★東大入試作問者にな ..
511:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:14:17
オイラーの定数が出るんじゃないの？
512:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:14:51
そうか。t=0の近傍でも広義積分になってるから
lim[N→∞]∫[1/N,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。
にしないといけないか。
513:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:16:45
>>511
しまった。そうだ。だから大学入試にはつかえん。吊ってくる。
514:１３２人目の素数さん
04/09/12 07:20:52
>>490
直感的な説明。
n+1 回連続して表が出るためにはまず n 回連続して表が出る必要があり、
平均して a_n 回投げなければならない。
次の回に投げて成功すればよいが、失敗するとはじめからやり直しとなる。
成功の確率は 1/2 だから、平均すれば「n 回連続して表が出る + 1 回」を
2 回繰り返せば n+1 回表が連続して出るだろう。
515:458
04/09/12 20:34:04
>>514
thx 確かに直感的。でも正しい。
入試数学ではOKな考え方なのかな。
516:１３２人目の素数さん
04/09/12 20:42:15
試験の解答としてはダメだろ。
517:１３２人目の素数さん
04/09/12 21:58:59
０点だろ。
518:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:03:41
平面上に異なる四点を取り、
どの２点の距離も奇数になるようにせよ。
不可能であるならば、その事を証明せよ。
519:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/12 22:27:36
Re:>518
5通りの2点間の距離が奇数になるようにはできる。
問題はあと一組か。
520:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:27:52
>>518
ヒントおながいしまつ
521:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:37:36
こう言う問題は不可能だと相場が決まっている。
鳩の巣原理に一票。
522:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/12 22:56:50
Re:>521 私も最初はそう思ったけどね。
523:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:00:30
Kingはストーカー原理主義者。
524:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:20:33
>>518
円に内接する四角形ダメで対角線が垂直に交わる四角形もダメ。
どーも無理っぽい
525:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:57:06
>>515
とりあえず試験にもかけそうな解答ではこんな感じでどうだろう。
Vnを最初にn回連続表がでた時点をあたえる確率変数、
Xnを最初にn回連続表がでた直後の試行が裏であった場合という事象
としてE(Vn)=anとおくとき
a(n+1)
=E(V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)E(notXn|V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)(E(notXn|V(n))+1)
=(1/2)(E(Vn)+1+E(V(n+1)))+(1/2)(E(V(n))+1)
=(1/2)(an+1+a(n+1))+(1/2)(an+1)
∴a(n+1)=2an+2。
E(Vn)がちゃんと収束することも上の議論をすこし丁寧にやればでるね。
526:１３２人目の素数さん
04/09/13 00:23:52
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:579番)
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527:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/13 14:03:53
Re:>523 それ誰から聞いた？
528:１３２人目の素数さん
04/09/14 04:07:28
>>458
表が連続k回出ている状態から、試行が終わるまで投げる回数の期待値をb_kとする。
b_3=0
b_2=(1/2)(1+b_3)+(1/2)(1+b_0)
b_1=(1/2)(1+b_2)+(1/2)(1+b_0)
b_0=(1/2)(1+b_1)+(1/2)(1+b_0)
これを解いて、b_0=10。
厳密には条件付期待値の概念を使ってるから問題としていいのかどうかはわからんが。
529:１３２人目の素数さん
04/09/14 23:13:49
>>518
わからん。答えおながいしまつ。
530:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:18:05
☆ ﾁﾝ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
☆ ﾁﾝ 〃 Λ＿Λ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ヽ ＿＿_＼（＼・∀・） ＜ >>518答えﾏﾀﾞ～？
＼＿／⊂ ⊂＿ ) ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／￣￣￣￣￣￣ ／|
|￣￣￣￣￣￣￣| |
| |／
531:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:21:05
>>458 なるべく高級なことを利用しないように努めた解法。
長さ n の列で、最後の 3 回で初めて3 回連続して表が出た列全体の集合を A_n とし、
A_n の元の数を |A_n| で表す。
n 回目に初めて 3 回連続して表が出る確率 p_n は p_n=|A_n|/2^n である。
1) p_{3n},p_{3n+1},p_{3n+2}≦(7/8)^n が示せるので、
Σ_[n=1,∞]p_n と Σ_[n=1,∞]{np_n} が存在することがわかる。
2) A_{n+4} に属する列の最後の 4 回は 裏表表表 になっている。
この列の最後の 4 回を 裏裏表表表 または 表裏表表表 で置き換えた列を考える。
裏裏表表表 に置き換えたものは、すべて A_{n+5} の元である。
表裏表表表 で置き換えたものは、A_{n+5} の元であるかまたは
A_{n+1} に属する列に 裏表表表 を付け足した列になる。
逆に、A_{n+4} の元は、A_{n+5} に属する列から n+1 番目を取り除いた列か、
A_{n+1} に属する列の最後の 表 を 裏表表表 で置き換えた列になっている。
したがって、2 |A_{n+4}| = |A_{n+5}| + |A_{n+1}| が成立する。
両辺を 2^{n+5} で割ることで、p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) が得られる。
3) p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) を辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]p_n = p_4 + Σ_[n=1,∞]p_n - 1/16Σ_[n=1,∞]p_n
p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]p_n=1 となる。
