★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
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550:１３２人目の素数さん 04/10/01 23:51:23 n×nマスの部屋を1×3マスのタイルと1×4マスのタイルで 隙間なく重なりなく敷きつめられることを示せ。 ただしnは3以上の整数で、使わない種類のタイルがあってもよいものとする。 551:１３２人目の素数さん 04/10/02 02:44:10 >>550 まず，n×nで敷き詰めが出来ているときに(n+2)×(n+2)を作る事を考える． ■■■■■■ ■□□□□■ ■□□□□■ ■□□□□■ ■□□□□■ ■■■■■■ 上図より，1×(n+1)が作れればこれは可能であり， n+1=3l+4m(l≧0，m≧0)なる整数l，mが存在すればよい事になる． そこで，3l+4m(l≧0，m≧0)の形で表せる自然数の条件を4の剰余類毎に考えると， 4m 全て可能 4m+3 全て可能 4m+2 ≧6なら可能 4m+1 ≧9なら可能 となるから，n+2=7(即ちn+1=6)以上の敷き詰めは，6×6以下の敷き詰めが可能なら 全て可能である事が分かる． 後は3≦n≦6の場合を具体的に構成して終わり．尚，5×5は3×3から出来る． q.e.d. 552:551 04/10/02 02:48:55 受験モニター的報告 解答作成所要時間15分，実際の試験ならもうちょっと丁寧に書いて 推敲含め20〜25分程度か． 因みに当方は数学科4年生（専攻：整数論）． 個人的には，受験生なら「やや難：30分以上」になると思うがどうだろう？ 良問提供多謝．
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