★東大入試作問者にな ..
577:１３２人目の素数さん
04/10/07 17:07:47
┏━━━━━━━━━━━
┃
┃ - 自作自演厨の鉄の掟 -
┃ 1. 質問者には自作自演でも優しくしよう
┃ 2. 自作自演邪魔する香具師はむっしっし
┃ 3. 自作自演は目標全レス
┃ ∧＿∧ 。 Ｅ[]ヨ
┗━━ （ ・３・） ／━━━━━━
（つ つ
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578:１３２人目の素数さん
04/10/07 17:13:49
たぶん>>574=>>577にとっては “自演でないかぎり解けっこない” と思えるほどの
難問だったんだろうな･･･
579:１３２人目の素数さん
04/10/07 17:50:54
箱の中に赤玉a個、白玉b個、黒玉c個が入っている。
この箱の中から1個ずつ玉を取りだしていき、最初にすべて取り出された玉が赤玉ならA君、
白玉ならB君、黒玉ならC君の勝ちとする。A君の勝つ確率を求めよ。
580:１３２人目の素数さん
04/10/07 19:51:22
>>579
計算まちがってるかもしれないけど。
ボール全部とりだすとして全事象は(a+b+c)!/(a!b!c!)。最期にとりだしたボールが黒(C)である事象の数を
かぞえる。最期が～～白黒黒･･･黒(最期黒を連続してc-i個ひく)事象の数をもとめる。
これは赤a個、白b-1個、黒i個をならべる組み合わせの数なので(a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)
結局最期に黒ひく事象の数は∑[i=0,c-1](a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)=C[a+b-1,a]∑[i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]。
で公式∑[i=0,∞]C[k+i,i]t^i=1/(1-t)^(k+1)をつかえば∑[i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]は(1/(1-t)^(a+b))･(1/(1-t))=1/(1-t)^(a+b+1)
のc-1次の係数。つまりP[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。よってもとめる事象の数はC[a+b-1,a]P[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。
同様にして最期ひくボールが白も考えてたして･･･まんどくせ―――
581:１３２人目の素数さん
04/10/07 21:03:52
>>579
bc(b+c)(2a+b+c)/((a+b+c)(b+c)(c+a)(a+b))
になった。
582:１３２人目の素数さん
04/10/07 23:21:47
>>579
全部取り出された順に順位をつけて、A1位、B2位、C3位という事象をA_123とする。他も同様。
Pr(A_123∪A_132∪A_231)=aがbに勝つ確率=C[a+b-1,b]/C[a+b,b]=b/(a+b)
Pr(A_123∪A_132∪A_213)=aがcに勝つ確率=c/(a+b)
Pr(A_123∪A_132∪A_213∪A_213)=aが少なくともどちらかに勝つ確率=(b+c)/(a+b+c)
よって、
Pr(A_123∪A_132)=b/(a+b)+c/(a+b)-(b+c)/(a+b+c)
=>>581 （でも約分汁）
583:１３２人目の素数さん
04/10/07 23:24:12
>>582
途中式、C[a+b-1,a]/C[a+b,a]に訂正。
584:１３２人目の素数さん
04/10/08 07:30:25
>>582
2つめはc/(a+c)だな。答えの真ん中の項も。
585:１３２人目の素数さん
04/10/08 08:09:03
xの三次方程式x^3+ax^2+bx-a+b=0 (a,bは整数)
が整数解を持つなら、その整数解は-2か0であることを示せ。
586:１３２人目の素数さん
04/10/08 09:46:29
>>585
ｘ＾2-ｘ+1-1/（ｘ+1）+ａ（ｘ-1）+ｂ＝0
簡単すぎないか？
587:１３２人目の素数さん
04/10/08 09:59:15
宿題を質問スレに書いたからね、585は。
588:１３２人目の素数さん
04/10/08 11:45:12
クズばっか
589:１３２人目の素数さん
04/10/08 13:24:09
f_1(x)=a^x, f_n(x)=a^f_(n-1)(x) (a>1,n=2,3,4,・・・)で定義される関数f_n(x)について
f_n(x)=xを満たす整数xがちょうど2つであるようなaを求めよ。
590:１３２人目の素数さん
04/10/08 15:06:30
これできるか？
って
そんな頭いい奴いるわけねーかorz
問題：定規とコンパスのみを用いて正１７角形を作図せよ。
591:１３２人目の素数さん
04/10/08 15:13:16
中心 O の円を描き, 直交する二つの直径 AB, CD を描く。 AE : EO = 3:1 になるような
内分点 E を採る。 直線 AB 上に CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI となる点 G, H, I を採る。
又, AI の中点 J を中心とし, 半径 JI の円を描き, OC との交点を K, KL = OH/2 となる点 L を AO 上に採る。
LK を半径として, OA の延長上に点 M を, ON = OM/2 なる点 N を AO 上に採る。
そして, ON ⊥ PQ となる点 P, Q を円周上に採ると, これらが正 17 角形の一辺となる。
592:１３２人目の素数さん
04/10/08 15:58:46
え？
これはガロワが解いた問題なんだけど、
定規ってのは直線を描くためだけに使うんであって、
長さは測っちゃだめだよ、確か。
593:１３２人目の素数さん
04/10/08 16:11:24
どこで長さを測る必要がある？
594:１３２人目の素数さん
04/10/08 16:11:36
ガウスの間違いだと思われ
595:１３２人目の素数さん
04/10/08 16:27:04
てゆーか自作問題うぷしろよ
596:自作くん
04/10/08 21:32:18
【問】
xについての方程式
A: x^3+lx^2+mx+n=0
について考える．但し、l,m,nは
(a:方程式Aの自然数解の個数)
(b:方程式Aの整数解の個数)
(c:方程式Aの実数解の個数)
のいずれかであるとする．
(1)
l,m,nがa,b,cとある対応をしたときl,m,nの値がそれぞれ確定した．
このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ．
(2)
l,m,nがそれぞれある値だったとき、l,m,nとa,b,cの対応が確定した．
このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ．
597:１３２人目の素数さん
04/10/08 21:38:19
>>596
問題の日本語に不備ありすぎ
598:１３２人目の素数さん
04/10/08 22:09:55
>>597
そうか？
599:１３２人目の素数さん
04/10/08 23:28:35
>>596
対応と確定を使わず表現してくれ
600:１３２人目の素数さん
04/10/08 23:55:31
CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI とか
AE : EO = 3:1 とかって
長さをはからずに
コンパスと定規で可能？
601:１３２人目の素数さん
04/10/08 23:58:09
>>600
おまえ馬鹿だろ？
602:１３２人目の素数さん
04/10/08 23:58:26
長さを測る必用がないなら、コンパスは不要では？
603:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:15:29
次の命題を証明せよ。
「関数 f(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝ は任意の閉区間 [a，b] で x の多項式で表す事ができない。」
604:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:20:13
>>603
ｘの多項式ｆ(x)は、ｘで何度か微分を繰り返すことで、恒等的に0となるが、
1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返してもならない。・・でいいんじゃないのか？
605:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:28:23
「1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返しても０にならない」の証明は？
606:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:30:04
>>605
実際ｎ次導関数求めればいいんじゃない？大変だろうか
607:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:38:47
ｎで簡単に表されるとは思えないが。
608:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:15:17
>>603
“任意の閉区間 [a，b]”じゃなくて“実数全体”なら瞬殺なんだけどな。
609:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:17:52
>>608
その条件だったら出題するまでもなかろう・・・
610:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:24:53
{f(x)-1}の零点が無限に存在する（x=kπ）から、なんてのは駄目？
611:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:27:00
>>610
>>608-609
612:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:28:02
任意の閉区間 [a，b]だから駄目だね。
613:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:28:59
>>610
有界閉区間には{f(x)-1}の零点は有限個しか含まれない
614:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:32:01
全然駄目ですね思慮不足でした
615:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:49:25
大体できたかな。
多項式をf(x)とおくと
cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2
これを2回微分して
f(x)の微分方程式をつくる。
あとは簡単。
616:615
04/10/10 21:53:27
× cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2
○ cos(2x)＝3-{2/f(x)}
617:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:56:23
今日エナ行きました。奥田先生は東大の教官は教科書を横に置いて問題を作るといってました。
ホエールバックの定理が東大頻出、とかいっていたんですが、
検索しても出てきません。名称からアソシエートして正しい定理を教えて下さい。
618:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:02:01
それからわがままですみませんが、１度問題を編纂して
直前期に繰り返せば８０点はカタイ（エナ生に通える高所得の家庭の子供はそういう）
という問題集を作ってはくれませんか？とりあえず黒大数の東大の過去問やりますけど。
明日あたりにまた来ます。
619:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:03:36
>>618
氏ね
620:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:03:42
>>618
マジレスすると、このスレの人間は自分のペースで
ゆっくり問題を作ったりといたりしているから
人に何かをやってくれとか言われても、絶対にやらないと思われ。
621:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:11:06
>>615-616
なるほどね。
もっと簡単にできそうだが．．．できない。
622:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:12:36
PDFにしてるけどこれは自分のためであって人にやるもんでもない。
問題提供者には感謝する。
623:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:53:25
>>603
受験の解答だとこんなもん？
a<bという仮定は当然あるものとして
まず多項式P,Q,Rについて
Psin2x+Qcos2x=R―(1) が(a,b)で成立するときP=Q=R=0であることを示す。
degP+degQに関する帰納法。degP+degQ=0なら(P,Q)=(0,0)でなければ左辺は
0でない３角関数で何回微分しても0じゃないけど右辺は何回か微分すると0なので矛盾。
よってP=Q=R=0。degP+degQ<n≠0のとき成立するとしてdegP+degQ=nのときは
Psin2x+Qcos2x=Rを2回微分して(P''-4Q'-4P)sin2x+(Q''+4P'-4Q)cos2x=R''―(2)。
(1),(2)より(P''-4Q')sin2x+(Q''+4P')cos2x=4R+R''。よって帰納法の仮定から
P''=4Q'、Q''=-4P'、R''=-4R。P,Q,Rは多項式だからP'''=-16P'、Q'''=-16Q'、R''=-4Rより
P'=Q'=R=0。よってP,Qは定数でdegP+degQ=0であるがこれはdegP+degQ=n≠0に反する。
よってdegP+degQ=n≠0となるこのような多項式は存在しない。
もしf(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝が開区間(a,b)で成立し、かつf(x)が多項式なら
(3-cos2x)f(x)=2、よって(3-cos2x)f(x)+2sin2xf'(x)=0、よって2f'(x)sin2x-f(x)cos2x=-3f(x)。
よってf(x)=0でなければならないがf(x)は開区間(a,b)で0関数に成り得ないので矛盾。
624:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:10:53
>>623
>>615-616見てない？
6{f(x)}^3-4{f(x)}^2-2{f'(x)}^2+f"(x)f(x)=0
625:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:13:23
もっと一般化してみたいね。
恒等的に０ではない、三角関数の合成関数ｆ（sinx,cosx)は任意区間でｘの多項式ｇ(ｘ)にはならない。
626:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:15:15
多項式以外の初等関数だったら言えるよ。
627:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:17:57
