベーションスレになってしまった悪寒。

847:１３２人目の素数さん
04/10/26 09:50:00
股間

848:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/26 13:11:37
Re:>842 早く消えろ。

849:１３２人目の素数さん
04/10/26 13:25:52
ようし、俺もオナニーだ。

(問)三角形OABの辺OA上に点P,辺OB上に点Q,辺AB上に点Rをとると、
三角形PQRは正三角形になり、さらにPQ//ABになった。
OA↑=a↑,OB↑=b↑とし、OR↑をa↑とb↑で表せ。

850:１３２人目の素数さん
04/10/26 14:10:42
俺の自信作

Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、
ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。

（１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外
の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。

（２）三角形ＡＢＣの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。

（条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。

851:１３２人目の素数さん
04/10/26 18:07:00
>>850
(2)Ｃ？

852:挑発筋肉 ◆POWERPUfXE
04/10/26 18:42:55
>>850
(1)
Ｐは、自然数pを用いて、(3p、3^(n+1)-2p) (p=1,2,…,3^(n-1))とできる。
直線OP：y=((3^(n+1)-2p)/3p))x (0＜ｘ＜3p)で、
pが3の倍数じゃないとき0=3^0-1コ、pが3のベキじゃない3の倍数のとき2=3^1-1コ、
p=3^q (qは自然数)のとき、3^q-1コって出たけどあってる？

853:１３２人目の素数さん
04/10/26 19:28:44
>>836
答えおながいします

854:挑発筋肉 ◆POWERPUfXE
04/10/26 19:35:40
>>836の問題は1999日本数学オリンピック本選第4問

855:１３２人目の素数さん
04/10/26 19:58:27
>>854
答えおながいします

856:挑発筋肉 ◆POWERPUfXE
04/10/26 20:01:09
>>855
タイピングするの大変・・・ググったらどこかにないかな？

857:１３２人目の素数さん
04/10/26 20:05:56
>>855
もう少しは考えろよ
本に書いて無い別海を見つけてこそ
本望だろ

858:１３２人目の素数さん
04/10/26 20:10:02
>>857
結構考えた。もう疲れた。
>>856
すくなくとも数オリの公式ＨＰっぽいとこには2000以降しかなかった。

859:１３２人目の素数さん
04/10/26 21:04:38
>>836 >>855
略解
ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+ 1
= g*h, 4n ＞ deg g ≧ deg h ＞ 0 とすると、
g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0
ところが f の定数項は平方数で無い。

860:１３２人目の素数さん
04/10/26 21:13:04
>>859
＞g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0
　
なるほど
　
＞ところが f の定数項は平方数で無い。
　
gとhの定数項が等しくなるのはなぜ？

861:１３２人目の素数さん
04/10/26 21:18:51
わかった。なるほど。g,hの次数が2n以下だからか。なるほど。すばらしい。

862:１３２人目の素数さん
04/10/26 21:21:36
まだわかって無いような文章の書き方だな。

863:１３２人目の素数さん
04/10/26 21:25:52
f(ki)=i
g(ki)=-i
になることはないのかな？

864:１３２人目の素数さん
04/10/26 21:39:33
>>863
ほんとだ。その可能性あるじゃん。どうやって否定するんだろ？
否定してください。＞>>859

865:１３２人目の素数さん
04/10/26 21:45:20
>>863
f = g*h で、f は偶関数だから g が奇関数とすると h も奇関数となって、
f の定数項が無くなる。よって g, h は偶数次の項を持つ。
g(ki) が虚数とすると、 |g(ki)| ＞ 1 となる。 h についても同様。
よって、f = g*h に矛盾。

866:１３２人目の素数さん
04/10/26 21:50:53
>>865
すばらしい。完全に解決。
g(ai)h(ai)=1からg(ai)、h(ai)ともにZ[i]の単元かつ互いに逆元、
さらに共に(偶数次の項しかないので)実数なので
(g(ai),h(ai))=(1,1) or (-1,-1)しかゆるされないんだね。

867:１３２人目の素数さん
04/10/26 21:58:10
だから
>>859 で略解と断った上に >>862 でも警告したのに。
まだ分かっていないようだな。偶数次の項も奇数次の項もありうる。

868:１３２人目の素数さん
04/10/26 22:01:55
>>867
ああ、そうか。奇関数じゃないっていってるだけで偶関数っていってるわけじゃないのか。
でももういいや。後は自分でできそうだから。

869:１３２人目の素数さん
04/10/26 22:06:03
>>851

申し訳ない。三角形ＡＢＣ→三角形ＯＡＢ　

Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、
ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。

（１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外
の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。

（２）三角形ＯＡＢの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。

（条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。

870:１３２人目の素数さん
04/10/26 22:33:34
>>869
とりあえずv(n)をv(n)=max{e | 3^e|n}で定義するとき
AB上の格子点をP(3p,3^(n+1)-2p)、p=3^e･q (3,q)=1とするとき
(3p、3^(n+1)-2p)=(3^(e+1)･q、3^e(3^(n+1-e)-2q))=3^eであるから
線分OP上の両端を除く格子点でOに一番ちかい格子点は
(3q、3^(n+1-e)-2q)でありよって両端以外の格子点は
(3qr、(3^(n+1-e)-2q)r) (1≦r≦3^e-1)
よってその数は3^e-1=3^v(p)-1個になった。
で結局その総和は
∑[p=1,3^n-1](3^v(p)-1)=∑[p=1,3^n-1]3^v(p)-3^n+1
で
∑[p=1,3^n-1]3^v(p)
=3の倍数の数×3
+(9の倍数の数-3の倍数の数)×9
+(27の倍数の数-27の倍数の数)×27
･･･
+(3^(n-1)の倍数の数-3^(n-2)の倍数の数)×3^(n-1)
を計算すればいいと思うんだけど。あってる？