4) また、n+5 倍してから辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]{np_n} = -p_3 + 4p_4 + Σ_[n=1,∞]{(n+1)p_n} - 1/16Σ_[n=1,∞]{(n+4)p_n}
Σ_[n=1,∞]p_n=1, p_3=1/8, p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]{np_n}=14 となる。
532:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:22:52
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
＞また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は
・・・
の結果を利用するとすぐに>>518の答えが分かるけど高校レベルの解答は分からん。
533:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:35:20
>>532
どうつかうの？べつにa,b,c,d,e,fが全部奇数で左辺が0でも矛盾しないような。
534:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:39:44
わかった。これつかうのか↓。なるほど。
（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2－ａ^2－ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2－ｂ^2－ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2－ｃ^2－ｆ^2）
－ａ^2ｂ^2ｃ^2－ａ^2ｅ^2ｆ^2－ｄ^2ｂ^2ｆ^2－ｄ^2ｅ^2ｃ^2
a,b,c,d,e,fが全部奇数なら右辺≡2(mod4)だ。
535:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:51:09
>>518難しかった。こんな簡単にとけちゃうもんなんだな。またあたらしいのんキボン。
536:１３２人目の素数さん
04/09/15 01:23:37
>>395ではないが、>>395を誘導方式に変更してみた。
（１）、（２）はそれぞれ単独でもまずまず面白い問題かと。
（２）は漏れの頭の柔らかさでは高校範囲を逸脱する解等しか用意してないんだが…。
（１）
2n個の数値 x_1,x_2,…x_(2n)は次を満たすとする。
・x_1+x_2+…+x_2n=0
・任意のi=1,…,2nに対し、x_i=1 or x_i=-1
（すなわち、x_iは1がn個で-1がn個ってこと）
今、y_i（i=1,…,2n）を、
(x_i)×(x_i+x_(i+1)+…+x_(2n))>0のとき、y_i=1
それ以外の場合、y_i=0
と定義する。
このとき、y_1+y_2+…+y_n=nであることを示せ。
（２）
Σ[k=1～n]C(2k,k)・C(2(n-k),n-k))=2^(2n)-C(2n,n)を示せ。
（CはCombination。C(n,m)=n!/(m!・(n-m)!)です。）
（３）
>>395の解が、>>432の結論の式となることを示せ。
537:１３２人目の素数さん
04/09/15 14:17:42
>>532
座標を入れてごりごり計算してみたが、それほど面倒ではなかった。
ポイントは a,b,c が奇数のとき、(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) が
16n-1 の形の整数になるということのようだ。
538:１３２人目の素数さん
04/09/16 20:35:48
>>532のサイトみてからずっときになってんだけどもしかしてこんなこと成立する？
----
n次元ユークリッド空間のn+1個の点P1･･･P(n+1)をとる。行列Aを
Aij=
0 (i=j)
1 (i≠j ＆ (i=n+2 or j=n+2))
(PiとPiの距離)^2 (それ以外のとき)
で定義するときP1･･･P(n+1)の凸包の体積をVとするとき
V^2･(nだけで決まる関数)=|A|
----
n=2,3でそうなってるってのが>>532のサイトに紹介されてるんだけど。
539:１３２人目の素数さん
04/09/17 23:49:54
>>518って>>532のヒントがあるととたんにそりゃそうだって思えるようになるな。
たとえばOABCがOA、OB、OC、AB、BC、CAが全部奇数と仮定して
↑OA=a、↑OB=b、↑OC=cとおく。仮定から|a|、|b|、|c|は全部奇数で
2a･b、2b･c、2c･aは全部奇数でmod8で1。ところでOABCを端点とする四面体の体積は
det|[[(a,a),(a,b),(a,c)],[(b,a),(b,b),(b,c)],[(c,a),(c,b),(c,c)]]であるがそれは０。
よってとくにdet|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]
は０でなければならない。しかし一方これは全成分が整数で対角成分がmod8で2、
その他の成分がmod8で1。よってとくに
det|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]はmod8で4。矛盾。
540:１３２人目の素数さん
04/09/23 14:35:51
952
541:１３２人目の素数さん
04/09/28 08:13:11
757
542:１３２人目の素数さん
04/09/29 22:39:41
面積Sの四角形ABCDについて、2S=AB・CD+BC・DAが成り立つとき
四角形ABCDはどんな四角形か。
543:１３２人目の素数さん
04/09/29 23:17:20
AB・CD+BC・DA=AC・BDって円に内接するときしかだめなんだっけ？
これ誰の定理だっけ？
544:１３２人目の素数さん
04/09/30 00:40:17
>>542
円に内接しかつ対角線が直交するときかな？
まず平面に軸xyと正の実数0＜r＜1をy軸方向にr倍してABCDが円に内接するようにとる。
それが可能なのはまずABCの外接円をとってDがその外側にあるときACをx軸にとって
rを1から0へ増大させながらy軸方向へr倍するアフィン変換を作用させていくと
Dはどこかでちょうど円上にのる。そのときのrをとればよい。
Dが外側にあればrを1から∞まで変化させて同様にするとr＞1でDが円上にのるようにできるか
x軸とy軸をいれかえてrを1/rにすればもとめる条件をみたす。
いまy軸方向にr倍する変換でのABCDの移り先をA'B'C'D'、四角形A'B'C'D'の面積をS'と
すればS'=rS、A'B'≧rAB、B'C'≧rBC、C'D'≧rCD、D'A'≧rDA、ですべて等号になるのはr=1のとき。
よって2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'であり等号成立はr=1のときのみ。
このときトレミーの定理からA'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'であるから
2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'=2S/sinθ (θはA'B'C'D'の対角線のなす角)
∴sinθ=1かつ2S'=A'B'・C'D'+B'C'・D'A'。
よってr=1かつA'B'C'D'の対角線が直交する。
545:１３２人目の素数さん
04/09/30 23:15:58
>>543
AB・CD+BC・DA≧AC・BD が常に成り立ち、等号は四角形ABCDが円に内接するとき成立。
これを使えば>>544はもっと簡単になる。
546:１３２人目の素数さん
04/10/01 00:54:49
｜z｜=｜z-α｜を満たす複素数z,αがある。
(1) z+(1/z)が実数となるzがちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2であるようなαの条件を求めよ。