>>625
f(x，y)＝x^2+y^2 ならどうする？
628:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:19:26
>>627
(ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰそうだったね。
なんて説明すればいいかわかんね
629:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:19:51
>>624
みてなかった。須磨
630:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:22:16
まあたぶんいいたいのはR[sin(x),cos(x)]がR[U,V]/(u^2+v^2-1)に環として
同型とかそんな感じのはなしを受験問題にできないかということかな？
631:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:22:25
かわういね ＞ (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ
632:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:23:18
(ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ
633:あぼーん
あぼーん
あぼーん
634:１３２人目の素数さん
04/10/11 01:05:27
ねー、これは簡単には示せへんの？
f(x),g(x)が共に何回でも微分可能なとき、
x∈[a,b]でf(x)=g(x) ならば x∈Ｒでf(x)=g(x)
635:１３２人目の素数さん
04/10/11 01:10:55
>>634
それは反例があるのでダメ。
636:１３２人目の素数さん
04/10/11 01:33:57
>>634
その定理を複素関数にして、解析接続っぽい形にすればOK
637:１３２人目の素数さん
04/10/11 07:40:27
>>620なるほど、独善ぶりも東大教官の如くやるわけですね。
でもホエールバック（？）の定理の正式名称を考えてくれませんか？
638:１３２人目の素数さん
04/10/11 08:05:42
僕も出題しておきます。a[n]=(1-S[n])(1-S[n-1])の一般項を求めよ。
639:あぼーん
あぼーん
あぼーん
640:あぼーん
あぼーん
あぼーん
641:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/11 12:17:28
Re:>633,639-640 お前人のメアド勝手に載せるなよ。
642:１３２人目の素数さん
04/10/11 12:28:53
>>641
どうせ捨てメアドなんだろ？
ヤフーに迷惑かけているのはお前だ！
それから、いちいちレスつけるなよ。
それが荒らしを喜ばせているってことに気付かないのか？
ホントKingって学習能力ないなぁ呆れるよ。
643:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/11 12:39:41
Re:>642 お前誰だよ？幾つ同じレス付けてんだよ？
644:１３２人目の素数さん
04/10/11 12:43:04
>>643
話をすり替えるな。お前の詭弁には騙されないよ
大人しくしてろよ30過ぎのおっさんがっ早く就職しろ。
645:あぼーん
あぼーん
あぼーん
646:１３２人目の素数さん
04/10/11 13:07:20
>>637
スレ違い。
647:１３２人目の素数さん
04/10/11 13:21:09
>>647 東大の傾向を知り尽くしたこのスレの人々ならわかると思ったんですけどね。
せめて誘導をつけていただければ助かるのですが、まあ取り敢えず自前の問題集３０回とき回します。
648:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/11 13:29:51
Re:>644-645 お前早く土に還れ。
649:１３２人目の素数さん
04/10/11 13:36:07
>>648
お前、非常にムカつく。
氏ね灰になれ！
650:１３２人目の素数さん
04/10/11 13:36:13
>>647
マジレスすると同じ問題と解き直すより、新しい問題に行った方がいい。
651:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/11 15:51:15
Re:>649 お前が先に氏ね。
652:１３２人目の素数さん
04/10/11 16:04:52
>>651 荒らしは氏ね
653:１３２人目の素数さん
04/10/11 17:53:00
>>637
マイケル・シューマック
654:１３２人目の素数さん
04/10/12 05:48:01
>>638
a[1]=a
a[n]=(1+a)[(1/{1-(1+a)(n-1)})-(1/{1-(a+1)(n-2)})] (n≧2)
655:１３２人目の素数さん
04/10/13 07:04:44
イマイチだな
656:１３２人目の素数さん
04/10/13 07:50:58
>>655が、俺ならもっといい回答するぜ、誰かこの俺に訊けよ、と叫んでいます。
657:１３２人目の素数さん
04/10/13 17:42:18
>>650うーん・・では過去問やったあとは力の５０題にでも挑戦します。
最大最小問題で多変（略）における調和関数の性質使うと簡単に終わるものありますね。
>>654 展開するのがめんどくさいので確認しませんが、正答としては
(A)a[1]=1,a[n]=0(n>=2)or(B)1/a[n]=(n+c)(n+c-1),c=const.です。
>>653調べておきます。京大頻出はカントールの定理らしいです。
658:１３２人目の素数さん
04/10/13 18:02:25
>>657
聞き齧った用語を理解しないまま書き連ねているのが哀れよのう
659:１３２人目の素数さん
04/10/13 18:06:18
>>658 「最大最小問題で」の所ですか？
U上で連続な関数f(x1,x2,---)について△f=0のとき調和関数といい、
fは∂Ｕにおいて最大および最小をとる、で合ってます？
間違ってたら、まさしく哀れです。
660:１３２人目の素数さん
04/10/13 20:04:07
>>657
F1知らなくてもミハエル・シューマッハがぐらい聞いたことあるだろ
661:１３２人目の素数さん
04/10/13 23:14:25
>>660いや知ってはいたんですけど、実はあると思ってしまいまして。
662:１３２人目の素数さん
04/10/13 23:24:22
平面上にn個の異なる点を配置する。どの２点間の距離も、必ずある二つの実数値のどちらかを取るように
nこの点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。
1) n=4の時、点の配置を全て求めよ。
2) n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3) n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。
663:１３２人目の素数さん
04/10/14 04:02:13
前スレのログ持ってるやついる？
できれば、どこかにうぷして欲しいんだけど。
おねがいしますだ。
664:１３２人目の素数さん
04/10/14 04:35:09
まずはヒザマヅケ！
665:１３２人目の素数さん
04/10/14 08:40:50
>>1乙
666:１３２人目の素数さん
04/10/14 09:28:33
俺のとっておきだ。
次の不定積分を解きなさい。
∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ
667:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:01:30