871:１３２人目の素数さん
04/10/26 22:45:09
馬鹿ばっか

872:１３２人目の素数さん
04/10/26 23:51:49
>>869

難しすぎ。こんなの東大入試でねーよ

873:１３２人目の素数さん
04/10/26 23:53:27
後期は結構な難問出るぜ

874:１３２人目の素数さん
04/10/27 00:08:49
とっくに東大入試のレベルなんか無視されてるとおもうが。

875:１３２人目の素数さん
04/10/27 00:33:02
んじゃ、俺が少し簡単目の問題を出してやる。

各項が1,2,3によって構成される数列がある。この数列に対し次の二つの操作を行う。
操作1
　数列の項のうち、全ての1と2を置き換える。すなわち、数列が１，３，２，１，２であれば
　２，３，１，２，１と置き換えられる。
操作２
　数列の項のうち、全ての2と3を置き換える。すなわち、数列が１，２，１，３，２，１であれば
　１，３，１，２，３，１と置き換えられる。

この二つの操作を用いて、数列{a(1),a(2),…,a(n)}を次のように変換していくことを考える。
数列aに操作1を施して得られる数列をb、操作2を施して得られる数列をcとし、新たな数列を
b(1),b(2),…,b(n),a(1),a(2),…,a(n),c(1),c(2),…,c(n)
とする。最初に数列を{1,2,3}からスタートさせ
1,2,3
2,1,3,1,2,3,1,3,2
1,2,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,1,2,3,1,3,2,3,1,2,1,3,2,1,2,3
と上の規則に従ってのばしていく。 k回規則を適用した結果の数列をd_k(n)とおく。

　　以下、問題文は続く

876:１３２人目の素数さん
04/10/27 00:35:43
数列d_k(n)は任意の自然数kに対し、次の条件を満たすことを示せ。
1) どのような自然数m,nに対しても、d_k(m+i)=d_k(m+n+i) 0≦i＜n が成立しない。
　すなわち、途中で数列の繰り返しが生じない。
　1,2,3,2,3 ( 2,3の繰り返し )などのようなものが生じない。

2) 上のように、数列が途中で繰り返しを持たないように、各項が1,2,3のみで構成される
　無限列を作成せよ。

877:１３２人目の素数さん
04/10/27 00:39:49
xの方程式x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して
2個以下であるような実数bの条件を求めよ。ただしeは自然対数の底である。

878:１３２人目の素数さん
04/10/27 00:59:33
f(x)=x^2-b,g(x)={(e^x+1/e^x)-a}^2=(coshx-a)^2

879:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:04:49
ふむ、それで？

880:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:15:44
>>877
b≦0になるような気がする。あってるかどうかだけでもキボン。

881:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:19:32
f´(x)=2x,g´(x)=2(coshx-a)sinhx

882:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:21:47
返事ないな～。オイラの解法があってればb≦0みたいなんだけど。
しかしがんばって書いて穴あったらハズかしいし。

883:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:25:48
>>880
違うよf(x)=x^2-b, g(x)=-(2coshx-a)^2 の間違いじゃない？

884:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:28:03
>>883
オレ=>>880=>>882だけど>>878や>>881じゃないよ。b≦0じゃないの？

885:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:36:55
違うよ。b≦0で成立するのは明らかだけどbが割と小さな正の値でも成り立つよ

886:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:37:46
f(x)=x^2-b,g(x)=-{(e^x+1/e^x)-a}^2=-(coshx-a)^2
とおいて、グラフを調べる。
共に隅関数なので正だけで可。
大切なのは相対的位置だけでbとa^2の大小関係、
b^0.5とcoshx=aなるxとの大小にも注意が必要。
範囲を場合分けすれば共に凸や凹関数なのでイメージはつかみ易い。
くれぐれも交点は念入りに注意深く調べる必要がありそう。

887:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:44:00
相対的位置だけではありませんでした。
g(x)の形状はaに依存するので絶対的位置も要考慮。

888:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:46:35
ちがうのか･･･どこまちがってんだろ？答えだけでも教えて。ほんとにその範囲で
解一個しかないか計算機でたしかめてみたい。

889:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:50:38
b≦1/4で試して

890:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:52:44
間違いが見つからん･･･どこおかしいんだろ？オイラこうやったんだけど↓まちがってる？
　
x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下
⇔t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると
t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。
　
こうやったんだけど･･･おかしいのかな？

891:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:55:23
訂正
　
x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下
⇔t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=2cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると
t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。

892:１３２人目の素数さん
04/10/27 01:57:09
>>889
b≦1/4だとぶつからないの？今日はねむいから明日計算してみよ。おやすみなさいませでごじゃる。

893:１３２人目の素数さん
04/10/27 03:41:23
>>889
わかった。最後の
＞だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。
ここがまちがってるや。b≦1/4なら確かに一回しかぶつかんないや。

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