547:１３２人目の素数さん
04/10/01 00:56:54
訂正っす
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。
548:１３２人目の素数さん
04/10/01 02:47:52
x-y平面上の点のうち、x,y座標両方の値が整数値であるものを格子点と呼ぶ。
四つの格子点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)をそれぞれ、白、黒、赤、青の色で塗る。
次の操作を行い、各格子点をこれら四色のうち、どれか一つで塗ることを考える。
操作 n,mを整数として
単位正方形(n,m),(n+1,m),(n,m+1),(n+1,m+1)を考える。
この正方形の頂点に対し、反時計回りにA,B,C,Dと名前を付け、(どこをAととっても良い。)
点A,Bの辺CDに対する線対象な点をA'、B'とする。
点AとA'、点BとB'を同じ色で塗る。
この操作を、有限回繰り返し、最初白で塗られていた原点(0,0)を
別の色で塗り直せ。 不可能であるならば、その事を示せ。
549:１３２人目の素数さん
04/10/01 08:29:50
>>548
操作によって新しく塗られる点ともとの点のx座標、y座標の偶奇は変化しないので不可能。
550:１３２人目の素数さん
04/10/01 23:51:23
n×nマスの部屋を1×3マスのタイルと1×4マスのタイルで
隙間なく重なりなく敷きつめられることを示せ。
ただしnは3以上の整数で、使わない種類のタイルがあってもよいものとする。
551:１３２人目の素数さん
04/10/02 02:44:10
>>550
まず，n×nで敷き詰めが出来ているときに(n+2)×(n+2)を作る事を考える．
■■■■■■
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上図より，1×(n+1)が作れればこれは可能であり，
n+1=3l+4m(l≧0，m≧0)なる整数l，mが存在すればよい事になる．
そこで，3l+4m(l≧0，m≧0)の形で表せる自然数の条件を4の剰余類毎に考えると，
4m 全て可能
4m+3 全て可能
4m+2 ≧6なら可能
4m+1 ≧9なら可能
となるから，n+2=7(即ちn+1=6)以上の敷き詰めは，6×6以下の敷き詰めが可能なら
全て可能である事が分かる．
後は3≦n≦6の場合を具体的に構成して終わり．尚，5×5は3×3から出来る．
q.e.d.
552:551
04/10/02 02:48:55
受験モニター的報告
解答作成所要時間15分，実際の試験ならもうちょっと丁寧に書いて
推敲含め20～25分程度か．
因みに当方は数学科4年生（専攻：整数論）．
個人的には，受験生なら「やや難：30分以上」になると思うがどうだろう？
良問提供多謝．
553:１３２人目の素数さん
04/10/02 09:50:49
>>551-552
解答＆感想サンクス。
俺の場合数学は趣味だけど、整数問題なら自信の一作が。
入試問題としては誘導なしだと相当な難問かもしれないけど。
(問)BC=a,CA=b,AB=cの三角形ABCの辺BC上(両端を除く)に点Dをとると
AB=AD=DCとなった。aは素数、b,cは整数のときa,b,cを求めよ。
答えは綺麗に一組に定まるので自作問題のなかでは一番のお気に入り。
554:１３２人目の素数さん
04/10/02 17:00:00
３以上で５でない整数で３と４の和で表せるので
ｎ×３とｎ×４を並べてｎ×ｎができる。
555:１３２人目の素数さん
04/10/02 17:44:23
>>553
できた。(a,b,c)=(5,6,4)。あってる？
556:１３２人目の素数さん
04/10/02 19:04:57
aだけ素数ってのが惜しいな。
557:１３２人目の素数さん
04/10/02 19:05:59
UdoWOLrsDMは素数。
558:１３２人目の素数さん
04/10/02 21:43:17
>>555
さすが数学板っすね。解き方も書いてくれると嬉しいです。
559:１３２人目の素数さん
04/10/02 23:47:00
>>553>>558
∠ADC=θとおく。-cosθ=cos(π-θ)=(d/2)/c=d/(2c)。
余弦定理からb^2=2c^2-2c^2cosθ=2c^2(1-cosθ)。
∴2c^2(1+d/(2c))=b^2。∴2c^2+cd=b^2。∴ca=c(c+d)=(b-c)(b+c)。
ここでb=gb'、c=gc'、(b',c')=1とおけば
c'a=g(b'-c')(b'+c')。(c',b'+c')=(c',b'-c')=(b',c')=1よりc'|g。
∴a=(g/c')(b'-c')(b'+c')であるがaが素数であるからどれかがaでのこりは1。
b'+c'>b'-c'からb'+c'が1にはなれないのでg/c'=b'-c'=1、b'+c'=a。
b'=c'+1であるが３辺が(b,c,c)は頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるので
(b',c',c')=(c'+1,c',c')も頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるが
(2,1,1)は3角不等式をみたさす(4,3,3),(5,4,4),･･･は頂角が鈍角にならない。
よって(b',c')=(3,2)。これからすでに得た等式にどんどん代入していけば(a,b,c)=(5,6,4)
であることが必要。一方B(0,0)、D(1,0)、C(5,0)、A(1/2,(3√7)/2)は条件満たすので
これが答え。
560:１３２人目の素数さん
04/10/03 00:13:41
>>559
お見事です。
cが平方数であることを示す誘導問題を考えてたけど>>559のほうが自然すね。
三角形ADCが鈍角三角形に着目すれば評価が楽なのも気づいてなかったし・・・(´･ω･`)
561:数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo
04/10/03 00:22:33
去年の学コンにも似た問題出てたね。
562:１３２人目の素数さん
04/10/03 00:38:13
>>561
どんな問題？
俺去年の5月に代ゼミの作問スタッフに応募して採用されたんだけど、それからさっぱり音沙汰なし。
まあいいかと思ってたけど、もし問題横流しされてたら嫌だなあ。どうせ被害妄想だけど。
代ゼミに送った問題サンプル
URLﾘﾝｸ(www2.spline.tv)
URLﾘﾝｸ(www2.spline.tv)
563:数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo
04/10/03 00:42:32
>>562
ちょっと何月号か忘れたけど、たしか、
同じように三角形の三辺が整数であるとか互いの素であるとかという条件をおいていた問題だった気がする。
似てるというか、辺の長さに整数問題を組み合わせただけかな
564:数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo
04/10/03 00:43:40
>>562
作問スタッフなんて募集してるのか・・・！
問題解く能力と作る能力って全然違うよなぁ。
難問かつ良問作れる人は尊敬する
565:１３２人目の素数さん
04/10/03 00:52:06
>>564
今は募集してないみたい。特に数学と化学は募集打ち切りが早かった気がする。
566:１３２人目の素数さん
04/10/03 22:27:48
作問スタッフってギャラいいのですか？
一問いくらとか？
567:１３２人目の素数さん
04/10/03 22:42:58
普通
568:１３２人目の素数さん
04/10/04 21:15:23
集合S={1,2,…,n}と全単射の写像fを考える。ｆ：S→Sであり、かつ
Σ[k=1,n] | f(k)-k | = (n^2-1)/2
を満たすとき、写像fとして考えられるものの総数を答えよ。
あと、関係ないけど前スレのログ持ってる人いない？
569:１３２人目の素数さん
04/10/05 03:45:24
nが偶数のとき0通り