これは難問だぞ
668:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:03:29
アフォか？
669:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:06:46
>>667
積分区間を良く見てみ
∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ =
∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0
670:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:07:24
[e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。
671:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:10:46
>>670
> [e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。
じゃ，何だっていうつもり（ｗ
672:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:12:46
勘弁してくれよ、出題者に聞いてくれ
673:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:09:39
不定積分なんだから積分区間はないよな．
[e^0..sin(π/2)]は「..」が気になる．なんだろ？
674:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:13:09
>>673
定積分の書き間違いだろ
675:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:21:09
「..」は？
676:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:29:33
667 １３２人目の素数さん 04/10/14 13:01:30
これは難問だぞ
668 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:03:29
アフォか？
669 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:06:46
>>667
積分区間を良く見てみ
∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ =
∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0
675 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 15:21:09
「..」は？
面白すぎ :-)
677:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:34:12
定積分を不定積分と間違え、しかも「解きなさい」などと意味不明な事を書き、
不定積分に必要だと勘違いした積分区間に「..」などと変な記号を入れる、
これはそうとうな池沼だな。
678:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:50:15
んなことは、どうでもいいから、>>662の解答ｷﾎﾞﾝ
679:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:50:42
>>677
そんなこと一目で見抜けるだろ
わざわざ書き込んだのは釣られたはらいせだな
680:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:51:36
釣られたのは多分>>679
681:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:56:19
>>667-680
666を見て10秒以内に解けなかった人は高校の微積分からやり直してください，
ということで終了
粘着もやめてね
682:１３２人目の素数さん
04/10/14 16:25:39
>>662
面倒だなぁ
凸包で場合分けしていくやり方しか思い浮かばない。
683:シメジ方程式
04/10/14 17:30:26
おまいら分かってねーな。
>>666は0と即断したヤシを馬鹿にするための問題だぜ。
罠はひとつと思い込んだ奴の負け。
684:１３２人目の素数さん
04/10/14 17:38:25
>> 683
ボクもこたえが0になりました．
0が正解ででないならこたえを教えてください．
685:１３２人目の素数さん
04/10/14 17:42:41
６６６は間違いを誤魔化すので必死だった
ということで終了
686:シメジ方程式
04/10/14 17:49:04
>>684
疑惑の[e^0..sin(π/2)]の部分は「..」が不明だが取り合えず
変数が含まれてないので定数と考えればよい。
「..」の詳細は>>666の再降臨を待つべし。
687:１３２人目の素数さん
04/10/14 20:33:51
関数f(x)とg(x)があり、f(x)=g(x)とおくと、その根が交点のx座標である。
何故か説明せよ。
688:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 20:37:06
Re:>687 交点とは何か、等式の根とは何か、それぞれ説明願う。
689:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:20:13
kingうんち
690:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:27:26
>>687
実根でなくていいのか？
691:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:33:02
巨根
692:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:41:19
[e^0..sin(π/2)] は何かの演算子だろう。交換子に似ているが。
693:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:44:57
Re:>692 a<bとするとき、[a..b]={x∈R|a≤x≤b}.
694:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/14 21:45:48
Re:>693 いいから消えろ。
695:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:46:36
Re:>694 何故消えねばならぬのだ？
696:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/14 21:49:33
Re:>695 お前が偽者だからだ。迷惑してるんだよ。
おまえがウンコウンコ言うから、俺が同類だと思われるんじゃないか。
697:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:51:13
Re:>696 う■こと言ってるのはお前だろが。寝ぼけた上に頭打ったのか？
698:あぼーん
あぼーん
あぼーん
699:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/14 21:54:00
Re:>697 いまさらとぼける気か？この恥知らず。
700:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:57:19
Re:>698 お前何考えてんだよ？
