★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問 at MATH

551:１３２人目の素数さん
04/10/02 02:44:10
>>550

まず，n×nで敷き詰めが出来ているときに(n+2)×(n+2)を作る事を考える．
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上図より，1×(n+1)が作れればこれは可能であり，
n+1=3l+4m(l≧0，m≧0)なる整数l，mが存在すればよい事になる．
そこで，3l+4m(l≧0，m≧0)の形で表せる自然数の条件を4の剰余類毎に考えると，
4m　　全て可能
4m+3　全て可能
4m+2　≧6なら可能
4m+1　≧9なら可能
となるから，n+2=7(即ちn+1=6)以上の敷き詰めは，6×6以下の敷き詰めが可能なら
全て可能である事が分かる．
後は3≦n≦6の場合を具体的に構成して終わり．尚，5×5は3×3から出来る．
q.e.d.

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