nが奇数のとき3・{(n-1)/2}!通り、かな
570:１３２人目の素数さん
04/10/05 14:20:20
いや、
nが偶数のとき0通り
nが奇数のとき3・[{(n-1)/2}!]^2通り、か
571:１３２人目の素数さん
04/10/06 14:15:44
数列a_n=2n^2+3n+1 (n=1,2,3・・・)の項のうち平方数のみすべて取り出し
小さい順にb_1,b_2,b_3・・・と並べた数列b_nの一般項を求めよ。
572:１３２人目の素数さん
04/10/06 18:19:13
>>571
2n^2+3n+1=m^2
⇔(4n+3)^2-2m^2=1
である。x^2-2y^2=1の整数解はβ=3+2√2、α=3-2√2とおいて
x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/2(√2))(α^k-β^k)(kは整数)と書けるから
(1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数になるkをもとめる。
それはkが3以上の奇数のとき。つまりk=2l+1 (lは自然数)と書けるときなので
結局b_l=m=(1/2(√2))(α^(2l+1)-β^(2l+1))
573:１３２人目の素数さん
04/10/06 18:40:23
まちごうた。
2n^2+3n+1=m^2
⇔(4n+3)^2-2(2m)^2=1
だ。あとx^2-2y^2=1の正の整数解は
x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/(2√2))(α^k-β^k)(kは正の整数)
よってもとめるのは
(1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数かつ
(1/(2√2))(β^k-α^k)が偶数になるとき
やはりkが3以上の整数。以下同じ。
･･･
正直Pell方程式の一般解に関する知識がなきゃ解けん。
574:１３２人目の素数さん
04/10/07 15:35:00
反応がないと自演か．．．
575:１３２人目の素数さん
04/10/07 15:40:23
>>574
誤爆？
576:１３２人目の素数さん
04/10/07 16:57:14
おれ=>>572-573だけど自演じゃないぞ。
577:１３２人目の素数さん
04/10/07 17:07:47
┏━━━━━━━━━━━
┃
┃ - 自作自演厨の鉄の掟 -
┃ 1. 質問者には自作自演でも優しくしよう
┃ 2. 自作自演邪魔する香具師はむっしっし
┃ 3. 自作自演は目標全レス
┃ ∧＿∧ 。 Ｅ[]ヨ
┗━━ （ ・３・） ／━━━━━━
（つ つ
|￣￣￣￣￣|
| |
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|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
578:１３２人目の素数さん
04/10/07 17:13:49
たぶん>>574=>>577にとっては “自演でないかぎり解けっこない” と思えるほどの
難問だったんだろうな･･･
579:１３２人目の素数さん
04/10/07 17:50:54
箱の中に赤玉a個、白玉b個、黒玉c個が入っている。
この箱の中から1個ずつ玉を取りだしていき、最初にすべて取り出された玉が赤玉ならA君、
白玉ならB君、黒玉ならC君の勝ちとする。A君の勝つ確率を求めよ。
580:１３２人目の素数さん
04/10/07 19:51:22
>>579
計算まちがってるかもしれないけど。
ボール全部とりだすとして全事象は(a+b+c)!/(a!b!c!)。最期にとりだしたボールが黒(C)である事象の数を
かぞえる。最期が～～白黒黒･･･黒(最期黒を連続してc-i個ひく)事象の数をもとめる。
これは赤a個、白b-1個、黒i個をならべる組み合わせの数なので(a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)
結局最期に黒ひく事象の数は∑[i=0,c-1](a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)=C[a+b-1,a]∑[i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]。
で公式∑[i=0,∞]C[k+i,i]t^i=1/(1-t)^(k+1)をつかえば∑[i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]は(1/(1-t)^(a+b))･(1/(1-t))=1/(1-t)^(a+b+1)
のc-1次の係数。つまりP[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。よってもとめる事象の数はC[a+b-1,a]P[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。
同様にして最期ひくボールが白も考えてたして･･･まんどくせ―――
581:１３２人目の素数さん
04/10/07 21:03:52
>>579
bc(b+c)(2a+b+c)/((a+b+c)(b+c)(c+a)(a+b))
になった。
582:１３２人目の素数さん
04/10/07 23:21:47
>>579
全部取り出された順に順位をつけて、A1位、B2位、C3位という事象をA_123とする。他も同様。
Pr(A_123∪A_132∪A_231)=aがbに勝つ確率=C[a+b-1,b]/C[a+b,b]=b/(a+b)
Pr(A_123∪A_132∪A_213)=aがcに勝つ確率=c/(a+b)
Pr(A_123∪A_132∪A_213∪A_213)=aが少なくともどちらかに勝つ確率=(b+c)/(a+b+c)
よって、
Pr(A_123∪A_132)=b/(a+b)+c/(a+b)-(b+c)/(a+b+c)
=>>581 （でも約分汁）
583:１３２人目の素数さん
04/10/07 23:24:12
>>582
途中式、C[a+b-1,a]/C[a+b,a]に訂正。
584:１３２人目の素数さん
04/10/08 07:30:25
>>582
2つめはc/(a+c)だな。答えの真ん中の項も。
585:１３２人目の素数さん
04/10/08 08:09:03
xの三次方程式x^3+ax^2+bx-a+b=0 (a,bは整数)
が整数解を持つなら、その整数解は-2か0であることを示せ。
586:１３２人目の素数さん
04/10/08 09:46:29
>>585
ｘ＾2-ｘ+1-1/（ｘ+1）+ａ（ｘ-1）+ｂ＝0
簡単すぎないか？
587:１３２人目の素数さん
04/10/08 09:59:15
宿題を質問スレに書いたからね、585は。
588:１３２人目の素数さん
04/10/08 11:45:12
クズばっか
589:１３２人目の素数さん
04/10/08 13:24:09
f_1(x)=a^x, f_n(x)=a^f_(n-1)(x) (a>1,n=2,3,4,・・・)で定義される関数f_n(x)について
f_n(x)=xを満たす整数xがちょうど2つであるようなaを求めよ。
590:１３２人目の素数さん
04/10/08 15:06:30
これできるか？
って
そんな頭いい奴いるわけねーかorz
問題：定規とコンパスのみを用いて正１７角形を作図せよ。
591:１３２人目の素数さん
04/10/08 15:13:16
中心 O の円を描き, 直交する二つの直径 AB, CD を描く。 AE : EO = 3:1 になるような
内分点 E を採る。 直線 AB 上に CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI となる点 G, H, I を採る。
又, AI の中点 J を中心とし, 半径 JI の円を描き, OC との交点を K, KL = OH/2 となる点 L を AO 上に採る。
LK を半径として, OA の延長上に点 M を, ON = OM/2 なる点 N を AO 上に採る。
そして, ON ⊥ PQ となる点 P, Q を円周上に採ると, これらが正 17 角形の一辺となる。