Re:>699
【ゴキブリ】KingMathematician４【ストーカー】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:594番)
を参照のこと。
701:１３２人目の素数さん
04/10/14 23:19:28
>>666ま～だ～？
702:１３２人目の素数さん
04/10/15 01:36:08
>>666の再臨期待あげ
703:１３２人目の素数さん
04/10/15 08:07:13
>>666は施設からの外出許可がまだ出ないようです。
704:666
04/10/15 14:23:32
ごめん。積分区間です（汗
705:666
04/10/15 14:24:47
てか、定積分だし。すみませんね。
706:666
04/10/15 14:27:18
よって>>669、正解。
707:１３２人目の素数さん
04/10/15 16:04:05
小学生がいいそうな問題だな。
2*3*4*5*・・・・・・*0*3*4*・・・・=
なんでしょう？とかよく言ってたよ。小2の頃。
こんなこというと馬鹿にされそうだが。
708:707
04/10/15 16:05:18
まぁこれが結構わからない奴もたけどね・・・
709:１３２人目の素数さん
04/10/15 16:14:48
最近、スレ違い厨が大杉。
しっ！しっ！
710:１３２人目の素数さん
04/10/15 18:46:00
いつからウンチ臭い大学生とションベン臭い小学生のスレになったんだ？
711:１３２人目の素数さん
04/10/16 02:53:57
>>662
(1) 2点間を結ぶ線分は 4C2=6 本ある。このうちの少なくとも3本の
長さが1であるとして一般性を失わない。
1以外の長さが3本の場合 → 正三角形と，その重心
1以外の長さが2本の場合 → 正方形
1以外の長さが1本の場合 → 1辺を共有する2つの正三角形
712:１３２人目の素数さん
04/10/16 03:04:26
>>711
正五角形の一点を抜かした四角形は条件を満たしてるんじゃないの？
713:１３２人目の素数さん
04/10/16 03:06:11
あとは四点A,B,C,Dを△ABCを正三角形にして、点DをBD=CD、AD=ABを満たすように取れば
これも、条件を満たすだろ。
714:１３２人目の素数さん
04/10/16 14:38:04
一辺2の立方体の内部を半径1の円盤が自由に動く。
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。
715:１３２人目の素数さん
04/10/16 14:54:44
これは難問だぞ
716:１３２人目の素数さん
04/10/16 15:36:27
こちらの方が激難問だよ。
「一辺2の正方形の内部を半径1の円盤が自由に動く。
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。」
717:１３２人目の素数さん
04/10/16 15:55:42
>>662 長いので概略のみ
ある３点が存在し、それが同一直線上に並ぶ場合、条件を満たさない。よって、どの３点も同一直線上に並ばない。
ある点Dが存在し、残りの３点が作る三角形ABCの外心がDである場合。
△ABCが正三角形の場合、Dが外心の時、明らかに条件を満たす。
△ABCが正三角形でない場合、AB,BC,CAは二通りの値を取る。Dが△ABCの外心であることからAD=BD=CD、一般性を失わず
AD=BD=CD=ABとしてよく、この場合△ABDが正三角形をなす。このような条件を満たす点配置は３通り、その全てが条件を満たす。
４点のうち、どの３つを選んでもその３点がなす三角形の外心は４点に含まれない場合。
AB,AC,ADは条件より２通りの値を取る。よって、AB=1,AC=AD=aとしても一般性を失わない。
BC=1の場合、 BA=BC=1、Bは△ACDの外心でないことから、BD=aが成立する。
このとき、DA=DB=aが成立するため、DC=1が成立する。
BC=aの場合、 CA=CB=aが成立するためCD=1 BDの値は1,a両方取り得る。
以上より、この場合の４点が作る線分の長さは以下の通り。
1) AB=1 AC=AD=a、 BC=1 BD=a CD=1
2) AB=1 AC=AD=a BC=a BD=a CD=1
3) AB=1 AC=AD=a BC=a BD=1 CD=1
ところが、1,3は点C,Dを入れ替えることで同じとなるため、実質的に異なる配置は二通り。
1)の配置の場合、aの値は二通り考えられるが、拡大または縮小することで両者は等しくなる。よって、1)の場合の配置は一通り。
2)の配置の場合、AC=CB=BD=DA=aより、ACBDは菱形をなす。対角線がAB=CD=1となることから、この菱形は正方形であり
この場合の点配置も一通り。
以上をまとめると、全ての点の配置は６通りであることが分かる。
718:１３２人目の素数さん
04/10/16 16:10:07
>>716
君は馬鹿か？
719:１３２人目の素数さん
04/10/16 18:56:19
>>718
ﾕｰﾓｱのｾﾝｽがないﾔｼだなぁ。
720:１３２人目の素数さん
04/10/16 19:03:30
え、>>716って寒くない？
721:１３２人目の素数さん
04/10/16 19:04:34
スレ違いは他所でやｔってくれ。
722:１３２人目の素数さん
04/10/16 19:39:40
>>717 ( 自己レス )
間違い発見、ｽﾏｿ 逝ってくるわ
723:１３２人目の素数さん
04/10/17 20:45:07
関数 f(x) は x＝0 で連続とする。
lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈ が存在するとき、f’(0) は存在するか？
存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。
724:723
04/10/17 20:47:55
× 存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。
○ 存在するならば証明し、存在しない場合があるならその反例を挙げよ。
725:１３２人目の素数さん
04/10/17 20:55:21
>>662の問題作成者が素敵。
解がエレガントならすごく面白い。
726:１３２人目の素数さん
04/10/17 20:58:09
>>723
f(x)=xsin((2π/log2)log|x|) (x≠0)、f(0)=0とすれば反例。
727:１３２人目の素数さん
04/10/17 21:16:06
オレは長い方の辺の数aと短い方の辺の数bで場合わけしてやった。
―
I)(a,b)=(5,1)のとき
短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。のこる一辺はもとの辺よりながいので矛盾。
II)(a,b)=(4,2)のとき
長い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するかしかない。
正三角形ならのこりの一辺はひとつの内角の２等分線の対辺と交叉している側に
長辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(A)。
菱形は無理。
III)(a,b)=(3,3)のとき
長い辺は正三角形の３辺か３角形をつくらないとき。
正三角形ならのこる一点は重心で条件みたす。(B)
三角形の３辺とならないときはちょっとがんばると正５角形から１点のぞいた形。条件みたす。(C)
IV)(a,b)=(2,4)のとき
短い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するしかない。
正三角形ならのこりの一辺は一つの外角の２等分線の大変と交叉していない側に
短辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(D)
菱形になるときは正方形と２対角線になるとき。条件みたす。(E)
V)(a,b)=(1,5)のとき
