★東大入試作問者にな ..
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433:１３２人目の素数さん 04/08/28 05:16 >>427 素朴に 93210×87654（＞90123×87654←相加相乗平均を考慮） と予想してみる 434:433 04/08/28 05:25 ゴメン嘘． 96***×87***の方がまだ大きい（∵各位の数＜10だから10冪が勝つ）． それでもやはり相加相乗平均の考え方を用いて 大きい位から順に求めていく事になりそうだが… と云う訳で >>428 出題意図は悪くないと思うよん． 435:１３２人目の素数さん 04/08/28 09:48 実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。 ∫[-1,1] (1-x) ( f(x) )^2dx = 1 このとき、 |f(1)|≦(n+1)(n+2)/(2√2) |f(-1)|≦√((n+1)(n+2))/(2) であることを示せ。 436:１３２人目の素数さん 04/08/28 13:32 >>435 これホントに正しい？ 問題は1-x=2tと変数変換して ―― 実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。 4∫[0,1] t ( f(t) )^2dt = 1 このとき、 |f(0)|≦(n+1)(n+2)/(2√2) |f(2)|≦√((n+1)(n+2))/(2) を示せ。 ―― と同値だけど数学辞典によるとG(2,2;t)=(1/t)(n+1)!(d/dt)^n{t^(n+1)(1-t)^n} とおくとき∫[0,1]G(2,2,t)=1/(2(n+1)^3)になるそうだ。 コレを信じるとP_n(t)=(n+1)^3G(2,2,t)/4は前提条件をみたすけど P_n(1)=(-1)^n･(n+1)!･(n+1)^3･n!になってしまうけど？
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