592:１３２人目の素数さん
04/10/08 15:58:46
え？
これはガロワが解いた問題なんだけど、
定規ってのは直線を描くためだけに使うんであって、
長さは測っちゃだめだよ、確か。
593:１３２人目の素数さん
04/10/08 16:11:24
どこで長さを測る必要がある？
594:１３２人目の素数さん
04/10/08 16:11:36
ガウスの間違いだと思われ
595:１３２人目の素数さん
04/10/08 16:27:04
てゆーか自作問題うぷしろよ
596:自作くん
04/10/08 21:32:18
【問】
xについての方程式
A: x^3+lx^2+mx+n=0
について考える．但し、l,m,nは
(a:方程式Aの自然数解の個数)
(b:方程式Aの整数解の個数)
(c:方程式Aの実数解の個数)
のいずれかであるとする．
(1)
l,m,nがa,b,cとある対応をしたときl,m,nの値がそれぞれ確定した．
このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ．
(2)
l,m,nがそれぞれある値だったとき、l,m,nとa,b,cの対応が確定した．
このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ．
597:１３２人目の素数さん
04/10/08 21:38:19
>>596
問題の日本語に不備ありすぎ
598:１３２人目の素数さん
04/10/08 22:09:55
>>597
そうか？
599:１３２人目の素数さん
04/10/08 23:28:35
>>596
対応と確定を使わず表現してくれ
600:１３２人目の素数さん
04/10/08 23:55:31
CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI とか
AE : EO = 3:1 とかって
長さをはからずに
コンパスと定規で可能？
601:１３２人目の素数さん
04/10/08 23:58:09
>>600
おまえ馬鹿だろ？
602:１３２人目の素数さん
04/10/08 23:58:26
長さを測る必用がないなら、コンパスは不要では？
603:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:15:29
次の命題を証明せよ。
「関数 f(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝ は任意の閉区間 [a，b] で x の多項式で表す事ができない。」
604:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:20:13
>>603
ｘの多項式ｆ(x)は、ｘで何度か微分を繰り返すことで、恒等的に0となるが、
1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返してもならない。・・でいいんじゃないのか？
605:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:28:23
「1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返しても０にならない」の証明は？
606:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:30:04
>>605
実際ｎ次導関数求めればいいんじゃない？大変だろうか
607:１３２人目の素数さん
04/10/10 20:38:47
ｎで簡単に表されるとは思えないが。
608:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:15:17
>>603
“任意の閉区間 [a，b]”じゃなくて“実数全体”なら瞬殺なんだけどな。
609:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:17:52
>>608
その条件だったら出題するまでもなかろう・・・
610:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:24:53
{f(x)-1}の零点が無限に存在する（x=kπ）から、なんてのは駄目？
611:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:27:00
>>610
>>608-609
612:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:28:02
任意の閉区間 [a，b]だから駄目だね。
613:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:28:59
>>610
有界閉区間には{f(x)-1}の零点は有限個しか含まれない
614:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:32:01
全然駄目ですね思慮不足でした
615:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:49:25
大体できたかな。
多項式をf(x)とおくと
cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2
これを2回微分して
f(x)の微分方程式をつくる。
あとは簡単。
616:615
04/10/10 21:53:27
× cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2
○ cos(2x)＝3-{2/f(x)}
617:１３２人目の素数さん
04/10/10 21:56:23
今日エナ行きました。奥田先生は東大の教官は教科書を横に置いて問題を作るといってました。
ホエールバックの定理が東大頻出、とかいっていたんですが、
検索しても出てきません。名称からアソシエートして正しい定理を教えて下さい。
618:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:02:01
それからわがままですみませんが、１度問題を編纂して
直前期に繰り返せば８０点はカタイ（エナ生に通える高所得の家庭の子供はそういう）
という問題集を作ってはくれませんか？とりあえず黒大数の東大の過去問やりますけど。
明日あたりにまた来ます。
619:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:03:36
>>618
氏ね
620:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:03:42
>>618
マジレスすると、このスレの人間は自分のペースで
ゆっくり問題を作ったりといたりしているから
人に何かをやってくれとか言われても、絶対にやらないと思われ。
621:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:11:06
>>615-616
なるほどね。
もっと簡単にできそうだが．．．できない。
622:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:12:36
PDFにしてるけどこれは自分のためであって人にやるもんでもない。
問題提供者には感謝する。
623:１３２人目の素数さん
04/10/10 22:53:25
>>603
受験の解答だとこんなもん？
a<bという仮定は当然あるものとして
まず多項式P,Q,Rについて
Psin2x+Qcos2x=R―(1) が(a,b)で成立するときP=Q=R=0であることを示す。
degP+degQに関する帰納法。degP+degQ=0なら(P,Q)=(0,0)でなければ左辺は
0でない３角関数で何回微分しても0じゃないけど右辺は何回か微分すると0なので矛盾。
よってP=Q=R=0。degP+degQ<n≠0のとき成立するとしてdegP+degQ=nのときは
