★東大入試作問者にな ..
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465:１３２人目の素数さん 04/09/10 22:06:55 >>455 この(1)って微妙に(2)の誘導になってんのかな？ (2)は結局半径1の円に内接する３角形の面積の最大値をもとめさせてるんだけど それは正三角形のときで面積は3･(1/2)･sin120°=3√3/4。 466:455 04/09/10 22:09:51 >>465 正解(配点20) 467:455 04/09/10 22:15:57 ごめんウソ。減点-2 468:１３２人目の素数さん 04/09/10 22:18:01 >>456 4数をa,b,c,dとして仮定はb+c+d、a+c+d、a+b+d、a+b+cが素数。 でもしどれか一個が3だとする。a=3としてよい。すると b≡c≡d (mod 3)であるか ≡1(mod3)、≡2(mod3)となるものがある。 前者ならb+c+dは3でない3の倍数なので矛盾。後者ならb≡1(mod3)、c≡2(mod3) としてよいがa+b+cが3でない3の倍数になって矛盾。よって3はまじってない。 よってa≡±1(mod3)、b≡±1(mod3)、c≡±1(mod3)、d≡±1(mod3)だが 符号がおなじなのが３つあると仮にそれをa,b,cとするとa+b+cが3でない３の倍数になって矛盾。 よってa≡1(mod3)、b≡1(mod3)、c≡-1(mod3)、d≡-1(mod3)として一般性を失わない。 さて選んだ２数(x,y)の差が３の倍数なのだから(x,y)=(a,b) or (c,d)。 いずれにせよのこり２数を(z,w)とするとz≡w(mod 3)ゆえ主張は成立。
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