★東大入試作問者にな ..
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540:１３２人目の素数さん 04/09/23 14:35:51 952 541:１３２人目の素数さん 04/09/28 08:13:11 757 542:１３２人目の素数さん 04/09/29 22:39:41 面積Sの四角形ABCDについて、2S=AB・CD+BC・DAが成り立つとき 四角形ABCDはどんな四角形か。 543:１３２人目の素数さん 04/09/29 23:17:20 AB・CD+BC・DA=AC・BDって円に内接するときしかだめなんだっけ？ これ誰の定理だっけ？ 544:１３２人目の素数さん 04/09/30 00:40:17 >>542 円に内接しかつ対角線が直交するときかな？ まず平面に軸xyと正の実数0＜r＜1をy軸方向にr倍してABCDが円に内接するようにとる。 それが可能なのはまずABCの外接円をとってDがその外側にあるときACをx軸にとって rを1から0へ増大させながらy軸方向へr倍するアフィン変換を作用させていくと Dはどこかでちょうど円上にのる。そのときのrをとればよい。 Dが外側にあればrを1から∞まで変化させて同様にするとr＞1でDが円上にのるようにできるか x軸とy軸をいれかえてrを1/rにすればもとめる条件をみたす。 いまy軸方向にr倍する変換でのABCDの移り先をA'B'C'D'、四角形A'B'C'D'の面積をS'と すればS'=rS、A'B'≧rAB、B'C'≧rBC、C'D'≧rCD、D'A'≧rDA、ですべて等号になるのはr=1のとき。 よって2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'であり等号成立はr=1のときのみ。 このときトレミーの定理からA'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'であるから 2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'=2S/sinθ (θはA'B'C'D'の対角線のなす角) ∴sinθ=1かつ2S'=A'B'・C'D'+B'C'・D'A'。 よってr=1かつA'B'C'D'の対角線が直交する。
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