Psin2x+Qcos2x=Rを2回微分して(P''-4Q'-4P)sin2x+(Q''+4P'-4Q)cos2x=R''―(2)。
(1),(2)より(P''-4Q')sin2x+(Q''+4P')cos2x=4R+R''。よって帰納法の仮定から
P''=4Q'、Q''=-4P'、R''=-4R。P,Q,Rは多項式だからP'''=-16P'、Q'''=-16Q'、R''=-4Rより
P'=Q'=R=0。よってP,Qは定数でdegP+degQ=0であるがこれはdegP+degQ=n≠0に反する。
よってdegP+degQ=n≠0となるこのような多項式は存在しない。
もしf(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝が開区間(a,b)で成立し、かつf(x)が多項式なら
(3-cos2x)f(x)=2、よって(3-cos2x)f(x)+2sin2xf'(x)=0、よって2f'(x)sin2x-f(x)cos2x=-3f(x)。
よってf(x)=0でなければならないがf(x)は開区間(a,b)で0関数に成り得ないので矛盾。
624:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:10:53
>>623
>>615-616見てない？
6{f(x)}^3-4{f(x)}^2-2{f'(x)}^2+f"(x)f(x)=0
625:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:13:23
もっと一般化してみたいね。
恒等的に０ではない、三角関数の合成関数ｆ（sinx,cosx)は任意区間でｘの多項式ｇ(ｘ)にはならない。
626:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:15:15
多項式以外の初等関数だったら言えるよ。
627:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:17:57
>>625
f(x，y)＝x^2+y^2 ならどうする？
628:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:19:26
>>627
(ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰそうだったね。
なんて説明すればいいかわかんね
629:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:19:51
>>624
みてなかった。須磨
630:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:22:16
まあたぶんいいたいのはR[sin(x),cos(x)]がR[U,V]/(u^2+v^2-1)に環として
同型とかそんな感じのはなしを受験問題にできないかということかな？
631:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:22:25
かわういね ＞ (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ
632:１３２人目の素数さん
04/10/10 23:23:18
(ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ
633:あぼーん
あぼーん
あぼーん
634:１３２人目の素数さん
04/10/11 01:05:27
ねー、これは簡単には示せへんの？
f(x),g(x)が共に何回でも微分可能なとき、
x∈[a,b]でf(x)=g(x) ならば x∈Ｒでf(x)=g(x)
635:１３２人目の素数さん
04/10/11 01:10:55
>>634
それは反例があるのでダメ。
636:１３２人目の素数さん
04/10/11 01:33:57
>>634
その定理を複素関数にして、解析接続っぽい形にすればOK
637:１３２人目の素数さん
04/10/11 07:40:27
>>620なるほど、独善ぶりも東大教官の如くやるわけですね。
でもホエールバック（？）の定理の正式名称を考えてくれませんか？
638:１３２人目の素数さん
04/10/11 08:05:42
僕も出題しておきます。a[n]=(1-S[n])(1-S[n-1])の一般項を求めよ。
639:あぼーん
あぼーん
あぼーん
640:あぼーん
あぼーん
あぼーん
641:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/11 12:17:28
Re:>633,639-640 お前人のメアド勝手に載せるなよ。
642:１３２人目の素数さん
04/10/11 12:28:53
>>641
どうせ捨てメアドなんだろ？
ヤフーに迷惑かけているのはお前だ！
それから、いちいちレスつけるなよ。
それが荒らしを喜ばせているってことに気付かないのか？
ホントKingって学習能力ないなぁ呆れるよ。
643:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/11 12:39:41
Re:>642 お前誰だよ？幾つ同じレス付けてんだよ？
644:１３２人目の素数さん
04/10/11 12:43:04
>>643
話をすり替えるな。お前の詭弁には騙されないよ
大人しくしてろよ30過ぎのおっさんがっ早く就職しろ。
645:あぼーん
あぼーん
あぼーん
646:１３２人目の素数さん
04/10/11 13:07:20
>>637
スレ違い。
647:１３２人目の素数さん
04/10/11 13:21:09
>>647 東大の傾向を知り尽くしたこのスレの人々ならわかると思ったんですけどね。
せめて誘導をつけていただければ助かるのですが、まあ取り敢えず自前の問題集３０回とき回します。
648:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/11 13:29:51
Re:>644-645 お前早く土に還れ。
649:１３２人目の素数さん
04/10/11 13:36:07
>>648
お前、非常にムカつく。
氏ね灰になれ！
650:１３２人目の素数さん
04/10/11 13:36:13
>>647
マジレスすると同じ問題と解き直すより、新しい問題に行った方がいい。
651:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/11 15:51:15
Re:>649 お前が先に氏ね。
652:１３２人目の素数さん
04/10/11 16:04:52
>>651 荒らしは氏ね
653:１３２人目の素数さん
04/10/11 17:53:00
>>637
マイケル・シューマック
654:１３２人目の素数さん
04/10/12 05:48:01
>>638
a[1]=a
a[n]=(1+a)[(1/{1-(1+a)(n-1)})-(1/{1-(a+1)(n-2)})] (n≧2)
655:１３２人目の素数さん
04/10/13 07:04:44
イマイチだな
656:１３２人目の素数さん
04/10/13 07:50:58
>>655が、俺ならもっといい回答するぜ、誰かこの俺に訊けよ、と叫んでいます。
657:１３２人目の素数さん
04/10/13 17:42:18
>>650うーん・・では過去問やったあとは力の５０題にでも挑戦します。
最大最小問題で多変（略）における調和関数の性質使うと簡単に終わるものありますね。
>>654 展開するのがめんどくさいので確認しませんが、正答としては
(A)a[1]=1,a[n]=0(n>=2)or(B)1/a[n]=(n+c)(n+c-1),c=const.です。
>>653調べておきます。京大頻出はカントールの定理らしいです。
658:１３２人目の素数さん
04/10/13 18:02:25
>>657
聞き齧った用語を理解しないまま書き連ねているのが哀れよのう
659:１３２人目の素数さん
04/10/13 18:06:18
>>658 「最大最小問題で」の所ですか？
U上で連続な関数f(x1,x2,---)について△f=0のとき調和関数といい、
fは∂Ｕにおいて最大および最小をとる、で合ってます？