短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。条件満たす。(F)
で結局A～Fの６つ。
―
になった。答えはこれであってるとおもうんだけどエレ解がみつからない･･･
728:１３２人目の素数さん
04/10/17 22:02:23
>>726
反例になってない罠。
lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈ が存在しない。
729:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/17 22:09:03
やっぱり、1_{0}(x)だね。
730:あぼーん
あぼーん
あぼーん
731:１３２人目の素数さん
04/10/17 22:22:12
>>729
何、それ？
732:１３２人目の素数さん
04/10/17 22:28:25
>>723 は直感的には真で反例がありそううな気がしない。
こんな漏れはｾﾝｽなしかもしれないが．．．
733:あぼーん
あぼーん
あぼーん
734: ◆BhMath2chk
04/10/17 23:00:00
>>723
存在する。
735:１３２人目の素数さん
04/10/17 23:05:32
>>734
証明してたもれ。
736:１３２人目の素数さん
04/10/18 02:25:04
>>662
(2)になってくると、もはや相当長い場合分けしかないと思っていたが、
５点のうち、どの４点を取り出しても、必ず(1)で求めたパターンになっていると言うことと
距離が二種類しかないという事を使えば、結構簡単になるか。
737:１３２人目の素数さん
04/10/18 08:04:54
>>723
存在する。以下証明。
証明）lim[h→0](f(2h)-f(h))/h)=cとおく。g(x)=f(x)-f(0)-cxとおけば
lim[h→0](g(2h)-g(h))/h)=0。g'(0)が存在することがいえれば十分。
g(x)は原点で連続でg(0)=0である。
正の数e>0を固定すると仮定からd>0を十分ちいさくとって任意の-d<h<d、h≠0にたいして
-e<(g(2h)-g(h))/h<e⇔-eh<g(2h)-g(h)<ehが成立するようにできる。
よって任意の-d<h<d、h≠0にたいして
-eh/2<g(h)-g(h/2)<eh/2
-eh/4<g(h/2)-g(h/4)<eh/4
-eh/8<g(h/8)-g(h/8)<eh/8
･･･
をたしあわせて左辺の和>-eh、右辺の和<ehより-eh<g(h)-g(h/2^N)<eh。
N→∞とするとlim[h→0]g(h)=0から-eh≦g(h)≦eh。
よって任意の-d<h<d、h≠0に対して-e≦(g(h)-g(0))/h≦e。
eは任意の正の数であったから結局lim[h→0](g(h)-g(0))/h=0。証明終
ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･
738:１３２人目の素数さん
04/10/18 08:16:41
>>737
>ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･
そうだよね｡僕も大体同じﾗｲﾝで考えて､
lim[h→0]{g(h)-g(h/2^N)}/h=0
までは高校範囲ででるんだけど､そこから後が続かない｡
739:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/18 19:17:54
Re:>730,733 人のメアドを勝手に載せるな。
Re:>731 連続ではなかった。
740:１３２人目の素数さん
04/10/21 04:00:24
あ・げ・ま・す・よ
741:１３２人目の素数さん
04/10/21 08:03:57
URLﾘﾝｸ(www.h3.dion.ne.jp)
742:１３２人目の素数さん
04/10/21 09:45:54
あるサークルで、5人の女優A～Eについての好き嫌いを調べた結果次のようになった。
・どの女優についても、好きな人は3人ずついた。
・AとBを共に好きな人、BとCを共に好きな人、CとDを共に好きな人、
DとEを共に好きな人、EとAを共に好きな人がそれぞれ1人ずついた。
・どの女優も好きでないという人はいなかった。
このとき、このサークルの人数は最大何人いるか。
743:１３２人目の素数さん
04/10/21 17:06:35
>>742
ぱっと見、10人のような気がするけど間違ってる？
744:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/21 17:10:41
Re:>743 第二の条件から、A～Eを好きな人が5人いて、それでA～Eを好きな人が2人ずついることが分かる。あとは簡単。
745:１３２人目の素数さん
04/10/21 19:35:08
11人？
746:１３２人目の素数さん
04/10/21 19:42:28
15に一票。
747:１３２人目の素数さん
04/10/21 19:46:01
２０％くらい
748:１３２人目の素数さん
04/10/21 21:44:32
正の実数x,y,zが2xyz+xy+yz+zx=1を満たすとき、x+y+z≧3/2を示せ。
749:１３２人目の素数さん
04/10/21 22:32:05
(x+2)(y+2)(z+2)でも計算すっか
750:１３２人目の素数さん
04/10/21 22:54:17
>>749 違った…… 2と1が逆だった。
((2(x+y+z)+3)/3)^3≧(2x+1)(2y+1)(2z+1)=4(2xyz+xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1 = 5+2(x+y+z)
x+y+z=sと置けば、
((2s)/3 + 1)^3 ≧ 5+2s
が成立する。これを満たす、sの範囲はs≧3/2である。 等号成立はx=y=z=1/2
751:１３２人目の素数さん
04/10/21 23:43:10
負でない実数a,b,cがa+b+c=2を満たすとき、
3abc≧2(ab+bc+ca-1)が成り立つことｗ示せ。
752:１３２人目の素数さん
04/10/22 00:08:47
>>751
なにそれ？a=2、b=c=0でいきなり反例あるじゃん。
753:１３２人目の素数さん
04/10/22 00:15:59
>>752
君は
0≧-2
が「矛盾」だとでもいうのか。
754:１３２人目の素数さん
04/10/22 00:16:36
>>752
？
755:１３２人目の素数さん
04/10/22 00:18:58
あ、しまった。計算まちごた。釣ってくる。
756:１３２人目の素数さん
04/10/22 01:26:36
>>750みたいなエレ解があるとあとがやりにくい。
しかしどろくさくやるなら>>751はできる。
a+b+c=2なのでどれか一個は2/3以下。a≦2/3として一般性をうしなわない。
このとき
与式⇔(3a-2)bc≧2a(b+c)-2
aを固定すると右辺は一定で左辺は3a-2≦0よりb=c=1-a/2のときが最小。
そのときに成立すればよい。よって
(3a-2)(1-a/2)^2≧2a(2-a)-2
が0≦a≦2/3で成立すればよい。4(左辺-右辺)を展開して
4(左辺-右辺)
=(3a-2)(a-2)^2+8a(a-2)+8
=3a^3-6a^2+4a
=a(3(a-2)^2+1)
は0≦a≦2/3において0以上。よって与式は成立。
等号はa=0、b=cまたはb=0、c=aまたはc=0、a=bのとき。
757:１３２人目の素数さん
04/10/22 02:38:07
次のように電卓(テンキーでもよい)の周りを3桁ずつ回るとき
どのように回っても(右回りでも左回りでも)和が2220になることを証明せよ。
７ ８ ９
４ ５ ６
１ ２ ３
例214+478+896+632=2220
789+963+321+147=2220
236+698+874+412=2220.....
きちんとした解答を作るのは難しそうなので入試問題でもよさそうではないか?
