★東大入試作問者にな ..
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538:１３２人目の素数さん 04/09/16 20:35:48 >>532のサイトみてからずっときになってんだけどもしかしてこんなこと成立する？ ---- n次元ユークリッド空間のn+1個の点P1･･･P(n+1)をとる。行列Aを Aij= 0 (i=j) 1 (i≠j ＆ (i=n+2 or j=n+2)) (PiとPiの距離)^2 (それ以外のとき) で定義するときP1･･･P(n+1)の凸包の体積をVとするとき V^2･(nだけで決まる関数)=|A| ---- n=2,3でそうなってるってのが>>532のサイトに紹介されてるんだけど。 539:１３２人目の素数さん 04/09/17 23:49:54 >>518って>>532のヒントがあるととたんにそりゃそうだって思えるようになるな。 たとえばOABCがOA、OB、OC、AB、BC、CAが全部奇数と仮定して ↑OA=a、↑OB=b、↑OC=cとおく。仮定から|a|、|b|、|c|は全部奇数で 2a･b、2b･c、2c･aは全部奇数でmod8で1。ところでOABCを端点とする四面体の体積は det|[[(a,a),(a,b),(a,c)],[(b,a),(b,b),(b,c)],[(c,a),(c,b),(c,c)]]であるがそれは０。 よってとくにdet|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]] は０でなければならない。しかし一方これは全成分が整数で対角成分がmod8で2、 その他の成分がmod8で1。よってとくに det|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]はmod8で4。矛盾。
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