間違ってたら、まさしく哀れです。
660:１３２人目の素数さん
04/10/13 20:04:07
>>657
F1知らなくてもミハエル・シューマッハがぐらい聞いたことあるだろ
661:１３２人目の素数さん
04/10/13 23:14:25
>>660いや知ってはいたんですけど、実はあると思ってしまいまして。
662:１３２人目の素数さん
04/10/13 23:24:22
平面上にn個の異なる点を配置する。どの２点間の距離も、必ずある二つの実数値のどちらかを取るように
nこの点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。
1) n=4の時、点の配置を全て求めよ。
2) n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3) n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。
663:１３２人目の素数さん
04/10/14 04:02:13
前スレのログ持ってるやついる？
できれば、どこかにうぷして欲しいんだけど。
おねがいしますだ。
664:１３２人目の素数さん
04/10/14 04:35:09
まずはヒザマヅケ！
665:１３２人目の素数さん
04/10/14 08:40:50
>>1乙
666:１３２人目の素数さん
04/10/14 09:28:33
俺のとっておきだ。
次の不定積分を解きなさい。
∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ
667:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:01:30
これは難問だぞ
668:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:03:29
アフォか？
669:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:06:46
>>667
積分区間を良く見てみ
∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ =
∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0
670:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:07:24
[e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。
671:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:10:46
>>670
> [e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。
じゃ，何だっていうつもり（ｗ
672:１３２人目の素数さん
04/10/14 13:12:46
勘弁してくれよ、出題者に聞いてくれ
673:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:09:39
不定積分なんだから積分区間はないよな．
[e^0..sin(π/2)]は「..」が気になる．なんだろ？
674:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:13:09
>>673
定積分の書き間違いだろ
675:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:21:09
「..」は？
676:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:29:33
667 １３２人目の素数さん 04/10/14 13:01:30
これは難問だぞ
668 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:03:29
アフォか？
669 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:06:46
>>667
積分区間を良く見てみ
∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ =
∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0
675 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 15:21:09
「..」は？
面白すぎ :-)
677:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:34:12
定積分を不定積分と間違え、しかも「解きなさい」などと意味不明な事を書き、
不定積分に必要だと勘違いした積分区間に「..」などと変な記号を入れる、
これはそうとうな池沼だな。
678:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:50:15
んなことは、どうでもいいから、>>662の解答ｷﾎﾞﾝ
679:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:50:42
>>677
そんなこと一目で見抜けるだろ
わざわざ書き込んだのは釣られたはらいせだな
680:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:51:36
釣られたのは多分>>679
681:１３２人目の素数さん
04/10/14 15:56:19
>>667-680
666を見て10秒以内に解けなかった人は高校の微積分からやり直してください，
ということで終了
粘着もやめてね
682:１３２人目の素数さん
04/10/14 16:25:39
>>662
面倒だなぁ
凸包で場合分けしていくやり方しか思い浮かばない。
683:シメジ方程式
04/10/14 17:30:26
おまいら分かってねーな。
>>666は0と即断したヤシを馬鹿にするための問題だぜ。
罠はひとつと思い込んだ奴の負け。
684:１３２人目の素数さん
04/10/14 17:38:25
>> 683
ボクもこたえが0になりました．
0が正解ででないならこたえを教えてください．
685:１３２人目の素数さん
04/10/14 17:42:41
６６６は間違いを誤魔化すので必死だった
ということで終了
686:シメジ方程式
04/10/14 17:49:04
>>684
疑惑の[e^0..sin(π/2)]の部分は「..」が不明だが取り合えず
変数が含まれてないので定数と考えればよい。
「..」の詳細は>>666の再降臨を待つべし。
687:１３２人目の素数さん
04/10/14 20:33:51
関数f(x)とg(x)があり、f(x)=g(x)とおくと、その根が交点のx座標である。
何故か説明せよ。
688:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 20:37:06
Re:>687 交点とは何か、等式の根とは何か、それぞれ説明願う。
689:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:20:13
kingうんち
690:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:27:26
>>687
実根でなくていいのか？
691:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:33:02
巨根
692:１３２人目の素数さん
04/10/14 21:41:19
[e^0..sin(π/2)] は何かの演算子だろう。交換子に似ているが。
693:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:44:57
Re:>692 a<bとするとき、[a..b]={x∈R|a≤x≤b}.
694:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/14 21:45:48
Re:>693 いいから消えろ。
695:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:46:36
Re:>694 何故消えねばならぬのだ？
696:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/14 21:49:33
Re:>695 お前が偽者だからだ。迷惑してるんだよ。
おまえがウンコウンコ言うから、俺が同類だと思われるんじゃないか。
697:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:51:13
Re:>696 う■こと言ってるのはお前だろが。寝ぼけた上に頭打ったのか？
698:あぼーん
あぼーん
あぼーん
699:LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
04/10/14 21:54:00
Re:>697 いまさらとぼける気か？この恥知らず。
700:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/14 21:57:19
Re:>698 お前何考えてんだよ？
Re:>699
【ゴキブリ】KingMathematician４【ストーカー】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:594番)
を参照のこと。
701:１３２人目の素数さん
04/10/14 23:19:28
>>666ま～だ～？
702:１３２人目の素数さん
04/10/15 01:36:08
>>666の再臨期待あげ
703:１３２人目の素数さん
04/10/15 08:07:13
>>666は施設からの外出許可がまだ出ないようです。
704:666
04/10/15 14:23:32
ごめん。積分区間です（汗
705:666
04/10/15 14:24:47
てか、定積分だし。すみませんね。
706:666
04/10/15 14:27:18
よって>>669、正解。
707:１３２人目の素数さん
04/10/15 16:04:05
小学生がいいそうな問題だな。
2*3*4*5*・・・・・・*0*3*4*・・・・=
なんでしょう？とかよく言ってたよ。小2の頃。
こんなこというと馬鹿にされそうだが。
708:707
04/10/15 16:05:18
まぁこれが結構わからない奴もたけどね・・・
709:１３２人目の素数さん
04/10/15 16:14:48
最近、スレ違い厨が大杉。
しっ！しっ！
710:１３２人目の素数さん
04/10/15 18:46:00
いつからウンチ臭い大学生とションベン臭い小学生のスレになったんだ？
711:１３２人目の素数さん
04/10/16 02:53:57
>>662
(1) 2点間を結ぶ線分は 4C2=6 本ある。このうちの少なくとも3本の
長さが1であるとして一般性を失わない。
1以外の長さが3本の場合 → 正三角形と，その重心
1以外の長さが2本の場合 → 正方形
1以外の長さが1本の場合 → 1辺を共有する2つの正三角形
712:１３２人目の素数さん
04/10/16 03:04:26
>>711
正五角形の一点を抜かした四角形は条件を満たしてるんじゃないの？
713:１３２人目の素数さん
04/10/16 03:06:11
あとは四点A,B,C,Dを△ABCを正三角形にして、点DをBD=CD、AD=ABを満たすように取れば
これも、条件を満たすだろ。
714:１３２人目の素数さん
04/10/16 14:38:04
一辺2の立方体の内部を半径1の円盤が自由に動く。
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。
715:１３２人目の素数さん
04/10/16 14:54:44
これは難問だぞ
716:１３２人目の素数さん
04/10/16 15:36:27
こちらの方が激難問だよ。
「一辺2の正方形の内部を半径1の円盤が自由に動く。
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。」
717:１３２人目の素数さん
04/10/16 15:55:42
>>662 長いので概略のみ
ある３点が存在し、それが同一直線上に並ぶ場合、条件を満たさない。よって、どの３点も同一直線上に並ばない。
ある点Dが存在し、残りの３点が作る三角形ABCの外心がDである場合。
△ABCが正三角形の場合、Dが外心の時、明らかに条件を満たす。
△ABCが正三角形でない場合、AB,BC,CAは二通りの値を取る。Dが△ABCの外心であることからAD=BD=CD、一般性を失わず
AD=BD=CD=ABとしてよく、この場合△ABDが正三角形をなす。このような条件を満たす点配置は３通り、その全てが条件を満たす。
４点のうち、どの３つを選んでもその３点がなす三角形の外心は４点に含まれない場合。
AB,AC,ADは条件より２通りの値を取る。よって、AB=1,AC=AD=aとしても一般性を失わない。
BC=1の場合、 BA=BC=1、Bは△ACDの外心でないことから、BD=aが成立する。
このとき、DA=DB=aが成立するため、DC=1が成立する。
BC=aの場合、 CA=CB=aが成立するためCD=1 BDの値は1,a両方取り得る。
以上より、この場合の４点が作る線分の長さは以下の通り。
1) AB=1 AC=AD=a、 BC=1 BD=a CD=1
2) AB=1 AC=AD=a BC=a BD=a CD=1
3) AB=1 AC=AD=a BC=a BD=1 CD=1
ところが、1,3は点C,Dを入れ替えることで同じとなるため、実質的に異なる配置は二通り。
1)の配置の場合、aの値は二通り考えられるが、拡大または縮小することで両者は等しくなる。よって、1)の場合の配置は一通り。
2)の配置の場合、AC=CB=BD=DA=aより、ACBDは菱形をなす。対角線がAB=CD=1となることから、この菱形は正方形であり
この場合の点配置も一通り。
以上をまとめると、全ての点の配置は６通りであることが分かる。
718:１３２人目の素数さん
04/10/16 16:10:07
>>716
君は馬鹿か？
719:１３２人目の素数さん
04/10/16 18:56:19
>>718
ﾕｰﾓｱのｾﾝｽがないﾔｼだなぁ。
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