758:１３２人目の素数さん
04/10/22 02:43:26
>>757
16個しかないんだから全部計算したってそんなたいした手間にならんような。
759:１３２人目の素数さん
04/10/22 03:00:09
次の文章が正しいかどうか判定せよ( 答えはメール欄 )
半径1とrの同心円がある。r＞1とする。 小円( 半径1 )の内部に点Pをとり、点Pを通る二直線が
小円と交わる点をP,Q、大円( 半径r )と交わる点をR,Sとする。円弧PQをPとQを結ぶ円周のうち短い方の長さ
円弧RSも同様と定義するとき、 PQ≦RSが成立する。
760:１３２人目の素数さん
04/10/22 03:06:03
おおっと、間違えた
>>759 訂正
＞点Pを通る二直線が
ではなく
＞点Pを始点とする二つの半直線が
761:757
04/10/22 03:12:22
それは(1)にしよう。
(2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに
どう回っても和が一定であることを証明せよ。
例n=2
12+23+36+69+98+87+74+41=440
47+78+89+96+63+32+21+14=440
n=7
1236987+7412369+9874123+3698741=22222220
6321478+8963214+4789632+2147896=22222220
762:１３２人目の素数さん
04/10/22 03:18:04
>>761
＞(2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに
nは8でわったあまりが1でない自然数じゃないの？
763:761
04/10/22 04:01:36
失礼しますた。訂正します。
誤n=9の倍数でない自然数
正nは8でわったあまりが1でない自然数
764:東大教授
04/10/22 15:18:52
自然数ｎについて定義された関数ｆ（ｎ）＝［2005／ｎ］について、
ｆ（ｆ（ｎ））≠ｎ 満たす最小のｎを求めなさい。
ここで［ｘ］はｘを超えない最大の整数とする。
（2005年 第1問）
765:東大教授
04/10/22 15:23:56
方程式 x^2+y^2+z^2=（8m+7）4^n (n,mは自然数)
を満たす自然数の組（ｘ、ｙ、ｚ）が存在しないことを示せ。
（2006年 第1問）
766:１３２人目の素数さん
04/10/22 15:44:49
>>764
nが2005を超えたらｆ（ｆ（ｎ）)は存在しない。悪問。
767:１３２人目の素数さん
04/10/22 16:21:21
(mod8)
0^2≡0,1^2≡1,2^2≡4,3^2≡1,4^2≡0,5^2≡3^2≡1,6^2≡4,7^2≡1,
よって、任意の自然数nにおいてn^2≡0,1,4
題意を満たす(x,y,z)の組がもしあればx^2+y^2+z^2≡0,4で
x,y,zはどれもmod8で0か4でなければならない。
つまり、x,y,zは全て偶数でなければならない。
x=2＊x1,y=2*y1,z=2*z1,(x1,y1,z1は自然数)とおける。
この時、条件は
x1^2+y1^2+z1^2=(8m+7)4^(n-1)とかける。
この操作を繰り返し、
xn^2+yn^2+zn^2=(8m+7)を得る。
この時、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数となる。
しかしながら、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数ならば
xn^2+yn^2+zn^2≡1,3(mod8)であるから、この様な組み合わせは存在しない。
768:１３２人目の素数さん
04/10/22 16:30:09
>>764
2005/［2005/k］≧k+1を満たす最小の自然数kを求めればよい
2005=kp+q (p,q整数、0≦q＜k)とすると2005/p≧k+1
p=(2005-q)/kを代入して整理するとq(k+1)≧2005
q＜kよりk≧45 k=45,46,47・・・と代入してk=53で題意を満たす。
769:１３２人目の素数さん
04/10/22 16:40:45
[2005/53]=37,[2005/37]=54
[2005/52]=38,[2005/38]=52
770:東大教授
04/10/22 16:44:45
>>767>>768
お見事。皆さんにはちょっと簡単すぎましたね。悪しからず
771:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:00:10
正六角形のすべての頂点に1～3のいずれかの数字を与える。
平面内で回転して重なるものは同一とみなすとき、数字の与え方は何通りか。
772:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:43:45
関数方程式か。 へぇ……
俺も一つ。
f(f(x))=-xを満たす関数fを一つ求めよ。
773:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:49:11
f(x)=x^i
774:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:50:00
f(x)=ixだっただ
775:１３２人目の素数さん
04/10/22 17:53:26
おっと、>>772はｆ：R→Rね。
776:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:10:49
>>772
連続関数でか?
777:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:13:12
f(x)=0 (x=0)
=1/x (｜x｜≧1)
=-1/x (0＜｜x｜＜1)
778:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:13:12
別に連続でなくてもいいぞ。 ってか、連続だとねーだろ
779:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:13:41
f(x)≡0
780:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:18:34
○>>777
×>>779
781:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:20:47
距離hだけ離れた互いに平行な2平面上にそれぞれ面積Sの三角形があり、
その二つの三角形は合同で対応する3辺がすべて平行である。
このとき、二つの三角形の頂点である6つの点を頂点とする多面体の体積を求めよ。
782:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:35:07
なんかあれなのか？
Sh以外の意外な組み合わせがあるのか？
わくわく
783:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:40:56
Shともうひとつある
784:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:45:50
>>781
三角形がねじれてる場合か
785:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:51:44
>>784
それだ。
786:１３２人目の素数さん
04/10/22 18:54:21
8面体か
787:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:00:53
ということは(4/3)Sh？
788:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:02:32
>>787
その通り
789:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:05:55
続けていってみよう！
Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k] = n*(4^(n-1))
を示せ、 C(m,n) = (m!)/((n!)((m-n)!))だよん
790:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:45:59
>>789
できた。
Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k]
=Σ[k=0,n] (k^2)C[2n,n-k]
=Σ[k=0,n] ((n-k)^2)C[2n,k]
=(1/2)Σ[k=0,2n] ((n-k)^2)C[2n,k]
=(1/2)Σ[k=0,2n] (n-k)(n-k-1)C[2n,k]
=(1/2)(Σ[k=0,2n] C[2n,k]t^(n-k))''|t=1
=(1/2)(t^n(1+1/t)^(2n))''|t=1
=(1/2)((t+2+1/t)^n)''|t=1
=(1/2)(n(n-1)(t+2+1/t)^(n-2)(1-1/t^2)+n(t+2+1/t)^(n-1)(2/t^2)))|t=1
=n*(4^(n-1))
791:１３２人目の素数さん
04/10/22 19:51:02
んじゃ、これは？
Σ[k=1,n] k*C[2n,n-k]
k^2をkに変えた奴
792:１３２人目の素数さん
04/10/22 23:00:19
次の性質を満たす正の実数 p がある．
任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p－1－1/1!－1/2!－．．．－1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．
このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．
793:LettersOfLiberty
04/10/22 23:09:07
おまえらしね
794:１３２人目の素数さん
04/10/23 00:48:25
xについて恒等式
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d).....(x-z)=0
が常に成立するためのa,b,c,d......zの必要十分条件を求めよ。
795:792
04/10/23 01:51:59
>>792はちと難し過ぎたかな。
では 「p が無理数である事を示せ」 は？
796:１３２人目の素数さん
04/10/23 02:03:00
>>794
まだそんな事やってんのか、氏ねよ。
797:１３２人目の素数さん
04/10/23 05:24:18
x>0のとき、2^(-x) + 2^(-1/x)の最大値を求めよ。
798:１３２人目の素数さん
04/10/23 07:19:31
>>797
ん？微分したら終わりじゃないのか。
799:１３２人目の素数さん
04/10/23 07:46:43
>>792
ｐは明らかにネイピアの数だね。
マクローリン展開か．．．
800:１３２人目の素数さん
04/10/23 09:20:37
>>795
ｐが有理数とすると ｐ＝ｊ/ｋ（ｊ，ｋは自然数）とおける．
そのとき，
ｊ/ｋ＝1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!+a_n/(n+1)!
両辺を ｎ!倍すると
（ｊ/ｋ）ｎ!＝（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!+a_n/(n+1)
ｎ≧ｋ のとき （ｊ/ｋ）ｎ! は自然数．
（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! は常に自然数で，
ｎ+1≧3 のとき， 0＜a_n/(n+1)＜１
よって， ｎ≧max｛ｋ，2｝ のとき，
a_n/(n+1)＝（ｊ/ｋ）ｎ!-（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!
において，右辺は整数となるので矛盾．
801:800
04/10/23 09:22:33
>>792も同様にしてできる．
802:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/23 10:26:42
Re:>793 お前誰だよ？
803:１３２人目の素数さん
04/10/23 11:54:42
，．厨
804:１３２人目の素数さん
04/10/23 12:40:33
939
805:１３２人目の素数さん
04/10/23 18:20:18
半径1の円を長さaの弦で二つの弓形に分けたとき
面積が小さい方の弓形の面積をSとする。
lim[a→0]S/(a^3)の値を求めよ。
806:１３２人目の素数さん
04/10/23 18:39:15
>>805
細かいことだが，a→+0 と書いて欲しい．
807:１３２人目の素数さん
04/10/23 20:05:05
>>805
やってみますた。
f(x) = x - sin x - (1/6)x^3 ± x^4とおくと、(以下複合同順)
f'(x) = 1 - cos x - (1/2)x^2 ± 4x^3
f''(x) = sin x - x ± 12x^2
f'''(x) = cos x - 1 ± 24x
f''''(x) = -sin x ± 24
±f''''(x) > 0, f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0 だから、
x>0のとき±f(x)>0。すなわち、
-x^4 < x - sin x - (1/6)x^3 < x^4
両辺をx^3(>0)で割って、
-x < (x - sin x)/(x^3) - 1/6 < x
∴lim[x->+0](x - sin x)/(x^3) = 1/6 …(1)
題意の弓形の円周角はaだから、
S = (1/2)a - (1/2)sin a
lim[a->+0]S/(a^3)
=(1/2)lim[a->+0](a - sin a)/(a^3)
=1/12 (∵(1))
808:１３２人目の素数さん
04/10/23 20:36:30
>>791
どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。
(補題)
∑[m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2C[2n,n]/4^n
(証明) C[2n+2,n+1]=(4n+2)/(n+1)C[2n,n] + 帰納法。以下略
(命題)
∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n]
(証明) 以下のような試行をかんがえる。動点Pを最初原点におき
確率(1/2)でx軸方向に+1、確率(1/2)でy軸方向に+1うごかす。この試行を2n回
くりかえす。各段階で直線y=xから遠のいたとき1点、近づいたとき-1点をあたえる。
試行の終了時動点は(n+k,n-k) (-n≦k≦n)であらわされる点のいづれかにいる。
(n+k,n-k)に到達する確率はC[2n,n+k]/4^nでありそのときの全得点は|2k|である。
したがって全得点をあたえる確率変数Eの期待値は
E=∑[k=-n,n]|2k|C[2n,n+k]/4^n･･･(1)
一方でl回目の試行の時点でえられる得点の期待値はlが奇数のとき0であり
lが偶数のときはC[l,l/2]/2^l×1である。(=点(l/2,l/2)に到達している確率×その場合の条件付期待値)
よって全期待値は
E=∑[m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2nC[2n,n]/4^n･･･(2)
(1)、(2)より∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n]
809:１３２人目の素数さん
04/10/23 20:54:33
>>807
「弓形の円周角はa」じゃないよ。
810:１３２人目の素数さん
04/10/23 21:03:41
答えはあってるし、まあ良し
811:１３２人目の素数さん
04/10/23 21:11:36
よかないよ。
その誤差が結果に影響しないことを
ちゃんと評価しなければ駄目駄目だ。
812:１３２人目の素数さん
04/10/23 22:40:30
>>808
訂正っす
×どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。
○どうも(1/2)nC[2n,n]みたい。以下証明。
×∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n]
○∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n]
813:１３２人目の素数さん
04/10/23 23:24:19
>>808
普通に計算した方がはやいような・・・
814:１３２人目の素数さん
04/10/23 23:31:20
>>813
-((t+2+1/t)^n)'(1/(1-t))の原点の留数計算でやるって方法はあるんだけど
あまりに味もそっけもないのでちょっと凝った方法をのせてみますた。
815:１３２人目の素数さん
04/10/23 23:46:09
>>814
留数計算とか知らんけど
Σ[k=0,n] k*C[2n,n-k]
=Σ[k=0,n] (n-k)*C[2n,k]
=nΣ[k=0,n]C[2n,k] - Σ[k=0,n] k*C[2n,k]
=nΣ[k=0,n]C[2n,k] - 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1]
=n(2^(2n)+C[2n,n])/2 - 2n(2^(2n-1))/2
=n/2C[2n,n]
でいいんじゃね？
816:１３２人目の素数さん
04/10/23 23:50:30
>>815
なる。
Σ[k=0,n] k*C[2n,k] = 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1]
これおもいつかんかったよ。だいたいこの手の計算答えが簡単になるときは
瞬殺する方法あとからでてきていやんなるんだよな。まだまだ修行がたりん。
817:１３２人目の素数さん
04/10/24 02:34:50
簡単なのを一題
二つの自然数m,nに対し[m,n]はmとnの最小公倍数を表すものとする。
1≦a＜b＜c＜dとして
(1/[a,b])^2 + (1/[b,c])^2 + (1/[c,d])^2
の最大値を求めよ。
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